中考数学一轮复习专题6.1圆的基本性质重难点题型讲练(4大题型，105题)(讲练)(原卷版+解析)

这是一份中考数学一轮复习专题6.1圆的基本性质重难点题型讲练(4大题型，105题)(讲练)(原卷版+解析)，共141页。

类型1-利用垂径定理进行证明
（2022秋·河南郑州·九年级河南省实验中学校考期末）如图，A、B是上的两个点，连接、点C，D是、上靠近圆心O的三等分点，点E、F是的三等分点，连接，，
(1)求证：
(2)连接，，请你判断，的位置关系，并说明理由．
类型2-利用垂径定理进行计算
（2022秋·辽宁大连·九年级统考期末）如图，的直径，是的弦，，垂足为M，，求弦的长．
类型3-垂径定理的实际应用
（2022秋·浙江杭州·九年级校联考期中）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度米，拱高米．
(1)求圆弧所在的圆的半径的长；
(2)当洪水泛滥到跨度只有米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有米，即米时，是否要采取紧急措施？
类型4-利用垂径定理作图
（2022秋·浙江绍兴·九年级校考期中）如图，由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．经过A，B，C三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．（保留作图痕迹）
(1)在图1中的圆上找到格点D，使得；
(2)在图2中的圆上找到点E，使点E平分弦所对的弧．
综合训练
1．（2022春·九年级课时练习）如图，点，，，在圆上，弦和交于点，则下列说法正确的是（ ）
A．若平分，则B．若，则平分
C．若垂直平分，则圆心在上D．若圆心在上，则垂直平分
2．（2023秋·安徽合肥·九年级统考期末）如图，的直径与弦交于点E，，则下列说法错误的是（ ）
A．B． C． D．
3．（2023秋·天津和平·九年级校考期末）半径为5，弦，，，则与间的距离为（ ）
A．1B．7C．1或7D．3或4
4．（2022秋·江苏泰州·九年级校考阶段练习）如图，在中，直径弦，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（ ）
A．8≤AB≤10B．8＜AB≤10C．4≤AB≤5D．4＜AB≤5
6．（2021·广东珠海·九年级珠海市斗门区实验中学校考期中）如图，⊙O中，如果∠AOB＝2∠COD，那么（ ）
A．AB＝DCB．AB＜DCC．AB＜2DCD．AB＞2DC
7．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）如图，是以为直径的半圆上一点，连接，，分别以，为边向外作正方形，，，，弧，弧的中点分别是、、、，若，，则（ ）
A．B．C．11D．15
8．（2022秋·吉林四平·九年级统考期末）如图，在中，直径过弦的中点G，，则等于（ ）
A．B．C．D．
9．（2022秋·广东珠海·九年级统考期末）如图，一个纵截面为半圆的容器水平放置，然后向其中倒入部分液体，测得数据如图（单位：cm），则液面宽度（ ）
A．8cmB．4cmC．D．
10．（2022秋·山东淄博·九年级统考期末）如图，C是弧的中点，弦，，且，则弧所在圆的半径为（ ）
A．4B．5C．6D．10
11．（2023春·河北承德·九年级统考阶段练习）为了测量圆形工件的直径．
甲：如图1，在工作台上用边长相同的两个立方体小木块顶在圆形工件的两侧，测得两木块间的距离b和小木块的边长a即可；
乙：如图2，把两个小木块换成两个相同的小圆柱，量得圆柱半径n和两个圆心之间的距离m即可．
下面的说法正确的是（ ）
A．甲对乙不对B．甲不对乙对C．两人都不对D．两人都对
12．（2022秋·山东滨州·九年级统考期中）如图所示，一条排水管的截面半径dm，水面宽dm，则排水管中水的最大深度为（ ）
A．4dmB．3dmC．2dmD．1dm
13．（2023秋·四川绵阳·九年级统考期末）如图，水平放置的圆柱形输油管道的截面半径是，油面宽为，则截面上有油部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
14．（2023秋·山东滨州·九年级统考期末）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高cm，底面直径cm，球的最高点到瓶底面的距离为cm，则球的半径为（ ）cm（玻璃瓶厚度忽略不计）．
A．7.5B．7C．6.5D．6
15．（2023·全国·九年级专题练习）如图，直线与相切于点，且，则________．
16．（2022·湖南长沙·模拟预测）如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦切小圆于点，若，则圆环的面积是________．
17．（2023·安徽合肥·校考模拟预测）如图，以为直径作半圆，为的中点，连接，以为直径作半圆，交于点．若，则图中阴影部分的面积为 _____．
18．（2023·浙江温州·统考一模）如图，某公园有一月牙形水池，水池边缘有A，B，C，D，E五盏装饰灯．为了估测该水池的大小，观测员在A，D两点处发现点A，E，C和D，E，B均在同一直线上，沿AD方向走到F点，发现．测得米，米，米，则所在圆的半径为_____________米，所在圆的半径为__________米．
19．（2023春·江苏无锡·九年级校联考期末）《九章算术》中卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？转化为数学语言：如图，为的半径，弦，垂足为，寸，尺尺寸，则此圆材的直径长是______寸．
20．（2022秋·云南昆明·九年级统考期末）筒车亦称“水转筒车”，发明于唐，是一种以水流作动力，取水灌田的工具，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方．圆被水面截得的弦长为，若盛水桶P到水面AB的距离为2m，则的度数为_________．
21．（2023秋·湖北咸宁·九年级统考期末）如图1是博物馆展出的战国时期车轮实物，《周礼·考工记》记载：“…故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸…”据此，为验证博物馆展出车轮类型，我们可以通过计算车轮的半径推断．如图2所示，在车轮上取A、B两点，设所在圆的圆心为O，半径为．作弦的垂线，D为垂足，经测量，，，则此车轮半径为______．通过单位换算（在战国时期，一尺大约是左右），得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．
22．（2023·天津和平·天津市第五十五中学校考一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，上的点，圆心均在格点上，
（1）_____________；
（2）若点是上的一个动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连，当线段最长时，点的对应点为点，点的对应点为点，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，，并简要说明点，的位置是如何找到的（不要求证明）____________________．
23．（2021秋·江苏南京·九年级统考期中）如图，在以AB为直径的圆中，弦CD⊥AB，M是AB上一点，射线DM，CM分别交圆于点E，F，连接EF，求证EF⊥AB．
24．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，AB、CD为⊙O的两条弦，AB∥CD，经过AB中点E的直径MN与CD交于F点，求证：CF＝DF
25．（2021春·福建厦门·九年级厦门海沧实验中学校考开学考试）如图，内接于，且为直径，为上一点且，求证：为等腰三角形．
26．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．
(1)求证：．
(2)若，大圆的半径，求小圆的半径r．
27．（2022秋·陕西宝鸡·九年级统考期末）如图，是的外接圆，，于点，，求的长．
28．（2022秋·浙江湖州·九年级统考期末）如图，已知是的直径，点是上一点，连接，，，半径，垂足为点．
(1)求的度数；
(2)若，求的长．
29．（2022秋·吉林四平·九年级统考期末）如图，是的直径，是的一条弦，且于点E．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
30．（2022秋·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，点D是的中点．
(1)求证：；
(2)连接AC，若AB＝10，CD＝4，求AC的长．
31．（2021·全国·九年级专题练习）如图，A，B，C，D在上，经过圆心O的线段于点F，与交于点E，已知半径为5．
（1）若，，求的长；
（2）若，且，求弦的长；
32．（2023春·江苏苏州·九年级苏州市振华中学校校考开学考试）如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点，，．
(1)该圆弧所在圆的圆心坐标为______．
(2)求弧ABC的长．
33．（2022·湖北省直辖县级单位·校考一模）如图，已知A，B，C均在⊙O上，请用无刻度的直尺作图．
(1)如图1，若点D是的中点，试画出的平分线；
(2)若，点D在弦上，在图2中画出一个含角的直角三角形．
34．（2023·陕西西安·校考二模）【问题提出】
（1）如图①，在等腰直角中，，为等边三角形，，则线段BD的长为___________；
【问题解决】
（2）如图②，在等腰直角中，，以AC为直径作半圆O，点D为上一动点，求点B、D之间的最大距离；
【问题探究】
（3）一次手工制作课程中，老师要求小明和小丽组制作一种特殊的部件，部件的要求如图③，部件是由直角以及弓形BDC组成，其中，点E为BC的中点，，这时候小明和小丽在讨论这个部件，其中小丽说点A到的最大距离是点A、D之间的距离，小明说不对，你认为谁的说法正确？请说明理由，并求出点A到的最大距离．
35．（2023秋·浙江金华·九年级统考期末）如图，小明所在学习兴趣小组在探究“如何测量环形花坛面积（阴影部分）”的方法，准备了下列工具：①卷尺；②直木条（足够长）；③T型尺（EF所在的直线垂直平分线段CD）．
(1)在图1中，请你用T形尺的原理画出大圆圆心的示意图（保留画图痕迹，不写画法）．
(2)如图2，小明说：“我只用一根直木条和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具体做法如下：将直木条放留到与小圆相切，用卷尺量出此时直木条与大圆两交点G，H之间的距离，就可求出环形花坛的面积．”如果测得，请你求出这个环形花坛的面积．
36．（2022秋·湖北荆州·九年级统考期末）请用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）
(1)如图，①在线段上找一点，使；
②过点作直线将四边形的面积二等分；
(2)如图，在正方形网格中，有一圆经过了两个小正方形的顶点，，请画出这个圆的圆心．
37．（2023·辽宁鞍山·统考一模）如图已知收线的圆片上有三点，，．
(1)作出这个圆片的圆心（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)连接，，，设是等腰三角形，底边，腰，求该圆片的半径．
38．（2023秋·北京平谷·九年级统考期末）如图，已知劣弧，如何等分？下面给出两种作图方法，选择其中一种方法，利用直尺和圆规完成作图，并补全证明过程．
方法一：①作射线、；
②作的平分线，与交于点C；
点C即为所求作．
证明：∵平分，
∴
∴___（_____）（填推理的依据）．
方法二：①连接；
②作线段的垂直平分线，直线与交于点C；
点C即为所求作．
证明：∵垂直平分弦，
∴直线经过圆心O，
∴___（___）（填推理的依据）．
39．（2023春·湖北省直辖县级单位·九年级校联考阶段练习）如图，由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．经过A、、三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．（保留连线痕迹）
(1)在图（1）中的上画一点，使；
(2)在图（2）中过A、、的圆上找一点，使平分．
40．（2023春·安徽合肥·九年级合肥寿春中学校考阶段练习）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A在格点上，B是小正方形边的中点，，经过点A，B的圆的圆心在边上．
(1)线段的长等于__________；
(2)请用无刻度的直尺，在如图所示的圆上，画出一个点D，使其满足的度数小于的度数，并说明理由．
(3)请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P，使其满足，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）______________________________________________．
41．（2023春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)A，B，C三个格点都在圆上．画出该圆的圆心E，并画出的中点F；
(2)如图，点O为网格点，和为的直径，点D为上一点，画出点D关于的对称点I，连接交于K，在上画点Q，使得．
42．（2023秋·湖北武汉·九年级校考期末）如图，由小正方形构成的66网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．⊙O经过A，B，C三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图(画图过程用虚线，结果用实线）．
(1)在图1中画出圆心点O；
(2)在图2中的圆上画一点E，使平分弧；
(3)在图3中的圆上画一点M，使平分．
43．（2022秋·吉林延边·九年级统考期末）如图，在中，则（ ）
A．B．C．D．
题型2：弦、弧、圆心角之间的关系
类型-1 利用弦、弧、圆心角之间的关系求解
（2023秋·江苏镇江·九年级统考期末）如图，点A，B，C都在上，B是的中点，，则等于________．
类型-2 利用弦、弧、圆心角之间的关系证明
（2023秋·甘肃庆阳·九年级统考期末）如图，在中，C为弧上一点，于M，于N，．求证：．
综合训练
1．（2023秋·浙江杭州·九年级统考期末）如图，四边形是半圆O的内接四边形，是直径，．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·四川成都·九年级四川省成都市第七中学初中学校校考阶段练习）若弦长等于半径，则弦所对弧的度数是__________．
3．（2023春·北京海淀·九年级101中学校考阶段练习）如图，是的直径，，，则的度数是______．
-
4．（2022秋·重庆·九年级统考期末）如图，在扇形中，已知，，过弧的中点C作，，垂足分别为点D、E，则图中阴影部分的面积为___________．
5．（2023秋·广东广州·九年级统考期末）如图，在中，，．分别求和的度数．
6．（2023春·江苏泰州·九年级姜堰区实验初中校考阶段练习）如图，的内接四边形为正方形，P为弧的中点，连接、，交于点E．
(1)求证：；
(2)连接，求证： ；（从“”、“”中选择一个填入，并完成证明）．
7．（2023秋·浙江杭州·九年级统考期末）如图，A，B，C，D是圆O上的点，，，分别交，，OC于点N，M．求证：
(1)；
(2)．
8．（2022秋·云南昆明·九年级统考期末）如图，为的直径，为的弦，，，的平分线交于点D．
(1)若，求的度数；
(2)求四边形的面积．
9．（2023·全国·九年级专题练习）如图，以等边三角形的边为直径作交于，交于，连接．试判断，，之间的大小关系，并说明理由．
10．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在中，，且，是的三等分点，分别交，于点，．求证：．
题型3：圆周角定理及其推论
类型1-圆周角定理
（2023秋·广西防城港·九年级统考期末）如图，是的外接圆，，的度数是（ ）
A．B．C．D．
类型2-同弧、等弧所对的圆周角
（2023·陕西西安·校考一模）如图，若是的直径，是的弦，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
类型3-90°的圆周角与直径
（2023·广东珠海·珠海市文园中学校考一模）如图，是半圆的半径，点，在半圆上，若，则的度数为_________．
综合训练
1．（2022秋·宁夏吴忠·九年级统考期末）如图，A，，是上的三点，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·海南省直辖县级单位·九年级统考期末）如图，点，，均在上，若，则的大小是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023秋·河南郑州·九年级统考期末）如图，内接于，是的直径，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·山西晋中·统考一模）如图，为的直径，，C、D为上两点，若，则的长为（ ）
A． B．C．D．
5．（2023·湖南株洲·统考一模）如图，等腰内接于，点D是圆中优孤上一点，连接，已知，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考三模）如图，点A是中优弧的中点，，C为劣弧上一点，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
7．（2022秋·广东珠海·九年级统考期末）如图，在足球训练中，小明带球奔向对方球门PQ，仅从射门角度大小考虑，小明将球传给哪位球员射门较好（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
8．（2023·安徽合肥·一模）如图，是的直径，弦交于点E，连接．若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·湖北省直辖县级单位·校考模拟预测）如图，点，，，，都是上的点，，，则（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）如图，内接于，是的直径，，点是的内心，的延长线交于点，连接，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
11．（2023秋·河南周口·九年级校考期末）将一个含角的直角三角板和一个量角器按如图所示的方式放置，，其中点所在位置在量角器外侧的读数为，连接交于点，则图中的度数是（ ）
A．B．C．D．
12．（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）如图，内接于，外角的平分线交于点，射线交延长线于点．若，，则的度数为______°．
13．（2023秋·江苏镇江·九年级统考期末）如图是一块圆形飞镖游戏板，是的直径，弦，，假设飞镖投中游戏板上的每一点是等可能的（没有投中游戏板，则重投一次），任意投掷飞镖一次，投中游戏板阴影部分（含阴影边界）的概率是________．
14．（2023春·江苏南京·九年级南京市第一中学校考阶段练习）如图，点在上，四边形是平行四边形，于点，交于点，则_____度．
15．（2022·河北沧州·统考二模）如图，量角器的刻度线的两端，分别在轴正半轴与轴负半轴上滑动，点位于该量角器上刻度处．
（1）若点在靠近点处，连接，则______；
（2）当点与原点的距离最大时，______．
16．（2022秋·江苏泰州·九年级统考阶段练习）如图，已知、是的两条弦，且、，分别连结、并延长，两线相交于点P，若，则的半径为___________．
17．（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）如图，为的直径，是弦延长线上一点，，的延长线交于点，连接．
(1)求证；
(2)若的度数为，求的度数．
18．（2023·安徽池州·校联考一模）如图，内接于半圆O，为直径，的平分线交于点F，交半圆O于点D，于点E，且交于点P，连接．
求证：
(1)；
(2)点P是线段的中点．
19．（2023·陕西榆林·校考一模）如图，在中，弦与直径交于点，弦的延长线与过点A的的切线交于点．连接，，，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
题型4：与园有关的最值问题
类型1-最长弦问题
（2023春·山东济宁·九年级校考阶段练习）如图，是的弦，，点B是上的一个动点，且，若点M、N分别是的中点，则的最大值是 _____．
类型2-定点到圆上点的距离最值问题
（2022秋·浙江·九年级专题练习）图1是一种推磨工具模型，图2是它的示意图，已知，，，点A在中轴线l上运动，点B在以O为圆心，长为半径的圆上运动，且．
（1）如图3，当点B按逆时针方向运动到时，与相切，则___________dm．
（2）在点B的运动过程中，点P与点O之间的最短距离为___________dm．
类型3-隐圆问题
（2022秋·北京东城·九年级北京二中校联考期末）如图，在中，，，，点是边的中点，将绕点C逆时针方向旋转得到，点是边上的一动点，则长度的最大值与最小值的差为______．
综合训练
1．（2022春·九年级课时练习）如图，函数与函数的图象交于A，B两点，点P在以C(-2，0)为圆心，1为半径的圆C上，Q是AP的中点，则OQ长的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·湖南湘西·九年级统考期末）如图，在正方形中，，以边为直径作半圆，是半圆上的动点，于点，于点，设，，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·安徽安庆·统考一模）已知抛物线与x轴交于A，B两点，对称轴与x轴交于点D，点C为抛物线的顶点，以C点为圆心的半径为2，点G为上一动点，点P为的中点，则的最大值与最小值和为（ ）
A．B．C．D．5
4．（2023春·安徽黄山·九年级校联考阶段练习）如图，矩形中，，，点P是矩形内一点，连接，，，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．2D．4
5．（2023·山东泰安·校考一模）如图，矩形中，，，以为圆心，为半径画圆，是圆上一动点，是上一动点，则最小值是（ ）
A．2B．C．4D．3
6．（2023秋·四川绵阳·九年级统考期末）如图，在中，，，，的面积为，点M，N分别在、线段上运动，则长度的最小值等于（ ）
A．B．C．D．
7．（2022秋·河北石家庄·九年级校联考期末）如图，已知为等腰直角三角形，，以点为圆心，为半径作圆，点为上一动点，连接，并绕点顺时针旋转得到，连接，则的最小值是( )
A．B．C．D．
8．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）如图，中，，P是平面上的一个点，连接，，已知始终为直角，则线段长的最大值为（ ）
A．6B．C．D．5
9．（2023·陕西西安·校考二模）如图，在中，弦，点为圆周上一动点，连接、，为上一点，且，，则周长的最大值为______．
10．（2023春·北京丰台·九年级校考阶段练习）等边中，E，F分别是边，上一点，且，若，则 ________，的最小值为___________．
11．（2023·广东云浮·校考一模）如图，在平行四边形中，，，，点P是平行四边形内部的一个动点，且 ，则线段的最小值为_______．
12．（2023秋·广东珠海·九年级统考期末）如图，为的直径，为上一点，其中，，为上的动点，连，取中点，连接，则线段的最大值为______．
13．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）如图，在中，，，，点在边上，并且，点为边上的动点，将沿直线翻折，点落在点处，则点到边距离的最小值是________．
14．（2023·山西太原·山西实验中学校考一模）如图，正方形的边长为2，E为边上任意一点（不与B、C重合），沿折叠正方形，使得点B落在，连接，若点F为线段的中点，则的最小值为__________．
15．（2023·辽宁鞍山·统考一模）如图，等边三角形和等边三角形，点N，点M分别为，的中点，，绕点A旋转过程中，的最大值为___________．
16．（2022秋·山东济宁·九年级校考期中）如图，点A、C在坐标轴上，点B在第一象限，且，，若以为直径的与相切于点O，与相切于点A，动点D在上运动，连接，则线段的最小值是______．
17．（2022秋·广东广州·九年级执信中学校考期末）如图，以为圆心，半径为的圆与轴交于，两点，与轴交于，两点，点为上一动点，于，点在的运动过程中，线段的长度的最小值为______________．
20．21．（2022秋·广东揭阳·九年级统考期中）问题解决：
(1)如图①，半圆的直径，点是半圆上的一个动点，则的面积最大值是______．
(2)如图②，在扇形中，，，点、分别在和上，且，是的中点，点在弧上．连接、，四边形的面积是否存在最大值，若存在，请求最大值；若不存在，请说明理由．
(3)如图③，四边形中，，，，四边形的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
18．（2022秋·江苏苏州·九年级校考阶段练习）已知：如图，在中，，，求面积的最大值．
19．（2020秋·江苏·九年级校考阶段练习）如图：已知P是半径为10cm的⊙O内一点．解答下列问题：
（1）用尺规作图作出圆心O的位置．（要求：保留所有的作图痕迹，不写作法）
（2）用三角板分别画出过点P的最长弦AB和最短弦CD．
（3）已知OP=6cm，过点P的弦中，长度为整数的弦共有 条．
20．（2022·河北保定·保定十三中校考二模）石家庄市水上公园南侧新建的摩天轮吸引了附近市民的目光．据工作人员介绍，新建摩天轮直径为100m，最低点距离地面1m，摩天轮的圆周上均匀地安装了24个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点），游客在距离地面最近的位置进舱，运行一圈时间恰好是13分14秒，寓意“一生一世”．小明从摩天轮的底部出发开始观光，摩天轮转动1周．
(1)小明所在座舱到达最高点时距离地面的高度为 m；
(2)在小明进座舱后间隔3个座舱小亮进入座舱（如图，此时小明和小亮分别位于P、Q两点），
①求两人所在座舱在摩天轮上的距离（弧的长）；
②求此时两人所在座舱距离地面的高度差；
(3)受周围建筑物的影响，当乘客与地面的距离不低于时，可视为最佳观赏位置，求最佳观赏时间有多长（不足一分钟按一分钟记）．
专题6.1 圆的基本性质重难点题型讲练
题型1：垂径定理的应用
类型1-利用垂径定理进行证明
（2022秋·河南郑州·九年级河南省实验中学校考期末）如图，A、B是上的两个点，连接、点C，D是、上靠近圆心O的三等分点，点E、F是的三等分点，连接，，
(1)求证：
(2)连接，，请你判断，的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）连接、，根据同圆中相等的弧所对的圆心角相等得到，证明即可证得结论；
（2）取的中点M，连接，根据垂径定理的推论和同圆中相等的弧所对的圆心角相等得到，，再根据等腰三角形的性质得到，进而根据平行线的判定可作出结论．
【详解】（1）证明：连接、，则，
∵C、D为、三等分点，
∴，
∵E、F为的三等分点，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：．理由如下：
取的中点M，连接，则，
∴，，
∴，
∵为等腰三角形，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、同圆中相等的弧所对的圆心角相等、垂径定理的推论、等腰三角形的性质、平行线的判定，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
类型2-利用垂径定理进行计算
（2022秋·辽宁大连·九年级统考期末）如图，的直径，是的弦，，垂足为M，，求弦的长．
【答案】8
【分析】由题意可得，，根据勾股定理可得，可得．
【详解】解：
直径，
．
，
．
，
，．
．
．
【点睛】此题考查了垂径定理和勾股定理，解题关键是熟练掌握和运用垂径定理和勾股定理．
类型3-垂径定理的实际应用
（2022秋·浙江杭州·九年级校联考期中）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度米，拱高米．
(1)求圆弧所在的圆的半径的长；
(2)当洪水泛滥到跨度只有米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有米，即米时，是否要采取紧急措施？
【答案】(1)
(2)不需要采取紧急措施
【分析】（1）连接，利用表示出的长，在中根据勾股定理求出的值即可；
（2）连接，在中，由勾股定理得出的长，进而可得出的长，据此可得出结论．
【详解】（1）连接，
由题意得：，
在中，由勾股定理得：，
解得，；
（2）连接，
，
在中，由勾股定理得：，
即：，
解得：．
．
，
不需要采取紧急措施．
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
类型4-利用垂径定理作图
（2022秋·浙江绍兴·九年级校考期中）如图，由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．经过A，B，C三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．（保留作图痕迹）
(1)在图1中的圆上找到格点D，使得；
(2)在图2中的圆上找到点E，使点E平分弦所对的弧．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是找到满足条件的格点 ；
（2）根据垂径定理，过点O和弦的中点作直线与相交，交点满足要求．
【详解】（1）满足条件的点有、、，如图1所示，
（2）过点O和弦的中点作直线与相交于点和点，据垂径定理，则点和点满足要求．
【点睛】此题通过作图考查了圆周角定理和垂径定理，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是正确作图的关键．
综合训练
1．（2022春·九年级课时练习）如图，点，，，在圆上，弦和交于点，则下列说法正确的是（ ）
A．若平分，则B．若，则平分
C．若垂直平分，则圆心在上D．若圆心在上，则垂直平分
【答案】C
【分析】根据垂径定理的内容和垂径定理的推论的内容进行判断．
【详解】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原说法错误，不符合题意；
B、垂直于弦的直径平分弦，原说法错误，不符合题意；
C、弦的垂直平分线必经过圆心，原说法正确，符合题意；
D、若也是直径，则原说法不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理以及推论，解答时熟悉垂径定理的内容以及推论的内容是关键．
2．（2023秋·安徽合肥·九年级统考期末）如图，的直径与弦交于点E，，则下列说法错误的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】B
【分析】根据垂径定理及其推论判断即可．
【详解】解：∵是的直径与弦交于点，，
根据垂径定理及其推论可得，点B为劣弧的中点，点为优弧的中点，
∴， ，
但不能证明，故选项说法错误，符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是垂径定理及其推论，解决本题的关键是熟练掌握垂径定理及其推论：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
3．（2023秋·天津和平·九年级校考期末）半径为5，弦，，，则与间的距离为（ ）
A．1B．7C．1或7D．3或4
【答案】C
【分析】过点作，为垂足，交与，连，，由，得到，根据垂径定理得，，再在中和在中分别利用勾股定理求出，，然后讨论：当圆点在、之间，与之间的距离；当圆点不在、之间，与之间的距离．
【详解】解：过点作，为垂足，交与，连，，如图，
，
，
，，
而，，
，，
在中，，；
在中，，；
当圆点在、之间，与之间的距离；
当圆点不在、之间，与之间的距离；
所以与之间的距离为7或1．
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理以及分类讨论的思想的运用．
4．（2022秋·江苏泰州·九年级校考阶段练习）如图，在中，直径弦，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由垂径定理得，由“等弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”推知，由三角形内角和定理求得，代入即可得到答案．
【详解】在中，直径弦，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
5．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（ ）
A．8≤AB≤10B．8＜AB≤10C．4≤AB≤5D．4＜AB≤5
【答案】A
【分析】解决此题首先要弄清楚AB在什么时候最大，什么时候最小．当A′B′与小圆相切时有一个公共点，此时可知A′B′最小；当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，此时AB最大，由此可以确定所以AB的取值范围．
【详解】解：如图，当AB与小圆相切时有一个公共点，
在Rt△A′DO中，OD=3，OA′=5，
∴ ，
∴A′B′=8；
当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，
此时AB=10，
所以AB的取值范围是8≤AB≤10．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了圆中的有关性质．利用垂径定理可用同心圆的两个半径和与小圆相切的大圆的弦的一半构造直角三角形，运用勾股定理解题这是常用的一种方法，也是解决本题的关键，注意临界值．
6．（2021·广东珠海·九年级珠海市斗门区实验中学校考期中）如图，⊙O中，如果∠AOB＝2∠COD，那么（ ）
A．AB＝DCB．AB＜DCC．AB＜2DCD．AB＞2DC
【答案】C
【分析】过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，连接AE、BE，可得∠AOE＝∠BOE＝∠AOB，根据∠COD＝∠AOB，知∠AOE＝∠BOE＝∠COD，即CD＝AE＝BE，在△ABE中，由AE＋BE＞AB可得2CD＞AB．
【详解】解：如图，过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，连接AE、BE，
∴∠AOE＝∠BOE＝∠AOB，
又∵∠COD＝∠AOB，
∴∠AOE＝∠BOE＝∠COD，
∴CD＝AE＝BE，
∵在△ABE中，AE＋BE＞AB，
∴2CD＞AB，
故选：C．
【点睛】本题主要考查垂径定理和圆心角定理，根据∠AOB＝2∠COD利用垂径定理将角平分，从而根据圆心角定理得出答案是解题的关键．
7．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）如图，是以为直径的半圆上一点，连接，，分别以，为边向外作正方形，，，，弧，弧的中点分别是、、、，若，，则（ ）
A．B．C．11D．15
【答案】D
【分析】连接，，根据，，弧，弧的中点分别是、、、，得到，，从而得到H、I分别是、的中点，利用中位线定理即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，，
∵，，弧，弧的中点分别是、、、，
∴，，
∴H、I分别是、的中点，
∴
∵，，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了中位线定理，垂径定理，解题的关键是正确的作出辅助线，根据垂径定理得到，．
8．（2022秋·吉林四平·九年级统考期末）如图，在中，直径过弦的中点G，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据垂径定理的推论，得到，利用圆周角定理即可得解．
【详解】解：∵直径过弦的中点G，
∴，
∵，
∴的度数均为，
∴．
故选D．
【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理．熟练掌握平分弦（不是直径）的直径，平分弦所对的弧，是解题的关键．
9．（2022秋·广东珠海·九年级统考期末）如图，一个纵截面为半圆的容器水平放置，然后向其中倒入部分液体，测得数据如图（单位：cm），则液面宽度（ ）
A．8cmB．4cmC．D．
【答案】D
【分析】过圆心，作，根据垂径定理得出，根据图示得出，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，过圆心，作，则
在中，，，
∴，
∴,
故选：D．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
10．（2022秋·山东淄博·九年级统考期末）如图，C是弧的中点，弦，，且，则弧所在圆的半径为（ ）
A．4B．5C．6D．10
【答案】B
【分析】设弧所在的圆的圆心为点O，连接，设圆O的半径为r，可得点C，D，O三点共线，，再由勾股定理得到关于r的方程，即可求解．
【详解】解：如图，设弧所在的圆的圆心为点O，连接，设圆O的半径为r，
∵C是弧的中点，
∴，
∵，
∴点C，D，O三点共线，，
∵，，
∴，
解得：．
即弧所在圆的半径为5．
故选：B
【点睛】本题考查勾股定理，垂径定理，关键是定出圆心，构造直角三角形，应用勾股定理列出关于半径的方程．
11．（2023春·河北承德·九年级统考阶段练习）为了测量圆形工件的直径．
甲：如图1，在工作台上用边长相同的两个立方体小木块顶在圆形工件的两侧，测得两木块间的距离b和小木块的边长a即可；
乙：如图2，把两个小木块换成两个相同的小圆柱，量得圆柱半径n和两个圆心之间的距离m即可．
下面的说法正确的是（ ）
A．甲对乙不对B．甲不对乙对C．两人都不对D．两人都对
【答案】D
【分析】甲：如图1，连接，，，过O点作于E点，交圆O点F，
根据图形可知：，，利用垂直定理以及勾股定理即可作答；乙：如图2，连接，，，过O点作于E点，交圆O点F，
根据图形可知：，，同理利用垂直定理以及勾股定理即可作答．
【详解】
甲：如图1，连接，，，过O点作于E点，交圆O点F，
根据图形可知：，，
∵，
∴，
设圆O的半径为r，
∴，
在中，有：，
∴，
解方程即可求出r，即甲的说法正确；
乙：如图2，连接，，，过O点作于E点，交圆O点F，
根据图形可知：，，
设圆O的半径为r，
同理可得：，
解方程即可求出r，即乙的说法正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理的知识，掌握垂径定理是解答本题的关键．
12．（2022秋·山东滨州·九年级统考期中）如图所示，一条排水管的截面半径dm，水面宽dm，则排水管中水的最大深度为（ ）
A．4dmB．3dmC．2dmD．1dm
【答案】C
【分析】过点作于点，交于点，垂径定理求出，的值，即为所求．
【详解】解：过点作于点，交于点，
则：，，
∴，
∴排水管中水的最大深度为；
故选C．
【点睛】本题考查垂径定理的应用．熟练掌握垂径定理是解题的关键．
13．（2023秋·四川绵阳·九年级统考期末）如图，水平放置的圆柱形输油管道的截面半径是，油面宽为，则截面上有油部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】连接、，过点O作，根据题意得出为等边三角形，利用三角函数得出，结合图形得出，，两个面积作差即可得出结果．
【详解】如图，连接、，过点O作，
∵，
∴为等边三角形，
∴， ．
∵，，
∴．
故选：A．
【点睛】题目主要考查不规则图形的面积及等边三角形的判定和性质，垂径定理的应用，理解题意，作出图形，综合运用这些知识点是解题关键．
14．（2023秋·山东滨州·九年级统考期末）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高cm，底面直径cm，球的最高点到瓶底面的距离为cm，则球的半径为（ ）cm（玻璃瓶厚度忽略不计）．
A．7.5B．7C．6.5D．6
【答案】A
【分析】如详解中图所示，将题中主视图做出来，用垂径定理、勾股定理计算即可.
【详解】如下图所示，设球的半径为rcm，
则OG=EG-r=EF-GF-r=EF-AB-r=32-20-r=（12-r）cm，
∵EG过圆心，且垂直于AD，
∴G为AD的中点，
则AG=0.5AD=0.5×12=6cm，
在中，由勾股定理可得，
，
即，
解方程得r=7.5，
则球的半径为7.5cm．
故选择：A
【点睛】本题考查了主视图、垂径定理和勾股定理的运用，准确做出立体图形的主视图是解题的关键．
15．（2023·全国·九年级专题练习）如图，直线与相切于点，且，则________．
【答案】##
【分析】连接，并延长交于点，根据切线的性质，得出，再根据平行线的性质，得出，再根据垂径定理，得出，进而得出，再根据等量代换，得出，再根据余弦的定义，即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，并延长交于点，
∵直线与相切于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了切线的性质、平行线的性质、垂径定理、锐角三角函数，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理，并正确作出辅助线．
16．（2022·湖南长沙·模拟预测）如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦切小圆于点，若，则圆环的面积是________．
【答案】
【分析】如图，连接、，设，，由切线的性质得，，由垂径定理得，，由勾股定理得，，由即可求出圆环的面积．
【详解】
如图，连接、，设，，
大圆的弦切小圆于点，
，
，
，
在中，，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理以及圆与圆环的面积计算，掌握圆的相关知识是解题的关键．
17．（2023·安徽合肥·校考模拟预测）如图，以为直径作半圆，为的中点，连接，以为直径作半圆，交于点．若，则图中阴影部分的面积为 _____．
【答案】##
【分析】如图，连接，根据求解即可．
【详解】解：如图，连接，
∵以为直径作半圆，为的中点，
∴，，
∵是小圆的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积为．
故答案为：．
【点睛】本题考查扇形的面积的计算，垂径定理，垂径定理的推论，直径所对的圆周角是直角，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分割法求面积．垂径定理的推论，可以把垂径定理的题设和结论叙述为：一条直线①过圆心，②垂直于弦，③平分弦，④平分优弧，⑤平分劣弧，在应用垂径定理解题时，只要具备上述5条中任意2条，则其他3条成立．
18．（2023·浙江温州·统考一模）如图，某公园有一月牙形水池，水池边缘有A，B，C，D，E五盏装饰灯．为了估测该水池的大小，观测员在A，D两点处发现点A，E，C和D，E，B均在同一直线上，沿AD方向走到F点，发现．测得米，米，米，则所在圆的半径为_____________米，所在圆的半径为__________米．
【答案】 5 ##
【分析】过点E作于点Q， 根据圆的对称性，可知∶ 所在圆的圆心、 所在圆的圆心都在上，设所在圆的圆心为O、 所在圆的圆心为，过作于点P，连接，，，则四边形是矩形，得出，，根据等腰三角形的性质可求，利用勾股定理可求，在中，利用勾股定理得出，然后求解即可；证明，利用相似三角形的性质求出，在和中，利用勾股定理可得出，求出，进而求出即可．
【详解】解∶过点E作于点Q，
根据圆的对称性，可知∶ 所在圆的圆心、 所在圆的圆心都在上，
设所在圆的圆心为O、 所在圆的圆心为，
过作于点P，连接，，，
则四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
在中，，
在中，，
∴，即，
解得，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
在中，，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴．
故答案为：5，．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，添加合适的辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
19．（2023春·江苏无锡·九年级校联考期末）《九章算术》中卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？转化为数学语言：如图，为的半径，弦，垂足为，寸，尺尺寸，则此圆材的直径长是______寸．
【答案】
【分析】连接，依题意，得出，设半径为，则，在中，，解方程即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，，，为的半径，
∴，
设半径为，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴直径为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
20．（2022秋·云南昆明·九年级统考期末）筒车亦称“水转筒车”，发明于唐，是一种以水流作动力，取水灌田的工具，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方．圆被水面截得的弦长为，若盛水桶P到水面AB的距离为2m，则的度数为_________．
【答案】或
【分析】过点作半径于，连接，根据垂径定理得出，解得出，根据题意得出，进而根据平行线的性质，分类讨论即可求解．
【详解】过点作半径于，连接，如图，
∴
在中，
∴,则
∵到水面的距离为到
∴,
∴或
故答案为：或．
【点睛】本题考查了根据特殊角的三角函数值求角度，垂径定理，勾股定理，得出是解题的关键．
21．（2023秋·湖北咸宁·九年级统考期末）如图1是博物馆展出的战国时期车轮实物，《周礼·考工记》记载：“…故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸…”据此，为验证博物馆展出车轮类型，我们可以通过计算车轮的半径推断．如图2所示，在车轮上取A、B两点，设所在圆的圆心为O，半径为．作弦的垂线，D为垂足，经测量，，，则此车轮半径为______．通过单位换算（在战国时期，一尺大约是左右），得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．
【答案】75
【分析】由垂径定理得，利用勾股定理得，解得．
【详解】解：，，
，
由题意得：，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即车轮半径为．
故答案为：75．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
22．（2023·天津和平·天津市第五十五中学校考一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，上的点，圆心均在格点上，
（1）_____________；
（2）若点是上的一个动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连，当线段最长时，点的对应点为点，点的对应点为点，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，，并简要说明点，的位置是如何找到的（不要求证明）____________________．
【答案】 作直径的垂直平分线交半圆于，连接，则在以为圆心，为半径的圆上运动，直径的垂直平分线交于，过作的垂线交于，当E，O，三点共线时，最长，则点即为所求．
【分析】（1）先根据垂径定理确定圆心，连接，由勾股定理可求出的长；
（2）作直径的垂直平分线交半圆于，连接，则在以为圆心，为半径的圆上运动，当E，O，三点共线时， 最长
【详解】解：（1）如图，
，
故答案为：；
（2）如图，点，，即为所画，
作直径的垂直平分线交半圆于，连接则在以为圆心，为半径的圆上运动，直径的垂直平分线交于，过作的垂线交于，当E，O，三点共线时，最长，则点即为所求．
理由如下：
由作图可得：，
∴，
∴，
∴，
∴在以为圆心，为半径的圆上运动，是的垂直平分线，
∴，，
∴，
∴当E，O，三点共线时，最长，则点即为所求．
故答案为：作直径的垂直平分线交半圆于，连接则在以为圆心，为半径的圆上运动，直径的垂直平分线交于，过作的垂线交于，当E，O，三点共线时，最长，则点即为所求．
【点睛】本题主要考查了圆心的确定，垂径定理的应用，勾股定理以及在网格中确定三角形外接圆圆心，正确作出图形是解答本题的关键．
23．（2021秋·江苏南京·九年级统考期中）如图，在以AB为直径的圆中，弦CD⊥AB，M是AB上一点，射线DM，CM分别交圆于点E，F，连接EF，求证EF⊥AB．
【答案】证明见解析．
【分析】利用垂径定理和线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质证得∠C＝∠D，再根据圆周角定理和平行线的判定证明EF∥CD，即可得结论．
【详解】证明：∵AB是直径，CD⊥AB，
∴AB垂直平分CD，
∴MC＝MD，
∴∠C＝∠D，
∵∠C＝∠E，
∴∠E＝∠D，
∴CD∥EF，
∵CD⊥AB，
∴EF⊥AB．
【点睛】本题考查垂径定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、平行线的判定与性质，熟练掌握垂径定理和圆周角定理是解答的关键．
24．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，AB、CD为⊙O的两条弦，AB∥CD，经过AB中点E的直径MN与CD交于F点，求证：CF＝DF
【答案】见解析
【分析】根据垂径定理进行解答即可．
【详解】解：∵E为AB中点，MN过圆心O，
∴MN⊥AB ，
∴∠MEB＝90°，
∵AB∥CD ，
∴∠MFD＝∠MEB＝90°，
即MN⊥CD ，
∴CF＝DF．
【点睛】本题考查了垂径定理的运用，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．
25．（2021春·福建厦门·九年级厦门海沧实验中学校考开学考试）如图，内接于，且为直径，为上一点且，求证：为等腰三角形．
【答案】见解析
【分析】根据直径所对圆周角是直角可得∠ACB=90°，然后证明OD⊥AC，根据垂径定理可得，进而可得结论．
【详解】∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∵OD∥BC，
∴OD⊥AC，
∴∠CAD=∠ACD，
∴AD=CD，
∴△ADC为等腰三角形．
【点睛】本题考查了三角形外接圆与外心，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定，掌握垂径定理是解决本题的关键．
26．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．
(1)求证：．
(2)若，大圆的半径，求小圆的半径r．
【答案】(1)证明见解析
(2)小圆的半径r为
【分析】（1）过O作于点E，由垂径定理可知E为和的中点，则可证得结论；
（2）连接，由条件可求得的长，则可求得和的长，在中，利用勾股定理可求得的长，在中可求得的长；
【详解】（1）证明：过O作于点E，如图1，
由垂径定理可得
∴
∴
（2）解：连接，如图2，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理可得，
在中，由勾股定理可得
∴，即小圆的半径r为．
【点睛】本题考查了垂径定理与勾股定理的知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
27．（2022秋·陕西宝鸡·九年级统考期末）如图，是的外接圆，，于点，，求的长．
【答案】
【分析】根据圆周角定理得出，根据垂径定理以及勾股定理即可求解．
【详解】解：∵是的外接圆，，
∴，
∵，
∴，，
在中，，，
∴，
，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握性质定理是解题的关键．
28．（2022秋·浙江湖州·九年级统考期末）如图，已知是的直径，点是上一点，连接，，，半径，垂足为点．
(1)求的度数；
(2)若，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据圆的性质，证明，即可得到．
(2)利用弧长公式计算即可．
【详解】（1）∵是的直径，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）由题意知圆的半径为4，所以．
【点睛】本题考查了圆的性质，平行线的判定和性质，弧长公式，熟练掌握圆的性质和弧长公式是解题的关键．
29．（2022秋·吉林四平·九年级统考期末）如图，是的直径，是的一条弦，且于点E．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）由等边对等角可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得，最后根据等量代换即可解答；
（2）根据垂径定理可得，设的半径为r，则、结合可得，最后在中运用勾股定理列式计算即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵是的直径，且于点E，，
∴．
设的半径为r，则，．
∵，
∴．
在中，，
∴，解得，
∴的半径为3．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识点，灵活运用相关性质和定理成为解答本题的关键．
30．（2022秋·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，点D是的中点．
(1)求证：；
(2)连接AC，若AB＝10，CD＝4，求AC的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接AC，运用圆周角定理和垂径定理可以判定AC⊥BC，OD⊥AC，证得结论；
（2）连接OC，构造直角三角形：Rt△CDE和Rt△OCE，设DE=x，则OE=5-x．利用勾股定理列出方程，通过解方程求得相关线段的长度即可．
【详解】（1）证明：如图，连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴AC⊥BC，
∵点D是的中点，
∴OD⊥AC，
∴；
（2）解：如图，连接OC，连接AC，交OD于E，
由（1）可得，OD⊥AC，
∴AC=2AE=2CE．
∵AB＝10，
∴OC＝OD＝5，
∴设DE＝x，则OE＝5﹣x．
在Rt△CDE中，．
在Rt△OCE中，，
∴，
解得．
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理的推论，垂径定理以及勾股定理．根据勾股定理列出方程是关键．
31．（2021·全国·九年级专题练习）如图，A，B，C，D在上，经过圆心O的线段于点F，与交于点E，已知半径为5．
（1）若，，求的长；
（2）若，且，求弦的长；
【答案】（1）7；（2）8
【分析】（1）连接AO和DO，由垂径定理得，再由勾股定理求出OF的长，同理求出OE的长，即可求出EF的长；
（2）连接BO和DO，先由垂径定理和勾股定理求出OE的长，设，在中，利用勾股定理列式求出x的值，得到BF的长，即可求出AB的长．
【详解】解：（1）连接AO和DO，
∵，且EF过圆心，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
同理，
，
∴；
（2）如图，连接BO和DO，
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
，解得，（舍去），
∴，
∴．
【点睛】本题考查垂径定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理，并能够结合勾股定理进行运用求解．
32．（2023春·江苏苏州·九年级苏州市振华中学校校考开学考试）如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点，，．
(1)该圆弧所在圆的圆心坐标为______．
(2)求弧ABC的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据垂径定理结合网格的性质可得答案；
（2）借助网格求出圆心角度数和半径，再利用弧长公式进行计算即可．
【详解】（1）解：由垂径定理可知，圆心是AB、BC中垂线的交点，
由网格可得该点P(2，0)，
故答案为：(2，0)；
（2）解：连接AC，
根据网格可得，OP=CQ=2，OA=PQ=4，
∠AOP=∠PQC=90°，
由勾股定理得，
AP= =PC，
∵AP2=22+42=20，CP2=22+42=20，AC2=22+62=40，
∴AP2+CP2=AC2，
∴∠APC=90°，
∴弧ABC的长为，
答：弧ABC的长为π．
【点睛】本题考查弧长的计算、垂径定理，勾股定理及其逆定理等知识，掌握垂径定理以及网格特征是确定圆心坐标的关键，求出弧所在圆的半径和相应圆心角度数是求弧长的前提．
33．（2022·湖北省直辖县级单位·校考一模）如图，已知A，B，C均在⊙O上，请用无刻度的直尺作图．
(1)如图1，若点D是的中点，试画出的平分线；
(2)若，点D在弦上，在图2中画出一个含角的直角三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接并延长与圆O交于点E，连接即为所求；
（2）连接并延长交圆O于N，延长交圆O于M，连接，，则即为所求；
【详解】（1）解：如图所示，连接并延长与圆O交于点E，连接即为所求；
∵D是的中点，
∴，
∴，即平分；
（2）如图所示，连接并延长交圆O于N，延长交圆O于M，连接，则即为所求；
∵，
∴，
∵是圆的直径，
∴，
∴，
∴是含的直角三角形．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，直径所对的圆周角是直角，圆周角定理等等；解题的关键在于能够熟练掌握圆的相关知识．
34．（2023·陕西西安·校考二模）【问题提出】
（1）如图①，在等腰直角中，，为等边三角形，，则线段BD的长为___________；
【问题解决】
（2）如图②，在等腰直角中，，以AC为直径作半圆O，点D为上一动点，求点B、D之间的最大距离；
【问题探究】
（3）一次手工制作课程中，老师要求小明和小丽组制作一种特殊的部件，部件的要求如图③，部件是由直角以及弓形BDC组成，其中，点E为BC的中点，，这时候小明和小丽在讨论这个部件，其中小丽说点A到的最大距离是点A、D之间的距离，小明说不对，你认为谁的说法正确？请说明理由，并求出点A到的最大距离．
【答案】（1）；（2）；（3）小明的说法正确，见解析，
【分析】（1）连接BD，交AC于点E，根据题意BD是AC的垂直平分线，通过解直角三角形解出BE与DE的长，两者相加即可解题．
（2）结合图形，可知B，O，D三点共线时，BD有最大值，根据解直角三角形解出BO的长，加上半圆的半径，即可解答．
（3）作辅助线如图，证明，即说明小明的说法正确；可知弓形的圆心在上，当通过勾股定理求出半径的长度，再算出的长，即可解答．
【详解】解：（1）
如图，连接BD交AC于点E ，
是等腰直角三角形，为等边三角形，
，,
在与中，
，
，
，，
根据三线合一，可得垂直平分，
，
，
，
，，
．
（2）如图②，连接BO并延长交于点D，则此时BD最大．
在上取一点异于点D的点，连接、．
在中，，
，
，即．
最大
在等腰直角中，，O为AC的中点，
且．
．
．
点B、D之间的最大距离为．
（3）小明的说法正确．
如图③，过点A作BC的平行线AF，延长DE交AF于点F．
点E为BC中点，，
所在的圆的圆心O在直线DF上．
设圆O半径为r，连接BO．
在中，，
且，
，得．
连接AO并延长交于点，则为最大距离．
在中，，且，
小明的说法正确．
在中，．
．
．
点A到的最大距离为．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
35．（2023秋·浙江金华·九年级统考期末）如图，小明所在学习兴趣小组在探究“如何测量环形花坛面积（阴影部分）”的方法，准备了下列工具：①卷尺；②直木条（足够长）；③T型尺（EF所在的直线垂直平分线段CD）．
(1)在图1中，请你用T形尺的原理画出大圆圆心的示意图（保留画图痕迹，不写画法）．
(2)如图2，小明说：“我只用一根直木条和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具体做法如下：将直木条放留到与小圆相切，用卷尺量出此时直木条与大圆两交点G，H之间的距离，就可求出环形花坛的面积．”如果测得，请你求出这个环形花坛的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）直线的交点即为所求
（2）设切点为，连接，根据垂径定理得出，根据勾股定理得出，进而根据圆的面积公式即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，点即为所求，
（2）如图所示，设切点为，连接，
∵是切线，
∴，
∴，
在中，，
∴
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
36．（2022秋·湖北荆州·九年级统考期末）请用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）
(1)如图，①在线段上找一点，使；
②过点作直线将四边形的面积二等分；
(2)如图，在正方形网格中，有一圆经过了两个小正方形的顶点，，请画出这个圆的圆心．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)见解析
【分析】（1）①在上取点，使为等腰直角三角形即可．
连接，，相交于点，作直线即可．
（2）设点下方圆所经过的格点为点，连接，，作线段，的垂直平分线，交点即为圆心．
【详解】（1）如图，点即为所求．
如图，直线即为所求．
（2）如图，圆心即为所求．
【点睛】本题考查作图应用与设计作图、等腰直角三角形、平行四边形的性质、垂径定理，熟练掌握等腰直角三角形、平行四边形的性质、垂径定理是解答本题的关键．
37．（2023·辽宁鞍山·统考一模）如图已知收线的圆片上有三点，，．
(1)作出这个圆片的圆心（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)连接，，，设是等腰三角形，底边，腰，求该圆片的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）分别作的垂直平分线，交于点，则点即为所求；
（2）连接交于，连接，，根据等腰三角形的性质得出，则，设半径为，勾股定理得：，解方程即可求解．
【详解】（1）解：分别作的垂直平分线，交于点，则点即为所求，
（2）解：如图，连接交于，连接，．
是等腰三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设半径为，
，
根据勾股定理得：，
，
答：圆片的半径为．
【点睛】本题考查了确定圆的条件，作垂直平分线，垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
38．（2023秋·北京平谷·九年级统考期末）如图，已知劣弧，如何等分？下面给出两种作图方法，选择其中一种方法，利用直尺和圆规完成作图，并补全证明过程．
方法一：①作射线、；
②作的平分线，与交于点C；
点C即为所求作．
证明：∵平分，
∴
∴___（_____）（填推理的依据）．
方法二：①连接；
②作线段的垂直平分线，直线与交于点C；
点C即为所求作．
证明：∵垂直平分弦，
∴直线经过圆心O，
∴___（___）（填推理的依据）．
【答案】方法一：画图见解析，，，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；方法二：画图见解析，，，垂径定理．
【分析】方法一：按照作图语句提示作图，再根据圆心角与弧的关系进行证明即可；
方法二：按照作图语句提示作图，再根据垂径定理进行证明即可；
【详解】解：方法一：如图，点C即为所求作．
证明：∵平分，
∴
∴（在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等）．
方法二：如图，点C即为所求作．
证明：∵垂直平分弦，
∴直线经过圆心O，
∴（垂径定理）．
【点睛】本题考查的是复杂的作图，平分弧的作图，熟练的利用基本作图解决复杂的作图是解本题的关键，同时考查了角平分线的定义，线段的垂直平分线的性质．
39．（2023春·湖北省直辖县级单位·九年级校联考阶段练习）如图，由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．经过A、、三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．（保留连线痕迹）
(1)在图（1）中的上画一点，使；
(2)在图（2）中过A、、的圆上找一点，使平分．
【答案】(1)图见详解
(2)图见详解
【分析】（1）根据垂径定理，即可求得点；
（2）作线段的垂直平分线，交圆于点，连接即可．
【详解】（1）解：找到格点，使得，连接并延长，交于点，如图：
则点即为所求；
（2）解：连接，找到格点、，使得、，连接，交圆于点．连接，则即为所求，如图：
【点睛】此题是圆的综合题，考查了线段垂直平分线的性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理，几何作图，熟练掌握线段垂直平分线的性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理，几何作图是解题的关键．
40．（2023春·安徽合肥·九年级合肥寿春中学校考阶段练习）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A在格点上，B是小正方形边的中点，，经过点A，B的圆的圆心在边上．
(1)线段的长等于__________；
(2)请用无刻度的直尺，在如图所示的圆上，画出一个点D，使其满足的度数小于的度数，并说明理由．
(3)请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P，使其满足，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）______________________________________________．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论；
（2）在直线上方的弧上找一点D，使得点C在内，连接，，延长，与交于E，根据外角的性质可得大小；
（3）取圆与网格的交点，，连接与交于一点，则这一点是圆心，与网格线相交于，连接并延长交于点，连接并延长，与，的连线相交于点，连接，于是得到结论．
【详解】（1）解：由勾股定理可得：；
故答案为：；
（2）如图，点D即为所求；
连接，，延长，与交于E，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）如图，取圆与网格线的交点，，连接与交于一点，则这一点是圆心，
与网格线相交于，连接并延长交于点，连接并延长，与点，的连线相交于点，连接，
则点满足．
理由：第一步：连接得圆心，因为，所以是直径．
第二步：点根据网格相似比，可以知道为的中点，所以是垂径．
第三步：连接并延长，交于，是半径等于，所以，
，，
，又，，
，
，
，
，
又，，，
，
，
．
【点睛】本题考查了作图复杂作图，外角的性质，勾股定理，垂径定理，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键．
41．（2023春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)A，B，C三个格点都在圆上．画出该圆的圆心E，并画出的中点F；
(2)如图，点O为网格点，和为的直径，点D为上一点，画出点D关于的对称点I，连接交于K，在上画点Q，使得．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）如图，连接、交于点E，由、可知、是直径，
则交点E为该圆的圆心；在矩形中，连接、交于点D，则点D为的中点，连接
并延长交于点F，则点F为的中点；
（2）如图，连接交于点E，连接并延长交于I，则点I为点D关于的对称点，
连接交于K，可得，同理作点I关于的对称点G，连接交于点J，则
，是的中位线，所以，由轴对称的性质可知，
，结合可得，所以是直径，则，延长交
于点，，可得，即为所求．
【详解】（1）解：如图所示，圆心E，的中点F即为所求；
（2）解：如图所示，，即为所求．
【点睛】本题考查了作图，利用了圆周角定理的推论，垂径定理的推论，矩形的性质，作轴对称图形，轴
对称的性质，三角形中位线的判定和性质等知识，灵活运用所学知识，将复杂作图逐步转化为基
本作图是解题的关键．
42．（2023秋·湖北武汉·九年级校考期末）如图，由小正方形构成的66网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．⊙O经过A，B，C三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图(画图过程用虚线，结果用实线）．
(1)在图1中画出圆心点O；
(2)在图2中的圆上画一点E，使平分弧；
(3)在图3中的圆上画一点M，使平分．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据格点特点，连接，则，交于一点，该点即为O点；
（2）连接，则，交于一点，该点即为点P；
（3）连接并延长，交于一点，该点即为点M．
【详解】（1）解：如图，连接，交于一点O，则点O即为所求作的圆心；
（2）解：连接，交于一点P，则点P即为所求作的点；
（3）解：连接并延长，交于一点M，则点M即为所求，连接，
根据格点特点可知，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，等腰三角形的性质，角平分线的定义，解题的关键是数形结合，熟练掌握垂径定理．
43．（2022秋·吉林延边·九年级统考期末）如图，在中，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据同圆中等弧所对的圆心角相等，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
故选：B．
题型2：弦、弧、圆心角之间的关系
类型-1 利用弦、弧、圆心角之间的关系求解
（2023秋·江苏镇江·九年级统考期末）如图，点A，B，C都在上，B是的中点，，则等于________．
【答案】##80度
【分析】利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，然后根据圆心角、弧的关系即可求出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵B是的中点，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆心角、弧的的关系，熟练掌握知识点是解题的关键．
类型-2 利用弦、弧、圆心角之间的关系证明
（2023秋·甘肃庆阳·九年级统考期末）如图，在中，C为弧上一点，于M，于N，．求证：．
【答案】见解析
【分析】连接,根据已知可证明，得，再根据相等的圆心角所对的弧相等，即可证明．
【详解】证明：连接．
∵，，
∴．
∵，．
∴，
∵，
∴．
∴，
∴．
【点睛】本题考查圆心角的性质，三角形全等的证明，熟练掌握同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，证明三角形全等是解题的关键．
综合训练
1．（2023秋·浙江杭州·九年级统考期末）如图，四边形是半圆O的内接四边形，是直径，．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据圆内接四边形对角互补，求出的度数，连接，根据圆周角定理，得到，进而求出的度数，再利用圆内接四边形对角互补，即可求出的度数．
【详解】解：∵四边形是半圆O的内接四边形，，
∴，
连接，
∵是直径，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
故选D．
【点睛】本题考查圆内接四边形，圆周角定理．熟练掌握圆内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是直角，等弧所对的圆周角相等，是解题的关键．
2．（2023春·四川成都·九年级四川省成都市第七中学初中学校校考阶段练习）若弦长等于半径，则弦所对弧的度数是__________．
【答案】或
【分析】由于弦长等于半径，则可判断由弦和经过弦的端点的两半径组成等边三角形，所以弦所对的圆心角的度数是；由于弦所对弧有劣弧和优弧，而弧的度数定义它所对的圆心角的度数，所以弦所对弧的度数是或．
【详解】解：∵弦长等于半径，
∴由弦和经过弦的端点的两半径组成等边三角形，
∴弦所对弧的度数是或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的判定和性质，熟练掌握在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那它们所对应的其余各组的量都分别相等的关系是解决问题的关键．
3．（2023春·北京海淀·九年级101中学校考阶段练习）如图，是的直径，，，则的度数是______．
-
【答案】##34度
【分析】先由平角的定义求出的度数，由，根据相等的弧所对的圆心角相等可得，即可求解．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
4．（2022秋·重庆·九年级统考期末）如图，在扇形中，已知，，过弧的中点C作，，垂足分别为点D、E，则图中阴影部分的面积为___________．
【答案】##
【分析】用扇形的面积减去正方形的面积即可求出阴影部分的面积．
【详解】解：连接，则：，
∵C为弧的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形为矩形，，
∴，
∴四边形为正方形，
由勾股定理，得：，即：，
∴，
即：正方形的面积为，
∴阴影部分的面积；
故答案为：．
【点睛】本题考查求阴影部分的面积．解题的关键是利用割补法将阴影部分的面积转化为规则图形的面积．
5．（2023秋·广东广州·九年级统考期末）如图，在中，，．分别求和的度数．
【答案】，
【分析】根据等弧对等弦，得出，根据等边对等角即可求得的度数，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得出，根据圆周角定理即可求的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴，．
【点睛】本题考查了弧与弦的关系，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键．
6．（2023春·江苏泰州·九年级姜堰区实验初中校考阶段练习）如图，的内接四边形为正方形，P为弧的中点，连接、，交于点E．
(1)求证：；
(2)连接，求证： ；（从“”、“”中选择一个填入，并完成证明）．
【答案】(1)见解析
(2)或，证明见解析
【分析】（1）根据正方形的性质得到，则，由P为弧的中点，得到，则，即可得到结论；
（2）若填，可以证明，结论得证；若填，连接，由P为弧的中点得到，再证，得到，，则垂直平分，结论即可得证．
【详解】（1）解：∵的内接四边形为正方形，
∴，
∴，
∵P为弧的中点，
∴，
∴，
∴；
（2）若填，证明如下：
∵P为弧的中点，
∴，
∴，
∵的内接四边形为正方形，
∴，
∴，
∴,
又∵，
∴，
∴；
若填，证明如下：
连接，
∵P为弧的中点，
∴，
∴，
∵的内接四边形为正方形，
∴，
∴，
∴,
又∵，
∴，
∴，，
∴垂直平分，
∴．
【点睛】此题考查了圆周角定理、圆心角、弧、弦之间的关系、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的判定等知识，熟练掌握圆周角定理和圆心角、弧、弦之间的关系是解题的关键．
7．（2023秋·浙江杭州·九年级统考期末）如图，A，B，C，D是圆O上的点，，，分别交，，OC于点N，M．求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由得到，推出，而，即可证明问题；
（2）由条件可以证明，即可证明．
【详解】（1），
，
，
，
；
（2），
，，
，
，
，，
，
．
【点睛】本题考查圆心角，弧，弦的关系，三角形全等，掌握以上知识点是解题的关键．
8．（2022秋·云南昆明·九年级统考期末）如图，为的直径，为的弦，，，的平分线交于点D．
(1)若，求的度数；
(2)求四边形的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（2）由是直径得，进一步求出，再根据同弧所对的圆周角相等可得结论；
（2）由，即可求得答案．
【详解】（1）∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵是直径，
∴，
在中，，
∴；
∵的平分线交于点D，
∴；
∴，
∴；
∴在等腰中，，
∴四边形的面积

．
故四边形的面积是．
【点睛】本题考查圆周角定理及其推论，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，弧、弦、圆心角的关系；熟练掌握圆周角定理及其推论是解题关键．
9．（2023·全国·九年级专题练习）如图，以等边三角形的边为直径作交于，交于，连接．试判断，，之间的大小关系，并说明理由．
【答案】，理由见解析
【分析】连接，．根据题意得出与都是等边三角形，继而得出，根据圆心角与弦的关系即可得证．
【详解】解：．理由如下：如图，连接，．
，，
与都是等边三角形．
．
．
．
．
【点睛】本题考查了在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等，连接，，构造弦所对的圆心角是解此题的关键．
10．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在中，，且，是的三等分点，分别交，于点，．求证：．
【答案】见解析
【分析】连接，，根据，是的三等分点，得出，得出，由，，得出，进而得出，根据等角对等边得出，同理可得，即可得证．
【详解】证明：如图，连接，．
，是的三等分点，
．
，．
又，
．
，，
．
．
，，
．
．
同理可得．
．
【点睛】本题考查了弧与弦的关系，等腰三角形的性质与判定，三角形的外角的性质，掌握弧与弦的关系是解题的关键．
题型3：圆周角定理及其推论
类型1-圆周角定理
（2023秋·广西防城港·九年级统考期末）如图，是的外接圆，，的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据圆周角的定义即可求解．
【详解】解：在中，
∵是所对的圆周角，是所对的圆心角，
∴由圆周角定理可得：．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角的定义，熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．
类型2-同弧、等弧所对的圆周角
（2023·陕西西安·校考一模）如图，若是的直径，是的弦，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由是的直径推出，再求出的度数，由圆周角定理即可推出的度数．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∴在中，
，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，解题关键是熟练运用圆周角定理及其推论．
类型3-90°的圆周角与直径
（2023·广东珠海·珠海市文园中学校考一模）如图，是半圆的半径，点，在半圆上，若，则的度数为_________．
【答案】##度
【分析】根据是半圆的半径，得出，根据直角三角形的两锐角互余得出，然后根据圆内接四边形对角互补即可求解．
【详解】解：∵是半圆的半径，
∴
∵，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形对角互补，掌握以上知识是解题的关键．
综合训练
1．（2022秋·宁夏吴忠·九年级统考期末）如图，A，，是上的三点，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据圆周角定理即可得到答案．
【详解】解：，
，
故选D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，解题关键是熟练掌握在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
2．（2023秋·海南省直辖县级单位·九年级统考期末）如图，点，，均在上，若，则的大小是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．
【详解】解：与是同弧所对的圆周角与圆心角，，
．
故选：B．
【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
3．（2023秋·河南郑州·九年级统考期末）如图，内接于，是的直径，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，利用同弧所对的圆周角相等可求出的度数，即可求出的度数．
【详解】解：连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
4．（2023·山西晋中·统考一模）如图，为的直径，，C、D为上两点，若，则的长为（ ）
A． B．C．D．
【答案】B
【分析】如图：连接，根据直径所对的圆周角为可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得，最后根据正弦的定义列式求解即可．
【详解】解：如图：连接
∵为的直径，
∴
∵，
∴
∴,,解得：．
故选B．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、正弦的定义等知识点，掌握“直径所对的圆周角为”和“同弧所对的圆周角相等”是解答本题的关键．
5．（2023·湖南株洲·统考一模）如图，等腰内接于，点D是圆中优孤上一点，连接，已知，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据等边对等角和三角形内角和定理求出，再由同弧所对的圆周角相等即可得解答．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴．
故选D．
【点睛】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键．
6．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考三模）如图，点A是中优弧的中点，，C为劣弧上一点，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据弧中点的定义可得进而得到，然后根据三角形内角和定理可得，最后根据圆的内接四边形对角互补即可解答．
【详解】解：∵点A是中优弧的中点，
∴
∴，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆的相关性质、圆的内接四边形性质等知识点，掌握圆的内角四边形对角互补成为解答本题的关键．
7．（2022秋·广东珠海·九年级统考期末）如图，在足球训练中，小明带球奔向对方球门PQ，仅从射门角度大小考虑，小明将球传给哪位球员射门较好（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】D
【分析】根据同弧所对的圆周角相等，得出，根据三角形外角的性质得出，得出最大，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵，
∴最大，
∴小明将球传给丁球员射门较好，
故选：D．
【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，三角形外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．
8．（2023·安徽合肥·一模）如图，是的直径，弦交于点E，连接．若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接，根据直径所对的圆周角是，可得，由，可得，进而可得．
【详解】解：连接，
∵是的直径，
∴，
，
，
．
故选C．
【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，掌握圆周角定理是解题的关键．
9．（2023·湖北省直辖县级单位·校考模拟预测）如图，点，，，，都是上的点，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】连接、，根据圆内接四边形的性质求出，根据等腰三角形的性质求出，进而求出，再根据圆内接四边形的性质计算即可．
【详解】解：如图所示，连接、，
∵点、、、都是上的点，
∴，
，
，
∵，
∴，
∴，
∵点、、、都是上的点，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、三角形内角和定理、掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
10．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）如图，内接于，是的直径，，点是的内心，的延长线交于点，连接，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先由三角形内心的性质得到，根据圆周角定理得到，利用三角形内角和求出，得到，最后根据同弧所对的圆周角相等可得结果．
【详解】解：∵点是的内心，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了三角形内心的性质，圆周角定理及其推论，解题的关键是灵活运用所学定理，根据内心得到．
11．（2023秋·河南周口·九年级校考期末）将一个含角的直角三角板和一个量角器按如图所示的方式放置，，其中点所在位置在量角器外侧的读数为，连接交于点，则图中的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】取的中点，连接，由已知得出为的直径，，在上，进而得出，根据三角形的外角的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，取的中点，连接，
∵，其中点所在位置在量角器外侧的读数为，
∴为的直径，，在上，
∵
∴
∵
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了直角所对的弦是直径，圆周角定理，三角形外角的性质，掌握圆周角定理是解题的关键．
12．（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）如图，内接于，外角的平分线交于点，射线交延长线于点．若，，则的度数为______°．
【答案】40
【分析】根据已知可得，由圆周角定理可得，进而求出，再利用圆内接四边形对角互补以及平角的定义可得，继而利用角平分线定义及三角形内角和定理即可求解．
【详解】∵，
∴，
∴
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故答案为：40．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，角平分线定义，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
13．（2023秋·江苏镇江·九年级统考期末）如图是一块圆形飞镖游戏板，是的直径，弦，，假设飞镖投中游戏板上的每一点是等可能的（没有投中游戏板，则重投一次），任意投掷飞镖一次，投中游戏板阴影部分（含阴影边界）的概率是________．
【答案】
【分析】连接，，设的半径为，先求出，再证明，利用扇形面积除以圆的面积即可得到概率．
【详解】解：连接，，
∵，
∴，
设的半径为，
∴，
∴弦，
∴，
∴，
∴投中游戏板阴影部分（含阴影边界）的概率是．
故答案为：
【点睛】此题考查了几何概率，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．
14．（2023春·江苏南京·九年级南京市第一中学校考阶段练习）如图，点在上，四边形是平行四边形，于点，交于点，则_____度．
【答案】
【分析】根据四边形是平行四边形，，得四边形是菱形，由，过点，可得是的垂直平分线，可求得，再由圆周角定理即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，
即四边形是菱形，
∴，
∵，过点，
∴，，即，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查圆与特殊四边形的综合，掌握平行四边形的性质，菱形的判定与性质，垂直平分线的性质，圆周角的性质是解题的关键．
15．（2022·河北沧州·统考二模）如图，量角器的刻度线的两端，分别在轴正半轴与轴负半轴上滑动，点位于该量角器上刻度处．
（1）若点在靠近点处，连接，则______；
（2）当点与原点的距离最大时，______．
【答案】 83.5°
【分析】（1）取的中点，如图，利用量角器的读数得到，再根据圆周角定理的推论判断点在以为直径的圆上，即点和量角器在同一个圆上，则根据圆周角定理得到；
（2）当点、、共线时，点与原点的距离最大，利用邻补角计算出，然后根据圆周角定理得到．
【详解】解：（1）取的中点，如图，
根据题意得，
，
点在以为直径的圆上，即点和量角器在同一个圆上，
；
（2）当点、、共线时，点与原点的距离最大，
，
，
．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，90度的圆周角所对的弦是直径．
16．（2022秋·江苏泰州·九年级统考阶段练习）如图，已知、是的两条弦，且、，分别连结、并延长，两线相交于点P，若，则的半径为___________．
【答案】
【分析】利用直角三角形的勾股定理求出长，进而求出长，连接，则为直径，即可求出半径．
【详解】解：是圆内接四边形，
，
，
，，
，
，
连接BC，则直径，
所以半径为，
故答案为．
【点睛】本题考查直角三角形的勾股定理，直角所对的弦是直径，作出圆的直径是解题的关键．
17．（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）如图，为的直径，是弦延长线上一点，，的延长线交于点，连接．
(1)求证；
(2)若的度数为，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，首先证明，即可求解；
（2）根据的度数为，可得到，根据，且，即可求解．
【详解】（1）如图：连接
是的直径
，即
又
．
（2）的度数为
又，且
．
【点睛】本题考查圆周角定理和圆心角，弧、弦的关系，解题关键是灵活运用所学知识解决问题．
18．（2023·安徽池州·校联考一模）如图，内接于半圆O，为直径，的平分线交于点F，交半圆O于点D，于点E，且交于点P，连接．
求证：
(1)；
(2)点P是线段的中点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据角平分线的概念得出，根据圆周角得出，再等量代换即可得证；
（2）根据直径所对的圆周角为90度及垂直的定义易证，再根据等角的余角相等得出，然后根据等角对等边即可得证．
【详解】（1）∵平分
∴
∵与都是所对的圆周角
∴
∴
（2）∵为直径
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
又∵，且
∴
即
∴
∴
即点P是线段的中点．
【点睛】本题考查了圆周角、等角的余角相等、等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
19．（2023·陕西榆林·校考一模）如图，在中，弦与直径交于点，弦的延长线与过点A的的切线交于点．连接，，，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）由圆周角定理的推论和切线的性质可得出，进而可得出，．再根据等腰三角形的性质即可推出，由同弧所对圆周角相等即可得出，从而推出，即证明；
（2）过点作于点，由正切的定义可求出，再结合勾股定理可求出，再利用由等积法可求出．又易证，即得出，即点是的中点．由等腰三角形的性质可得出点是的中点，即得出是的中位线，从而可求出．
【详解】（1）证明：是的直径，是的切线，
．
，．
又，
，
．
，
，
；
（2）解：如图，过点作于点，
，，
，
．
∵，
∴，
∴．
，，，
，
，即点是的中点．
，，
点是的中点，
是的中位线，
．
【点睛】本题考查圆周角定理的推论，切线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形中位线的性质等知识．熟练掌握圆的相关知识是解题关键．
题型4：与园有关的最值问题
类型1-最长弦问题
（2023春·山东济宁·九年级校考阶段练习）如图，是的弦，，点B是上的一个动点，且，若点M、N分别是的中点，则的最大值是 _____．
【答案】
【分析】根据中位线定理得到的长最大时，最大，当最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．
【详解】解：点，分别是，的中点，
，
当取得最大值时，就取得最大值，当是直径时，最大，
连接并延长交于点，连接，
是的直径，
．
，，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及解直角三角形的综合运用，解题的关键是了解当什么时候的值最大，难度不大．
类型2-定点到圆上点的距离最值问题
（2022秋·浙江·九年级专题练习）图1是一种推磨工具模型，图2是它的示意图，已知，，，点A在中轴线l上运动，点B在以O为圆心，长为半径的圆上运动，且．
（1）如图3，当点B按逆时针方向运动到时，与相切，则___________dm．
（2）在点B的运动过程中，点P与点O之间的最短距离为___________dm．
【答案】
【分析】（1）根据，即可求解；
（2）当B、O、P三点共线时，的距离最短，即可求解．
【详解】解：（1）连接，∵与相切，
∴，
∴，
∴


故答案为：；
（2）当B、O、P三点共线时，的距离最短，如图，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，圆的基本性质，切线的性质，掌握与圆有关的最值的求解方法是解题关键．
类型3-隐圆问题
（2022秋·北京东城·九年级北京二中校联考期末）如图，在中，，，，点是边的中点，将绕点C逆时针方向旋转得到，点是边上的一动点，则长度的最大值与最小值的差为______．
【答案】##
【分析】由直角三角形的性质可得，由旋转的性质可得，可得，即点在以为圆心，为半径的圆上，则当点，点，点共线，且时，长度最小, 当点与点重合，且点在的延长线上时，长度最大，然后求得最大值与最小值的差即可求解．
【详解】解：，，，
，
将绕点按顺时针方向旋转，得到，点是边的中点，
，，
点在以为圆心，为半径的圆上，
如图，当点，点，点共线，且时，长度最小，
，
，
最小值为．
当点与点重合，且点在的延长线上时，长度最大，
则最大值为
长度的最大值与最小值的差为
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质、圆的基本认识，确定点的轨迹是本题的关键．
综合训练
1．（2022春·九年级课时练习）如图，函数与函数的图象交于A，B两点，点P在以C(-2，0)为圆心，1为半径的圆C上，Q是AP的中点，则OQ长的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】联立正比例函数y=2x与反比例函数，求出点A，B的坐标，连接BP，连接BC并延长，交圆C于点D．根据已知条件可得，所求OQ长的最大值，即求PB长的最大值，即当点P运动到点D时，BP取得最大值，为BD的长．过点B作BE⊥x轴于点E，由勾股定理可得BC=的长，进而可得BD=BC+CD的长，即可得出答案．
【详解】解：联立正比例函数y=2x与反比例函数，
得，解得，，
∴点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（-1，−1），
连接BP，连接BC并延长，交⊙C于点D．
由反比例函数图象的对称性可知，点O为AB的中点，
∵点Q为AP的中点，
∴OQ=PB，
∴所求OQ长的最大值，即求PB长的最大值，
则当点P运动到点D时，BP取得最大值，即为BD的长．
过点B作BE⊥x轴于点E，
则OE=1，BE=2，
∵C点坐标为（-2，0），
∴OC=2，CE=CO-OE=1，
由勾股定理得BC=，
∴BD=BC+CD=，
∴OQ=．
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、中位线的性质、圆的性质、勾股定理等知识，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解答本题的关键．
2．（2023秋·湖南湘西·九年级统考期末）如图，在正方形中，，以边为直径作半圆，是半圆上的动点，于点，于点，设，，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意，四边形为矩形，，所以当最小时，即三点共线时，最小，利用勾股定理进行计算，即可得解．
【详解】解：连接
∵四边形为正方形，，为圆O直径，
∴，
∵，，
∴四边形为矩形，
∴，
∵
∴当三点共线时，最小，，
则：，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查圆上的动点问题，正方形的性质，矩形的判定和性质．熟练掌握圆外一点与圆心和圆上一点三点共线时，圆外一点到圆上一点的距离最大或最小是解题的关键．
3．（2023·安徽安庆·统考一模）已知抛物线与x轴交于A，B两点，对称轴与x轴交于点D，点C为抛物线的顶点，以C点为圆心的半径为2，点G为上一动点，点P为的中点，则的最大值与最小值和为（ ）
A．B．C．D．5
【答案】D
【分析】连接．利用三角形的中位线定理证明，求出的最大和最小值，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接．
∵，
∴，
∴当的值最大时，的值最大，当的值最小时，的值最小，
∵，
∴，
∴，
当点G在线段的延长线上时，的值最大，最大值，
当点G在线段上时，的值最小，最小值，
∴的最大值为3.5，的最小值为1.5，
∴DP的最大值与最小值和为．
故选D．
【点睛】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，勾股定理，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
4．（2023春·安徽黄山·九年级校联考阶段练习）如图，矩形中，，，点P是矩形内一点，连接，，，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】C
【分析】由可得点P在以中点O为圆心为直径的圆上，连接交圆于一点即为最短距离点，即可得到答案；
【详解】解：∵，
∴点P在以中点O为圆心为直径的圆上，如图所示，
∴连接交圆于一点即为最短距离点P，如图所示，
∵，，
∴，，
根据勾股定理可得，
，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查圆上最短距离问题，勾股定理，解题的关键是熟练掌握圆外一点到圆上最短距离点为与圆心连线的交点．
5．（2023·山东泰安·校考一模）如图，矩形中，，，以为圆心，为半径画圆，是圆上一动点，是上一动点，则最小值是（ ）
A．2B．C．4D．3
【答案】C
【分析】过点作关于直线的对称点，连接，交于点，交于点，此时最小，等于，勾股定理计算即可．
【详解】解：如图，过点作关于直线的对称点，连接，交于点，交于点，此时最小，等于，
因为四边形是矩形，，，
所以，，
所以，，
所以，
所以，
所以，
所以的最小值为，
故选C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，轴对称求线段和最小值，熟练掌握矩形的性质，轴对称性质是解题的关键．
6．（2023秋·四川绵阳·九年级统考期末）如图，在中，，，，的面积为，点M，N分别在、线段上运动，则长度的最小值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过点O作，交于点P，当点M与点P重合，点N与点C重合时，长度的最小即为线段的长度，利用含30度角的直角三角形的性质及勾股定理得出，再由等面积法确定，由圆的面积得出，结合图形即可得出结果．
【详解】解：过点O作，交于点P，当点M与点P重合，点N与点C重合时，长度的最小即为线段的长度，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∵的面积为，设半径为r，
∴
，
，
即长度的最小值为，
故选：C．
【点睛】题目主要考查圆与三角形综合问题，包括含30度角的直角三角形的性质，勾股定理解三角形，圆的面积等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
7．（2022秋·河北石家庄·九年级校联考期末）如图，已知为等腰直角三角形，，以点为圆心，为半径作圆，点为上一动点，连接，并绕点顺时针旋转得到，连接，则的最小值是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据同角的余角相等求出，然后证明全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用勾股定理列式求出，即可求解．
【详解】解：如图，连接、，
∵，旋转角为，
，
，
在和中，
，
，
，
在等腰中，，
，
当点在线段时，有最小值为，
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，圆的认识，三角形的三边关系，作辅助线构造成全等三角形是解题的关键．
8．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）如图，中，，P是平面上的一个点，连接，，已知始终为直角，则线段长的最大值为（ ）
A．6B．C．D．5
【答案】C
【分析】首先证明点P在以为直径的上，连接，，则：，得到当三点共线且点O在线段上时，最大，延长与交于点，此时最大，利用勾股定理求出即可解决问题．
【详解】解：∵始终为直角，
∴点P在以为直径的上，
连接，，则：，
∴当三点共线且点O在线段上时，最大，如图，延长与交于点，此时最大，
在中，，
∴，
∴，
∴最大值为．
故选C．
【点睛】本题考查求线段的最大值．解题的关键是确定点在圆上，利用三点共线，确定点的位置．
9．（2023·陕西西安·校考二模）如图，在中，弦，点为圆周上一动点，连接、，为上一点，且，，则周长的最大值为______．
【答案】##
【分析】设的周长为，则，因为点是圆周上一动点，所以当时直径时，最长；求出，，所以，，则最大为．
【详解】解：设的周长为，
则，
，
，
点是圆周上一动点，
当时直径时，最长，
，
，，
，
，
，，
最大为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，圆的基本概念，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，解题的关键是利用已知条件将三角形的周长转化为．
10．（2023春·北京丰台·九年级校考阶段练习）等边中，E，F分别是边，上一点，且，若，则 ________，的最小值为___________．
【答案】 ； ；
【分析】（1）根据等边三角形得到，，结合，即可得到，从而得到，即可得到，
作的外接圆连接，交圆于一点即为最小距离点，即可得到答案；
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
作的外接圆连接，交圆于一点即为最小距离点，
∴，
∵，，，
∴，
∴，， ，
∵，
∴，，
∴的最小值为：，
故答案为： ，；
【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，圆，特殊三角形三角函数，解题的关键是作出辅助线找到最小距离点．
11．（2023·广东云浮·校考一模）如图，在平行四边形中，，，，点P是平行四边形内部的一个动点，且 ，则线段的最小值为_______．
【答案】##
【分析】先由圆周角定理得到点P在以为直径的圆上，取中点O，连接，则，当且仅当O、P、A共线时取等号，如图，过A作交延长线于E，根据平行四边形的性质和锐角三角形函数定义求得，，进而利用勾股定理求得即可求解．
【详解】解：∵，
∴点P在以为直径的圆上，取中点O，连接，则，当且仅当O、P、A共线时取等号，如图，过A作交延长线于E，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∴，，
∴在中，，
∴，又，
∴线段的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查圆周角、圆上的点与已知点的最短距离、平行四边形的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，得到点P的运动轨迹是解答的关键．
12．（2023秋·广东珠海·九年级统考期末）如图，为的直径，为上一点，其中，，为上的动点，连，取中点，连接，则线段的最大值为______．
【答案】##
【分析】如图，连接，作于H．首先证明点Q的运动轨迹为以为直径的，连接，当点Q在的延长线上时，的值最大，利用勾股定理求出即可解决问题．
【详解】解：如图，连接．作于H．
∵点Q为的中点，
∴，
∴，
∴点Q的运动轨迹为以为直径的，连接，
当点Q在的延长线上时，的值最大，
在中，∵，
∴，
∴，,
在中，，
∴的最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆周角定理、轨迹、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找点Q的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题．
13．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）如图，在中，，，，点在边上，并且，点为边上的动点，将沿直线翻折，点落在点处，则点到边距离的最小值是________．
【答案】
【分析】由题意得，点P在以点F为圆心，1为半径的圆弧上运动，延长交于M，当时，点P到的距离最小，根据相似三角形的性质求出，进而可求得．
【详解】由题意得，点P在以点F为圆心，1为半径的圆弧上运动，延长交于M，当时，点P到的距离最小，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换、最短问题、相似三角形的判定和性质、勾股定理．垂线段最短等知识，解题的关键是正确找到点P位置．
14．（2023·山西太原·山西实验中学校考一模）如图，正方形的边长为2，E为边上任意一点（不与B、C重合），沿折叠正方形，使得点B落在，连接，若点F为线段的中点，则的最小值为__________．
【答案】##
【分析】根据折叠及正方形性质得到，结合F为线段的中点，即可得到，从而得到F为以为直径的圆上的点，连接 即可得到答案；
【详解】解：连接，以为直径，中点为圆心作圆，连接即可得到最小距离点，如图所示，
∵正方形的边长为2，沿折叠正方形，使得点B落在，
∴，
∵F为线段的中点，
∴，
∴F为以为直径的圆上的点，连接交圆于一点即为最小距离点，
根据勾股定理可得，
，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆上动点最小距离问题，正方形的性质，折叠的性质，解题的关键是根据题意得到点F为圆上动点问题，找到最小距离点．
15．（2023·辽宁鞍山·统考一模）如图，等边三角形和等边三角形，点N，点M分别为，的中点，，绕点A旋转过程中，的最大值为___________．
【答案】
【分析】由题可知：点在以点为圆心，为半径的圆上，连接，，则：，当三点共线时，的值最大，进行求解即可．
【详解】解：连接，
∵等边三角形和等边三角形，点N，点M分别为，的中点，，
∴
∴，，
∵绕点A旋转，
∴点在以点为圆心，为半径的圆上，
∵，
∴当三点共线时，的值最大，
即：；
故答案为：．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，以及借助圆，求线段的最值．解题的关键是确定点在以点为圆心，为半径的圆上．
16．（2022秋·山东济宁·九年级校考期中）如图，点A、C在坐标轴上，点B在第一象限，且，，若以为直径的与相切于点O，与相切于点A，动点D在上运动，连接，则线段的最小值是______．
【答案】##
【分析】连接根据题意得到，进而得到线段的最小值为的长度，然后根据切线的性质和勾股定理求解即可．
【详解】如图所示，连接
∵
∴当点C，D，P三点共线时，线段CD的的长度最小，为的长度，
∵，，以为直径的与相切于点O，
∴，
∴
∵
∴
∴，
∴线段的最小值是．
故答案为：．
【点睛】此题考查了切线的性质，勾股定理，解题的关键是分析出当点C，D，P三点共线时，线段CD的的长度最小．
17．（2022秋·广东广州·九年级执信中学校考期末）如图，以为圆心，半径为的圆与轴交于，两点，与轴交于，两点，点为上一动点，于，点在的运动过程中，线段的长度的最小值为______________．
【答案】
【分析】连接，作，连接，由可知，点F在以为直径的圆M上移动，当点F在的延长线上时，的长最小，根据含30度角的直角三角形的性质及勾股定理求出，即可解答．
【详解】解：连接，作，连接，
∵，
∴
在中，，
∴，
∵，
∴
∴
∵
∴
∴，
∵，
∴点F在以为直径的圆M上移动，则，
当点F在的延长线上时，的长最小，最小值为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用的辅助线解决问题．
20．
21．（2022秋·广东揭阳·九年级统考期中）问题解决：
(1)如图①，半圆的直径，点是半圆上的一个动点，则的面积最大值是______．
(2)如图②，在扇形中，，，点、分别在和上，且，是的中点，点在弧上．连接、，四边形的面积是否存在最大值，若存在，请求最大值；若不存在，请说明理由．
(3)如图③，四边形中，，，，四边形的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)四边形的面积存在最大值，最大值为；
(3)四边形的面积存在最大值，最大值是
【分析】（1）如图1，点运动至半圆的中点时，底边上的高最大，即，求出此时的面积即可；
（2）作，垂足为，延长交弧于点，则此时的面积最大，可求出其值；而面积为定值，故可得此时四边形的面积的最大值；
（3）连接，作的外接圆，过作于，根据已知条件，可得是等边三角形，即、、共线时，的面积最大，进而根据，根据，即可求解．
【详解】（1）解：如图1，点运动至半圆的中点时，底边上的高最大，即，
此时的面积最大值，
∴，
故答案为：；
（2）解：四边形的面积存在最大值，
作，垂足为，延长交弧于点，则此时的面积最大，如图2：
，，点为的中点，
，，
∴在中，，，
，
四边形面积为，
四边形的面积存在最大值，最大值为；
（3）解：四边形的面积存在最大值，
连接，作的外接圆，过作于，如图：
，，
，
、、、四点共圆，即在上，
，，
是等边三角形，有，
在中，，
，
当为中点，即、、共线时，的面积最大，此时，为直径，
，
，
，
，
，
即四边形的面积存在最大值，最大值是．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了三角形的面积、轴对称、勾股定理、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、四点共圆、圆的直径最大等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用辅助圆解决最值问题．
18．（2022秋·江苏苏州·九年级校考阶段练习）已知：如图，在中，，，求面积的最大值．
【答案】
【分析】作出的外接圆，连接，，当的边上的高经过点O时，面积最大，如图，过点O作，并延长交圆于点，连接，，得出为等边三角形，则，，求出，则由三角形面积公式可得出答案．
【详解】解：作出的外接圆，连接，，当的边上的高经过点O时，面积最大，
如图，过点O作，并延长交圆于点，连接，，
∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∴
∴．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，三角形的面积，圆周角定理等知识，正确作出辅助线是解题的关键．
19．（2020秋·江苏·九年级校考阶段练习）如图：已知P是半径为10cm的⊙O内一点．解答下列问题：
（1）用尺规作图作出圆心O的位置．（要求：保留所有的作图痕迹，不写作法）
（2）用三角板分别画出过点P的最长弦AB和最短弦CD．
（3）已知OP=6cm，过点P的弦中，长度为整数的弦共有 条．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）8
【分析】（1）利用过不在同一直线上的三点可以确定一个圆，进而画出即可；
（2）利用最长弦AB即为直径和最短弦CD，即为与AB垂直的弦，进而得出答案；
（3）求出CD的长，进而得出长度为整数的弦，注意长度为17、18、19的分别有两条．
【详解】解：（1）如图所示：点O即为所求；
（2）如图所示：AB，CD即为所求；
（3）如图：连接DO，
∵OP=6cm，DO=10cm，
∴在Rt△OPD中，DP==8cm，
∴CD=16cm，
∴过点P的弦中，长度为整数的弦共有：8条．
故答案为：8．
【点睛】此题主要考查了复杂作图以及勾股定理和垂径定理，注意长度为整数的弦不要漏解．
20．（2022·河北保定·保定十三中校考二模）石家庄市水上公园南侧新建的摩天轮吸引了附近市民的目光．据工作人员介绍，新建摩天轮直径为100m，最低点距离地面1m，摩天轮的圆周上均匀地安装了24个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点），游客在距离地面最近的位置进舱，运行一圈时间恰好是13分14秒，寓意“一生一世”．小明从摩天轮的底部出发开始观光，摩天轮转动1周．
(1)小明所在座舱到达最高点时距离地面的高度为 m；
(2)在小明进座舱后间隔3个座舱小亮进入座舱（如图，此时小明和小亮分别位于P、Q两点），
①求两人所在座舱在摩天轮上的距离（弧的长）；
②求此时两人所在座舱距离地面的高度差；
(3)受周围建筑物的影响，当乘客与地面的距离不低于时，可视为最佳观赏位置，求最佳观赏时间有多长（不足一分钟按一分钟记）．
【答案】(1)101
(2)①m；②25m
(3)5分钟
【分析】（1）根据题意得出最高点是直径加即可；
（2）①求出圆心角的度数，再根据弧长公式进行计算即可；
②求出的长即可，利用直角三角形的边角关系求出的长，进而求出即可；
（3）求出达到最佳观赏位置时，座椅所处的位置，进而求出所夹的弧所对的圆心角的度数，由圆心角所占周角的百分比，得出最佳观赏时间占13分14秒的百分比，通过计算可得答案．
【详解】（1）解：如图，由题意可知，，，
当座椅转到点时，距离地面最高，此时，
故答案为：101；
（2）①圆周上均匀的安装24个座椅，因此每相邻两个座椅之间所对的圆心角为，
，
的长为，
答：两人所在座舱在摩天轮上的距离（弧的长）为；
②由题意得，两人所在座舱距离地面的高度差就是的长，
在中，，，
，
，
即两人所在座舱距离地面的高度差为；
（3）如图，当时，对应的座椅为点、点，当座椅在上运动时，观赏位置最佳，
此时，，
，
，
的长是圆周长的，
因此最佳观赏位置所持续的时间为：13分14秒的，
，
答：最佳观赏时间有多长约有5分钟．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，掌握弧长计算公式是正确计算的关键．