华师大版九年级上册1. 成比例线段图片课件ppt

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第2课时　相似三角形的判定定理
知识点4　相似三角形的判定定理1
1.(2024四川眉山仁寿期中)如图,D为等边△ABC的边BC上一 点,∠BAD=∠CDE,BD=2,CD=4,则CE的长为 (　    ) A. 　　　    B.1　　　    C. 　　　    D.2
解析　∵△ABC是等边三角形,∴∠ABD=∠DCE,AB=BC= BD+CD=6,∵∠BAD=∠CDE,∴△ABD∽△DCE,∴ = ,∴ = ,∴CE= .
2.(新考向·开放型试题)(2024湖南郴州汝城七中期末)已知:如 图,在△ABC中,点E在边AB上,点F在AC边上,要使△AFE∽△ ABC,则需要增加的一个条件是　 　　　 　    .(写出一个即可) 
答案不唯一,如∠AEF=∠C
解析　∵∠A=∠A,∴添加∠AEF=∠C或∠AFE=∠B,均可证 得△AFE∽△ABC.
3.(一线三垂直模型)(2023黑龙江大庆中考)在综合与实践课 上,老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动. 有一张矩形纸片ABCD如图所示,点N在边AD上,现将矩形折 叠,折痕为BN,点A的对应点记为点M,若点M恰好落在边DC 上,则图中与△NDM一定相似的三角形是　　　    .　　     
解析　∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠D=∠C=90°,∴∠DNM+∠DMN=90°,由折叠的性质可知∠BMN=∠A=90°,∴∠DMN+∠CMB=90°,∴∠DNM=∠CMB,∴△NDM∽△MCB.
4.(2024河南南阳十三中月考)已知:如图,△ABC中,CE⊥AB, BF⊥AC,求证: = . 
5.(新考向·尺规作图)(2024福建泉州晋江阳溪中学月考)如图, 在△ABC中,∠ACB=90°.(1)在AB上求作点D,使△CDB∽△ACB,并说明理由;(要求:尺 规作图,不写作法,保留作图痕迹)(2)在(1)的条件下,若BC=5,AC=12,求BD长. 
解析    (1)作图如下,根据作图过程可知CD⊥AB,∴∠BDC=9 0°,∵∠ACB=90°,∴∠BDC=∠BCA,∵∠CBD=∠ABC,∴△CDB∽△ACB.(2)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=5,AC=12,∴AB=  = =13,∵△CDB∽△ACB,∴ = ,即
6.(2024山西临汾一中二模,8,★★☆)如图,已知AB∥CD,AD、BC相交于点E,AG分别交BC、CD于点F、G,∠FAE=∠ABE,则图中相似三角形的对数为 (　    ) A.3　　　    B.4　　　    C.5　　　    D.6
解析　∵AB∥CD,∴△ABE∽△DCE,△ABF∽△GCF;∵AB ∥CD,∴∠BAE=∠D,∵∠FAE=∠ABE,∴△ABE∽△DAG, ∴△DAG∽△DCE;∵AB∥CD,∴∠B=∠C,∴∠DAG=∠C, ∵∠AFE=∠GFC,∴△AEF∽△CGF;∵∠AFB=∠AFE,∠ FAE=∠ABE,∴△AEF∽△BAF,∴图中相似三角形的对数为 6.
7.(2024吉林长春宽城二模,24,★★☆)在△ABC中,∠ABC=2∠ACB,BD平分∠ABC交AC于点D.(1)如图1,若AB=3,AC=5,求AD的长;(2)如图2,过点A分别作AC,BD的垂线,分别交BC,BD于点E,F. 求证:∠ABC=∠EAF. 图1图2 　　　    
解析    (1)∵∠ABC=2∠ACB,BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠ ACB.∵∠A=∠A,∴△ABD∽△ACB,∴ = ,即 = ,∴AD= .(2)证明:∵AE⊥AC,AF⊥BD,∴∠AFB=∠EAC=90°,∵∠ABF =∠C,∴△ABF∽△ECA,∴∠BAF=∠CEA,∵∠BAF=∠BAE +∠EAF,∠AEC=∠ABC+∠BAE,∴∠ABC=∠EAF.
8.(推理能力)(2024甘肃天水武山二模)△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,P为BC上的动点,小慧拿着一个含45°角的透明三角板,使45°角的顶点落在点P,三角板可绕P点旋转.(1)如图1,当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时,求证: △BPE∽△CFP.(2)将三角板绕点P旋转到图2所示的位置时,三角板的两边分 别交BA的延长线、边AC于点E、F,△BPE与△CFP还相似 吗?请说明理由.
解析    (1)证明:∵在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,∴∠B=∠ C=45°.∵∠B+∠BPE+∠BEP=180°,∴∠BPE+∠BEP=135°, ∵∠EPF=45°,∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°,∴∠BPE+∠ CPF=135°,∴∠BEP=∠CPF,∵∠B=∠C,∴△BPE∽△CFP.(2)△BPE∽△CFP,理由如下:∵在△ABC中,∠BAC=90°,AB= AC,∴∠B=∠C=45°.∵∠B+∠BPE+∠BEP=180°,∴∠BPE+ ∠BEP=135°.∵∠EPF=45°,∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°,∴∠BPE+∠CPF=135°,∴∠BEP=∠CPF,∵∠B=∠C,∴△BPE∽△CFP.
微专题5　 “三点定形”证明三角形相似
1.(2024湖南衡阳成章实验中学月考)如图,已知△ABC中,AD 平分∠BAC,EF是AD的垂直平分线,交BC的延长线于F,连结 AF,求证:DF2=BF·CF. 
证明　∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,∵EF是AD的垂 直平分线,∴AF=DF,∴∠FAD=∠ADF,∵∠FAD=∠FAC+∠CAD,∠ADF=∠BAD+∠B,∴∠FAC=∠B,∵∠AFC=∠AFB,∴△FAC∽△FBA,∴ = ,∴AF2=BF·CF,∵AF=DF,∴DF2=BF·CF.
2.如图,梯形ABCD 中,AD∥BC,AC与BD相交于O点,过点B作 BE∥CD交CA的延长线于点E.求证:OC2=OA·OE.