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中考数学第一轮专题复习真题分点透练(全国通用)第二讲整式及其运算(原卷版+解析)
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这是一份中考数学第一轮专题复习真题分点透练(全国通用)第二讲整式及其运算(原卷版+解析)，共30页。
【命题1 列代数式及代数式求值】
类型一 列代数式
1．（2022•长沙）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为（ ）
A．8x元B．10（100﹣x）元
C．8（100﹣x）元D．（100﹣8x）元
2．（2022•杭州）某体育比赛的门票分A票和B票两种，A票每张x元，B票每张y元．已知10张A票的总价与19张B票的总价相差320元，则（ ）
A．||＝320B．||＝320
C．|10x﹣19y|＝320D．|19x﹣10y|＝320
3．（2022•舟山）某动物园利用杠杆原理称象：如图，在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁（呈水平状态），将装有大象的铁笼和弹簧秤（秤的重力忽略不计）分别悬挂在钢梁的点A，B处，当钢梁保持水平时，弹簧秤读数为k（N）．若铁笼固定不动，移动弹簧秤使BP扩大到原来的n（n＞1）倍，且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为 （N）（用含n，k的代数式表示）．
类型二 列代数式求值
4．（2022•北碚区自主招生）已知x﹣y＝1，则代数式3x﹣3y+1的值是（ ）
A．2B．﹣2C．4D．﹣4
5．（2022•六盘水）已知（x+y）4＝a1x4+a2x3y+a3x2y2+a4xy3+a5y4，则a1+a2+a3+a4+a5的值是（ ）
A．4B．8C．16D．32
6．（2022•郴州）若＝，则＝ ．
7.（2022•广西）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知3a﹣b＝2，求代数式6a﹣2b﹣1的值．”可以这样解：6a﹣2b﹣1＝2（3a﹣b）﹣1＝2×2﹣1＝3．根据阅读材料，解决问题：若x＝2是关于x的一元一次方程ax+b＝3的解，则代数式4a2+4ab+b2+4a+2b﹣1的值是 ．
8．（2022•岳阳）已知a2﹣2a+1＝0，求代数式a（a﹣4）+（a+1）（a﹣1）+1的值．
（2022•苏州）已知3x2﹣2x﹣3＝0，求（x﹣1）2+x（x+）的值．
【命题点2 整式的有关概念及运算】
类型一 整式的有关概念
10．（2022•攀枝花）下列各式不是单项式的为（ ）
A．3B．aC．D．x2y
11．（2022•广东）单项式3xy的系数为 ．
类型二 整式的运算
12．（2022•淮安）计算a2•a3的结果是（ ）
A．a2B．a3C．a5D．a6
13．（2022•镇江）下列运算中，结果正确的是（ ）
A．3a2+2a2＝5a4B．a3﹣2a3＝a3
C．a2•a3＝a5D．（a2）3＝a5
14．（2022•淄博）计算（﹣2a3b）2﹣3a6b2的结果是（ ）
A．﹣7a6b2B．﹣5a6b2C．a6b2D．7a6b2
15．（2022•毕节市）计算（2x2）3的结果，正确的是（ ）
A．8x5B．6x5C．6x6D．8x6
16．（2022•河北）计算a3÷a得a？，则“？”是（ ）
A．0B．1C．2D．3
17．（2022•包头）若24×22＝2m，则m的值为（ ）
A．8B．6C．5D．2
18．（2022•黔西南州）计算（﹣3x）2•2x正确的是（ ）
A．6x3B．12x3C．18x3D．﹣12x3
19．（2022•临沂）计算a（a+1）﹣a的结果是（ ）
A．1B．a2C．a2+2aD．a2﹣a+1
20．（2022•南通）已知实数m，n满足m2+n2＝2+mn，则（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最大值为（ ）
A．24B．C．D．﹣4
21．（2022•甘肃）计算：3a3•a2＝ ．
22．（2022•常州）计算：m4÷m2＝ ．
23．（2022•包头）若一个多项式加上3xy+2y2﹣8，结果得2xy+3y2﹣5，则这个多项式为 ．
类型三 乘法公式的应用及几何背景
24．（2022•兰州）计算：（x+2y）2＝（ ）
A．x2+4xy+4y2B．x2+2xy+4y2C．x2+4xy+2y2D．x2+4y2
25．（2022•百色）如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2D．（ab）2＝a2b2
26．（2022•滨州）若m+n＝10，mn＝5，则m2+n2的值为 ．
27．（2022•德阳）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，则xy＝ ．
28．（2022•大庆）已知代数式a2+（2t﹣1）ab+4b2是一个完全平方式，则实数t的值为 ．
29．（2022•益阳）已知m，n同时满足2m+n＝3与2m﹣n＝1，则4m2﹣n2的值是 ．
30．（2022•遵义）已知a+b＝4，a﹣b＝2，则a2﹣b2的值为 ．
31．（2022•六盘水）如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为a，b的正方形秧田A，B，其中不能使用的面积为M．
（1）用含a，M的代数式表示A中能使用的面积 ；
（2）若a+b＝10，a﹣b＝5，求A比B多出的使用面积．
32．（2022•荆门）已知x+＝3，求下列各式的值：
（1）（x﹣）2 （2）x4+．
33．（2022•河北）发现 两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．
验证 如，（2+1）2+（2﹣1）2＝10为偶数．请把10的一半表示为两个正整数的平方和；
探究 设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确．
类型四 整式的化简及求值
考向1 整式的化简
34.（2022•安顺）先化简，再求值：（x+3）2+（x+3）（x﹣3）﹣2x（x+1），
考向2 整式的化简求值
35.（2022•湖北）先化简，再求值：4xy﹣2xy﹣（﹣3xy），其中x＝2，y＝﹣1．
36．（2022•盐城）先化简，再求值：（x+4）（x﹣4）+（x﹣3）2，其中x2﹣3x+1＝0．
37．（2022•长春）先化简，再求值：（2+a）（2﹣a）+a（a+1），其中a＝﹣4．
38．（2022•北京）已知x2+2x﹣2＝0，求代数式x（x+2）+（x+1）2的值．
39．（2022•广西）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）+（xy2﹣2xy）÷x，其中x＝1，y＝．
40.（2022•南充）先化简，再求值：（x+2）（3x﹣2）﹣2x（x+2），其中x＝﹣1．
41．（2022•衡阳）先化简，再求值．
（a+b）（a﹣b）+b（2a+b），其中a＝1，b＝﹣2．
命题点3 因式分解及其应用
42．（2022•济宁）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1B．x2﹣1＝（x﹣1）2
C．x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2）D．x（x﹣1）＝x2﹣x
43．（2022•柳州）把多项式a2+2a分解因式得（ ）
A．a（a+2）B．a（a﹣2）C．（a+2）2D．（a+2）（a﹣2）
44．（2022•广州）分解因式：3a2﹣21ab＝ ．
45．（2022•常州）分解因式：x2y+xy2＝ ．
46．（2022•河池）多项式x2﹣4x+4因式分解的结果是（ ）
A．x（x﹣4）+4B．（x+2）（x﹣2）C．（x+2）2D．（x﹣2）2
47．（2022•菏泽）分解因式：x2﹣9y2＝ ．
48．（2022•绥化）因式分解：（m+n）2﹣6（m+n）+9＝ ．
49．（2022•绵阳）因式分解：3x3﹣12xy2＝ ．
50．（2022•丹东）因式分解：2a2+4a+2＝ ．
51．（2022•巴中）因式分解：﹣a3+2a2﹣a＝ ．
【命题点4 规律套索题】
类型一 数式规律
52．（2022•西藏）按一定规律排列的一组数据：，﹣，，﹣，，﹣，…．则按此规律排列的第10个数是（ ）
A．﹣B．C．﹣D．
53．（2022•新疆）将全体正偶数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第10行第5个数是（ ）
A．98B．100C．102D．104
54．（2022•云南）按一定规律排列的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，……，第n个单项式是（ ）
A．（2n﹣1）xnB．（2n+1）xnC．（n﹣1）xnD．（n+1）xn
55．（2022•徐汇区校级自主招生）设x1，x2，x3，…，x100是整数，且满足下列条件：
①﹣1≤xi≤2，i＝1，2，3，…，100；
②x1+x2+x3+…+x100＝20；
③x12+x22+x32+…+x1002＝100，则x13+x23+x33+…+x1003的最小值和最大值的和为 ．
56．（2022•恩施州）观察下列一组数：2，，，…，它们按一定规律排列，第n个数记为an，且满足+＝．则a4＝ ，a2022＝ ．
57．（2022•泰安）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
若有序数对（n，m）表示第n行，从左到右第m个数，如（3，2）表示6，则表示99的有序数对是 ．
类型二 图形规律
58．（2022•济宁）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是（ ）
A．297B．301C．303D．400
59．（2022•广州）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第n个图形需要2022根小木棒，则n的值为（ ）
A．252B．253C．336D．337
60．（2022•江西）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（ ）
A．9B．10C．11D．12
61．（2022•重庆）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（ ）
A．32B．34C．37D．41
62.（2022•黑龙江）如图所示，以O为端点画六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，再从射线OA上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将各条射线所描的点依次记为1，2，3，4，5，6，7，8…后，那么所描的第2013个点在射线 上．
第二讲 整式及其运算
【命题1 列代数式及代数式求值】
类型一 列代数式
1．（2022•长沙）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为（ ）
A．8x元B．10（100﹣x）元
C．8（100﹣x）元D．（100﹣8x）元
【答案】C
【解答】解：设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为：8（100﹣x）元．
故选：C．
2．（2022•杭州）某体育比赛的门票分A票和B票两种，A票每张x元，B票每张y元．已知10张A票的总价与19张B票的总价相差320元，则（ ）
A．||＝320B．||＝320
C．|10x﹣19y|＝320D．|19x﹣10y|＝320
【答案】C
【解答】解：由题意可得：|10x﹣19y|＝320．
故选：C．
3．（2022•舟山）某动物园利用杠杆原理称象：如图，在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁（呈水平状态），将装有大象的铁笼和弹簧秤（秤的重力忽略不计）分别悬挂在钢梁的点A，B处，当钢梁保持水平时，弹簧秤读数为k（N）．若铁笼固定不动，移动弹簧秤使BP扩大到原来的n（n＞1）倍，且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为 （N）（用含n，k的代数式表示）．
【答案】
【解答】解：如图，设装有大象的铁笼重力为aN，将弹簧秤移动到B′的位置时，弹簧秤的度数为k′，
由题意可得BP•k＝PA•a，B′P•k′＝PA•a，
∴BP•k＝B′P•k′，
又∵B′P＝nBP，
∴k′＝＝，
故答案为：．
类型二 列代数式求值
4．（2022•北碚区自主招生）已知x﹣y＝1，则代数式3x﹣3y+1的值是（ ）
A．2B．﹣2C．4D．﹣4
【答案】C
【解答】解：∵x﹣y＝1，
∴3x﹣3y+1
＝3（x﹣y）+1
＝3×1+1
＝4．
故选：C．
5．（2022•六盘水）已知（x+y）4＝a1x4+a2x3y+a3x2y2+a4xy3+a5y4，则a1+a2+a3+a4+a5的值是（ ）
A．4B．8C．16D．32
【答案】C
【解答】解：∵（x+y）4＝x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4，
∴a1+a2+a3+a4+a5
＝1+4+6+4+1
＝16，
故选：C．
6．（2022•郴州）若＝，则＝ ．
【答案】
【解答】解：根据＝得3a＝5b，则＝．
故答案为：．
7.（2022•广西）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知3a﹣b＝2，求代数式6a﹣2b﹣1的值．”可以这样解：6a﹣2b﹣1＝2（3a﹣b）﹣1＝2×2﹣1＝3．根据阅读材料，解决问题：若x＝2是关于x的一元一次方程ax+b＝3的解，则代数式4a2+4ab+b2+4a+2b﹣1的值是 ．
【答案】14
【解答】解：∵x＝2是关于x的一元一次方程ax+b＝3的解，
∴2a+b＝3，
∴b＝3﹣2a，
∴4a2+4ab+b2+4a+2b﹣1
＝4a2+4a（3﹣2a）+（3﹣2a）2+4a+2（3﹣2a）﹣1
＝4a2+12a﹣8a2+9﹣12a+4a2+4a+6﹣4a﹣1
＝14．
解法二：原式＝（2a+b）2+2（2a+b）﹣1＝32+2×3﹣1＝14，
故答案为：14．
8．（2022•岳阳）已知a2﹣2a+1＝0，求代数式a（a﹣4）+（a+1）（a﹣1）+1的值．
【解答】解：a（a﹣4）+（a+1）（a﹣1）+1
＝a2﹣4a+a2﹣1+1
＝2a2﹣4a
＝2（a2﹣2a），
∵a2﹣2a+1＝0，
∴a2﹣2a＝﹣1，
∴原式＝2×（﹣1）＝﹣2．
9．（2022•苏州）已知3x2﹣2x﹣3＝0，求（x﹣1）2+x（x+）的值．
【解答】解：原式＝x2﹣2x+1+x2+x
＝2x2﹣x+1，
∵3x2﹣2x﹣3＝0，
∴x2﹣x＝1，
∴原式＝2（x2﹣x）+1
＝2×1+1
＝3．
【命题点2 整式的有关概念及运算】
类型一 整式的有关概念
10．（2022•攀枝花）下列各式不是单项式的为（ ）
A．3B．aC．D．x2y
【答案】C
【解答】解：A、3是单项式，故本选项不符合题意；
B、a是单项式，故本选项不符合题意；
C、不是单项式，故本选项符合题意；
D、x2y是单项式，故本选项不符合题意；
故选：C．
11．（2022•广东）单项式3xy的系数为 ．
【答案】3
【解答】解：单项式3xy的系数为3．
故答案为：3．
类型二 整式的运算
12．（2022•淮安）计算a2•a3的结果是（ ）
A．a2B．a3C．a5D．a6
【答案】C
【解答】解：a2•a3＝a5．
故选：C．
13．（2022•镇江）下列运算中，结果正确的是（ ）
A．3a2+2a2＝5a4B．a3﹣2a3＝a3
C．a2•a3＝a5D．（a2）3＝a5
【答案】C
【解答】解：A.3a2+2a2＝5a2，故此选项不合题意；
B．a3﹣2a3＝﹣a3，故此选项不合题意；
C．a2•a3＝a5，故此选项符合题意；
D．（a2）3＝a6，故此选项不合题意；
故选：C．
14．（2022•淄博）计算（﹣2a3b）2﹣3a6b2的结果是（ ）
A．﹣7a6b2B．﹣5a6b2C．a6b2D．7a6b2
【答案】C
【解答】解：原式＝4a6b2﹣3a6b2＝a6b2，
故选：C．
15．（2022•毕节市）计算（2x2）3的结果，正确的是（ ）
A．8x5B．6x5C．6x6D．8x6
【答案】D
【解答】解：（2x2）3＝8x6．
故选：D．
16．（2022•河北）计算a3÷a得a？，则“？”是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解答】解：根据同底数幂的除法可得：a3÷a＝a2，
∴？＝2，
故选：C．
17．（2022•包头）若24×22＝2m，则m的值为（ ）
A．8B．6C．5D．2
【答案】B
【解答】解：∵24×22＝24+2＝26＝2m，
∴m＝6，
故选：B．
18．（2022•黔西南州）计算（﹣3x）2•2x正确的是（ ）
A．6x3B．12x3C．18x3D．﹣12x3
【答案】C
【解答】解：（﹣3x）2•2x
＝9x2•2x
＝18x3．
故选：C．
19．（2022•临沂）计算a（a+1）﹣a的结果是（ ）
A．1B．a2C．a2+2aD．a2﹣a+1
【答案】B
【解答】解：a（a+1）﹣a
＝a2+a﹣a
＝a2，
故选：B
20．（2022•南通）已知实数m，n满足m2+n2＝2+mn，则（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最大值为（ ）
A．24B．C．D．﹣4
【答案】B
【解答】解：方法1、∵m2+n2＝2+mn，
∴（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）
＝4m2+9n2﹣12mn+m2﹣4n2
＝5m2+5n2﹣12mn
＝5（mn+2）﹣12mn
＝10﹣7mn，
∵m2+n2＝2+mn，
∴（m+n）2＝2+3mn≥0（当m+n＝0时，取等号），
∴mn≥﹣，
∴（m﹣n）2＝2﹣mn≥0（当m﹣n＝0时，取等号），
∴mn≤2，
∴﹣≤mn≤2，
∴﹣14≤﹣7mn≤，
∴﹣4≤10﹣7mn≤，
即（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最大值为，
故选：B．
方法2、设m+n＝k，则m2+2mn+n2＝k2，
∴mn+2+2mn＝k2，
∴mn＝k2﹣，
∴原式＝10﹣7mn＝﹣k2+≤，
故选：B．
21．（2022•甘肃）计算：3a3•a2＝ ．
【答案】3a5
【解答】解：原式＝3a3+2
＝3a5．
故答案为：3a5．
22．（2022•常州）计算：m4÷m2＝ ．
【答案】m2
【解答】解：m4÷m2
＝m4﹣2
＝m2．
故答案为：m2
23．（2022•包头）若一个多项式加上3xy+2y2﹣8，结果得2xy+3y2﹣5，则这个多项式为 ．
【答案】y2﹣xy+3
【解答】解：由题意得，这个多项式为：
（2xy+3y2﹣5）﹣（3xy+2y2﹣8）
＝2xy+3y2﹣5﹣3xy﹣2y2+8
＝y2﹣xy+3．
故答案为：y2﹣xy+3．
类型三 乘法公式的应用及几何背景
24．（2022•兰州）计算：（x+2y）2＝（ ）
A．x2+4xy+4y2B．x2+2xy+4y2C．x2+4xy+2y2D．x2+4y2
【答案】A
【解答】解：（x+2y）2＝x2+4xy+4y2．
故选：A．
25．（2022•百色）如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2D．（ab）2＝a2b2
【答案】A
【解答】解：根据题意，大正方形的边长为a+b，面积为（a+b）2，
由边长为a的正方形，2个长为a宽为b的长方形，边长为b的正方形组成，
所以（a+b）2＝a2+2ab+b2．
故选：A．
26．（2022•滨州）若m+n＝10，mn＝5，则m2+n2的值为 ．
【答案】90
【解答】解：∵m+n＝10，mn＝5，
∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝102﹣2×5＝100﹣10＝90．
故答案为：90．
27．（2022•德阳）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，则xy＝ ．
【答案】4
【解答】解：∵（x+y）2＝x2+y2+2xy＝25，（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝9，
∴两式相减得：4xy＝16，
则xy＝4．
故答案为：4
28．（2022•大庆）已知代数式a2+（2t﹣1）ab+4b2是一个完全平方式，则实数t的值为 ．
【答案】或﹣．
【解答】解：根据题意可得，
（2t﹣1）ab＝±（2×2）ab，
即2t﹣1＝±4，
解得：t＝或t＝．
故答案为：或﹣．
29．（2022•益阳）已知m，n同时满足2m+n＝3与2m﹣n＝1，则4m2﹣n2的值是 ．
【答案】3
【解答】解：∵2m+n＝3，2m﹣n＝1，
∴4m2﹣n2＝（2m+n）（2m﹣n）＝3×1＝3．
故答案为：3．
30．（2022•遵义）已知a+b＝4，a﹣b＝2，则a2﹣b2的值为 ．
【答案】8
【解答】解：∵a+b＝4，a﹣b＝2，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
＝4×2
＝8，
故答案为：8．
31．（2022•六盘水）如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为a，b的正方形秧田A，B，其中不能使用的面积为M．
（1）用含a，M的代数式表示A中能使用的面积 ；
（2）若a+b＝10，a﹣b＝5，求A比B多出的使用面积．
【解答】解：（1）A中能使用的面积＝大正方形的面积﹣不能使用的面积，
即a2﹣M，
故答案为：a2﹣M；
（2）A比B多出的使用面积为：（a2﹣M）﹣（b2﹣M）
＝a2﹣b2
＝（a+b）（a﹣b）
＝10×5
＝50，
答：A比B多出的使用面积为50．
32．（2022•荆门）已知x+＝3，求下列各式的值：
（1）（x﹣）2；
（2）x4+．
【解答】解：（1）∵＝，
∴＝
＝
＝﹣4x•
＝32﹣4
＝5；
（2）∵＝，
∴
＝+2
＝5+2
＝7，
∵＝，
∴
＝﹣2
＝49﹣2
＝47．
33．（2022•河北）发现 两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．
验证 如，（2+1）2+（2﹣1）2＝10为偶数．请把10的一半表示为两个正整数的平方和；
探究 设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确．
【解答】解：验证：10的一半为5，
5＝1+4＝12+22，
探究：两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．理由如下：
（m+n）2+（m﹣n）2
＝m2+2mn+n2+m2﹣2mn+n2
＝2m2+2n2
＝2（m2+n2），
故两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．
类型四 整式的化简及求值
考向1 整式的化简
34.（2022•安顺）先化简，再求值：（x+3）2+（x+3）（x﹣3）﹣2x（x+1），
【解答】解：（x+3）2+（x+3）（x﹣3）﹣2x（x+1）
＝x2+6x+9+x2﹣9﹣2x2﹣2x
＝4x，
考向2 整式的化简求值
35.（2022•湖北）先化简，再求值：4xy﹣2xy﹣（﹣3xy），其中x＝2，y＝﹣1．
【解答】解：4xy﹣2xy﹣（﹣3xy）
＝4xy﹣2xy+3xy
＝5xy，
当x＝2，y＝﹣1时，原式＝5×2×（﹣1）＝﹣10．
36．（2022•盐城）先化简，再求值：（x+4）（x﹣4）+（x﹣3）2，其中x2﹣3x+1＝0．
【解答】解：原式＝x2﹣16+x2﹣6x+9
＝2x2﹣6x﹣7，
∵x2﹣3x+1＝0，
∴x2﹣3x＝﹣1，
∴2x2﹣6x＝﹣2，
∴原式＝﹣2﹣7＝﹣9．
37．（2022•长春）先化简，再求值：（2+a）（2﹣a）+a（a+1），其中a＝﹣4．
【解答】解：（2+a）（2﹣a）+a（a+1）
＝4﹣a2+a2+a
＝4+a，
当a＝﹣4时，原式＝4+﹣4
＝．
38．（2022•北京）已知x2+2x﹣2＝0，求代数式x（x+2）+（x+1）2的值．
【解答】解：x（x+2）+（x+1）2
＝x2+2x+x2+2x+1
＝2x2+4x+1，
∵x2+2x﹣2＝0，
∴x2+2x＝2，
∴当x2+2x＝2时，原式＝2（x2+2x）+1
＝2×2+1
＝4+1
＝5．
39．（2022•广西）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）+（xy2﹣2xy）÷x，其中x＝1，y＝．
【解答】解：（x+y）（x﹣y）+（xy2﹣2xy）÷x
＝x2﹣y2+y2﹣2y
＝x2﹣2y，
当x＝1，y＝时，原式＝12﹣2×＝0．
40.（2022•南充）先化简，再求值：（x+2）（3x﹣2）﹣2x（x+2），其中x＝﹣1．
【解答】解：原式＝（x+2）（3x﹣2﹣2x）
＝（x+2）（x﹣2）
＝x2﹣4，
当x＝﹣1时，
原式＝（﹣1）2﹣4＝﹣2．
41．（2022•衡阳）先化简，再求值．
（a+b）（a﹣b）+b（2a+b），其中a＝1，b＝﹣2．
【解答】解：（a+b）（a﹣b）+b（2a+b）
＝a2﹣b2+2ab+b2
＝a2+2ab，
将a＝1，b＝﹣2代入上式得：
原式＝12+2×1×（﹣2）
＝1﹣4
＝﹣3．
命题点3 因式分解及其应用
42．（2022•济宁）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1B．x2﹣1＝（x﹣1）2
C．x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2）D．x（x﹣1）＝x2﹣x
【答案】C
【解答】解：A选项不是因式分解，故不符合题意；
B选项计算错误，故不符合题意；
C选项是因式分解，故符合题意；
D选项不是因式分解，故不符合题意；
故选：C．
43．（2022•柳州）把多项式a2+2a分解因式得（ ）
A．a（a+2）B．a（a﹣2）C．（a+2）2D．（a+2）（a﹣2）
【答案】A
【解答】解：a2+2a＝a（a+2）．
故选：A．
44．（2022•广州）分解因式：3a2﹣21ab＝ ．
【答案】 3a（a﹣7b）
【解答】解：3a2﹣21ab＝3a（a﹣7b）．
故答案为：3a（a﹣7b）．
45．（2022•常州）分解因式：x2y+xy2＝ ．
【答案】xy（x+y）
【解答】解：x2y+xy2＝xy（x+y）．
故答案为：xy（x+y）．
46．（2022•河池）多项式x2﹣4x+4因式分解的结果是（ ）
A．x（x﹣4）+4B．（x+2）（x﹣2）C．（x+2）2D．（x﹣2）2
【答案】D
【解答】解：原式＝（x﹣2）2．
故选：D．
47．（2022•菏泽）分解因式：x2﹣9y2＝ ．
【答案】（x﹣3y）（x+3y）
【解答】解：原式＝（x﹣3y）（x+3y）．
故答案为：（x﹣3y）（x+3y）．
48．（2022•绥化）因式分解：（m+n）2﹣6（m+n）+9＝ ．
【答案】（m+n﹣3）2
【解答】解：原式＝（m+n）2﹣2•（m+n）•3+32
＝（m+n﹣3）2．
故答案为：（m+n﹣3）2．
49．（2022•绵阳）因式分解：3x3﹣12xy2＝ ．
【答案】3x（x+2y）（x﹣2y）
【解答】解：原式＝3x（x2﹣4y2）
＝3x（x+2y）（x﹣2y）．
故答案为：3x（x+2y）（x﹣2y）．
50．（2022•丹东）因式分解：2a2+4a+2＝ ．
【答案】2（a+1）2
【解答】解：原式＝2（a2+2a+1）
＝2（a+1）2．
故答案为：2（a+1）2．
51．（2022•巴中）因式分解：﹣a3+2a2﹣a＝ ．
【答案】﹣a（a﹣1）2
【解答】解：原式＝﹣a（a2﹣2a+1）
＝﹣a（a﹣1）2．
故答案为：﹣a（a﹣1）2．
【命题点4 规律套索题】
类型一 数式规律
52．（2022•西藏）按一定规律排列的一组数据：，﹣，，﹣，，﹣，…．则按此规律排列的第10个数是（ ）
A．﹣B．C．﹣D．
【答案】A
【解答】解：原数据可转化为：，﹣，，﹣，，﹣，…，
∴＝（﹣1）1+1×，
﹣＝（﹣1）2+1×，
＝（﹣1）3+1×，
..．
∴第n个数为：（﹣1）n+1，
∴第10个数为：（﹣1）10+1×＝﹣．
故选：A．
53．（2022•新疆）将全体正偶数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第10行第5个数是（ ）
A．98B．100C．102D．104
【答案】B
【解答】解：由三角形的数阵知，第n行有n个偶数，
则得出前9行有1+2+3+4+5+6+7+8+9＝45个偶数，
∴第9行最后一个数为90，
∴第10行第5个数是90+2×5＝100，
故选：B．
54．（2022•云南）按一定规律排列的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，……，第n个单项式是（ ）
A．（2n﹣1）xnB．（2n+1）xnC．（n﹣1）xnD．（n+1）xn
【答案】A
【解答】解：∵单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，…，
∴第n个单项式为（2n﹣1）xn，
故选：A．
55．（2022•徐汇区校级自主招生）设x1，x2，x3，…，x100是整数，且满足下列条件：
①﹣1≤xi≤2，i＝1，2，3，…，100；
②x1+x2+x3+…+x100＝20；
③x12+x22+x32+…+x1002＝100，则x13+x23+x33+…+x1003的最小值和最大值的和为 ．
【答案】160
【解答】解：由题意可设x1，x2，x3，…，x100中有a个﹣1，b个0，c个1，d个2，
则a+b+c+d＝100，﹣a+c+2d＝20，a+c+4d＝100，
可得a＝40﹣d，b＝3d，c＝60﹣3d，
∴x13+x23+x33+…+x1003＝﹣a+c+8d＝20+6d，
由，解得：0≤d≤20，
∴当d＝0时，x13+x23+x33+…+x1003的最小值为20，
当d＝20时，x13+x23+x33+…+x1003的最大值为140．
∴x13+x23+x33+…+x1003的最小值和最大值的和为160．
故答案为：160．
56．（2022•恩施州）观察下列一组数：2，，，…，它们按一定规律排列，第n个数记为an，且满足+＝．则a4＝ ，a2022＝ ．
【答案】
【解答】解：由题意可得：a1＝2＝，a2＝＝，a3＝，
∵+＝，
∴2+＝7，
∴a4＝＝，
∵＝，
∴a5＝，
同理可求a6＝＝，•••
∴an＝，
∴a2022＝，
故答案为：，．
57．（2022•泰安）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
若有序数对（n，m）表示第n行，从左到右第m个数，如（3，2）表示6，则表示99的有序数对是 ．
【答案】（10，18）
【解答】解：∵第n行的最后一个数是n2，第n行有（2n﹣1）个数，
∴99＝102﹣1在第10行倒数第二个，
第10行有：2×10﹣1＝19个数，
∴99的有序数对是（10，18）．
故答案为：（10，18）．
类型二 图形规律
58．（2022•济宁）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是（ ）
A．297B．301C．303D．400
【答案】B
【解答】解：观察图形可知：
摆第1个图案需要4个圆点，即4+3×0；
摆第2个图案需要7个圆点，即4+3＝4+3×1；
摆第3个图案需要10个圆点，即4+3+3＝4+3×2；
摆第4个图案需要13个圆点，即4+3+3+3＝4+3×3；
…
第n个图摆放圆点的个数为：4+3（n﹣1）＝3n+1，
∴第100个图放圆点的个数为：3×100+1＝301．
故选：B
59．（2022•广州）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第n个图形需要2022根小木棒，则n的值为（ ）
A．252B．253C．336D．337
【答案】B
【解答】解：由题意知，第1个图形需要6根小木棒，
第2个图形需要6×2+2＝14根小木棒，
第3个图形需要6×3+2×2＝22根小木棒，
按此规律，第n个图形需要6n+2（n﹣1）＝（8n﹣2）根小木棒，
当8n﹣2＝2022时，
解得n＝253，
故选：B．
60．（2022•江西）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】B
【解答】解：第1个图中H的个数为4，
第2个图中H的个数为4+2，
第3个图中H的个数为4+2×2，
第4个图中H的个数为4+2×3＝10，
故选：B．
61．（2022•重庆）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（ ）
A．32B．34C．37D．41
【答案】C
【解答】解：由题知，第①个图案中有5个正方形，
第②个图案中有9个正方形，
第③个图案中有13个正方形，
第④个图案中有17个正方形，
…，
第n个图案中有4n+1个正方形，
∴第⑨个图案中正方形的个数为4×9+1＝37，
故选：C．
62.（2022•黑龙江）如图所示，以O为端点画六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，再从射线OA上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将各条射线所描的点依次记为1，2，3，4，5，6，7，8…后，那么所描的第2013个点在射线 上．
【答案】OC
【解答】解：∵1在射线OA上，
2在射线OB上，
3在射线OC上，
4在射线OD上，
5在射线OE上，
6在射线OF上，
7在射线OA上，
…
每六个一循环，
2013÷6＝335…3，
∴所描的第2013个点在射线和3所在射线一样，
∴所描的第2013个点在射线OC上．
故答案为：OC．
【命题1 列代数式及代数式求值】
类型一 列代数式
1．（2022•长沙）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为（ ）
A．8x元B．10（100﹣x）元
C．8（100﹣x）元D．（100﹣8x）元
2．（2022•杭州）某体育比赛的门票分A票和B票两种，A票每张x元，B票每张y元．已知10张A票的总价与19张B票的总价相差320元，则（ ）
A．||＝320B．||＝320
C．|10x﹣19y|＝320D．|19x﹣10y|＝320
3．（2022•舟山）某动物园利用杠杆原理称象：如图，在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁（呈水平状态），将装有大象的铁笼和弹簧秤（秤的重力忽略不计）分别悬挂在钢梁的点A，B处，当钢梁保持水平时，弹簧秤读数为k（N）．若铁笼固定不动，移动弹簧秤使BP扩大到原来的n（n＞1）倍，且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为 （N）（用含n，k的代数式表示）．
类型二 列代数式求值
4．（2022•北碚区自主招生）已知x﹣y＝1，则代数式3x﹣3y+1的值是（ ）
A．2B．﹣2C．4D．﹣4
5．（2022•六盘水）已知（x+y）4＝a1x4+a2x3y+a3x2y2+a4xy3+a5y4，则a1+a2+a3+a4+a5的值是（ ）
A．4B．8C．16D．32
6．（2022•郴州）若＝，则＝ ．
7.（2022•广西）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知3a﹣b＝2，求代数式6a﹣2b﹣1的值．”可以这样解：6a﹣2b﹣1＝2（3a﹣b）﹣1＝2×2﹣1＝3．根据阅读材料，解决问题：若x＝2是关于x的一元一次方程ax+b＝3的解，则代数式4a2+4ab+b2+4a+2b﹣1的值是 ．
8．（2022•岳阳）已知a2﹣2a+1＝0，求代数式a（a﹣4）+（a+1）（a﹣1）+1的值．
（2022•苏州）已知3x2﹣2x﹣3＝0，求（x﹣1）2+x（x+）的值．
【命题点2 整式的有关概念及运算】
类型一 整式的有关概念
10．（2022•攀枝花）下列各式不是单项式的为（ ）
A．3B．aC．D．x2y
11．（2022•广东）单项式3xy的系数为 ．
类型二 整式的运算
12．（2022•淮安）计算a2•a3的结果是（ ）
A．a2B．a3C．a5D．a6
13．（2022•镇江）下列运算中，结果正确的是（ ）
A．3a2+2a2＝5a4B．a3﹣2a3＝a3
C．a2•a3＝a5D．（a2）3＝a5
14．（2022•淄博）计算（﹣2a3b）2﹣3a6b2的结果是（ ）
A．﹣7a6b2B．﹣5a6b2C．a6b2D．7a6b2
15．（2022•毕节市）计算（2x2）3的结果，正确的是（ ）
A．8x5B．6x5C．6x6D．8x6
16．（2022•河北）计算a3÷a得a？，则“？”是（ ）
A．0B．1C．2D．3
17．（2022•包头）若24×22＝2m，则m的值为（ ）
A．8B．6C．5D．2
18．（2022•黔西南州）计算（﹣3x）2•2x正确的是（ ）
A．6x3B．12x3C．18x3D．﹣12x3
19．（2022•临沂）计算a（a+1）﹣a的结果是（ ）
A．1B．a2C．a2+2aD．a2﹣a+1
20．（2022•南通）已知实数m，n满足m2+n2＝2+mn，则（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最大值为（ ）
A．24B．C．D．﹣4
21．（2022•甘肃）计算：3a3•a2＝ ．
22．（2022•常州）计算：m4÷m2＝ ．
23．（2022•包头）若一个多项式加上3xy+2y2﹣8，结果得2xy+3y2﹣5，则这个多项式为 ．
类型三 乘法公式的应用及几何背景
24．（2022•兰州）计算：（x+2y）2＝（ ）
A．x2+4xy+4y2B．x2+2xy+4y2C．x2+4xy+2y2D．x2+4y2
25．（2022•百色）如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2D．（ab）2＝a2b2
26．（2022•滨州）若m+n＝10，mn＝5，则m2+n2的值为 ．
27．（2022•德阳）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，则xy＝ ．
28．（2022•大庆）已知代数式a2+（2t﹣1）ab+4b2是一个完全平方式，则实数t的值为 ．
29．（2022•益阳）已知m，n同时满足2m+n＝3与2m﹣n＝1，则4m2﹣n2的值是 ．
30．（2022•遵义）已知a+b＝4，a﹣b＝2，则a2﹣b2的值为 ．
31．（2022•六盘水）如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为a，b的正方形秧田A，B，其中不能使用的面积为M．
（1）用含a，M的代数式表示A中能使用的面积 ；
（2）若a+b＝10，a﹣b＝5，求A比B多出的使用面积．
32．（2022•荆门）已知x+＝3，求下列各式的值：
（1）（x﹣）2 （2）x4+．
33．（2022•河北）发现 两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．
验证 如，（2+1）2+（2﹣1）2＝10为偶数．请把10的一半表示为两个正整数的平方和；
探究 设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确．
类型四 整式的化简及求值
考向1 整式的化简
34.（2022•安顺）先化简，再求值：（x+3）2+（x+3）（x﹣3）﹣2x（x+1），
考向2 整式的化简求值
35.（2022•湖北）先化简，再求值：4xy﹣2xy﹣（﹣3xy），其中x＝2，y＝﹣1．
36．（2022•盐城）先化简，再求值：（x+4）（x﹣4）+（x﹣3）2，其中x2﹣3x+1＝0．
37．（2022•长春）先化简，再求值：（2+a）（2﹣a）+a（a+1），其中a＝﹣4．
38．（2022•北京）已知x2+2x﹣2＝0，求代数式x（x+2）+（x+1）2的值．
39．（2022•广西）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）+（xy2﹣2xy）÷x，其中x＝1，y＝．
40.（2022•南充）先化简，再求值：（x+2）（3x﹣2）﹣2x（x+2），其中x＝﹣1．
41．（2022•衡阳）先化简，再求值．
（a+b）（a﹣b）+b（2a+b），其中a＝1，b＝﹣2．
命题点3 因式分解及其应用
42．（2022•济宁）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1B．x2﹣1＝（x﹣1）2
C．x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2）D．x（x﹣1）＝x2﹣x
43．（2022•柳州）把多项式a2+2a分解因式得（ ）
A．a（a+2）B．a（a﹣2）C．（a+2）2D．（a+2）（a﹣2）
44．（2022•广州）分解因式：3a2﹣21ab＝ ．
45．（2022•常州）分解因式：x2y+xy2＝ ．
46．（2022•河池）多项式x2﹣4x+4因式分解的结果是（ ）
A．x（x﹣4）+4B．（x+2）（x﹣2）C．（x+2）2D．（x﹣2）2
47．（2022•菏泽）分解因式：x2﹣9y2＝ ．
48．（2022•绥化）因式分解：（m+n）2﹣6（m+n）+9＝ ．
49．（2022•绵阳）因式分解：3x3﹣12xy2＝ ．
50．（2022•丹东）因式分解：2a2+4a+2＝ ．
51．（2022•巴中）因式分解：﹣a3+2a2﹣a＝ ．
【命题点4 规律套索题】
类型一 数式规律
52．（2022•西藏）按一定规律排列的一组数据：，﹣，，﹣，，﹣，…．则按此规律排列的第10个数是（ ）
A．﹣B．C．﹣D．
53．（2022•新疆）将全体正偶数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第10行第5个数是（ ）
A．98B．100C．102D．104
54．（2022•云南）按一定规律排列的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，……，第n个单项式是（ ）
A．（2n﹣1）xnB．（2n+1）xnC．（n﹣1）xnD．（n+1）xn
55．（2022•徐汇区校级自主招生）设x1，x2，x3，…，x100是整数，且满足下列条件：
①﹣1≤xi≤2，i＝1，2，3，…，100；
②x1+x2+x3+…+x100＝20；
③x12+x22+x32+…+x1002＝100，则x13+x23+x33+…+x1003的最小值和最大值的和为 ．
56．（2022•恩施州）观察下列一组数：2，，，…，它们按一定规律排列，第n个数记为an，且满足+＝．则a4＝ ，a2022＝ ．
57．（2022•泰安）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
若有序数对（n，m）表示第n行，从左到右第m个数，如（3，2）表示6，则表示99的有序数对是 ．
类型二 图形规律
58．（2022•济宁）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是（ ）
A．297B．301C．303D．400
59．（2022•广州）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第n个图形需要2022根小木棒，则n的值为（ ）
A．252B．253C．336D．337
60．（2022•江西）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（ ）
A．9B．10C．11D．12
61．（2022•重庆）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（ ）
A．32B．34C．37D．41
62.（2022•黑龙江）如图所示，以O为端点画六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，再从射线OA上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将各条射线所描的点依次记为1，2，3，4，5，6，7，8…后，那么所描的第2013个点在射线 上．
第二讲 整式及其运算
【命题1 列代数式及代数式求值】
类型一 列代数式
1．（2022•长沙）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为（ ）
A．8x元B．10（100﹣x）元
C．8（100﹣x）元D．（100﹣8x）元
【答案】C
【解答】解：设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为：8（100﹣x）元．
故选：C．
2．（2022•杭州）某体育比赛的门票分A票和B票两种，A票每张x元，B票每张y元．已知10张A票的总价与19张B票的总价相差320元，则（ ）
A．||＝320B．||＝320
C．|10x﹣19y|＝320D．|19x﹣10y|＝320
【答案】C
【解答】解：由题意可得：|10x﹣19y|＝320．
故选：C．
3．（2022•舟山）某动物园利用杠杆原理称象：如图，在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁（呈水平状态），将装有大象的铁笼和弹簧秤（秤的重力忽略不计）分别悬挂在钢梁的点A，B处，当钢梁保持水平时，弹簧秤读数为k（N）．若铁笼固定不动，移动弹簧秤使BP扩大到原来的n（n＞1）倍，且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为 （N）（用含n，k的代数式表示）．
【答案】
【解答】解：如图，设装有大象的铁笼重力为aN，将弹簧秤移动到B′的位置时，弹簧秤的度数为k′，
由题意可得BP•k＝PA•a，B′P•k′＝PA•a，
∴BP•k＝B′P•k′，
又∵B′P＝nBP，
∴k′＝＝，
故答案为：．
类型二 列代数式求值
4．（2022•北碚区自主招生）已知x﹣y＝1，则代数式3x﹣3y+1的值是（ ）
A．2B．﹣2C．4D．﹣4
【答案】C
【解答】解：∵x﹣y＝1，
∴3x﹣3y+1
＝3（x﹣y）+1
＝3×1+1
＝4．
故选：C．
5．（2022•六盘水）已知（x+y）4＝a1x4+a2x3y+a3x2y2+a4xy3+a5y4，则a1+a2+a3+a4+a5的值是（ ）
A．4B．8C．16D．32
【答案】C
【解答】解：∵（x+y）4＝x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4，
∴a1+a2+a3+a4+a5
＝1+4+6+4+1
＝16，
故选：C．
6．（2022•郴州）若＝，则＝ ．
【答案】
【解答】解：根据＝得3a＝5b，则＝．
故答案为：．
7.（2022•广西）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知3a﹣b＝2，求代数式6a﹣2b﹣1的值．”可以这样解：6a﹣2b﹣1＝2（3a﹣b）﹣1＝2×2﹣1＝3．根据阅读材料，解决问题：若x＝2是关于x的一元一次方程ax+b＝3的解，则代数式4a2+4ab+b2+4a+2b﹣1的值是 ．
【答案】14
【解答】解：∵x＝2是关于x的一元一次方程ax+b＝3的解，
∴2a+b＝3，
∴b＝3﹣2a，
∴4a2+4ab+b2+4a+2b﹣1
＝4a2+4a（3﹣2a）+（3﹣2a）2+4a+2（3﹣2a）﹣1
＝4a2+12a﹣8a2+9﹣12a+4a2+4a+6﹣4a﹣1
＝14．
解法二：原式＝（2a+b）2+2（2a+b）﹣1＝32+2×3﹣1＝14，
故答案为：14．
8．（2022•岳阳）已知a2﹣2a+1＝0，求代数式a（a﹣4）+（a+1）（a﹣1）+1的值．
【解答】解：a（a﹣4）+（a+1）（a﹣1）+1
＝a2﹣4a+a2﹣1+1
＝2a2﹣4a
＝2（a2﹣2a），
∵a2﹣2a+1＝0，
∴a2﹣2a＝﹣1，
∴原式＝2×（﹣1）＝﹣2．
9．（2022•苏州）已知3x2﹣2x﹣3＝0，求（x﹣1）2+x（x+）的值．
【解答】解：原式＝x2﹣2x+1+x2+x
＝2x2﹣x+1，
∵3x2﹣2x﹣3＝0，
∴x2﹣x＝1，
∴原式＝2（x2﹣x）+1
＝2×1+1
＝3．
【命题点2 整式的有关概念及运算】
类型一 整式的有关概念
10．（2022•攀枝花）下列各式不是单项式的为（ ）
A．3B．aC．D．x2y
【答案】C
【解答】解：A、3是单项式，故本选项不符合题意；
B、a是单项式，故本选项不符合题意；
C、不是单项式，故本选项符合题意；
D、x2y是单项式，故本选项不符合题意；
故选：C．
11．（2022•广东）单项式3xy的系数为 ．
【答案】3
【解答】解：单项式3xy的系数为3．
故答案为：3．
类型二 整式的运算
12．（2022•淮安）计算a2•a3的结果是（ ）
A．a2B．a3C．a5D．a6
【答案】C
【解答】解：a2•a3＝a5．
故选：C．
13．（2022•镇江）下列运算中，结果正确的是（ ）
A．3a2+2a2＝5a4B．a3﹣2a3＝a3
C．a2•a3＝a5D．（a2）3＝a5
【答案】C
【解答】解：A.3a2+2a2＝5a2，故此选项不合题意；
B．a3﹣2a3＝﹣a3，故此选项不合题意；
C．a2•a3＝a5，故此选项符合题意；
D．（a2）3＝a6，故此选项不合题意；
故选：C．
14．（2022•淄博）计算（﹣2a3b）2﹣3a6b2的结果是（ ）
A．﹣7a6b2B．﹣5a6b2C．a6b2D．7a6b2
【答案】C
【解答】解：原式＝4a6b2﹣3a6b2＝a6b2，
故选：C．
15．（2022•毕节市）计算（2x2）3的结果，正确的是（ ）
A．8x5B．6x5C．6x6D．8x6
【答案】D
【解答】解：（2x2）3＝8x6．
故选：D．
16．（2022•河北）计算a3÷a得a？，则“？”是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解答】解：根据同底数幂的除法可得：a3÷a＝a2，
∴？＝2，
故选：C．
17．（2022•包头）若24×22＝2m，则m的值为（ ）
A．8B．6C．5D．2
【答案】B
【解答】解：∵24×22＝24+2＝26＝2m，
∴m＝6，
故选：B．
18．（2022•黔西南州）计算（﹣3x）2•2x正确的是（ ）
A．6x3B．12x3C．18x3D．﹣12x3
【答案】C
【解答】解：（﹣3x）2•2x
＝9x2•2x
＝18x3．
故选：C．
19．（2022•临沂）计算a（a+1）﹣a的结果是（ ）
A．1B．a2C．a2+2aD．a2﹣a+1
【答案】B
【解答】解：a（a+1）﹣a
＝a2+a﹣a
＝a2，
故选：B
20．（2022•南通）已知实数m，n满足m2+n2＝2+mn，则（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最大值为（ ）
A．24B．C．D．﹣4
【答案】B
【解答】解：方法1、∵m2+n2＝2+mn，
∴（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）
＝4m2+9n2﹣12mn+m2﹣4n2
＝5m2+5n2﹣12mn
＝5（mn+2）﹣12mn
＝10﹣7mn，
∵m2+n2＝2+mn，
∴（m+n）2＝2+3mn≥0（当m+n＝0时，取等号），
∴mn≥﹣，
∴（m﹣n）2＝2﹣mn≥0（当m﹣n＝0时，取等号），
∴mn≤2，
∴﹣≤mn≤2，
∴﹣14≤﹣7mn≤，
∴﹣4≤10﹣7mn≤，
即（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最大值为，
故选：B．
方法2、设m+n＝k，则m2+2mn+n2＝k2，
∴mn+2+2mn＝k2，
∴mn＝k2﹣，
∴原式＝10﹣7mn＝﹣k2+≤，
故选：B．
21．（2022•甘肃）计算：3a3•a2＝ ．
【答案】3a5
【解答】解：原式＝3a3+2
＝3a5．
故答案为：3a5．
22．（2022•常州）计算：m4÷m2＝ ．
【答案】m2
【解答】解：m4÷m2
＝m4﹣2
＝m2．
故答案为：m2
23．（2022•包头）若一个多项式加上3xy+2y2﹣8，结果得2xy+3y2﹣5，则这个多项式为 ．
【答案】y2﹣xy+3
【解答】解：由题意得，这个多项式为：
（2xy+3y2﹣5）﹣（3xy+2y2﹣8）
＝2xy+3y2﹣5﹣3xy﹣2y2+8
＝y2﹣xy+3．
故答案为：y2﹣xy+3．
类型三 乘法公式的应用及几何背景
24．（2022•兰州）计算：（x+2y）2＝（ ）
A．x2+4xy+4y2B．x2+2xy+4y2C．x2+4xy+2y2D．x2+4y2
【答案】A
【解答】解：（x+2y）2＝x2+4xy+4y2．
故选：A．
25．（2022•百色）如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2D．（ab）2＝a2b2
【答案】A
【解答】解：根据题意，大正方形的边长为a+b，面积为（a+b）2，
由边长为a的正方形，2个长为a宽为b的长方形，边长为b的正方形组成，
所以（a+b）2＝a2+2ab+b2．
故选：A．
26．（2022•滨州）若m+n＝10，mn＝5，则m2+n2的值为 ．
【答案】90
【解答】解：∵m+n＝10，mn＝5，
∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝102﹣2×5＝100﹣10＝90．
故答案为：90．
27．（2022•德阳）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，则xy＝ ．
【答案】4
【解答】解：∵（x+y）2＝x2+y2+2xy＝25，（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝9，
∴两式相减得：4xy＝16，
则xy＝4．
故答案为：4
28．（2022•大庆）已知代数式a2+（2t﹣1）ab+4b2是一个完全平方式，则实数t的值为 ．
【答案】或﹣．
【解答】解：根据题意可得，
（2t﹣1）ab＝±（2×2）ab，
即2t﹣1＝±4，
解得：t＝或t＝．
故答案为：或﹣．
29．（2022•益阳）已知m，n同时满足2m+n＝3与2m﹣n＝1，则4m2﹣n2的值是 ．
【答案】3
【解答】解：∵2m+n＝3，2m﹣n＝1，
∴4m2﹣n2＝（2m+n）（2m﹣n）＝3×1＝3．
故答案为：3．
30．（2022•遵义）已知a+b＝4，a﹣b＝2，则a2﹣b2的值为 ．
【答案】8
【解答】解：∵a+b＝4，a﹣b＝2，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
＝4×2
＝8，
故答案为：8．
31．（2022•六盘水）如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为a，b的正方形秧田A，B，其中不能使用的面积为M．
（1）用含a，M的代数式表示A中能使用的面积 ；
（2）若a+b＝10，a﹣b＝5，求A比B多出的使用面积．
【解答】解：（1）A中能使用的面积＝大正方形的面积﹣不能使用的面积，
即a2﹣M，
故答案为：a2﹣M；
（2）A比B多出的使用面积为：（a2﹣M）﹣（b2﹣M）
＝a2﹣b2
＝（a+b）（a﹣b）
＝10×5
＝50，
答：A比B多出的使用面积为50．
32．（2022•荆门）已知x+＝3，求下列各式的值：
（1）（x﹣）2；
（2）x4+．
【解答】解：（1）∵＝，
∴＝
＝
＝﹣4x•
＝32﹣4
＝5；
（2）∵＝，
∴
＝+2
＝5+2
＝7，
∵＝，
∴
＝﹣2
＝49﹣2
＝47．
33．（2022•河北）发现 两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．
验证 如，（2+1）2+（2﹣1）2＝10为偶数．请把10的一半表示为两个正整数的平方和；
探究 设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确．
【解答】解：验证：10的一半为5，
5＝1+4＝12+22，
探究：两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．理由如下：
（m+n）2+（m﹣n）2
＝m2+2mn+n2+m2﹣2mn+n2
＝2m2+2n2
＝2（m2+n2），
故两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．
类型四 整式的化简及求值
考向1 整式的化简
34.（2022•安顺）先化简，再求值：（x+3）2+（x+3）（x﹣3）﹣2x（x+1），
【解答】解：（x+3）2+（x+3）（x﹣3）﹣2x（x+1）
＝x2+6x+9+x2﹣9﹣2x2﹣2x
＝4x，
考向2 整式的化简求值
35.（2022•湖北）先化简，再求值：4xy﹣2xy﹣（﹣3xy），其中x＝2，y＝﹣1．
【解答】解：4xy﹣2xy﹣（﹣3xy）
＝4xy﹣2xy+3xy
＝5xy，
当x＝2，y＝﹣1时，原式＝5×2×（﹣1）＝﹣10．
36．（2022•盐城）先化简，再求值：（x+4）（x﹣4）+（x﹣3）2，其中x2﹣3x+1＝0．
【解答】解：原式＝x2﹣16+x2﹣6x+9
＝2x2﹣6x﹣7，
∵x2﹣3x+1＝0，
∴x2﹣3x＝﹣1，
∴2x2﹣6x＝﹣2，
∴原式＝﹣2﹣7＝﹣9．
37．（2022•长春）先化简，再求值：（2+a）（2﹣a）+a（a+1），其中a＝﹣4．
【解答】解：（2+a）（2﹣a）+a（a+1）
＝4﹣a2+a2+a
＝4+a，
当a＝﹣4时，原式＝4+﹣4
＝．
38．（2022•北京）已知x2+2x﹣2＝0，求代数式x（x+2）+（x+1）2的值．
【解答】解：x（x+2）+（x+1）2
＝x2+2x+x2+2x+1
＝2x2+4x+1，
∵x2+2x﹣2＝0，
∴x2+2x＝2，
∴当x2+2x＝2时，原式＝2（x2+2x）+1
＝2×2+1
＝4+1
＝5．
39．（2022•广西）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）+（xy2﹣2xy）÷x，其中x＝1，y＝．
【解答】解：（x+y）（x﹣y）+（xy2﹣2xy）÷x
＝x2﹣y2+y2﹣2y
＝x2﹣2y，
当x＝1，y＝时，原式＝12﹣2×＝0．
40.（2022•南充）先化简，再求值：（x+2）（3x﹣2）﹣2x（x+2），其中x＝﹣1．
【解答】解：原式＝（x+2）（3x﹣2﹣2x）
＝（x+2）（x﹣2）
＝x2﹣4，
当x＝﹣1时，
原式＝（﹣1）2﹣4＝﹣2．
41．（2022•衡阳）先化简，再求值．
（a+b）（a﹣b）+b（2a+b），其中a＝1，b＝﹣2．
【解答】解：（a+b）（a﹣b）+b（2a+b）
＝a2﹣b2+2ab+b2
＝a2+2ab，
将a＝1，b＝﹣2代入上式得：
原式＝12+2×1×（﹣2）
＝1﹣4
＝﹣3．
命题点3 因式分解及其应用
42．（2022•济宁）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1B．x2﹣1＝（x﹣1）2
C．x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2）D．x（x﹣1）＝x2﹣x
【答案】C
【解答】解：A选项不是因式分解，故不符合题意；
B选项计算错误，故不符合题意；
C选项是因式分解，故符合题意；
D选项不是因式分解，故不符合题意；
故选：C．
43．（2022•柳州）把多项式a2+2a分解因式得（ ）
A．a（a+2）B．a（a﹣2）C．（a+2）2D．（a+2）（a﹣2）
【答案】A
【解答】解：a2+2a＝a（a+2）．
故选：A．
44．（2022•广州）分解因式：3a2﹣21ab＝ ．
【答案】 3a（a﹣7b）
【解答】解：3a2﹣21ab＝3a（a﹣7b）．
故答案为：3a（a﹣7b）．
45．（2022•常州）分解因式：x2y+xy2＝ ．
【答案】xy（x+y）
【解答】解：x2y+xy2＝xy（x+y）．
故答案为：xy（x+y）．
46．（2022•河池）多项式x2﹣4x+4因式分解的结果是（ ）
A．x（x﹣4）+4B．（x+2）（x﹣2）C．（x+2）2D．（x﹣2）2
【答案】D
【解答】解：原式＝（x﹣2）2．
故选：D．
47．（2022•菏泽）分解因式：x2﹣9y2＝ ．
【答案】（x﹣3y）（x+3y）
【解答】解：原式＝（x﹣3y）（x+3y）．
故答案为：（x﹣3y）（x+3y）．
48．（2022•绥化）因式分解：（m+n）2﹣6（m+n）+9＝ ．
【答案】（m+n﹣3）2
【解答】解：原式＝（m+n）2﹣2•（m+n）•3+32
＝（m+n﹣3）2．
故答案为：（m+n﹣3）2．
49．（2022•绵阳）因式分解：3x3﹣12xy2＝ ．
【答案】3x（x+2y）（x﹣2y）
【解答】解：原式＝3x（x2﹣4y2）
＝3x（x+2y）（x﹣2y）．
故答案为：3x（x+2y）（x﹣2y）．
50．（2022•丹东）因式分解：2a2+4a+2＝ ．
【答案】2（a+1）2
【解答】解：原式＝2（a2+2a+1）
＝2（a+1）2．
故答案为：2（a+1）2．
51．（2022•巴中）因式分解：﹣a3+2a2﹣a＝ ．
【答案】﹣a（a﹣1）2
【解答】解：原式＝﹣a（a2﹣2a+1）
＝﹣a（a﹣1）2．
故答案为：﹣a（a﹣1）2．
【命题点4 规律套索题】
类型一 数式规律
52．（2022•西藏）按一定规律排列的一组数据：，﹣，，﹣，，﹣，…．则按此规律排列的第10个数是（ ）
A．﹣B．C．﹣D．
【答案】A
【解答】解：原数据可转化为：，﹣，，﹣，，﹣，…，
∴＝（﹣1）1+1×，
﹣＝（﹣1）2+1×，
＝（﹣1）3+1×，
..．
∴第n个数为：（﹣1）n+1，
∴第10个数为：（﹣1）10+1×＝﹣．
故选：A．
53．（2022•新疆）将全体正偶数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第10行第5个数是（ ）
A．98B．100C．102D．104
【答案】B
【解答】解：由三角形的数阵知，第n行有n个偶数，
则得出前9行有1+2+3+4+5+6+7+8+9＝45个偶数，
∴第9行最后一个数为90，
∴第10行第5个数是90+2×5＝100，
故选：B．
54．（2022•云南）按一定规律排列的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，……，第n个单项式是（ ）
A．（2n﹣1）xnB．（2n+1）xnC．（n﹣1）xnD．（n+1）xn
【答案】A
【解答】解：∵单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，…，
∴第n个单项式为（2n﹣1）xn，
故选：A．
55．（2022•徐汇区校级自主招生）设x1，x2，x3，…，x100是整数，且满足下列条件：
①﹣1≤xi≤2，i＝1，2，3，…，100；
②x1+x2+x3+…+x100＝20；
③x12+x22+x32+…+x1002＝100，则x13+x23+x33+…+x1003的最小值和最大值的和为 ．
【答案】160
【解答】解：由题意可设x1，x2，x3，…，x100中有a个﹣1，b个0，c个1，d个2，
则a+b+c+d＝100，﹣a+c+2d＝20，a+c+4d＝100，
可得a＝40﹣d，b＝3d，c＝60﹣3d，
∴x13+x23+x33+…+x1003＝﹣a+c+8d＝20+6d，
由，解得：0≤d≤20，
∴当d＝0时，x13+x23+x33+…+x1003的最小值为20，
当d＝20时，x13+x23+x33+…+x1003的最大值为140．
∴x13+x23+x33+…+x1003的最小值和最大值的和为160．
故答案为：160．
56．（2022•恩施州）观察下列一组数：2，，，…，它们按一定规律排列，第n个数记为an，且满足+＝．则a4＝ ，a2022＝ ．
【答案】
【解答】解：由题意可得：a1＝2＝，a2＝＝，a3＝，
∵+＝，
∴2+＝7，
∴a4＝＝，
∵＝，
∴a5＝，
同理可求a6＝＝，•••
∴an＝，
∴a2022＝，
故答案为：，．
57．（2022•泰安）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
若有序数对（n，m）表示第n行，从左到右第m个数，如（3，2）表示6，则表示99的有序数对是 ．
【答案】（10，18）
【解答】解：∵第n行的最后一个数是n2，第n行有（2n﹣1）个数，
∴99＝102﹣1在第10行倒数第二个，
第10行有：2×10﹣1＝19个数，
∴99的有序数对是（10，18）．
故答案为：（10，18）．
类型二 图形规律
58．（2022•济宁）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是（ ）
A．297B．301C．303D．400
【答案】B
【解答】解：观察图形可知：
摆第1个图案需要4个圆点，即4+3×0；
摆第2个图案需要7个圆点，即4+3＝4+3×1；
摆第3个图案需要10个圆点，即4+3+3＝4+3×2；
摆第4个图案需要13个圆点，即4+3+3+3＝4+3×3；
…
第n个图摆放圆点的个数为：4+3（n﹣1）＝3n+1，
∴第100个图放圆点的个数为：3×100+1＝301．
故选：B
59．（2022•广州）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第n个图形需要2022根小木棒，则n的值为（ ）
A．252B．253C．336D．337
【答案】B
【解答】解：由题意知，第1个图形需要6根小木棒，
第2个图形需要6×2+2＝14根小木棒，
第3个图形需要6×3+2×2＝22根小木棒，
按此规律，第n个图形需要6n+2（n﹣1）＝（8n﹣2）根小木棒，
当8n﹣2＝2022时，
解得n＝253，
故选：B．
60．（2022•江西）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】B
【解答】解：第1个图中H的个数为4，
第2个图中H的个数为4+2，
第3个图中H的个数为4+2×2，
第4个图中H的个数为4+2×3＝10，
故选：B．
61．（2022•重庆）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（ ）
A．32B．34C．37D．41
【答案】C
【解答】解：由题知，第①个图案中有5个正方形，
第②个图案中有9个正方形，
第③个图案中有13个正方形，
第④个图案中有17个正方形，
…，
第n个图案中有4n+1个正方形，
∴第⑨个图案中正方形的个数为4×9+1＝37，
故选：C．
62.（2022•黑龙江）如图所示，以O为端点画六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，再从射线OA上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将各条射线所描的点依次记为1，2，3，4，5，6，7，8…后，那么所描的第2013个点在射线 上．
【答案】OC
【解答】解：∵1在射线OA上，
2在射线OB上，
3在射线OC上，
4在射线OD上，
5在射线OE上，
6在射线OF上，
7在射线OA上，
…
每六个一循环，
2013÷6＝335…3，
∴所描的第2013个点在射线和3所在射线一样，
∴所描的第2013个点在射线OC上．
故答案为：OC．
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