中考数学压轴真题汇编(全国通用)专题07圆的综合问题真题压轴汇编(原卷版+解析)

这是一份中考数学压轴真题汇编(全国通用)专题07圆的综合问题真题压轴汇编(原卷版+解析)，共52页。试卷主要包含了，且满足＝等内容，欢迎下载使用。

一．圆与锐角三角函数综合
1．（2022•南充）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D是⊙O外一点，∠BCD＝∠BAC，连接OD交BC于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若CE＝OA，sin∠BAC＝，求tan∠CEO的值．
2．（2022•菏泽）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交AC、BC于点D、E，且D是AC的中点，过点D作DG⊥BC于点G，交BA的延长线于点H．
（1）求证：直线HG是⊙O的切线；
（2）若HA＝3，csB＝，求CG的长．
3．（2022•德州）如图1，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，O为底边BC的中点，过点O作OD⊥AB，垂足为D，以点O为圆心，OD为半径作圆，交BC于点M，N．
（1）AB与⊙O的位置关系为 ；
（2）求证：AC是⊙O的切线；
（3）如图2，连接DM，DM＝4，∠A＝96°，求⊙O的直径．（结果保留小数点后一位．参考数据：sin24°≈0.41，cs24°≈0.91，tan24°≈0.45）
4．（2022•河南）为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环⊙O与水平地面相切于点C，推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD，点O，A，B，C，D在同一平面内．当推杆AB与铁环⊙O相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果．
（1）求证：∠BOC+∠BAD＝90°．
（2）实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离AD最小，测得cs∠BAD＝．已知铁环⊙O的半径为25cm，推杆AB的长为75cm，求此时AD的长．
二．圆+相似三角形+勾股定理综合
5．（2022•温州）如图1，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆于点D，BE⊥CD，交CD延长线于点E，交半圆于点F，已知BC＝5，BE＝3，点P，Q分别在线段AB，BE上（不与端点重合），且满足＝．设BQ＝x，CP＝y．
（1）求半圆O的半径．
（2）求y关于x的函数表达式．
（3）如图2，过点P作PR⊥CE于点R，连结PQ，RQ．
①当△PQR为直角三角形时，求x的值．
②作点F关于QR的对称点F′，当点F′落在BC上时，求的值．
6．（2022•泸州）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，过点D作⊙O的切线交CO的延长线于点F．
（1）求证：FD∥AB；
（2）若AC＝2，BC＝，求FD的长．
7．（2022•遂宁）如图⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC上，∠BAC的角平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）求证：△ABD∽△DCP；
（3）若AB＝6，AC＝8，求点O到AD的距离．
8．（2022•锦州）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，D为的中点，连接AE，BD并延长交于点C．连接OD，在OD的延长线上取一点F，连接BF，使∠CBF＝∠BAC．
（1）求证：BF为⊙O的切线；
（2）若AE＝4，OF＝，求⊙O的半径．
三．圆＋相似三角形+锐角三角函数
9.（2022•安顺）如图，AB是⊙O的直径，点E是劣弧BD上一点，∠PAD＝∠AED，且DE＝，AE平分∠BAD，AE与BD交于点F．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若tan∠DAE＝，求EF的长；
（3）延长DE，AB交于点C，若OB＝BC，求⊙O的半径．
10．（2022•黄石）如图CD是⊙O直径，A是⊙O上异于C，D的一点，点B是DC延长线上一点，连AB、AC、AD，且∠BAC＝∠ADB．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若BC＝2OC，求tan∠ADB的值；
（3）在（2）的条件下，作∠CAD的平分线AP交⊙O于P，交CD于E，连PC、PD，若AB＝2，求AE•AP的值．
四．切线+阴影面积
11．（2022•淮安）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB＝60°，AD经过圆心O交⊙O于点E，连接BD，∠ADB＝30°．
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝4，求图中阴影部分的面积．
12．（2022•徐州）如图，点A、B、C在圆O上，∠ABC＝60°，直线AD∥BC，AB＝AD，点O在BD上．
（1）判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；
（2）若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．
13．（2022•攀枝花）如图，⊙O的直径AB垂直于弦DC于点F，点P在AB的延长线上，CP与⊙O相切于点C．
（1）求证：∠PCB＝∠PAD；
（2）若⊙O的直径为4，弦DC平分半径OB，求：图中阴影部分的面积．
14．（2022•东营）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，BD⊥CE于点D，BC平分∠ABD．
（1）求证：直线CE是⊙O的切线；
（2）若∠ABC＝30°，⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
五．勾股定理+特殊角综合
15．（2022•宁夏）如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交AC于点M．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）求证：AB＝AM；
（3）若ME＝1，∠F＝30°，求BF的长．
16．（2022•陕西）如图，在△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝4．延长OA至点C，使AC＝8，连接BC，以O为圆心，OB长为半径作⊙O，延长BA，与⊙O交于点E，作弦BF＝BE，连接EF，与BO的延长线交于点D．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求EF的长．
17．（2022•巴中）四边形ABCD内接于⊙O，直径AC与弦BD交于点E，直线PB与⊙O相切于点B．
（1）如图1，若∠PBA＝30°，且EO＝EA，求证：BA平分∠PBD；
（2）如图2，连接OB，若∠DBA＝2∠PBA，求证：△OAB∽△CDE．
六．圆+相似三角形综合
18．（2022•内蒙古）如图，⊙O是△ABC的外接圆，EF与⊙O相切于点D，EF∥BC分别交AB，AC的延长线于点E和F，连接AD交BC于点N，∠ABC的平分线BM交AD于点M．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若AB：BE＝5：2，AD＝，求线段DM的长．
19．（2022•朝阳）如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E，点F为BD延长线上一点，∠DAF＝∠B．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AD是△AEF的中线，且AD＝6，求AE的长．
20．（2022•绵阳）如图，AB为⊙O的直径，C为圆上的一点，D为劣弧的中点，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P，与AB的延长线交于点F，AD与BC交于点E．
（1）求证：BC∥PF；
（2）若⊙O的半径为，DE＝1，求AE的长度；
（3）在（2）的条件下，求△DCP的面积．
21．（2022•西宁）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AB上，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，交BC于点F，连接DF，OE交于点M．
（1）求证：四边形EMFC是矩形；
（2）若AE＝，⊙O的半径为2，求FM的长．
22．（2022•青海）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线EF，交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F．
（1）求证：AF⊥EF；
（2）若CF＝1，AC＝2，AB＝4，求BE的长．
23．（2022•广西）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E，延长BA交⊙O于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若＝，AF＝10，求⊙O的半径．
挑战2023年中考数学解答题压轴真题汇编
专题07 圆的综合问题真题压轴汇编
一．圆与锐角三角函数综合
1．（2022•南充）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D是⊙O外一点，∠BCD＝∠BAC，连接OD交BC于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若CE＝OA，sin∠BAC＝，求tan∠CEO的值．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵∠BCD＝∠BAC，
∴∠OCB+∠DCB＝90°，
∴OC⊥CD，
∵OC为⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：过点O作OH⊥BC于点H．
∵sin∠BAC＝＝，
∴可以假设BC＝4k，AB＝5k，则AO＝OC＝CE＝2.5k，
∵OH⊥BC，OC＝OB
∴CH＝BH＝2k，
∵OA＝OB，AC2＝AB2﹣BC2，
∴OH＝AC＝k，
∴EH＝CE﹣CH＝2.5k﹣2k＝0.5k，
∴tan∠CEO＝＝＝3．
2．（2022•菏泽）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交AC、BC于点D、E，且D是AC的中点，过点D作DG⊥BC于点G，交BA的延长线于点H．
（1）求证：直线HG是⊙O的切线；
（2）若HA＝3，csB＝，求CG的长．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AD＝DC，AO＝OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，OD＝BC，
∵DG⊥BC，
∴OD⊥HG，
∵OD是⊙O的半径，
∴直线HG是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为x，则OH＝x+3，BC＝2x，
∵OD∥BC，
∴∠HOD＝∠B，
∴cs∠HOD＝，即＝＝，
解得：x＝2，
∴BC＝4，BH＝7，
∵csB＝，
∴＝，即＝，
解得：BG＝，
∴CG＝BC﹣BG＝4﹣＝．
3．（2022•德州）如图1，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，O为底边BC的中点，过点O作OD⊥AB，垂足为D，以点O为圆心，OD为半径作圆，交BC于点M，N．
（1）AB与⊙O的位置关系为 相切 ；
（2）求证：AC是⊙O的切线；
（3）如图2，连接DM，DM＝4，∠A＝96°，求⊙O的直径．（结果保留小数点后一位．参考数据：sin24°≈0.41，cs24°≈0.91，tan24°≈0.45）
【解答】（1）解：∵OD⊥AB，点O为圆心，OD为半径，
∴直线AB到圆心O的距离等于圆的半径，
∴AB为⊙O的切线，
∴AB与⊙O的位置关系为相切，
故答案为：相切；
（2）证明：过点O作OE⊥AC于点E，连接OA，如图，
∵AB＝AC，O为底边BC的中点，
∴AO为∠BAC的平分线，
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴OD＝OE，
∵OD为⊙O的半径，
∴OE为⊙O的半径，
这样，直线AC到圆心O的距离等于圆的半径，
∴AC是⊙O的切线；
（3）解：过点O作OF⊥DM于点F，如图，
∵AB＝AC，∠A＝96°，
∴∠B＝∠C＝＝42°，
∵OD⊥AB，
∴∠BOD＝90°﹣∠B＝48°．
∵OF⊥DM，
∴DF＝MF＝DM＝2，
∵OD＝OM，OF⊥DM，
∴OF为∠DOM的平分线，
∴∠DOF＝∠BOD＝24°．
在Rt△ODF中，
∵sin∠DOF＝，
∴sin24°＝，
∴OD＝≈≈4.9，
∴⊙O的直径＝2OD＝2×4.9＝9.8．
4．（2022•河南）为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环⊙O与水平地面相切于点C，推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD，点O，A，B，C，D在同一平面内．当推杆AB与铁环⊙O相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果．
（1）求证：∠BOC+∠BAD＝90°．
（2）实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离AD最小，测得cs∠BAD＝．已知铁环⊙O的半径为25cm，推杆AB的长为75cm，求此时AD的长．
【解答】（ 1）证明：方法1：如图1，过点B作EF∥CD，分别交AD于点E，交OC于点F．
∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD＝90°．
∵AD⊥CD，
∴∠ADC＝90°．
∵EF∥CD，
∴∠OFB＝∠AEB＝90°，
∴∠BOC+∠OBF＝90°，∠ABE+∠BAD＝90°，
∵AB为⊙O的切线，
∴∠OBA＝90°．
∴∠OBF+∠ABE＝90°，
∴∠OBF＝∠BAD，
∴∠BOC+∠BAD＝90°；
方法2：如图2，延长OB交CD于点M．
∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCM＝90°，
∴∠BOC+∠BMC＝90°，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC＝90°．
∵AB为⊙O的切线，
∴∠OBA＝90°，
∴∠ABM＝90°．
∴在四边形ABMD中，∠BAD+∠BMD＝180°．
∵∠BMC+∠BMD＝180°，
∴∠BMC＝∠BAD．
∴∠BOC+∠BAD＝90°；
方法3：如图3，过点B作BN∥AD，
∴∠NBA＝∠BAD．
∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD＝90°，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC＝90°．
∴AD∥OC，
∴BN∥OC，
∴∠NBO＝∠BOC．
∵AB为OO的切线，
∴∠OBA＝90°，
∴∠NBO+∠NBA＝90°，
∴∠BOC+∠BAD＝90°．
（2）解：如图1，在Rt△ABE中，
∵AB＝75，cs∠BAD＝，
∴AE＝45．
由（1）知，∠OBF＝∠BAD，
∴cs∠OBF＝，
在Rt△OBF中，
∵OB＝25，
∴BF＝15，
∴OF＝20．
∵OC＝25，
∴CF＝5．
∵∠OCD＝∠ADC＝∠CFE＝90°，
∴四边形CDEF为矩形，
∴DE＝CF＝5，
∴AD＝AE+ED＝50cm．
二．圆+相似三角形+勾股定理综合
5．（2022•温州）如图1，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆于点D，BE⊥CD，交CD延长线于点E，交半圆于点F，已知BC＝5，BE＝3，点P，Q分别在线段AB，BE上（不与端点重合），且满足＝．设BQ＝x，CP＝y．
（1）求半圆O的半径．
（2）求y关于x的函数表达式．
（3）如图2，过点P作PR⊥CE于点R，连结PQ，RQ．
①当△PQR为直角三角形时，求x的值．
②作点F关于QR的对称点F′，当点F′落在BC上时，求的值．
【解答】解：（1）如图1，连接OD，设半径为r，
∵CD切半圆于点D，
∴OD⊥CD，
∵BE⊥CD，
∴OD∥BE，
∴△COD∽△CBE，
∴，
∴，
解得r＝，
∴半圆O的半径为；
（2）由（1）得，CA＝CB﹣AB＝5﹣2×＝，
∵＝，BQ＝x，
∴AP＝，
∴CP＝AP+AC，
∴y＝；
（3）①显然∠PRQ＜90°，所以分两种情形，
当∠RPQ＝90°时，则四边形RPQE是矩形，
∴PR＝QE，
∵PR＝PC×sinC＝，
∴，
∴x＝，
当∠PQR＝90°时，过点P作PH⊥BE于点H，如图，
则四边形PHER是矩形，
∴PH＝RE，EH＝PR，
∵CR＝CP•csC＝，
∴PH＝RE＝3﹣x＝EQ，
∴∠EQR＝∠ERQ＝45°，
∴∠PQH＝45°＝∠QPH，
∴HQ＝HP＝3﹣x，
由EH＝PR得：（3﹣x）+（3﹣x）＝，
∴x＝，
综上，x的值为或；
②如图，连接AF，QF'，由对称可知QF＝QF'，
∵CP＝，
∴CR＝x+1，
∴ER＝3﹣x，
∵BQ＝x，
∴EQ＝3﹣x，
∴ER＝EQ，
∴∠F'QR＝∠EQR＝45°，
∴∠BQF'＝90°，
∴QF＝QF'＝BQ•tanB＝，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴BF＝AB•csB＝，
∴，
∴x＝，
∴．
6．（2022•泸州）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，过点D作⊙O的切线交CO的延长线于点F．
（1）求证：FD∥AB；
（2）若AC＝2，BC＝，求FD的长．
【解答】（1）证明：连接OD．
∵DF是⊙O的切线，
∴OD⊥DF，
∵CD平分∠ACB，
∴＝，
∴OD⊥AB，
∴AB∥DF；
（2）解：过点C作CH⊥AB于点H．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵BC＝，AC＝2，
∴AB＝＝＝5，
∵S△ABC＝•AC•BC＝•AB•CH，
∴CH＝＝2，
∴BH＝＝1，
∴OH＝OB﹣BH＝﹣1＝，
∵DF∥AB，
∴∠COH＝∠F，
∵∠CHO＝∠ODF＝90°，
∴△CHO∽△ODF，
∴＝，
∴＝，
∴DF＝．
7．（2022•遂宁）如图⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC上，∠BAC的角平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）求证：△ABD∽△DCP；
（3）若AB＝6，AC＝8，求点O到AD的距离．
【解答】（1）证明：如图1，连接OD．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
∴∠BOD＝∠COD＝90°，
∵BC∥PD，
∴∠ODP＝∠BOD＝90°，
∴OD⊥PD，
∵OD是半径，
∴PD是⊙O的切线．
（2）证明：∵BC∥PD，
∴∠PDC＝∠BCD．
∵∠BCD＝∠BAD，
∴∠BAD＝∠PDC，
∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠PCD＝180°，
∴∠ABD＝∠PCD，
∴△ABD∽△DCP；
（3）解法一：如图，过点O作OE⊥AD于E，连接OD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝∠BDC＝90°，
∵AB＝6，AC＝8，
∴BC＝＝10，
∵BD＝CD，
∴BD＝CD＝5，
由（2）知：△ABD∽△DCP，
∴＝，即＝，
∴CP＝，
∴AP＝AC+CP＝8+＝，
∵∠ADB＝∠ACB＝∠P，∠BAD＝∠DAP，
∴△BAD∽△DAP，
∴＝，即＝，
∴AD2＝6×＝98，
∴AD＝7，
∵OE⊥AD，
∴DE＝AD＝，
∴OE＝＝＝，
即点O到AD的距离是．
解法二：如图，过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，过点O作OE⊥AD于E，连接OD，则∠M＝∠CND＝90°，
∵AD平分∠BAC，∠BAC＝90°，
∴DM＝DN，∠DAM＝∠CAD＝45°，
∵A，B，D，C四点共圆，
∴∠DBM＝∠DCN，
∴△DCN≌△DBM（AAS），
∴CN＝BM，
同理得：AM＝AN，
∵AB＝6，AC＝8，
∴AM＝DM＝7，
∴AD＝7，
由解法一可得：OE＝．
即点O到AD的距离是．
8．（2022•锦州）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，D为的中点，连接AE，BD并延长交于点C．连接OD，在OD的延长线上取一点F，连接BF，使∠CBF＝∠BAC．
（1）求证：BF为⊙O的切线；
（2）若AE＝4，OF＝，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：如图，连接AD，
AB是圆的直径，则∠ADB＝90°，
D为的中点，则∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，
∵，
∴∠CBF＝∠BAD，
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠ABF＝∠ABD+∠CBF＝90°，
∴AB⊥BF，
∵OB是⊙O的半径，
∴BF是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接BE，
AB是圆的直径，则∠AEB＝90°，
∵∠BOD＝2∠BAD，∠BAC＝2∠BAD，
∴∠BOD＝∠BAC，
又∵∠ABF＝∠AEB＝90°，
∴△OBF∽△AEB，
∴OB：AE＝OF：AB，
∴OB：4＝：2OB，OB2＝9，
OB＞0，则OB＝3，
∴⊙O的半径为3．
三．圆＋相似三角形+锐角三角函数
9.（2022•安顺）如图，AB是⊙O的直径，点E是劣弧BD上一点，∠PAD＝∠AED，且DE＝，AE平分∠BAD，AE与BD交于点F．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若tan∠DAE＝，求EF的长；
（3）延长DE，AB交于点C，若OB＝BC，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠ABD＝90°，
∵∠PAD＝∠AED，∠AED＝∠ABD，
∴∠PAD＝∠ABD，
∴∠DAB+∠PAD＝90°，即∠PAB＝90°，
∴AB⊥PA，
∵AB是⊙O的直径，
∴PA是⊙O的切线；
（2）解：连接BE，如图：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴＝，∠DAE＝∠BAE＝∠DBE，
∴BE＝DE＝，tan∠DAE＝tan∠BAE＝tan∠DBE＝＝，
∴＝，
∴EF＝1；
（3）解：连接OE，如图：
∵OE＝OA，
∴∠AEO＝∠OAE，
∵∠OAE＝∠DAE，
∴∠AEO＝∠DAE，
∴OE∥AD，
∴＝，
∵OA＝OB＝BC，
∴＝2，
∴＝2，
∵DE＝，
∴CE＝2，CD＝CE+DE＝3
设BC＝OB＝OA＝R，
∵∠BDC＝∠BAE，∠C＝∠C，
∴△CBD∽△CEA，
∴＝，即＝，
∴R＝2，
∴⊙O的半径是2．
10．（2022•黄石）如图CD是⊙O直径，A是⊙O上异于C，D的一点，点B是DC延长线上一点，连AB、AC、AD，且∠BAC＝∠ADB．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若BC＝2OC，求tan∠ADB的值；
（3）在（2）的条件下，作∠CAD的平分线AP交⊙O于P，交CD于E，连PC、PD，若AB＝2，求AE•AP的值．
【解答】（1 ）证明：连接OA，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD＝90°，
∴∠OAC+∠OAD＝90°，
又∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
又∵∠BAC＝∠ADB，
∴∠BAC+∠OAC＝90°，
即∠BAO＝90°，
∴AB⊥OA，
又∵OA为半径，
∴直线AB是⊙O的切线；
（2）解：∵∠BAC＝∠ADB，∠B＝∠B，
∴△BCA∽△BAD，
∴，
设半径OC＝OA＝r，
∵BC＝2OC，
∴BC＝2r，OB＝3r，
在Rt△BAO中，
AB＝，
在Rt△CAD中，
tan∠ADC＝；
（3）解：在（2）的条件下，AB＝2r＝2，
∴r＝，
∴CD＝2，
在Rt△CAD中，
，AC2+AD2＝CD2，
解得AC＝2，AD＝2，
∵AP平分∠CAD，
∴∠CAP＝∠EAD，
又∵∠APC＝∠ADE，
∴△CAP∽△EAD，
∴，
∴AE•AP＝AC•AD＝2×2＝4．
四．切线+阴影面积
11．（2022•淮安）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB＝60°，AD经过圆心O交⊙O于点E，连接BD，∠ADB＝30°．
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝4，求图中阴影部分的面积．
【解答】解：（1）直线BD与⊙O相切，
理由：连接BE，
∵∠ACB＝60°，
∴∠AEB＝∠C＝60°，
连接OB，
∵OB＝OE，
∴△OBE是等边三角形，
∴∠BOD＝60°，
∵∠ADB＝30°，
∴∠OBD＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴OB⊥BD，
∵OB是⊙O的半径，
∴直线BD与⊙O相切；
（2）∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
∵AB＝4，
∴sin∠AEB＝sin60°＝＝＝，
∴AE＝8，
∴OB＝4，
∴BD＝OB＝4，
∴图中阴影部分的面积＝S△OBD﹣S扇形BOE＝4×﹣＝8﹣．
12．（2022•徐州）如图，点A、B、C在圆O上，∠ABC＝60°，直线AD∥BC，AB＝AD，点O在BD上．
（1）判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；
（2）若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．
【解答】解：（1）直线AD与圆O相切，
连接OA，
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠DBC，
∵AD＝AB，
∴∠D＝∠ABD，
∴∠DBC＝∠ABD＝30°，
∠BAD＝120°，
∵OA＝OB，
∴∠BAO＝∠ABD＝30°，
∴∠OAD＝90°，
∴OA⊥AD，
∵OA是圆的半径，
∴直线AD与圆O相切，
（2）连接OC，作OH⊥BC于H，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝30°，
∴∠BOC＝120°，
∴OH＝OB＝3，BH＝OH＝3，
∴BC＝2BH＝6，
∴扇形OBC的面积为：＝＝12π，
∵S△OBC＝BC•OH＝×6×3＝9，
∴阴影部分的面积为：12π﹣9．
13．（2022•攀枝花）如图，⊙O的直径AB垂直于弦DC于点F，点P在AB的延长线上，CP与⊙O相切于点C．
（1）求证：∠PCB＝∠PAD；
（2）若⊙O的直径为4，弦DC平分半径OB，求：图中阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CP与⊙O相切，
∴OC⊥PC，
∴∠PCB+∠OCB＝90°，
∵AB⊥DC，
∴∠PAD+∠ADF＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
由圆周角定理得：∠ADF＝∠OBC，
∴∠PCB＝∠PAD；
（2）解：连接OD，
在Rt△ODF中，OF＝OD，
则∠ODF＝30°，
∴∠DOF＝60°，
∵AB⊥DC，
∴DF＝FC，
∵BF＝OF，AB⊥DC，
∴S△CFB＝S△DFO，
∴S阴影部分＝S扇形BOD＝＝π．
14．（2022•东营）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，BD⊥CE于点D，BC平分∠ABD．
（1）求证：直线CE是⊙O的切线；
（2）若∠ABC＝30°，⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵BC平分∠ABD，
∴∠OBC＝∠DBC，
∴∠DBC＝∠OCB，
∴OC∥BD，
∵BD⊥CE，
∴OC⊥CE，
∵OC为⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：过点O作OH⊥BC于H，
则BH＝HC，
在Rt△OHB中，∠OBH＝30°，OB＝2，
∴BH＝OB•cs∠OBH＝2×＝，OH＝OB＝1，
∴BC＝2，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝30°，
∴∠BOC＝120°，
∴S阴影部分＝S扇形BOC﹣S△BOC
＝﹣×2×1
＝﹣．
五．勾股定理+特殊角综合
15．（2022•宁夏）如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交AC于点M．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）求证：AB＝AM；
（3）若ME＝1，∠F＝30°，求BF的长．
【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠DAC，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴∠ODF＝∠AED＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，
∴直线DE是⊙O的切线．
（2）证明：∵线段AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADM＝180°﹣∠ADB＝90°，
∴∠M+∠DAM＝90°，∠ABM+∠DAB＝90°，
∵∠DAM＝∠DAB，
∴∠M＝∠ABM，
∴AB＝AM．
（3）解：∵∠AEF＝90°，∠F＝30°，
∴∠BAM＝60°，
∴△ABM是等边三角形，
∴∠M＝60°，
∵∠DEM＝90°，ME＝1，
∴∠EDM＝30°，
∴MD＝2ME＝2，
∴BD＝MD＝2，
∵∠BDF＝∠EDM＝30°，
∴∠BDF＝∠F，
∴BF＝BD＝2．
16．（2022•陕西）如图，在△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝4．延长OA至点C，使AC＝8，连接BC，以O为圆心，OB长为半径作⊙O，延长BA，与⊙O交于点E，作弦BF＝BE，连接EF，与BO的延长线交于点D．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求EF的长．
【解答】（1）证明：∵OA＝2，AB＝4，AC＝8，
∴，
∵∠OAB＝∠BAC＝90°，
∴△OAB∽△BAC，
∴∠BOA＝∠ABC，
∵∠OBA+∠BOA＝90°，
∴∠OBA+∠ABC＝90°，
即∠OBC＝90°，
∵OB为⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：如图，过点O作OG⊥BF于点G，
∵OG⊥BF，OA⊥BE，弦BF＝BE，
∴BG＝AB，
∵OB＝OB，
∴Rt△BOG≌Rt△BOA（HL），
∴∠FBD＝∠EBD，即BD平分∠FBE，
∵BF＝BE，即△BEF为等腰三角形，
∴BD⊥EF，DF＝DE，
∵OA＝2，AB＝4，
∴，
在Rt△ABO中，sin∠OBA＝＝，
在Rt△BDE中，sin∠DBE＝，
∴DE＝
∴EF＝．
17．（2022•巴中）四边形ABCD内接于⊙O，直径AC与弦BD交于点E，直线PB与⊙O相切于点B．
（1）如图1，若∠PBA＝30°，且EO＝EA，求证：BA平分∠PBD；
（2）如图2，连接OB，若∠DBA＝2∠PBA，求证：△OAB∽△CDE．
【解答】（1）证明：连接OB，
∵直线PB与⊙O相切于点B，
∴∠PBO＝90°．
∴∠PBA+∠ABO＝90°．
∵∠PBA＝30°，
∴∠ABO＝60°．
又∵OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形．
又∵OE＝AE，
∴BE平分∠ABO．
∴，
∴BA平分∠PBD；
（2）证明：∵直线PB与⊙O相切于点B，
∴∠PBO＝90°．
∴∠PBA+∠ABO＝90°．
∵AC为直径，
∴∠ABC＝90°．
∴∠OBC+∠ABO＝90°．
∴∠OBC＝∠PBA．
∵OB＝OC，
∴∠PBA＝∠OBC＝∠OCB．
∴∠AOB＝2∠OCB＝2∠PBA．
∵∠ACD＝∠ABD＝2∠PBA，
∴∠AOB＝∠ACD，
又∵∠BAO＝∠BDC，
∴△OAB∽△CDE．
六．圆+相似三角形综合
18．（2022•内蒙古）如图，⊙O是△ABC的外接圆，EF与⊙O相切于点D，EF∥BC分别交AB，AC的延长线于点E和F，连接AD交BC于点N，∠ABC的平分线BM交AD于点M．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若AB：BE＝5：2，AD＝，求线段DM的长．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵EF与⊙O相切于点D，
∴OD⊥EF，
∵BC∥EF，
∴OD⊥BC，
∴，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴AD平分∠BAC；
（2）解：∵AB：BE＝5：2，，EF∥BC，
∴＝，
∴DN＝，
∵∠BAD＝∠CAD＝∠CBD，
又∵∠BDN＝∠ADB，
∴△BDN∽△ADB，
∴，即：，
∴BD＝2（负值舍去），
∵∠ABC的平分线BM交AD于点M，
∴∠ABM＝∠CBM，
∴∠ABM+∠BAD＝∠CBM+∠CBD，即：∠BMD＝∠DBM，
∴DM＝BD＝2．
19．（2022•朝阳）如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E，点F为BD延长线上一点，∠DAF＝∠B．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AD是△AEF的中线，且AD＝6，求AE的长．
【解答】（1）证明：∵AC是直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∵∠ACD＝∠B，∠B＝∠DAF，
∴∠DAF+∠DAC＝90°，
∴OA⊥AF，
∵OA是半径，
∴AF是⊙O的切线；
（2）解：作DH⊥AC于点H，
∵⊙O的半径为5，
∴AC＝10，
∵∠AHD＝∠ADC，∠DAH＝∠CAD，
∴△ADH∽△ACD，
∴，
∴AD2＝AH•AC，
∴AH＝，
∵AD是△AEF的中线，∠EAF＝90°，
∴AD＝ED，
∴AE＝2AH＝．
20．（2022•绵阳）如图，AB为⊙O的直径，C为圆上的一点，D为劣弧的中点，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P，与AB的延长线交于点F，AD与BC交于点E．
（1）求证：BC∥PF；
（2）若⊙O的半径为，DE＝1，求AE的长度；
（3）在（2）的条件下，求△DCP的面积．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵D为劣弧的中点，
∴，
∴OD⊥BC．
∵PF是⊙O的切线，
∴OD⊥PF，
∴BC∥PF；
（2）连接OD，BD，如图，
设AE＝x，则AD＝1+x．
∵D为劣弧的中点，
∴，
∴CD＝BD，∠DCB＝∠CAD．
∵∠CDE＝∠ADC，
∴△CDE∽△ADC，
∴，
∴CD2＝DE•AD＝1×（1+x）＝1+x．
∴BD2＝1+x．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD2+BD2＝AB2．
∵⊙O的半径为，
∴AB＝2．
∴，
解得：x＝3或x＝﹣6（不合题意，舍去），
∴AE＝3．
（3）连接OD，BD，设OD与BC交于点H，如图，
由（2）知：AE＝3，AD＝AE+DE＝4，DB＝＝2，
∵∠ADB＝90°，
∴cs∠DAB＝＝．
∵OA＝OD，
∴∠DAB＝∠ADO，
∴cs∠ADO＝cs∠DAB＝．
∵OH⊥BC，
∴BH＝CH，cs∠ADO＝，
∴DH＝DE×＝．
∴OH＝OD﹣DH＝﹣＝．
∴BH＝＝，
∴CH＝BH＝．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
由（1）知：OD⊥PD，OH⊥BC，
∴四边形CHDP为矩形，
∴∠P＝90°，CP＝DH＝，DP＝CH＝，
∴△DCP的面积＝CP•DP＝．
21．（2022•西宁）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AB上，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，交BC于点F，连接DF，OE交于点M．
（1）求证：四边形EMFC是矩形；
（2）若AE＝，⊙O的半径为2，求FM的长．
【解答】（1）证明：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BFD＝90°，
∴∠CFD＝90°．
∵⊙O与AC相切于点E，
∴OE⊥AC，
∴∠OEC＝∠OEA＝90°．
又∵∠C＝90°，
∴∠C＝∠CFD＝∠OEC＝90°，
∴∠EMF＝90°，
∴四边形EMFC是矩形．
（2）解：在Rt△AEO中，∠AEO＝90°，AE＝，OE＝2，
∴OA＝＝＝3，
∴AB＝OA+OB＝3+2＝5．
∵∠AEO＝∠C＝90°，
∴OE∥BC，
∴△AEO∽△ACB，
∴＝，即＝，
∴AC＝，
∴CE＝AC﹣AE＝﹣＝．
又∵四边形EMFC是矩形，
∴FM＝CE＝．
22．（2022•青海）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线EF，交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F．
（1）求证：AF⊥EF；
（2）若CF＝1，AC＝2，AB＝4，求BE的长．
【解答】（1）证明：连接OD，如图：
∵AD平分∠CAB，
∴∠FAD＝∠OAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠FAD＝∠ODA，
∴OD∥AF，
∵EF是⊙O的切线，OD是⊙O的半径，
∴OD⊥EF，
∴AF⊥EF；
（2）解：连接CO并延长交⊙O于K，连接DK，DC，如图：
∵CK是⊙O的直径，
∴∠CDK＝90°，
∴∠K+∠DCK＝90°，
∵OD⊥EF，
∴∠ODF＝90°，即∠ODC+∠CDF＝90°，
∵OC＝OD，
∴∠DCK＝∠ODC，
∴∠K＝∠CDF，
∵＝，
∴∠FAD＝∠K，
∴∠FAD＝∠CDF，
∵∠F＝∠F，
∴△FAD∽△FDC，
∴＝，
∵CF＝1，AC＝2，
∴FA＝CF+AC＝3，
∴＝，
解得FD＝，
在Rt△AFD中，tan∠FAD＝＝，
∴∠FAD＝30°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠FAE＝2∠FAD＝60°，
∴AE＝＝＝6，
∵AB＝4，
∴BE＝AE﹣AB＝6﹣4＝2，
答：BE的长为2．
23．（2022•广西）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E，延长BA交⊙O于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若＝，AF＝10，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：如图1，
连接OD，则OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠OCD，
∴∠B＝∠ODC，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB，
∴OD⊥DE，
∵OD为⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接AD，
∵＝，
∴设AE＝2m，DE＝3m，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝∠BED＝90°，
在Rt△ADE中，根据勾股定理得，AD＝＝m，
∵AC为直径，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°＝∠AED，
∴∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ADE，
∴＝，
∴，
∴AB＝m，BD＝m，
∵AB＝AC，∠ADC＝90°，
∴DC＝m，BC＝2BD＝3m，
连接CF，则∠ADB＝∠F，
∵∠B＝∠B，
∴△ADB∽△CFB，
∴，
∵AF＝10，
∴BF＝AB+AF＝m+10，
∴，
∴m＝4，
∴AD＝4，CD＝6，
在Rt△ADC中，根据勾股定理得，AC＝＝26，
∴⊙O的半径为AC＝13．