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中考数学压轴真题汇编(全国通用)专题08相似三角形综合压轴真题训练(原卷版+解析)
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这是一份中考数学压轴真题汇编(全国通用)专题08相似三角形综合压轴真题训练(原卷版+解析)，共50页。
1．（2022•襄阳）如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，则△ABC的周长为 ．
二．相似三角形的性质和判定
2．（2022•鞍山）如图，在正方形ABCD中，点E为AB的中点，CE，BD交于点H，DF⊥CE于点F，FM平分∠DFE，分别交AD，BD于点M，G，延长MF交BC于点N，连接BF．下列结论：①tan∠CDF＝；②S△EBH：S△DHF＝3：4；③MG：GF：FN＝5：3：2；④△BEF∽△HCD．其中正确的是 .（填序号即可）．
3．（2022•眉山）如图，四边形ABCD为正方形，将△EDC绕点C逆时针旋转90°至△HBC，点D，B，H在同一直线上，HE与AB交于点G，延长HE与CD的延长线交于点F，HB＝2，HG＝3．以下结论：①∠EDC＝135°；②EC2＝CD•CF；③HG＝EF；④sin∠CED＝．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（2022•东营）如图，已知菱形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，点M，N分别是边BC、CD上的动点，∠BAC＝∠MAN＝60°，连接MN、OM．以下四个结论正确的是（ ）
①△AMN是等边三角形；
②MN的最小值是；
③当MN最小时S△CMN＝S菱形ABCD；
④当OM⊥BC时，OA2＝DN•AB．
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
5．（2022•绍兴）将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A＝90°，AB＝9，BC＝7，CD＝6，AD＝2，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（ ）
A．B．C．10D．
6．（2022•连云港）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②AB＝AD；③GE＝DF；④OC＝2OF；⑤△COF∽△CEG．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①④⑤D．②③④
7．（2022•遂宁）如图，正方形ABCD与正方形BEFG有公共顶点B，连接EC、GA，交于点O，GA与BC交于点P，连接OD、OB，则下列结论一定正确的是（ ）
①EC⊥AG；②△OBP∽△CAP；③OB平分∠CBG；④∠AOD＝45°；
A．①③B．①②③C．②③D．①②④
8．（2022•金华）如图是一张矩形纸片ABCD，点E为AD中点，点F在BC上，把该纸片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A′，B′，A′E与BC相交于点G，B′A′的延长线过点C．若＝，则的值为（ ）
A．2B．C．D．
9．（2022•乐山）如图，等腰△ABC的面积为2，AB＝AC，BC＝2．作AE∥BC且AE＝BC．点P是线段AB上一动点，连结PE，过点E作PE的垂线交BC的延长线于点F，M是线段EF的中点．那么，当点P从A点运动到B点时，点M的运动路径长为（ ）
A．B．3C．2D．4
10．（2022•海南）如图，菱形ABCD中，点E是边CD的中点，EF垂直AB交AB的延长线于点F，若BF：CE＝1：2，EF＝，则菱形ABCD的边长是（ ）
A．3B．4C．5D．
11．（2022•黑龙江）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F是CD上一点，OE⊥OF交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP．则下列结论：①AE⊥BF；②∠OPA＝45°；③AP﹣BP＝OP；④若BE：CE＝2：3，则tan∠CAE＝；⑤四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的．其中正确的结论是（ ）
A．①②④⑤B．①②③⑤C．①②③④D．①③④⑤
12．（2022•辽宁）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是OD的中点，连接CE并延长交AD于点G，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到CF，连接EF，点H为EF的中点．连接OH，则的值为 ．
13．（2022•辽宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，点P为斜边AB上的一个动点（点P不与点A、B重合），过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D和点E，连接DE，PC交于点Q，连接AQ，当△APQ为直角三角形时，AP的长是 ．
14．（2022•绍兴）如图，AB＝10，点C是射线BQ上的动点，连结AC，作CD⊥AC，CD＝AC，动点E在AB延长线上，tan∠QBE＝3，连结CE，DE，当CE＝DE，CE⊥DE时，BE的长是 ．
15．（2022•甘肃）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝9cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝2cm，BD，EF交于点G，若G是EF的中点，则BG的长为 cm．
16．（2022•新疆）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边BC的延长线上，点F在边AB上，以点D为中心，将△DCE绕点D顺时针旋转90°与△DAF恰好完全重合，连接EF交DC于点P，连接AC交EF于点Q，连接BQ，若AQ•DP＝3，则BQ＝ ．
17．（2022•苏州）如图，在矩形ABCD中，＝．动点M从点A出发，沿边AD向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN．动点M，N同时出发，点M运动的速度为v1，点N运动的速度为v2，且v1＜v2．当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形MABN沿MN翻折，得到四边形MA′B′N．若在某一时刻，点B的对应点B′恰好与CD的中点重合，则的值为 ．
18．（2022•湖北）如图1，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为y（cm），y与t的函数图象如图2所示．当AP恰好平分∠BAC时t的值为 ．
19．（2022•随州）如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，E，F分别为AB，AD的中点，连接EF．如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°），使EF⊥AD，连接BE并延长交DF于点H．则∠BHD的度数为 ，DH的长为 ．
20．（2022•娄底）如图，已知等腰△ABC的顶角∠BAC的大小为θ，点D为边BC上的动点（与B、C不重合），将AD绕点A沿顺时针方向旋转θ角度时点D落在D′处，连接BD′．给出下列结论：
①△ACD≌△ABD′；
②△ACB∽△ADD′；
③当BD＝CD时，△ADD′的面积取得最小值．
其中正确的结论有 （填结论对应的应号）．
21．（2022•牡丹江）如图，在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC边上，DE与AC相交于点F，AH⊥DE，垂足是G，交BC于点H．下列结论中：①AC＝CD；②AD2＝BC•AF；③若AD＝3，DH＝5，则BD＝3；④AH2＝DH•AC，正确的是 ．
22．（2022•丹东）如图，四边形ABCD是边长为6的菱形，∠ABC＝60°，对角线AC与BD交于点O，点E，F分别是线段AB，AC上的动点（不与端点重合），且BE＝AF，BF与CE交于点P，延长BF交边AD（或边CD）于点G，连接OP，OG，则下列结论：①△ABF≌△BCE；②当BE＝2时，△BOG的面积与四边形OCDG面积之比为1：3；③当BE＝4时，BE：CG＝2：1；④线段OP的最小值为2﹣2．其中正确的是 ．（请填写序号）
三．相似三角形的应用
23．（2022•衢州）希腊数学家海伦给出了挖掘直线隧道的方法：如图，A，B是两侧山脚的入口，从B出发任作线段BC，过C作CD⊥BC，然后依次作垂线段DE，EF，FG，GH，直到接近A点，作AJ⊥GH于点J．每条线段可测量，长度如图所示．分别在BC，AJ上任选点M，N，作MQ⊥BC，NP⊥AJ，使得＝＝k，此时点P，A，B，Q共线．挖隧道时始终能看见P，Q处的标志即可．
（1）CD﹣EF﹣GJ＝ km．
（2）k＝ ．
（2022•温州）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA，OB，此时各叶片影子在点M右侧成线段CD，测得MC＝8.5m，CD＝13m，垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为2：3，则点O，M之间的距离等
于 米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于 米．
挑战2023年中考数学选择、填空压轴真题汇编
专题08 相似三角形综合压轴真题训练
一．平行线分线段成比例（共1小题）
1．（2022•襄阳）如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，则△ABC的周长为 ．
【答案】5
【解答】解：如图，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT∥AE交BC于点T．
∵AE平分∠BAC，FM⊥AB，FN⊥AC，
∴FM＝FN，
∴＝＝＝3，
∴AB＝3AD，
设AD＝DC＝a，则AB＝3a，
∵AD＝DC，DT∥AE，
∴ET＝CT，
∴＝＝3，
设ET＝CT＝b，则BE＝3b，
∵AB+BE＝3，
∴3a+3b＝3，
∴a+b＝，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝5a+5b＝5，
故答案为：5．
二．相似三角形的性质和判定
2．（2022•鞍山）如图，在正方形ABCD中，点E为AB的中点，CE，BD交于点H，DF⊥CE于点F，FM平分∠DFE，分别交AD，BD于点M，G，延长MF交BC于点N，连接BF．下列结论：①tan∠CDF＝；②S△EBH：S△DHF＝3：4；③MG：GF：FN＝5：3：2；④△BEF∽△HCD．其中正确的是 .（填序号即可）．
【答案】①③④
【解答】解：如图，过点G作GQ⊥DF于点Q，GP⊥EF于点P．设正方形ABCD的边长为2a．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，
∵AE＝EB＝a，BC＝2a，
∴tan∠ECB＝＝，
∵DF⊥CE，
∴∠CFD＝90°，
∴∠ECB+∠DCF＝90°，
∵∠DCF+∠CDF＝90°，
∴∠CDF＝∠ECB，
∴tan∠CDF＝，故①正确，
∵BE∥CD，
∴＝＝＝，
∵EC＝＝＝a，BD＝CB＝2a，
∴EH＝EC＝a，BH＝BD＝a，DH＝BD＝a，
在Rt△CDF中，tan∠CDF＝＝，CD＝2a，
∴CF＝a，DF＝a，
∴HF＝CE﹣EH﹣CF＝a﹣a﹣a＝a，
∴S△DFH＝•FH•DF＝×a×a＝a2，
∵S△BEH＝S△ECB＝××a×2a＝a2，
∴S△EBH：S△DHF＝a2：a2＝5：8，故②错误．
∵FM平分∠DFE，GQ⊥EF，GP⊥FE，
∴GQ＝GP，
∵＝＝，
∴＝，
∴DG＝DH＝a，
∴BG＝DG，
∵DM∥BN，
∴＝＝1，
∴GM＝GN，
∵S△DFH＝S△FGH+S△FGD，
∴×a×a＝××GP+×a×GQ，
∴GP＝GQ＝a，
∴FG＝a，
过点N作NJ⊥CE于点J，设FJ＝NJ＝m，则CJ＝2m，
∴3m＝a，
∴m＝a，
∴FN＝m＝a，
∴MG＝GN＝GF+FN＝a+a＝a，
∴MG：GF：FN＝a：a：a＝5：3：2，故③正确，
∵AB∥CD，
∴∠BEF＝∠HCD，
∵＝＝，＝＝，
∴＝，
∴△BEF∽△HCD，故④正确．
故答案为：①③④．
3．（2022•眉山）如图，四边形ABCD为正方形，将△EDC绕点C逆时针旋转90°至△HBC，点D，B，H在同一直线上，HE与AB交于点G，延长HE与CD的延长线交于点F，HB＝2，HG＝3．以下结论：①∠EDC＝135°；②EC2＝CD•CF；③HG＝EF；④sin∠CED＝．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【解答】解：∵△EDC旋转得到△HBC，
∴∠EDC＝∠HBC，
∵ABCD为正方形，D，B，H在同一直线上，
∴∠HBC＝180°﹣45°＝135°，
∴∠EDC＝135°，故①正确；
∵△EDC旋转得到△HBC，
∴EC＝HC，∠ECH＝90°，
∴∠HEC＝45°，
∴∠FEC＝180°﹣45°＝135°，
∵∠ECD＝∠ECF，
∴△EFC∽△DEC，
∴，
∴EC2＝CD•CF，故②正确；
设正方形边长为a，
∵∠GHB+∠BHC＝45°，∠GHB+∠HGB＝45°，
∴∠BHC＝∠HGB＝∠DEC，
∵∠GBH＝∠EDC＝135°，
∴△GBH∽△EDC，
∴，即，
∵△HEC是等腰直角三角形，
∴，
∵∠GHB＝∠FHD，∠GBH＝∠HDF＝135°，
∴△HBG∽△HDF，
∴，即，解得：EF＝3，
∵HG＝3，
∴HG＝EF，故③正确；
过点E作EM⊥FD交FD于点M，
∴∠EDM＝45°，
∵ED＝HB＝2，
∴，
∵EF＝3，
∴，
∵∠DEC+∠DCE＝45°，∠EFC+∠DCE＝45°，
∴∠DEC＝∠EFC，
∴，故④正确
综上所述：正确结论有4个，
故选：D．
4．（2022•东营）如图，已知菱形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，点M，N分别是边BC、CD上的动点，∠BAC＝∠MAN＝60°，连接MN、OM．以下四个结论正确的是（ ）
①△AMN是等边三角形；
②MN的最小值是；
③当MN最小时S△CMN＝S菱形ABCD；
④当OM⊥BC时，OA2＝DN•AB．
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CB＝AD＝CD，AB∥CD，AC⊥BD，OA＝OC，
∴∠BAC＝∠ACD＝60°，
∴△ABC和△ADC都是等边三角形，
∴∠ABM＝∠ACN＝60°，AB＝AC，
∵∠MAN＝60°，
∴∠BAM＝∠CAN＝60°﹣∠CAM，
∴△BAM≌△CAN（ASA），
∴AM＝AN，
∴△AMN是等边三角形，
故①正确；
当AM⊥BC 时，AM的值最小，此时MN的值也最小，
∵∠AMB＝90°，∠ABM＝60°，AB＝2，
∴MN＝AM＝AB•sin60°＝2×＝，
∴MN的最小值是，
故②正确；
∵AM⊥BC 时，MN的值最小，此时BM＝CM，
∴CN＝BM＝CB＝CD，
∴DN＝CN，
∴MN∥BD，
∴△CMN∽△CBD，
∴＝＝＝，
∴S△CMN＝S△CBD，
∵S△CBD＝S菱形ABCD，
∴S△CMN＝×S菱形ABCD＝S菱形ABCD，
故③正确；
∵CB＝CD，BM＝CN，
∴CB﹣BM＝CD﹣CN，
∴CM＝DN，
∵OM⊥BC，
∴∠CMO＝∠COB＝90°，
∵∠OCM＝∠BCO，
∴△OCM∽△BCO，
∴＝，
∴OC2＝CM•CB，
∴OA2＝DN•AB，
故④正确，
故选：D．
5．（2022•绍兴）将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A＝90°，AB＝9，BC＝7，CD＝6，AD＝2，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（ ）
A．B．C．10D．
【答案】A
【解答】解：如右图1所示，
由已知可得，△DFE∽△ECB，
则，
设DF＝x，CE＝y，
则，
解得，
∴DE＝CD+CE＝6+＝，故选项B不符合题意；
EB＝DF+AD＝+2＝，故选项D不符合题意；
如图2所示，
由已知可得，△DCF∽△FEB，
则，
设FC＝m，FD＝n，
则，
解得，
∴FD＝10，故选项C不符合题意；
BF＝FC+BC＝8+7＝15；
如图3所示：
此时两个直角三角形的斜边长为6和7；
故选：A．
6．（2022•连云港）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②AB＝AD；③GE＝DF；④OC＝2OF；⑤△COF∽△CEG．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①④⑤D．②③④
【答案】B
【解答】解：由折叠性质可得：DG＝OG＝AG，AE＝OE＝BE，OC＝BC，
∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC，
∴∠FGE＝∠FGO+∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG+∠OEC＝90°，
∴∠FGE+∠GEC＝180°，
∴GF∥CE，故①正确；
设AD＝2a，AB＝2b，则DG＝OG＝AG＝a，AE＝OE＝BE＝b，
∴CG＝OG+OC＝3a，
在Rt△CGE中，CG2＝GE2+CE2，
（3a）2＝a2+b2+b2+（2a）2，
解得：b＝a，
∴AB＝AD，故②错误；
在Rt△COF中，设OF＝DF＝x，则CF＝2b﹣x＝2a﹣x，
∴x2+（2a）2＝（2a﹣x）2，
解得：x＝a，
∴DF＝×a＝a，2OF＝2×a＝2a，
在Rt△AGE中，GE＝＝a，
∴GE＝DF，OC＝2OF，故③④正确；
无法证明∠FCO＝∠GCE，
∴无法判断△COF∽△CEG，故⑤错误；
综上，正确的是①③④，
故选：B．
7．（2022•遂宁）如图，正方形ABCD与正方形BEFG有公共顶点B，连接EC、GA，交于点O，GA与BC交于点P，连接OD、OB，则下列结论一定正确的是（ ）
①EC⊥AG；②△OBP∽△CAP；③OB平分∠CBG；④∠AOD＝45°；
A．①③B．①②③C．②③D．①②④
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD、四边形BEFG是正方形，
∴AB＝BC，BG＝BE，∠ABC＝90°＝∠GBE，
∴∠ABC+∠CBG＝∠GBE+∠CBG，即∠ABG＝∠EBC，
∴△ABG≌△CBE（SAS），
∴∠BAG＝∠BCE，
∵∠BAG+∠APB＝90°，
∴∠BCE+∠APB＝90°，
∴∠BCE+∠OPC＝90°，
∴∠POC＝90°，
∴EC⊥AG，故①正确；
取AC的中点K，如图：
在Rt△AOC中，K为斜边AC上的中点，
∴AK＝CK＝OK，
在Rt△ABC中，K为斜边AC上的中点，
∴AK＝CK＝BK，
∴AK＝CK＝OK＝BK，
∴A、B、O、C四点共圆，
∴∠BOA＝∠BCA，
∵∠BPO＝∠CPA，
∴△OBP∽△CAP，故②正确，
∵∠AOC＝∠ADC＝90°，
∴∠AOC+∠ADC＝180°，
∴A、O、C、D四点共圆，
∵AD＝CD，
∴∠AOD＝∠DOC＝45°，故④正确，
由已知不能证明OB平分∠CBG，故③错误，
故正确的有：①②④，
故选：D．
8．（2022•金华）如图是一张矩形纸片ABCD，点E为AD中点，点F在BC上，把该纸片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A′，B′，A′E与BC相交于点G，B′A′的延长线过点C．若＝，则的值为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】A
【解答】解：连接FG，CA′，过点G作GT⊥AD于点T．设AB＝x，AD＝y．
∵＝，
∴可以假设BF＝2k，CG＝3k．
∵AE＝DE＝y，
由翻折的性质可知EA＝EA′＝y，BF＝FB′＝2k，∠AEF＝∠GEF，
∵AD∥CB，
∴∠AEF＝∠EFG，
∴∠GEF＝∠GFE，
∴EG＝FG＝y﹣5k，
∴GA′＝y﹣（y﹣5k）＝5k﹣y，
∵C，A′，B′共线，GA′∥FB′，
∴＝，
∴＝，
∴y2﹣12ky+32k2＝0，
∴y＝8k或y＝4k（舍去），
∴AE＝DE＝4k，
∵四边形CDTG是矩形，
∴CG＝DT＝3k，
∴ET＝k，
∵EG＝8k﹣5k＝3k，
∴AB＝CD＝GT＝＝2k，
∴＝＝2．
解法二：不妨设BF＝2，CG＝3，连接CE，则Rt△CA'E≌Rt△CDE，推出A'C＝CD＝AB＝A'B'，＝＝1，推出GF＝CG＝3，BC＝8，在Rt△CB'F，勾股得CB'＝4 则A'B'＝2，
故选：A．
9．（2022•乐山）如图，等腰△ABC的面积为2，AB＝AC，BC＝2．作AE∥BC且AE＝BC．点P是线段AB上一动点，连结PE，过点E作PE的垂线交BC的延长线于点F，M是线段EF的中点．那么，当点P从A点运动到B点时，点M的运动路径长为（ ）
A．B．3C．2D．4
【答案】B
【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H．
当点P与A重合时，点F与C重合，当点P与B重合时，点F的对应点为F″，
点M的运动轨迹是△ECF″的中位线，M′M″＝CF″，
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝CH，
∵AE∥BC，AE＝BC，
∴AE＝CH，
∴四边形AHCE是平行四边形，
∵∠AHC＝90°，
∴四边形AHCE是矩形，
∴EC⊥BF″，AH＝EC，
∵BC＝2，S△ABC＝2，
∴×2×AH＝2，
∴AH＝EC＝2，
∵∠BEF″＝∠ECB＝∠ECF″，
∴∠BEC+∠CEF″＝90°，
∠CEF″+∠F″＝90°，
∴∠BEC＝∠F″，
∴△ECB∽△F″CE，
∴EC2＝CB•CF″，
∴CF″＝＝6，
∴M′M″＝3
故选：B．
10．（2022•海南）如图，菱形ABCD中，点E是边CD的中点，EF垂直AB交AB的延长线于点F，若BF：CE＝1：2，EF＝，则菱形ABCD的边长是（ ）
A．3B．4C．5D．
【答案】B
【解答】解：过点D作DH⊥AB于点H，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝CD，AB∥CD．
∵EF⊥AB，DH⊥AB，
∴DH∥EF，
∴四边形DHFE为平行四边形，
∴HF＝DE，DH＝EF＝．
∵点E是边CD的中点，
∴DE＝CD，
∴HF＝CD＝AB．
∵BF：CE＝1：2，
∴设BF＝x，则CE＝2x，
∴CD＝4x，DE＝HF＝2x，
AD＝AB＝4x，
∴AF＝AB+BF＝5x．
∴AH＝AF﹣HF＝3x．
在Rt△ADH中，
∵DH2+AH2＝AD2，
∴．
解得：x＝±1（负数不合题意，舍去），
∴x＝1．
∴AB＝4x＝4．
即菱形ABCD的边长是4，
故选：B．
11．（2022•黑龙江）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F是CD上一点，OE⊥OF交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP．则下列结论：①AE⊥BF；②∠OPA＝45°；③AP﹣BP＝OP；④若BE：CE＝2：3，则tan∠CAE＝；⑤四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的．其中正确的结论是（ ）
A．①②④⑤B．①②③⑤C．①②③④D．①③④⑤
【答案】B
【解答】解：①∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB＝BC＝CD，AC⊥BD，∠ABD＝∠DBC＝∠ACD＝45°．
∴∠BOE+∠EOC＝90°，
∵OE⊥OF，
∴∠FOC+∠EOC＝90°．
∴∠BOE＝∠COF．
在△BOE和△COF中，
，
∴△BOE≌△COF（ASA），
∴BE＝CF．
在△BAE和△CBF中，
，
∴△BAE≌△CBF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF．
∵∠ABP+∠CBF＝90°，
∴∠ABP+∠BAE＝90°，
∴∠APB＝90°．
∴AE⊥BF．
∴①的结论正确；
②∵∠APB＝90°，∠AOB＝90°，
∴点A，B，P，O四点共圆，
∴∠APO＝∠ABO＝45°，
∴②的结论正确；
③过点O作OH⊥OP，交AP于点H，如图，
∵∠APO＝45°，OH⊥OP，
∴OH＝OP＝HP，
∴HP＝OP．
∵OH⊥OP，
∴∠POB+∠HOB＝90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOH+∠HOB＝90°．
∴∠AOH＝∠BOP．
∵∠OAH+BAE＝45°，∠OBP+∠CBF＝45°，∠BAE＝∠CBF，
∴∠OAH＝∠OBP．
在△AOH和△BOP中，
，
∴△AOH≌△BOP（ASA），
∴AH＝BP．
∴AP﹣BP＝AP﹣AH＝HP＝OP．
∴③的结论正确；
④∵BE：CE＝2：3，
∴设BE＝2x，则CE＝3x，
∴AB＝BC＝5x，
∴AE＝＝x．
过点E作EG⊥AC于点G，如图，
∵∠ACB＝45°，
∴EG＝GC＝EC＝x，
∴AG＝＝x，
在Rt△AEG中，
∵tan∠CAE＝，
∴tan∠CAE＝＝＝．
∴④的结论不正确；
⑤∵四边形ABCD 是正方形，
∴OA＝OB＝OC＝OD，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝90°，
∴△OAB≌△OBC≌△OCD≌△DOA（SAS）．
∴．
∴．
由①知：△BOE≌△COF，
∴S△OBE＝S△OFC，
∴．
即四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的．
∴⑤的结论正确．
综上，①②③⑤的结论正确．
故选：B．
12．（2022•辽宁）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是OD的中点，连接CE并延长交AD于点G，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到CF，连接EF，点H为EF的中点．连接OH，则的值为 ．
【答案】
【解答】解：以O为原点，平行于AB的直线为x轴，建立直角坐标系，过E作EM⊥CD于M，过F作FN⊥DC，交DC延长线于N，如图：
设正方形ABCD的边长为2，则C（1，1），D（﹣1，1），
∵E为OD中点，
∴E（﹣，），
设直线CE解析式为y＝kx+b，把C（1，1），E（﹣，）代入得：
，
解得，
∴直线CE解析式为y＝x+，
在y＝x+中，令x＝﹣1得y＝，
∴G（﹣1，），
∴GE＝＝，
∵将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到CF，
∴CE＝CF，∠ECF＝90°，
∴∠MCE＝90°﹣∠NCF＝∠NFC，
∵∠EMC＝∠CNF＝90°，
∴△EMC≌△CNF（AAS），
∴ME＝CN，CM＝NF，
∵E（﹣，），C（1，1），
∴ME＝CN＝，CM＝NF＝，
∴F（，﹣），
∵H是EF中点，
∴H（，0），
∴OH＝，
∴＝＝．
故答案为：．
13．（2022•辽宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，点P为斜边AB上的一个动点（点P不与点A、B重合），过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D和点E，连接DE，PC交于点Q，连接AQ，当△APQ为直角三角形时，AP的长是 ．
【答案】3或2
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，
∴∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝2×2＝4，
∴AC＝＝＝2，
当∠APQ＝90°时，如图1，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，
∴∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝2×2＝4，
∴AC＝＝＝2，
∵∠APQ＝∠ACB＝90°，∠CAP＝∠BAC，
∴△CAP∽△BAC，
∴，即，
∴AP＝3，
当∠AQP＝90°时，如图2，
∵PD⊥AC，PE⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形DPEC是矩形，
∴CQ＝QP，
∵∠AQP＝90°，
∴AQ垂直平分CP，
∴AP＝AC＝2，
综上所述，当△APQ为直角三角形时，AP的长是3或2，
故答案为：3或2．
14．（2022•绍兴）如图，AB＝10，点C是射线BQ上的动点，连结AC，作CD⊥AC，CD＝AC，动点E在AB延长线上，tan∠QBE＝3，连结CE，DE，当CE＝DE，CE⊥DE时，BE的长是 ．
【答案】 或5
【解答】解：如图，过点C作CT⊥AE于点T，过点D作DJ⊥CT交CT的延长线于点J，连接EJ．
∵tan∠CBT＝3＝，
∴可以假设BT＝k，CT＝3k，
∵∠CAT+∠ACT＝90°，∠ACT+∠JCD＝90°，
∴∠CAT＝∠JCD，
在△ATC和△CJD中，
，
∴△ATC≌△CJD（AAS），
∴DJ＝CT＝3k，AT＝CJ＝10+k，
∵∠CJD＝∠CED＝90°，
∴C，E，D，J四点共圆，
∵EC＝DE，
∴∠CJE＝∠DJE＝45°，
∴ET＝TJ＝10﹣2k，
∵CE2＝CT2+TE2＝（CD）2，
∴（3k）2+（10﹣2k）2＝[•]2，
整理得4k2﹣25k+25＝0，
∴（k﹣5）（4k﹣5）＝0，
∴k＝5和，
∴BE＝BT+ET＝k+10﹣2k＝10﹣k＝5或，
故答案为：5或．
15．（2022•甘肃）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝9cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝2cm，BD，EF交于点G，若G是EF的中点，则BG的长为 cm．
【答案】
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝6cm，∠ABC＝∠C＝90°，AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDC，
∵AE＝2cm，
∴BE＝AB﹣AE＝6﹣2＝4（cm），
∵G是EF的中点，
∴EG＝BG＝EF，
∴∠BEG＝∠ABD，
∴∠BEG＝∠BDC，
∴△EBF∽△DCB，
∴＝，
∴＝，
∴BF＝6，
∴EF＝＝＝2（cm），
∴BG＝EF＝（cm），
故答案为：．
16．（2022•新疆）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边BC的延长线上，点F在边AB上，以点D为中心，将△DCE绕点D顺时针旋转90°与△DAF恰好完全重合，连接EF交DC于点P，连接AC交EF于点Q，连接BQ，若AQ•DP＝3，则BQ＝ ．
【答案】
【解答】解：如图，连接DQ，
∵将△DCE绕点D顺时针旋转90°与△DAF恰好完全重合，
∴DE＝DF，∠FDE＝90°，
∴∠DFE＝∠DEF＝45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC＝45°＝∠BAC，
∴∠DAC＝∠DFQ＝45°，
∴点A，点F，点Q，点D四点共圆，
∴∠BAQ＝∠FDQ＝45°，∠DAF＝∠DQF＝90°，∠AFD＝∠AQD，
∴DF＝DQ，
∵AD＝AB，∠BAC＝∠DAC＝45°，AQ＝AQ，
∴△ABQ≌△ADQ（SAS），
∴BQ＝QD，∠AQB＝∠AQD，
∵AB∥CD，
∴∠AFD＝∠FDC，
∴∠FDC＝∠AQB，
又∵∠BAC＝∠DFP＝45°，
∴△BAQ∽△PFD，
∴，
∴AQ•DP＝3＝BQ•DF，
∴3＝BQ•BQ，
∴BQ＝，
故答案为：．
17．（2022•苏州）如图，在矩形ABCD中，＝．动点M从点A出发，沿边AD向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN．动点M，N同时出发，点M运动的速度为v1，点N运动的速度为v2，且v1＜v2．当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形MABN沿MN翻折，得到四边形MA′B′N．若在某一时刻，点B的对应点B′恰好与CD的中点重合，则的值为 ．
【答案】
【解答】解：如图，设AD交A′B′于点Q．设BN＝NB′＝x．
∵＝，
∴可以假设AB＝2k，CB＝3k，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝3k，CD＝AB＝2k，∠C＝∠D＝90°，
在Rt△CNB′中，CN2+CB′2＝NB′2，
∴（3k﹣x）2+k2＝x2，
∴x＝k，
∴NB′＝k，CN＝3k﹣k＝k，
由翻折的性质可知∠A′B′N＝∠B＝90°，
∴∠DB′Q+∠CB′N＝90°，∠CB′N+∠CNB′＝90°，
∴∠DB′Q＝∠CNB′，
∵∠D＝∠C＝90°，
∴△DB′Q∽△CNB′，
∴DQ：DB′：QB′＝CB′：CN：NB′＝3：4：5，
∵DB′＝k，
∴DQ＝k，
∵∠DQB′＝∠MQA′，∠D＝∠A′，
∴△DQB′∽△A′QM，
∴A′Q：A′M：QM＝DQ：DB′：QB′＝3：4：5，
设AM＝MA′＝y，
则MQ＝y，
∵DQ+QM+AM＝3k，
∴k+y+y＝3k，
∴y＝k，
∴＝＝＝，
解法二：连接BB′，过点M作MH⊥BC于点H．
设AB＝CD＝6m，CB＝9m，设BN＝NB′＝n，则n2＝（3m）2+（9m﹣n）2，
∴n＝5m，CN＝4m，
由△BB′C∽△MNH，可得NH＝2m，
∴AM＝BH＝3m，
∴＝＝＝，
故答案为：．
18．（2022•湖北）如图1，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为y（cm），y与t的函数图象如图2所示．当AP恰好平分∠BAC时t的值为 ．
【答案】2+2
【解答】解：如图，连接AP，
由图2可得AB＝BC＝4cm，
∵∠B＝36°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠C＝72°，
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP＝∠PAC＝∠B＝36°，
∴AP＝BP，∠APC＝72°＝∠C，
∴AP＝AC＝BP，
∵∠PAC＝∠B，∠C＝∠C，
∴△APC∽△BAC，
∴，
∴AP2＝AB•PC＝4（4﹣AP），
∴AP＝2﹣2＝BP，（负值舍去），
∴t＝＝2+2，
故答案为：2+2．
19．（2022•随州）如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，E，F分别为AB，AD的中点，连接EF．如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°），使EF⊥AD，连接BE并延长交DF于点H．则∠BHD的度数为 ，DH的长为 ．
【答案】90°，．
【解答】解：如图，设EF交AD于点J，AD交BH于点O，过点E作EK⊥AB于点K．
∵∠EAF＝∠BAD＝90°，
∴∠DAF＝∠BAE，
∵＝＝，
∴＝，
∴△DAF∽△BAE，
∴∠ADF＝∠ABE，
∵∠DOH＝∠AOB，
∴∠DHO＝∠BAO＝90°，
∴∠BHD＝90°，
∵AF＝3，AE＝4，∠EAF＝90°，
∴EF＝＝5，
∵EF⊥AD，
∴•AE•AF＝•EF•AJ，
∴AJ＝，
∴EJ＝＝＝，
∵EJ∥AB，
∴＝，
∴＝，
∴OJ＝，
∴OA＝AJ+OJ＝+＝4，
∴OB＝＝＝4，OD＝AD﹣AO＝6﹣4＝2，
∵cs∠ODH＝cs∠ABO，
∴＝，
∴＝，
∴DH＝．
故答案为：90°，．
20．（2022•娄底）如图，已知等腰△ABC的顶角∠BAC的大小为θ，点D为边BC上的动点（与B、C不重合），将AD绕点A沿顺时针方向旋转θ角度时点D落在D′处，连接BD′．给出下列结论：
①△ACD≌△ABD′；
②△ACB∽△ADD′；
③当BD＝CD时，△ADD′的面积取得最小值．
其中正确的结论有 （填结论对应的应号）．
【答案】①②③
【解答】解：由题意可知AC＝AB，AD＝AD′，∠CAD＝∠BAD′，
∴△ACD≌△ABD′，故①正确；
∵AC＝AB，AD＝AD′，∠BAC＝∠D′AD＝θ，
∴＝，
∴△ACB∽△ADD′，故②正确；
∵△ACB∽△ADD′，
∴＝（）2，
∵当AD⊥BC时，AD最小，△ADD′的面积取得最小值．
而AB＝AC，
∴BD＝CD，
∴当BD＝CD时，△ADD′的面积取得最小值，故③正确；
故答案为：①②③．
21．（2022•牡丹江）如图，在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC边上，DE与AC相交于点F，AH⊥DE，垂足是G，交BC于点H．下列结论中：①AC＝CD；②AD2＝BC•AF；③若AD＝3，DH＝5，则BD＝3；④AH2＝DH•AC，正确的是 ．
【答案】②③
【解答】解：①∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，
而∠BAD的度数不确定，
∴∠ADC与∠CAD不一定相等，
∴AC与CD不一定相等，
故①错误；
②∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵∠B＝∠AED＝45°，
∴△AEF∽△ABD，
∴＝，
∵AE＝AD，AB＝BC，
∴AD2＝AF•AB＝AF•BC，
∴AD2＝AF•BC，
故②正确；
④∵∠DAH＝∠B＝45°，∠AHD＝∠AHD，
∴△ADH∽△BAH，
∴＝，
∴AH2＝DH•BH，
而BH与AC不一定相等，
故④不一定正确；
③∵△ADE是等腰直角三角形，
∴∠ADG＝45°，
∵AH⊥DE，
∴∠AGD＝90°，
∵AD＝3，
∴AG＝DG＝，
∵DH＝5，
∴GH＝＝＝，
∴AH＝AG+GH＝2，
由④知：AH2＝DH•BH，
∴（2）2＝5BH，
∴BH＝8，
∴BD＝BH﹣DH＝8﹣5＝3，
故③正确；
本题正确的结论有：②③
故答案为：②③．
22．（2022•丹东）如图，四边形ABCD是边长为6的菱形，∠ABC＝60°，对角线AC与BD交于点O，点E，F分别是线段AB，AC上的动点（不与端点重合），且BE＝AF，BF与CE交于点P，延长BF交边AD（或边CD）于点G，连接OP，OG，则下列结论：①△ABF≌△BCE；②当BE＝2时，△BOG的面积与四边形OCDG面积之比为1：3；③当BE＝4时，BE：CG＝2：1；④线段OP的最小值为2﹣2．其中正确的是 ．（请填写序号）
【答案】①②
【解答】解：①∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝AD＝CD，
∴∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝60°，
在△ABF和△BCE中，
，
∴△ABF≌△BCE（SAS），
故①正确；
②由①知：△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝6，
∵AF＝BE＝2，
∴CF＝AC﹣AF＝4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，OB＝OD，OA＝OC，
∴△AGF∽△CBF，S△BOG＝S△DOG，S△AOD＝S△COD，
∴，
∴，
∴AG＝3，
∴AG＝，
∴S△AOD＝2S△DOG，
∴S△COD＝2S△DOG，
∴S四边形OCDG＝S△DOG+S△COD＝3S△DOG＝3S△BOG，
故②正确；
③如图1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴△CGF∽△ABF，
∴，
∴，
∴CG＝3，
∴BE：CG＝4：3，
故③不正确；
④如图2，
由①得：△ABF≌△BCE，
∴∠BCE＝∠ABF，
∴BCE+∠CBF＝∠ABF+∠CBF＝∠ABC＝60°，
∴∠BPC＝120°，
作等边三角形△BCH，作△BCH的外接圆I，
则点P在⊙I上运动，
点O、P、I共线时，OP最小，
作HM⊥BC于M，
∴HM＝＝3，
∴PI＝IH＝，
∵∠ACB+∠ICB＝60°+30°＝90°，
∴OI＝＝＝，
∴OP最小＝OI﹣PI＝﹣2，
故④不正确，
故答案为：①②．
三．相似三角形的应用
23．（2022•衢州）希腊数学家海伦给出了挖掘直线隧道的方法：如图，A，B是两侧山脚的入口，从B出发任作线段BC，过C作CD⊥BC，然后依次作垂线段DE，EF，FG，GH，直到接近A点，作AJ⊥GH于点J．每条线段可测量，长度如图所示．分别在BC，AJ上任选点M，N，作MQ⊥BC，NP⊥AJ，使得＝＝k，此时点P，A，B，Q共线．挖隧道时始终能看见P，Q处的标志即可．
（1）CD﹣EF﹣GJ＝ km．
（2）k＝ ．
【答案】1.8；．
【解答】解：（1）CD﹣EF﹣GJ＝5.5﹣1﹣2.7＝1.8（km）；
（2）连接AB，过点A作AZ⊥CB，交CB的延长线于点Z．
由矩形性质得：AZ＝CD﹣EF﹣GJ＝1.8，
BZ＝DE+FG﹣CB﹣AJ＝4.9+3.1﹣3﹣2.4＝2.6，
∵点P，A，B，Q共线，
∴∠MBQ＝∠ZBA，
又∵∠BMQ＝∠BZA＝90°，
∴△BMQ∽△BZA，
∴＝k＝＝＝．
故答案为：1.8；．
（2022•温州）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA，OB，此时各叶片影子在点M右侧成线段CD，测得MC＝8.5m，CD＝13m，垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为2：3，则点O，M之间的距离等
于 米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于 米．
【答案】10，（10+）
【解答】解：解法一：如图，过点O作OP∥BD，交MG于P，过P作PN⊥BD于N，则OB＝PN，
∵AC∥BD，
∴AC∥OP∥BD，
∴＝，∠EGF＝∠OPM，
∵OA＝OB，
∴CP＝PD＝CD＝6.5，
∴MP＝CM+CP＝8.5+6.5＝15，
tan∠EGF＝tan∠OPM，
∴＝＝，
∴OM＝×15＝10；
∵DB∥EG，
∴∠EGF＝∠NDP，
∴sin∠EGF＝sin∠NDP，即＝，
∴OB＝PN＝，
以点O为圆心，OA的长为半径作圆，当OB与OM共线时，叶片外端离地面的高度最大，其最大高度等于（10+）米．
解法二：如图，设AC与OM交于点H，过点C作CN⊥BD于N，
∵HC∥EG，
∴∠HCM＝∠EGF，
∵∠CMH＝∠EFG＝90°，
∴△HMC∽△EFG，
∴＝＝，即＝，
∴HM＝，
∵BD∥EG，
∴∠BDC＝∠EGF，
∴tan∠BDC＝tan∠EGF，
∴＝＝，
设CN＝2x，DN＝3x，则CD＝x，
∴x＝13，
∴x＝，
∴AB＝CN＝2，
∴OA＝OB＝AB＝，
在Rt△AHO中，∵∠AHO＝∠CHM，
∴sin∠AHO＝＝，
∴＝，
∴OH＝，
∴OM＝OH+HM＝+＝10（米），
以点O为圆心，OA的长为半径作圆，当OB与OM共线时，叶片外端离地面的高度最大，其最大高度等于（10+）米．
故答案为：10，（10+）．
1．（2022•襄阳）如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，则△ABC的周长为 ．
二．相似三角形的性质和判定
2．（2022•鞍山）如图，在正方形ABCD中，点E为AB的中点，CE，BD交于点H，DF⊥CE于点F，FM平分∠DFE，分别交AD，BD于点M，G，延长MF交BC于点N，连接BF．下列结论：①tan∠CDF＝；②S△EBH：S△DHF＝3：4；③MG：GF：FN＝5：3：2；④△BEF∽△HCD．其中正确的是 .（填序号即可）．
3．（2022•眉山）如图，四边形ABCD为正方形，将△EDC绕点C逆时针旋转90°至△HBC，点D，B，H在同一直线上，HE与AB交于点G，延长HE与CD的延长线交于点F，HB＝2，HG＝3．以下结论：①∠EDC＝135°；②EC2＝CD•CF；③HG＝EF；④sin∠CED＝．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（2022•东营）如图，已知菱形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，点M，N分别是边BC、CD上的动点，∠BAC＝∠MAN＝60°，连接MN、OM．以下四个结论正确的是（ ）
①△AMN是等边三角形；
②MN的最小值是；
③当MN最小时S△CMN＝S菱形ABCD；
④当OM⊥BC时，OA2＝DN•AB．
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
5．（2022•绍兴）将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A＝90°，AB＝9，BC＝7，CD＝6，AD＝2，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（ ）
A．B．C．10D．
6．（2022•连云港）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②AB＝AD；③GE＝DF；④OC＝2OF；⑤△COF∽△CEG．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①④⑤D．②③④
7．（2022•遂宁）如图，正方形ABCD与正方形BEFG有公共顶点B，连接EC、GA，交于点O，GA与BC交于点P，连接OD、OB，则下列结论一定正确的是（ ）
①EC⊥AG；②△OBP∽△CAP；③OB平分∠CBG；④∠AOD＝45°；
A．①③B．①②③C．②③D．①②④
8．（2022•金华）如图是一张矩形纸片ABCD，点E为AD中点，点F在BC上，把该纸片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A′，B′，A′E与BC相交于点G，B′A′的延长线过点C．若＝，则的值为（ ）
A．2B．C．D．
9．（2022•乐山）如图，等腰△ABC的面积为2，AB＝AC，BC＝2．作AE∥BC且AE＝BC．点P是线段AB上一动点，连结PE，过点E作PE的垂线交BC的延长线于点F，M是线段EF的中点．那么，当点P从A点运动到B点时，点M的运动路径长为（ ）
A．B．3C．2D．4
10．（2022•海南）如图，菱形ABCD中，点E是边CD的中点，EF垂直AB交AB的延长线于点F，若BF：CE＝1：2，EF＝，则菱形ABCD的边长是（ ）
A．3B．4C．5D．
11．（2022•黑龙江）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F是CD上一点，OE⊥OF交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP．则下列结论：①AE⊥BF；②∠OPA＝45°；③AP﹣BP＝OP；④若BE：CE＝2：3，则tan∠CAE＝；⑤四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的．其中正确的结论是（ ）
A．①②④⑤B．①②③⑤C．①②③④D．①③④⑤
12．（2022•辽宁）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是OD的中点，连接CE并延长交AD于点G，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到CF，连接EF，点H为EF的中点．连接OH，则的值为 ．
13．（2022•辽宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，点P为斜边AB上的一个动点（点P不与点A、B重合），过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D和点E，连接DE，PC交于点Q，连接AQ，当△APQ为直角三角形时，AP的长是 ．
14．（2022•绍兴）如图，AB＝10，点C是射线BQ上的动点，连结AC，作CD⊥AC，CD＝AC，动点E在AB延长线上，tan∠QBE＝3，连结CE，DE，当CE＝DE，CE⊥DE时，BE的长是 ．
15．（2022•甘肃）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝9cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝2cm，BD，EF交于点G，若G是EF的中点，则BG的长为 cm．
16．（2022•新疆）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边BC的延长线上，点F在边AB上，以点D为中心，将△DCE绕点D顺时针旋转90°与△DAF恰好完全重合，连接EF交DC于点P，连接AC交EF于点Q，连接BQ，若AQ•DP＝3，则BQ＝ ．
17．（2022•苏州）如图，在矩形ABCD中，＝．动点M从点A出发，沿边AD向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN．动点M，N同时出发，点M运动的速度为v1，点N运动的速度为v2，且v1＜v2．当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形MABN沿MN翻折，得到四边形MA′B′N．若在某一时刻，点B的对应点B′恰好与CD的中点重合，则的值为 ．
18．（2022•湖北）如图1，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为y（cm），y与t的函数图象如图2所示．当AP恰好平分∠BAC时t的值为 ．
19．（2022•随州）如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，E，F分别为AB，AD的中点，连接EF．如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°），使EF⊥AD，连接BE并延长交DF于点H．则∠BHD的度数为 ，DH的长为 ．
20．（2022•娄底）如图，已知等腰△ABC的顶角∠BAC的大小为θ，点D为边BC上的动点（与B、C不重合），将AD绕点A沿顺时针方向旋转θ角度时点D落在D′处，连接BD′．给出下列结论：
①△ACD≌△ABD′；
②△ACB∽△ADD′；
③当BD＝CD时，△ADD′的面积取得最小值．
其中正确的结论有 （填结论对应的应号）．
21．（2022•牡丹江）如图，在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC边上，DE与AC相交于点F，AH⊥DE，垂足是G，交BC于点H．下列结论中：①AC＝CD；②AD2＝BC•AF；③若AD＝3，DH＝5，则BD＝3；④AH2＝DH•AC，正确的是 ．
22．（2022•丹东）如图，四边形ABCD是边长为6的菱形，∠ABC＝60°，对角线AC与BD交于点O，点E，F分别是线段AB，AC上的动点（不与端点重合），且BE＝AF，BF与CE交于点P，延长BF交边AD（或边CD）于点G，连接OP，OG，则下列结论：①△ABF≌△BCE；②当BE＝2时，△BOG的面积与四边形OCDG面积之比为1：3；③当BE＝4时，BE：CG＝2：1；④线段OP的最小值为2﹣2．其中正确的是 ．（请填写序号）
三．相似三角形的应用
23．（2022•衢州）希腊数学家海伦给出了挖掘直线隧道的方法：如图，A，B是两侧山脚的入口，从B出发任作线段BC，过C作CD⊥BC，然后依次作垂线段DE，EF，FG，GH，直到接近A点，作AJ⊥GH于点J．每条线段可测量，长度如图所示．分别在BC，AJ上任选点M，N，作MQ⊥BC，NP⊥AJ，使得＝＝k，此时点P，A，B，Q共线．挖隧道时始终能看见P，Q处的标志即可．
（1）CD﹣EF﹣GJ＝ km．
（2）k＝ ．
（2022•温州）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA，OB，此时各叶片影子在点M右侧成线段CD，测得MC＝8.5m，CD＝13m，垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为2：3，则点O，M之间的距离等
于 米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于 米．
挑战2023年中考数学选择、填空压轴真题汇编
专题08 相似三角形综合压轴真题训练
一．平行线分线段成比例（共1小题）
1．（2022•襄阳）如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，则△ABC的周长为 ．
【答案】5
【解答】解：如图，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT∥AE交BC于点T．
∵AE平分∠BAC，FM⊥AB，FN⊥AC，
∴FM＝FN，
∴＝＝＝3，
∴AB＝3AD，
设AD＝DC＝a，则AB＝3a，
∵AD＝DC，DT∥AE，
∴ET＝CT，
∴＝＝3，
设ET＝CT＝b，则BE＝3b，
∵AB+BE＝3，
∴3a+3b＝3，
∴a+b＝，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝5a+5b＝5，
故答案为：5．
二．相似三角形的性质和判定
2．（2022•鞍山）如图，在正方形ABCD中，点E为AB的中点，CE，BD交于点H，DF⊥CE于点F，FM平分∠DFE，分别交AD，BD于点M，G，延长MF交BC于点N，连接BF．下列结论：①tan∠CDF＝；②S△EBH：S△DHF＝3：4；③MG：GF：FN＝5：3：2；④△BEF∽△HCD．其中正确的是 .（填序号即可）．
【答案】①③④
【解答】解：如图，过点G作GQ⊥DF于点Q，GP⊥EF于点P．设正方形ABCD的边长为2a．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，
∵AE＝EB＝a，BC＝2a，
∴tan∠ECB＝＝，
∵DF⊥CE，
∴∠CFD＝90°，
∴∠ECB+∠DCF＝90°，
∵∠DCF+∠CDF＝90°，
∴∠CDF＝∠ECB，
∴tan∠CDF＝，故①正确，
∵BE∥CD，
∴＝＝＝，
∵EC＝＝＝a，BD＝CB＝2a，
∴EH＝EC＝a，BH＝BD＝a，DH＝BD＝a，
在Rt△CDF中，tan∠CDF＝＝，CD＝2a，
∴CF＝a，DF＝a，
∴HF＝CE﹣EH﹣CF＝a﹣a﹣a＝a，
∴S△DFH＝•FH•DF＝×a×a＝a2，
∵S△BEH＝S△ECB＝××a×2a＝a2，
∴S△EBH：S△DHF＝a2：a2＝5：8，故②错误．
∵FM平分∠DFE，GQ⊥EF，GP⊥FE，
∴GQ＝GP，
∵＝＝，
∴＝，
∴DG＝DH＝a，
∴BG＝DG，
∵DM∥BN，
∴＝＝1，
∴GM＝GN，
∵S△DFH＝S△FGH+S△FGD，
∴×a×a＝××GP+×a×GQ，
∴GP＝GQ＝a，
∴FG＝a，
过点N作NJ⊥CE于点J，设FJ＝NJ＝m，则CJ＝2m，
∴3m＝a，
∴m＝a，
∴FN＝m＝a，
∴MG＝GN＝GF+FN＝a+a＝a，
∴MG：GF：FN＝a：a：a＝5：3：2，故③正确，
∵AB∥CD，
∴∠BEF＝∠HCD，
∵＝＝，＝＝，
∴＝，
∴△BEF∽△HCD，故④正确．
故答案为：①③④．
3．（2022•眉山）如图，四边形ABCD为正方形，将△EDC绕点C逆时针旋转90°至△HBC，点D，B，H在同一直线上，HE与AB交于点G，延长HE与CD的延长线交于点F，HB＝2，HG＝3．以下结论：①∠EDC＝135°；②EC2＝CD•CF；③HG＝EF；④sin∠CED＝．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【解答】解：∵△EDC旋转得到△HBC，
∴∠EDC＝∠HBC，
∵ABCD为正方形，D，B，H在同一直线上，
∴∠HBC＝180°﹣45°＝135°，
∴∠EDC＝135°，故①正确；
∵△EDC旋转得到△HBC，
∴EC＝HC，∠ECH＝90°，
∴∠HEC＝45°，
∴∠FEC＝180°﹣45°＝135°，
∵∠ECD＝∠ECF，
∴△EFC∽△DEC，
∴，
∴EC2＝CD•CF，故②正确；
设正方形边长为a，
∵∠GHB+∠BHC＝45°，∠GHB+∠HGB＝45°，
∴∠BHC＝∠HGB＝∠DEC，
∵∠GBH＝∠EDC＝135°，
∴△GBH∽△EDC，
∴，即，
∵△HEC是等腰直角三角形，
∴，
∵∠GHB＝∠FHD，∠GBH＝∠HDF＝135°，
∴△HBG∽△HDF，
∴，即，解得：EF＝3，
∵HG＝3，
∴HG＝EF，故③正确；
过点E作EM⊥FD交FD于点M，
∴∠EDM＝45°，
∵ED＝HB＝2，
∴，
∵EF＝3，
∴，
∵∠DEC+∠DCE＝45°，∠EFC+∠DCE＝45°，
∴∠DEC＝∠EFC，
∴，故④正确
综上所述：正确结论有4个，
故选：D．
4．（2022•东营）如图，已知菱形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，点M，N分别是边BC、CD上的动点，∠BAC＝∠MAN＝60°，连接MN、OM．以下四个结论正确的是（ ）
①△AMN是等边三角形；
②MN的最小值是；
③当MN最小时S△CMN＝S菱形ABCD；
④当OM⊥BC时，OA2＝DN•AB．
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CB＝AD＝CD，AB∥CD，AC⊥BD，OA＝OC，
∴∠BAC＝∠ACD＝60°，
∴△ABC和△ADC都是等边三角形，
∴∠ABM＝∠ACN＝60°，AB＝AC，
∵∠MAN＝60°，
∴∠BAM＝∠CAN＝60°﹣∠CAM，
∴△BAM≌△CAN（ASA），
∴AM＝AN，
∴△AMN是等边三角形，
故①正确；
当AM⊥BC 时，AM的值最小，此时MN的值也最小，
∵∠AMB＝90°，∠ABM＝60°，AB＝2，
∴MN＝AM＝AB•sin60°＝2×＝，
∴MN的最小值是，
故②正确；
∵AM⊥BC 时，MN的值最小，此时BM＝CM，
∴CN＝BM＝CB＝CD，
∴DN＝CN，
∴MN∥BD，
∴△CMN∽△CBD，
∴＝＝＝，
∴S△CMN＝S△CBD，
∵S△CBD＝S菱形ABCD，
∴S△CMN＝×S菱形ABCD＝S菱形ABCD，
故③正确；
∵CB＝CD，BM＝CN，
∴CB﹣BM＝CD﹣CN，
∴CM＝DN，
∵OM⊥BC，
∴∠CMO＝∠COB＝90°，
∵∠OCM＝∠BCO，
∴△OCM∽△BCO，
∴＝，
∴OC2＝CM•CB，
∴OA2＝DN•AB，
故④正确，
故选：D．
5．（2022•绍兴）将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A＝90°，AB＝9，BC＝7，CD＝6，AD＝2，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（ ）
A．B．C．10D．
【答案】A
【解答】解：如右图1所示，
由已知可得，△DFE∽△ECB，
则，
设DF＝x，CE＝y，
则，
解得，
∴DE＝CD+CE＝6+＝，故选项B不符合题意；
EB＝DF+AD＝+2＝，故选项D不符合题意；
如图2所示，
由已知可得，△DCF∽△FEB，
则，
设FC＝m，FD＝n，
则，
解得，
∴FD＝10，故选项C不符合题意；
BF＝FC+BC＝8+7＝15；
如图3所示：
此时两个直角三角形的斜边长为6和7；
故选：A．
6．（2022•连云港）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②AB＝AD；③GE＝DF；④OC＝2OF；⑤△COF∽△CEG．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①④⑤D．②③④
【答案】B
【解答】解：由折叠性质可得：DG＝OG＝AG，AE＝OE＝BE，OC＝BC，
∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC，
∴∠FGE＝∠FGO+∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG+∠OEC＝90°，
∴∠FGE+∠GEC＝180°，
∴GF∥CE，故①正确；
设AD＝2a，AB＝2b，则DG＝OG＝AG＝a，AE＝OE＝BE＝b，
∴CG＝OG+OC＝3a，
在Rt△CGE中，CG2＝GE2+CE2，
（3a）2＝a2+b2+b2+（2a）2，
解得：b＝a，
∴AB＝AD，故②错误；
在Rt△COF中，设OF＝DF＝x，则CF＝2b﹣x＝2a﹣x，
∴x2+（2a）2＝（2a﹣x）2，
解得：x＝a，
∴DF＝×a＝a，2OF＝2×a＝2a，
在Rt△AGE中，GE＝＝a，
∴GE＝DF，OC＝2OF，故③④正确；
无法证明∠FCO＝∠GCE，
∴无法判断△COF∽△CEG，故⑤错误；
综上，正确的是①③④，
故选：B．
7．（2022•遂宁）如图，正方形ABCD与正方形BEFG有公共顶点B，连接EC、GA，交于点O，GA与BC交于点P，连接OD、OB，则下列结论一定正确的是（ ）
①EC⊥AG；②△OBP∽△CAP；③OB平分∠CBG；④∠AOD＝45°；
A．①③B．①②③C．②③D．①②④
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD、四边形BEFG是正方形，
∴AB＝BC，BG＝BE，∠ABC＝90°＝∠GBE，
∴∠ABC+∠CBG＝∠GBE+∠CBG，即∠ABG＝∠EBC，
∴△ABG≌△CBE（SAS），
∴∠BAG＝∠BCE，
∵∠BAG+∠APB＝90°，
∴∠BCE+∠APB＝90°，
∴∠BCE+∠OPC＝90°，
∴∠POC＝90°，
∴EC⊥AG，故①正确；
取AC的中点K，如图：
在Rt△AOC中，K为斜边AC上的中点，
∴AK＝CK＝OK，
在Rt△ABC中，K为斜边AC上的中点，
∴AK＝CK＝BK，
∴AK＝CK＝OK＝BK，
∴A、B、O、C四点共圆，
∴∠BOA＝∠BCA，
∵∠BPO＝∠CPA，
∴△OBP∽△CAP，故②正确，
∵∠AOC＝∠ADC＝90°，
∴∠AOC+∠ADC＝180°，
∴A、O、C、D四点共圆，
∵AD＝CD，
∴∠AOD＝∠DOC＝45°，故④正确，
由已知不能证明OB平分∠CBG，故③错误，
故正确的有：①②④，
故选：D．
8．（2022•金华）如图是一张矩形纸片ABCD，点E为AD中点，点F在BC上，把该纸片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A′，B′，A′E与BC相交于点G，B′A′的延长线过点C．若＝，则的值为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】A
【解答】解：连接FG，CA′，过点G作GT⊥AD于点T．设AB＝x，AD＝y．
∵＝，
∴可以假设BF＝2k，CG＝3k．
∵AE＝DE＝y，
由翻折的性质可知EA＝EA′＝y，BF＝FB′＝2k，∠AEF＝∠GEF，
∵AD∥CB，
∴∠AEF＝∠EFG，
∴∠GEF＝∠GFE，
∴EG＝FG＝y﹣5k，
∴GA′＝y﹣（y﹣5k）＝5k﹣y，
∵C，A′，B′共线，GA′∥FB′，
∴＝，
∴＝，
∴y2﹣12ky+32k2＝0，
∴y＝8k或y＝4k（舍去），
∴AE＝DE＝4k，
∵四边形CDTG是矩形，
∴CG＝DT＝3k，
∴ET＝k，
∵EG＝8k﹣5k＝3k，
∴AB＝CD＝GT＝＝2k，
∴＝＝2．
解法二：不妨设BF＝2，CG＝3，连接CE，则Rt△CA'E≌Rt△CDE，推出A'C＝CD＝AB＝A'B'，＝＝1，推出GF＝CG＝3，BC＝8，在Rt△CB'F，勾股得CB'＝4 则A'B'＝2，
故选：A．
9．（2022•乐山）如图，等腰△ABC的面积为2，AB＝AC，BC＝2．作AE∥BC且AE＝BC．点P是线段AB上一动点，连结PE，过点E作PE的垂线交BC的延长线于点F，M是线段EF的中点．那么，当点P从A点运动到B点时，点M的运动路径长为（ ）
A．B．3C．2D．4
【答案】B
【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H．
当点P与A重合时，点F与C重合，当点P与B重合时，点F的对应点为F″，
点M的运动轨迹是△ECF″的中位线，M′M″＝CF″，
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝CH，
∵AE∥BC，AE＝BC，
∴AE＝CH，
∴四边形AHCE是平行四边形，
∵∠AHC＝90°，
∴四边形AHCE是矩形，
∴EC⊥BF″，AH＝EC，
∵BC＝2，S△ABC＝2，
∴×2×AH＝2，
∴AH＝EC＝2，
∵∠BEF″＝∠ECB＝∠ECF″，
∴∠BEC+∠CEF″＝90°，
∠CEF″+∠F″＝90°，
∴∠BEC＝∠F″，
∴△ECB∽△F″CE，
∴EC2＝CB•CF″，
∴CF″＝＝6，
∴M′M″＝3
故选：B．
10．（2022•海南）如图，菱形ABCD中，点E是边CD的中点，EF垂直AB交AB的延长线于点F，若BF：CE＝1：2，EF＝，则菱形ABCD的边长是（ ）
A．3B．4C．5D．
【答案】B
【解答】解：过点D作DH⊥AB于点H，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝CD，AB∥CD．
∵EF⊥AB，DH⊥AB，
∴DH∥EF，
∴四边形DHFE为平行四边形，
∴HF＝DE，DH＝EF＝．
∵点E是边CD的中点，
∴DE＝CD，
∴HF＝CD＝AB．
∵BF：CE＝1：2，
∴设BF＝x，则CE＝2x，
∴CD＝4x，DE＝HF＝2x，
AD＝AB＝4x，
∴AF＝AB+BF＝5x．
∴AH＝AF﹣HF＝3x．
在Rt△ADH中，
∵DH2+AH2＝AD2，
∴．
解得：x＝±1（负数不合题意，舍去），
∴x＝1．
∴AB＝4x＝4．
即菱形ABCD的边长是4，
故选：B．
11．（2022•黑龙江）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F是CD上一点，OE⊥OF交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP．则下列结论：①AE⊥BF；②∠OPA＝45°；③AP﹣BP＝OP；④若BE：CE＝2：3，则tan∠CAE＝；⑤四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的．其中正确的结论是（ ）
A．①②④⑤B．①②③⑤C．①②③④D．①③④⑤
【答案】B
【解答】解：①∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB＝BC＝CD，AC⊥BD，∠ABD＝∠DBC＝∠ACD＝45°．
∴∠BOE+∠EOC＝90°，
∵OE⊥OF，
∴∠FOC+∠EOC＝90°．
∴∠BOE＝∠COF．
在△BOE和△COF中，
，
∴△BOE≌△COF（ASA），
∴BE＝CF．
在△BAE和△CBF中，
，
∴△BAE≌△CBF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF．
∵∠ABP+∠CBF＝90°，
∴∠ABP+∠BAE＝90°，
∴∠APB＝90°．
∴AE⊥BF．
∴①的结论正确；
②∵∠APB＝90°，∠AOB＝90°，
∴点A，B，P，O四点共圆，
∴∠APO＝∠ABO＝45°，
∴②的结论正确；
③过点O作OH⊥OP，交AP于点H，如图，
∵∠APO＝45°，OH⊥OP，
∴OH＝OP＝HP，
∴HP＝OP．
∵OH⊥OP，
∴∠POB+∠HOB＝90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOH+∠HOB＝90°．
∴∠AOH＝∠BOP．
∵∠OAH+BAE＝45°，∠OBP+∠CBF＝45°，∠BAE＝∠CBF，
∴∠OAH＝∠OBP．
在△AOH和△BOP中，
，
∴△AOH≌△BOP（ASA），
∴AH＝BP．
∴AP﹣BP＝AP﹣AH＝HP＝OP．
∴③的结论正确；
④∵BE：CE＝2：3，
∴设BE＝2x，则CE＝3x，
∴AB＝BC＝5x，
∴AE＝＝x．
过点E作EG⊥AC于点G，如图，
∵∠ACB＝45°，
∴EG＝GC＝EC＝x，
∴AG＝＝x，
在Rt△AEG中，
∵tan∠CAE＝，
∴tan∠CAE＝＝＝．
∴④的结论不正确；
⑤∵四边形ABCD 是正方形，
∴OA＝OB＝OC＝OD，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝90°，
∴△OAB≌△OBC≌△OCD≌△DOA（SAS）．
∴．
∴．
由①知：△BOE≌△COF，
∴S△OBE＝S△OFC，
∴．
即四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的．
∴⑤的结论正确．
综上，①②③⑤的结论正确．
故选：B．
12．（2022•辽宁）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是OD的中点，连接CE并延长交AD于点G，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到CF，连接EF，点H为EF的中点．连接OH，则的值为 ．
【答案】
【解答】解：以O为原点，平行于AB的直线为x轴，建立直角坐标系，过E作EM⊥CD于M，过F作FN⊥DC，交DC延长线于N，如图：
设正方形ABCD的边长为2，则C（1，1），D（﹣1，1），
∵E为OD中点，
∴E（﹣，），
设直线CE解析式为y＝kx+b，把C（1，1），E（﹣，）代入得：
，
解得，
∴直线CE解析式为y＝x+，
在y＝x+中，令x＝﹣1得y＝，
∴G（﹣1，），
∴GE＝＝，
∵将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到CF，
∴CE＝CF，∠ECF＝90°，
∴∠MCE＝90°﹣∠NCF＝∠NFC，
∵∠EMC＝∠CNF＝90°，
∴△EMC≌△CNF（AAS），
∴ME＝CN，CM＝NF，
∵E（﹣，），C（1，1），
∴ME＝CN＝，CM＝NF＝，
∴F（，﹣），
∵H是EF中点，
∴H（，0），
∴OH＝，
∴＝＝．
故答案为：．
13．（2022•辽宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，点P为斜边AB上的一个动点（点P不与点A、B重合），过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D和点E，连接DE，PC交于点Q，连接AQ，当△APQ为直角三角形时，AP的长是 ．
【答案】3或2
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，
∴∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝2×2＝4，
∴AC＝＝＝2，
当∠APQ＝90°时，如图1，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，
∴∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝2×2＝4，
∴AC＝＝＝2，
∵∠APQ＝∠ACB＝90°，∠CAP＝∠BAC，
∴△CAP∽△BAC，
∴，即，
∴AP＝3，
当∠AQP＝90°时，如图2，
∵PD⊥AC，PE⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形DPEC是矩形，
∴CQ＝QP，
∵∠AQP＝90°，
∴AQ垂直平分CP，
∴AP＝AC＝2，
综上所述，当△APQ为直角三角形时，AP的长是3或2，
故答案为：3或2．
14．（2022•绍兴）如图，AB＝10，点C是射线BQ上的动点，连结AC，作CD⊥AC，CD＝AC，动点E在AB延长线上，tan∠QBE＝3，连结CE，DE，当CE＝DE，CE⊥DE时，BE的长是 ．
【答案】 或5
【解答】解：如图，过点C作CT⊥AE于点T，过点D作DJ⊥CT交CT的延长线于点J，连接EJ．
∵tan∠CBT＝3＝，
∴可以假设BT＝k，CT＝3k，
∵∠CAT+∠ACT＝90°，∠ACT+∠JCD＝90°，
∴∠CAT＝∠JCD，
在△ATC和△CJD中，
，
∴△ATC≌△CJD（AAS），
∴DJ＝CT＝3k，AT＝CJ＝10+k，
∵∠CJD＝∠CED＝90°，
∴C，E，D，J四点共圆，
∵EC＝DE，
∴∠CJE＝∠DJE＝45°，
∴ET＝TJ＝10﹣2k，
∵CE2＝CT2+TE2＝（CD）2，
∴（3k）2+（10﹣2k）2＝[•]2，
整理得4k2﹣25k+25＝0，
∴（k﹣5）（4k﹣5）＝0，
∴k＝5和，
∴BE＝BT+ET＝k+10﹣2k＝10﹣k＝5或，
故答案为：5或．
15．（2022•甘肃）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝9cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝2cm，BD，EF交于点G，若G是EF的中点，则BG的长为 cm．
【答案】
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝6cm，∠ABC＝∠C＝90°，AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDC，
∵AE＝2cm，
∴BE＝AB﹣AE＝6﹣2＝4（cm），
∵G是EF的中点，
∴EG＝BG＝EF，
∴∠BEG＝∠ABD，
∴∠BEG＝∠BDC，
∴△EBF∽△DCB，
∴＝，
∴＝，
∴BF＝6，
∴EF＝＝＝2（cm），
∴BG＝EF＝（cm），
故答案为：．
16．（2022•新疆）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边BC的延长线上，点F在边AB上，以点D为中心，将△DCE绕点D顺时针旋转90°与△DAF恰好完全重合，连接EF交DC于点P，连接AC交EF于点Q，连接BQ，若AQ•DP＝3，则BQ＝ ．
【答案】
【解答】解：如图，连接DQ，
∵将△DCE绕点D顺时针旋转90°与△DAF恰好完全重合，
∴DE＝DF，∠FDE＝90°，
∴∠DFE＝∠DEF＝45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC＝45°＝∠BAC，
∴∠DAC＝∠DFQ＝45°，
∴点A，点F，点Q，点D四点共圆，
∴∠BAQ＝∠FDQ＝45°，∠DAF＝∠DQF＝90°，∠AFD＝∠AQD，
∴DF＝DQ，
∵AD＝AB，∠BAC＝∠DAC＝45°，AQ＝AQ，
∴△ABQ≌△ADQ（SAS），
∴BQ＝QD，∠AQB＝∠AQD，
∵AB∥CD，
∴∠AFD＝∠FDC，
∴∠FDC＝∠AQB，
又∵∠BAC＝∠DFP＝45°，
∴△BAQ∽△PFD，
∴，
∴AQ•DP＝3＝BQ•DF，
∴3＝BQ•BQ，
∴BQ＝，
故答案为：．
17．（2022•苏州）如图，在矩形ABCD中，＝．动点M从点A出发，沿边AD向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN．动点M，N同时出发，点M运动的速度为v1，点N运动的速度为v2，且v1＜v2．当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形MABN沿MN翻折，得到四边形MA′B′N．若在某一时刻，点B的对应点B′恰好与CD的中点重合，则的值为 ．
【答案】
【解答】解：如图，设AD交A′B′于点Q．设BN＝NB′＝x．
∵＝，
∴可以假设AB＝2k，CB＝3k，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝3k，CD＝AB＝2k，∠C＝∠D＝90°，
在Rt△CNB′中，CN2+CB′2＝NB′2，
∴（3k﹣x）2+k2＝x2，
∴x＝k，
∴NB′＝k，CN＝3k﹣k＝k，
由翻折的性质可知∠A′B′N＝∠B＝90°，
∴∠DB′Q+∠CB′N＝90°，∠CB′N+∠CNB′＝90°，
∴∠DB′Q＝∠CNB′，
∵∠D＝∠C＝90°，
∴△DB′Q∽△CNB′，
∴DQ：DB′：QB′＝CB′：CN：NB′＝3：4：5，
∵DB′＝k，
∴DQ＝k，
∵∠DQB′＝∠MQA′，∠D＝∠A′，
∴△DQB′∽△A′QM，
∴A′Q：A′M：QM＝DQ：DB′：QB′＝3：4：5，
设AM＝MA′＝y，
则MQ＝y，
∵DQ+QM+AM＝3k，
∴k+y+y＝3k，
∴y＝k，
∴＝＝＝，
解法二：连接BB′，过点M作MH⊥BC于点H．
设AB＝CD＝6m，CB＝9m，设BN＝NB′＝n，则n2＝（3m）2+（9m﹣n）2，
∴n＝5m，CN＝4m，
由△BB′C∽△MNH，可得NH＝2m，
∴AM＝BH＝3m，
∴＝＝＝，
故答案为：．
18．（2022•湖北）如图1，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为y（cm），y与t的函数图象如图2所示．当AP恰好平分∠BAC时t的值为 ．
【答案】2+2
【解答】解：如图，连接AP，
由图2可得AB＝BC＝4cm，
∵∠B＝36°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠C＝72°，
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP＝∠PAC＝∠B＝36°，
∴AP＝BP，∠APC＝72°＝∠C，
∴AP＝AC＝BP，
∵∠PAC＝∠B，∠C＝∠C，
∴△APC∽△BAC，
∴，
∴AP2＝AB•PC＝4（4﹣AP），
∴AP＝2﹣2＝BP，（负值舍去），
∴t＝＝2+2，
故答案为：2+2．
19．（2022•随州）如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，E，F分别为AB，AD的中点，连接EF．如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°），使EF⊥AD，连接BE并延长交DF于点H．则∠BHD的度数为 ，DH的长为 ．
【答案】90°，．
【解答】解：如图，设EF交AD于点J，AD交BH于点O，过点E作EK⊥AB于点K．
∵∠EAF＝∠BAD＝90°，
∴∠DAF＝∠BAE，
∵＝＝，
∴＝，
∴△DAF∽△BAE，
∴∠ADF＝∠ABE，
∵∠DOH＝∠AOB，
∴∠DHO＝∠BAO＝90°，
∴∠BHD＝90°，
∵AF＝3，AE＝4，∠EAF＝90°，
∴EF＝＝5，
∵EF⊥AD，
∴•AE•AF＝•EF•AJ，
∴AJ＝，
∴EJ＝＝＝，
∵EJ∥AB，
∴＝，
∴＝，
∴OJ＝，
∴OA＝AJ+OJ＝+＝4，
∴OB＝＝＝4，OD＝AD﹣AO＝6﹣4＝2，
∵cs∠ODH＝cs∠ABO，
∴＝，
∴＝，
∴DH＝．
故答案为：90°，．
20．（2022•娄底）如图，已知等腰△ABC的顶角∠BAC的大小为θ，点D为边BC上的动点（与B、C不重合），将AD绕点A沿顺时针方向旋转θ角度时点D落在D′处，连接BD′．给出下列结论：
①△ACD≌△ABD′；
②△ACB∽△ADD′；
③当BD＝CD时，△ADD′的面积取得最小值．
其中正确的结论有 （填结论对应的应号）．
【答案】①②③
【解答】解：由题意可知AC＝AB，AD＝AD′，∠CAD＝∠BAD′，
∴△ACD≌△ABD′，故①正确；
∵AC＝AB，AD＝AD′，∠BAC＝∠D′AD＝θ，
∴＝，
∴△ACB∽△ADD′，故②正确；
∵△ACB∽△ADD′，
∴＝（）2，
∵当AD⊥BC时，AD最小，△ADD′的面积取得最小值．
而AB＝AC，
∴BD＝CD，
∴当BD＝CD时，△ADD′的面积取得最小值，故③正确；
故答案为：①②③．
21．（2022•牡丹江）如图，在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC边上，DE与AC相交于点F，AH⊥DE，垂足是G，交BC于点H．下列结论中：①AC＝CD；②AD2＝BC•AF；③若AD＝3，DH＝5，则BD＝3；④AH2＝DH•AC，正确的是 ．
【答案】②③
【解答】解：①∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，
而∠BAD的度数不确定，
∴∠ADC与∠CAD不一定相等，
∴AC与CD不一定相等，
故①错误；
②∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵∠B＝∠AED＝45°，
∴△AEF∽△ABD，
∴＝，
∵AE＝AD，AB＝BC，
∴AD2＝AF•AB＝AF•BC，
∴AD2＝AF•BC，
故②正确；
④∵∠DAH＝∠B＝45°，∠AHD＝∠AHD，
∴△ADH∽△BAH，
∴＝，
∴AH2＝DH•BH，
而BH与AC不一定相等，
故④不一定正确；
③∵△ADE是等腰直角三角形，
∴∠ADG＝45°，
∵AH⊥DE，
∴∠AGD＝90°，
∵AD＝3，
∴AG＝DG＝，
∵DH＝5，
∴GH＝＝＝，
∴AH＝AG+GH＝2，
由④知：AH2＝DH•BH，
∴（2）2＝5BH，
∴BH＝8，
∴BD＝BH﹣DH＝8﹣5＝3，
故③正确；
本题正确的结论有：②③
故答案为：②③．
22．（2022•丹东）如图，四边形ABCD是边长为6的菱形，∠ABC＝60°，对角线AC与BD交于点O，点E，F分别是线段AB，AC上的动点（不与端点重合），且BE＝AF，BF与CE交于点P，延长BF交边AD（或边CD）于点G，连接OP，OG，则下列结论：①△ABF≌△BCE；②当BE＝2时，△BOG的面积与四边形OCDG面积之比为1：3；③当BE＝4时，BE：CG＝2：1；④线段OP的最小值为2﹣2．其中正确的是 ．（请填写序号）
【答案】①②
【解答】解：①∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝AD＝CD，
∴∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝60°，
在△ABF和△BCE中，
，
∴△ABF≌△BCE（SAS），
故①正确；
②由①知：△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝6，
∵AF＝BE＝2，
∴CF＝AC﹣AF＝4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，OB＝OD，OA＝OC，
∴△AGF∽△CBF，S△BOG＝S△DOG，S△AOD＝S△COD，
∴，
∴，
∴AG＝3，
∴AG＝，
∴S△AOD＝2S△DOG，
∴S△COD＝2S△DOG，
∴S四边形OCDG＝S△DOG+S△COD＝3S△DOG＝3S△BOG，
故②正确；
③如图1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴△CGF∽△ABF，
∴，
∴，
∴CG＝3，
∴BE：CG＝4：3，
故③不正确；
④如图2，
由①得：△ABF≌△BCE，
∴∠BCE＝∠ABF，
∴BCE+∠CBF＝∠ABF+∠CBF＝∠ABC＝60°，
∴∠BPC＝120°，
作等边三角形△BCH，作△BCH的外接圆I，
则点P在⊙I上运动，
点O、P、I共线时，OP最小，
作HM⊥BC于M，
∴HM＝＝3，
∴PI＝IH＝，
∵∠ACB+∠ICB＝60°+30°＝90°，
∴OI＝＝＝，
∴OP最小＝OI﹣PI＝﹣2，
故④不正确，
故答案为：①②．
三．相似三角形的应用
23．（2022•衢州）希腊数学家海伦给出了挖掘直线隧道的方法：如图，A，B是两侧山脚的入口，从B出发任作线段BC，过C作CD⊥BC，然后依次作垂线段DE，EF，FG，GH，直到接近A点，作AJ⊥GH于点J．每条线段可测量，长度如图所示．分别在BC，AJ上任选点M，N，作MQ⊥BC，NP⊥AJ，使得＝＝k，此时点P，A，B，Q共线．挖隧道时始终能看见P，Q处的标志即可．
（1）CD﹣EF﹣GJ＝ km．
（2）k＝ ．
【答案】1.8；．
【解答】解：（1）CD﹣EF﹣GJ＝5.5﹣1﹣2.7＝1.8（km）；
（2）连接AB，过点A作AZ⊥CB，交CB的延长线于点Z．
由矩形性质得：AZ＝CD﹣EF﹣GJ＝1.8，
BZ＝DE+FG﹣CB﹣AJ＝4.9+3.1﹣3﹣2.4＝2.6，
∵点P，A，B，Q共线，
∴∠MBQ＝∠ZBA，
又∵∠BMQ＝∠BZA＝90°，
∴△BMQ∽△BZA，
∴＝k＝＝＝．
故答案为：1.8；．
（2022•温州）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA，OB，此时各叶片影子在点M右侧成线段CD，测得MC＝8.5m，CD＝13m，垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为2：3，则点O，M之间的距离等
于 米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于 米．
【答案】10，（10+）
【解答】解：解法一：如图，过点O作OP∥BD，交MG于P，过P作PN⊥BD于N，则OB＝PN，
∵AC∥BD，
∴AC∥OP∥BD，
∴＝，∠EGF＝∠OPM，
∵OA＝OB，
∴CP＝PD＝CD＝6.5，
∴MP＝CM+CP＝8.5+6.5＝15，
tan∠EGF＝tan∠OPM，
∴＝＝，
∴OM＝×15＝10；
∵DB∥EG，
∴∠EGF＝∠NDP，
∴sin∠EGF＝sin∠NDP，即＝，
∴OB＝PN＝，
以点O为圆心，OA的长为半径作圆，当OB与OM共线时，叶片外端离地面的高度最大，其最大高度等于（10+）米．
解法二：如图，设AC与OM交于点H，过点C作CN⊥BD于N，
∵HC∥EG，
∴∠HCM＝∠EGF，
∵∠CMH＝∠EFG＝90°，
∴△HMC∽△EFG，
∴＝＝，即＝，
∴HM＝，
∵BD∥EG，
∴∠BDC＝∠EGF，
∴tan∠BDC＝tan∠EGF，
∴＝＝，
设CN＝2x，DN＝3x，则CD＝x，
∴x＝13，
∴x＝，
∴AB＝CN＝2，
∴OA＝OB＝AB＝，
在Rt△AHO中，∵∠AHO＝∠CHM，
∴sin∠AHO＝＝，
∴＝，
∴OH＝，
∴OM＝OH+HM＝+＝10（米），
以点O为圆心，OA的长为半径作圆，当OB与OM共线时，叶片外端离地面的高度最大，其最大高度等于（10+）米．
故答案为：10，（10+）．
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