高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质当堂检测题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质当堂检测题，共36页。

TOC \ "1-3" \h \z \t "正文,1"
\l "_Tc123556641" 【考点1：正弦、余弦、正切函数的图象】 PAGEREF _Tc123556641 \h 1
\l "_Tc123556642" 【考点2：正弦、余弦、正切函数的定义域、值域和最值】 PAGEREF _Tc123556642 \h 2
\l "_Tc123556643" 【考点3：正弦、余弦、正切函数的周期性】 PAGEREF _Tc123556643 \h 4
\l "_Tc123556644" 【考点4：正弦、余弦、正切函数的单调性】 PAGEREF _Tc123556644 \h 5
\l "_Tc123556645" 【考点5：正弦、余弦、正切函数的奇偶性】 PAGEREF _Tc123556645 \h 8
\l "_Tc123556646" 【考点6：正弦、余弦、正切函数的对称性】 PAGEREF _Tc123556646 \h 9
【考点1：正弦、余弦、正切函数的图象】
【知识点：正弦、余弦、正切函数的图象】
1．（2022·高一课时练习）函数y=sinx，x∈0,2π的图像与直线y=−23的交点的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
2．（2022秋·上海杨浦·高一校考期中）函数y=10sinx与函数y=x的图像的交点个数是（ ）
A．3B．6C．7D．9
3．（2022秋·北京·高一北京市第三十五中学校考阶段练习）在区间0,π内，函数y=sinx与y=tanx的图像交点的个数是（ ）个.
A．0B．1C．2D．3
4．（2022春·河北唐山·高一唐山一中校考阶段练习）函数y=6csx与y=3tanx在0,π上的图象相交于M，N两点，O为坐标原点，则△MON的面积为（ ）
A．2πB．32π2C．3πD．3π2
5．（2022春·陕西安康·高二校考期中）函数fx=sinx在区间0,22π上可找到n个不同的数x1,x2,⋅⋅⋅,xn，使得fx1x1=fx2x2=⋅⋅⋅=fxnxn，则n的最大值为（ ）
A．20B．21C．22D．23
6．（2022春·浙江杭州·高一杭州外国语学校校考期中）函数y=1+sinx，x∈π4,π的图像与直线y=t（为常数）的交点可能有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
7．（2022·高一课时练习）关于函数fx=1+csx，x∈π3,2π的图象与直线y=t（t为常数）的交点情况，下列说法正确的是（ ）
A．当t<0或t≥2时，有0个交点B．当t=0或32≤t<2时，有1个交点
C．当08．（2021春·北京·高一校考阶段练习）函数y=sinπx2−1x+1在区间−6,6内的零点个数为__________.
9．（2022·高一课时练习）用五点法作函数y=2csx−1,x∈R的简图．
【考点2：正弦、余弦、正切函数的定义域、值域和最值】
【知识点：正弦、余弦、正切函数的定义域、值域和最值】
[方法技巧] 三角函数值域或最值的三种求法
1．（2022春·山东济南·高一山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）函数y=−sin2x+4csx−6的值域是（ ）
A．2,10B．0,10C．2,10D．−10,−2
2．（2022春·吉林长春·高一东北师大附中校考阶段练习）已知函数fx=sin2x+φ，0≤φ<2π，若对∀x∈R，fx≤fπ3恒成立，则φ=（ ）
A．π6B．5π6C．7π6D．11π6
3．（2022·四川自贡·统考一模）函数fx=a−3tan2x在x∈−π6,b的最大值为7，最小值为3，则ab为（ ）
A．5π12B．π3C．π6D．π12
4．（2022·高一课时练习）函数y=tanx−π6，x∈−π6,5π12的值域为（ ）
A．−3,1B．−1,33C．1,3D．33,1
5．（2022春·河北·高三校联考阶段练习）已知函数fx=csx+π3，若fx在0,a上的值域是−1,12，则实数a的可能取值为（ ）
A．π3B．2π3C．4π3D．5π3
6．（2022·高一课时练习）函数y=−tan2x−3π4的定义域为___________.
7．（2022秋·上海崇明·高一上海市崇明中学校考期中）函数f(x)=sin2x,x∈−π4,3π4的值域为_____．
8．（2022·全国·高三专题练习）函数y=tanx+π6,x∈−π6,π3的值域为______.
9．（2022·上海闵行·统考一模）已知函数fx=2sinωx+π4ω>0在区间−1,1上的值域为m,n，且n−m=3，则ω的值为______．
10．（2022春·吉林长春·高一东北师大附中校考阶段练习）函数y=2−sin2x−csx，x∈−π3,2π3的最大值是______．
11．（2022春·江西·高三校联考阶段练习）函数fx=cs2x+π4在区间0,π2上的最小值是___________.
【考点3：正弦、余弦、正切函数的周期性】
【知识点：正弦、余弦、正切函数的周期性】
1．在函数y=sin2x,y=sinx,y=csx,y=tanx2中，最小正周期为π的函数是（ ）
A．y=sin2xB．y=sinxC．y=csxD．y=tanx2
2．（2022春·内蒙古呼和浩特·高三呼市二中阶段练习）已知函数f(x)=sinωx+π6(ω>0)的最小正周期为TT>π2，且将y=f(x)的图象向右平移π4个单位后的图象关于y轴对称，则T=（ ）
A．3π4B．πC．3π2D．3π
3．（2022·浙江·模拟预测）已知函数fx=Asinωx+π6（其中A>0，ω>0）的最小正周期为T，若2π3A．−3B．−1C．1D．3
4．（2022春·全国·高三校联考阶段练习）下列函数中，最小正周期为π的是（ ）
A．y=sinxB．y=sinxC．y=cs2xD．y=cs2x
5．（2022秋·上海普陀·高一曹杨二中期中）函数y=sin3x的最小正周期为_____．
6．（2000·北京·高考真题）函数y=cs2π3x+π4的最小正周期是_____________．
7．（2022秋·上海浦东新·高一校考期末）函数y=tan3πx+π3的最小正周期为______．
8．（2022秋·上海金山·高一华东师范大学第三附属中学校考期末）已知函数y=tanax−π6(a≠0)的最小正周期为π2，则a的值为___________.
9．（2022春·河南洛阳·高三孟津县第一高级中学校考阶段练习）设f(n)=csnπ2+π4，则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2022)=__________.
10．（2022春·江西宜春·高三校考阶段练习）已知函数f(x)=sinωx+π4(ω>0)的图象与直线y=a的相邻的四个交点依次为A，B，C，D，且AB=π2，BD=4CD，则函数f(x)的最小正周期为______.
【考点4：正弦、余弦、正切函数的单调性】
【知识点：正弦、余弦、正切函数的单调性】
1．（2021·陕西榆林·校考模拟预测）下列四个函数中，在区间0,π2上为增函数的是（ ）
A．y=−sinxB．y=csx
C．y=tanxD．y=−tanx
2．（2022·四川达州·统考一模）已知函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)在区间[−π4,2π3]​上单调递增，则ω​的取值范围为（ ）
A．0，83​B．0，12​
C．12，83​D．83，2​
3．（2022春·江苏南京·高一金陵中学校考阶段练习）下列不等式成立的是（ ）
A．sin−π10cs−50∘
C．sin7π84．（2022春·广西柳州·高三校联考阶段练习）已知函数fx=csωx+φω>0,0<φ<π2的最小正周期π，且对任意x∈R，fx≥fπ3恒成立．若函数y=fx在0,a上单调递减，则实数a的最大值是__________．
5．（2022春·黑龙江哈尔滨·高一尚志市尚志中学校考阶段练习）已知函数fx=3csπ6−2x．
(1)求函数fx的单调区间；
(2)求函数fx在区间−π4,π2上的最小值和最大值，并求此时x的值．
6．（2022春·安徽滁州·高一阶段练习）已知fx=sinπ6−2x．
(1)求函数在R上的单调递减区间；
(2)求函数在0，π2上的值域；
(3)求不等式fx<−12在−π,π上的解集．
7．（2022春·重庆·高一阶段练习）已知函数fx=12sin2x+π4,x∈R.
(1)求fx的最小正周期；
(2)求fx的最大值和对应x的取值；
(3)求fx在−π2,π2的单调递增区间.
8．（2022春·山东济南·高一山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）已知函数fx=3csπ6−2x.
(1)求函数fx的单调区间;
(2)求函数fx在−π,π上的单调增区间;
(3)求函数fx在区间−π4,π2上的最小值和最大值.
【考点5：正弦、余弦、正切函数的奇偶性】
【知识点：正弦、余弦、正切函数的奇偶性】
1．（2022春·上海·高二开学考试）下列函数中，在其定义域上是偶函数的是（ ）
A．y=sinxB．y=sinxC．y=tanxD．y=csx−π2
2．（2022春·山东济南·高一山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）已知函数fx=2cs−2x+π4+φ是偶函数，则tanφ的值为（ ）
A．−1B．1C．1或-1D．22
3．（2021春·江苏徐州·高一校考阶段练习）已知函数f(x)=sinx,x∈R，若函数f(x+θ)是偶函数，则θ的最小正值为（ ）
A．π2B．πC．π3D．2π
4．（2022春·山东济宁·高三统考期中）函数fx=csx−ax≤0sinx−bx>0是偶函数，则a，b的值可能是（ ）
A．a=π3,b=π3B．a=π3,b=π6
C．a=2π3,b=π6D．a=2π3,b=5π6
5．（2022春·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习）已知函数f(x)=cs(πx+φ)(0<φ<π)是定义在R上的奇函数，则f1=___________.
6．（2022春·河北唐山·高三校联考阶段练习）将函数fx=sin2x+π3的图象向左或向右平移φ(0<φ<π)个单位长度，得到函数gx的图象，若gx是偶函数，则φ的一个取值可能为__________.
7．（2022春·福建三明·高三校联考期中）将函数fx=csωx+π6(ω>0)的图象向左平移π6个单位长度后得到偶函数gx的图象，则ω的最小值是___________.
【考点6：正弦、余弦、正切函数的对称性】
【知识点：正弦、余弦、正切函数的对称性】
1．（2022春·江苏连云港·高一期末）函数y=sin(2x+φ)(0≤φ≤π)的图象关于直线x=π8对称，则φ的值是（ ）
A．0B．π4C．π2D．π
2．（2021春·陕西榆林·高二陕西省神木中学校考阶段练习）若函数fx=sin2x+φφ∈0,π图像的一条对称轴为x=π6，则φ=（ ）
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
3．（2022春·四川成都·高三树德中学校考阶段练习）已知函数f(x)=sinωx+π3(ω>0)，在(−π,0)上恰有3条对称轴，3个对称中心，则ω的取值范围是（ ）
A．176,103B．176,103C．73,116D．73,16
4．（2020·高一课时练习）已知函数f(x)=cs(x2+π3)，则f(x)的最小正周期是______；f(x)的对称中心是______．
5．（2020秋·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考阶段练习）函数y=tan2x−π4的最小正周期为____________，对称中心为____________.
6．（2022春·北京·高三北京铁路二中校考阶段练习）已知函数f（x）＝cs（ωx＋φ）（ω>0，|φ|<π2）的最小正周期为4π，且∀x∈R有fx≤fπ3成立，则fx图象的对称中心是________，对称轴方程是________.
7．（2020·全国·高一专题练习）已知函数fx=2tanaπx+π6a>0的最小正周期是3.则a=___________fx的对称中心为____________. 三角
函数
正弦函数
y＝sin x
余弦函数
y＝cs x
正切函数
y＝tan x
图象
三角
函数
正弦函数
y＝sin x
余弦函数
y＝cs x
正切函数
y＝tan x
图象
定
义
域
R
R
{x|x≠π2+kπ，k∈Z}
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
最值
当且仅当x＝eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)时，取得最大值1；当且仅当x＝－eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)时，取得最小值－1
当且仅当x＝2kπ(k∈Z)时，取得最大值1；当且仅当x＝π＋2kπ(k∈Z)时，取得最小值－1
直接法
形如y＝asin x＋k或y＝acs x＋k的三角函数，直接利用sin x，cs x的值域求出
化一法
形如y＝asin x＋bcs x＋k的三角函数，化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，确定ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)
换元法
形如y＝asin2x＋bsin x＋k的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；形如y＝asin xcs x＋b(sin x±cs x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cs x，化为关于t的二次函数求值域(最值)
函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象
最小正
周期
2π
2π
π
函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象
单调性
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))为增；
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))为减，k∈Z
[2kπ，2kπ＋π]为减；[2kπ－π，2kπ]为增，k∈Z
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))为增，k∈Z
函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象
对称
中心
(kπ，0)，k∈Z
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)，0))，k∈Z
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))，k∈Z
对称轴
x＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z
x＝kπ，k∈Z
专题5.4三角函数的图象与性质
TOC \ "1-3" \h \z \t "正文,1"
\l "_Tc123556641" 【考点1：正弦、余弦、正切函数的图象】 PAGEREF _Tc123556641 \h 1
\l "_Tc123556642" 【考点2：正弦、余弦、正切函数的定义域、值域和最值】 PAGEREF _Tc123556642 \h 6
\l "_Tc123556643" 【考点3：正弦、余弦、正切函数的周期性】 PAGEREF _Tc123556643 \h 12
\l "_Tc123556644" 【考点4：正弦、余弦、正切函数的单调性】 PAGEREF _Tc123556644 \h 16
\l "_Tc123556645" 【考点5：正弦、余弦、正切函数的奇偶性】 PAGEREF _Tc123556645 \h 23
\l "_Tc123556646" 【考点6：正弦、余弦、正切函数的对称性】 PAGEREF _Tc123556646 \h 26
【考点1：正弦、余弦、正切函数的图象】
【知识点：正弦、余弦、正切函数的图象】
1．（2022·高一课时练习）函数y=sinx，x∈0,2π的图像与直线y=−23的交点的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】利用数形结合即可.
【详解】
在同一平面直角坐标系内，先画函数y=sinx，x∈0,2π的图像，再画直线y=−23，可知所求交点的个数为2．
故选：C．
2．（2022秋·上海杨浦·高一校考期中）函数y=10sinx与函数y=x的图像的交点个数是（ ）
A．3B．6C．7D．9
【答案】C
【分析】作出函数y=10sinx和y=x的图象，由图象可得交点个数，
【详解】y=10sinx的最小正周期是2π，y=10sinx∈[−10,10]，
y=x∈[−10,10]时，x∈[−10,10]，作出函数y=10sinx和y=x的图象，只要观察x∈[−10,10]的图象，由图象知它们有7个交点，
故选：C．
3．（2022秋·北京·高一北京市第三十五中学校考阶段练习）在区间0,π内，函数y=sinx与y=tanx的图像交点的个数是（ ）个.
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】对x分类讨论，结合正弦、正切函数的性质判断即可；
【详解】解：当x=0时sinx=tanx=0，故x=0是函数y=sinx与y=tanx的一个交点，
当x∈0,π2时，则tanx−sinx=sinx1csx−1，因为sinx>0，0所以1csx>1，则1csx−1>0，即tanx−sinx>0，所以tanx>sinx，此时函数y=sinx与y=tanx无交点，
当x∈π2,π时，tanx<0，sinx>0，所以tanx当x=π时sinx=tanx=0，故x=π是函数y=sinx与y=tanx的一个交点，
综上可得函数y=sinx与y=tanx的图像在0,π内有且仅有2个交点；
故选：C
4．（2022春·河北唐山·高一唐山一中校考阶段练习）函数y=6csx与y=3tanx在0,π上的图象相交于M，N两点，O为坐标原点，则△MON的面积为（ ）
A．2πB．32π2C．3πD．3π2
【答案】D
【分析】通过解三角方程求得M,N的坐标，从而求得△MON的面积.
【详解】依题意，00
由6csx=3tanx，得6csx=3sinxcsx，
6cs2x=3sinx，61−sin2x=3sinx.
23sin2x+sinx−23=0，2sinx−33sinx+2=0，
解得sinx=32，所以xM=π3或xN=2π3（不妨设xM所以yM=6csπ3=3,yN=6cs2π3=−3，
所以Mπ3,3,N2π3,−3，线段MN中点坐标为Aπ2,0，
所以S△MON=12×π2×3×2=3π2.
故选：D
5．（2022春·陕西安康·高二校考期中）函数fx=sinx在区间0,22π上可找到n个不同的数x1,x2,⋅⋅⋅,xn，使得fx1x1=fx2x2=⋅⋅⋅=fxnxn，则n的最大值为（ ）
A．20B．21C．22D．23
【答案】C
【分析】题意即考虑直线y=kx与y=sinx的图象在(0,22π)的交点个数，作出直线与函数图象观察可得．
【详解】设fx1x1=fx2x2=⋅⋅⋅=fxnxn=k，则条件等价为fx=kx的根的个数，作出函数fx和y=kx的图象，由图象可知当k<0时，y=kx与函数y=fx的图象最多有22个交点，
k=0时，有21个交点，k>0时，最多有21个交点，
即n的最大值为22
故选：C．
6．（2022春·浙江杭州·高一杭州外国语学校校考期中）函数y=1+sinx，x∈π4,π的图像与直线y=t（为常数）的交点可能有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】ABC
【分析】作出函数y=1+sinx，x∈π4,π的图像与直线y=t图像，数形结合求解即可.
【详解】解：作出函数y=1+sinx，x∈π4,π的图像与直线y=t图像，如图，
所以，当t>2或t≤1时，y=1+sinx，x∈π4,π的图像与直线y=t（为常数）的交点个数为0个；
当t=2或1当1+22故函数y=1+sinx，x∈π4,π的图像与直线y=t（为常数）的交点可能有1个，2个，3个.
故选：ABC
7．（2022·高一课时练习）关于函数fx=1+csx，x∈π3,2π的图象与直线y=t（t为常数）的交点情况，下列说法正确的是（ ）
A．当t<0或t≥2时，有0个交点B．当t=0或32≤t<2时，有1个交点
C．当0【答案】AB
【分析】作出函数函数fx=1+csx，x∈π3,2π的图象，数形结合，一一判断每个选项，可得答案.
【详解】根据函数的解析式作出函数fx的图象如图所示,
对于选项A，当t<0或t≥2时，有0个交点，故A正确；
对于选项B，当t=0或32≤t<2时，有1个交点，故B正确；
对于选项C，当t=32时，只有1个交点，故C错误；
对于选项D，当32≤t<2时，只有1个交点，故D错误．
故选:AB．
8．（2021春·北京·高一校考阶段练习）函数y=sinπx2−1x+1在区间−6,6内的零点个数为__________.
【答案】3
【分析】将函数y=sinπx2−1x+1在区间−6,6内的零点个数转化为函数y=sinπx2,y=1x−1的交点个数，利用数形结合法求解.
【详解】函数y=sinπx2−1x+1=0，即sinπx2=1x−1，
在同一坐标系中作出y=sinπx2,y=1x−1的图象，如图所示：
由图象知，在区间−6,6内的零点个数为3，
故函数y=sinπx2−1x+1在区间−6,6内的零点个数为3.
故答案为：3
9．（2022·高一课时练习）用五点法作函数y=2csx−1,x∈R的简图．
【答案】见解析.
【分析】分别取x等于0，π2，π，3π2，2π，求出对应的x,y的值，描点连线得出函数y=2csx−1在[0,2π]的简图，再将y=2csx−1在[0,2π]上的图像向左右拓展，得y=2csx−1在R上的图像.
【详解】y=2csx−1,x∈R的周期T=2π1=2π，列表、描点，画出在一个周期内的图像.
把y=2csx−1在[0,2π]上的图像向左右拓展，得y=2csx−1在R上的图像，如图所示.
【考点2：正弦、余弦、正切函数的定义域、值域和最值】
【知识点：正弦、余弦、正切函数的定义域、值域和最值】
[方法技巧] 三角函数值域或最值的三种求法
1．（2022春·山东济南·高一山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）函数y=−sin2x+4csx−6的值域是（ ）
A．2,10B．0,10C．2,10D．−10,−2
【答案】D
【分析】利用平方关系将函数写成关于csx的一元二次函数形式，再利用换元法求二次函数的值域即可.
【详解】由sin2x+cs2x=1可得y=−sin2x+4csx−6=cs2x+4csx−7
令csx=t，则t∈−1,1，y=f(t)=t2+4t−7
易知，二次函数f(t)=t2+4t−7关于t=−2对称，且开口向上，
所以函数f(t)=t2+4t−7在t∈−1,1为单调递增，
所以，ymin=f(−1)=−12+4×(−1)−7=−10
ymax=f(1)=12+4−7=−2
所以，其值域为−10,−2.
故选：D.
2．（2022春·吉林长春·高一东北师大附中校考阶段练习）已知函数fx=sin2x+φ，0≤φ<2π，若对∀x∈R，fx≤fπ3恒成立，则φ=（ ）
A．π6B．5π6C．7π6D．11π6
【答案】D
【分析】根据题意可知，函数fx=sin2x+φ在x=π3时取最大值，所以2×π3+φ=π2+2kπ,k∈Z，根据0≤φ<2π即可求得φ的值.
【详解】由函数fx=sin2x+φ对∀x∈R，fx≤fπ3恒成立可知
函数fx=sin2x+φ在x=π3时取最大值，即fπ3=sin2×π3+φ=1
所以，2×π3+φ=π2+2kπ,k∈Z，即φ=π2−2π3+2kπ=−π6+2kπ,k∈Z
又因为0≤φ<2π，
所以k=1时，φ=11π6
故选：D
3．（2022·四川自贡·统考一模）函数fx=a−3tan2x在x∈−π6,b的最大值为7，最小值为3，则ab为（ ）
A．5π12B．π3C．π6D．π12
【答案】B
【分析】首先根据区间的定义以及fx的有界性确定b的范围，然后再利用正切函数的单调性得到fx的单调性，再代入相应端点值及对应的最值得到相应的方程，解出a,b即可.
【详解】∵x∈−π6,b，∴b>−π6，∴2x∈−π3,2b，
根据函数f(x)在x∈−π6,b的最大值为7,最小值为3，
所以2b<π2，即b<π4，根据正切函数gx=tanx在−π2,π2为单调增函数，
则f(x)=a−3tan2x，在−π6,b上单调减函数，
∴f−π6=a+3=7⇒a=4，∴fb=4−3tan2b=3，
则tan2b=33，∵2b∈−π3,π2，∴2b=π6，∴b=π12，
∴ab=4×π12=π3，
故选：B.
4．（2022·高一课时练习）函数y=tanx−π6，x∈−π6,5π12的值域为（ ）
A．−3,1B．−1,33C．1,3D．33,1
【答案】A
【分析】设z=x−π6，求得z∈−π3,π4，然后根据正切函数y=tanz在−π3,π4上递增，可求出函数的值域.
【详解】设z=x−π6，因为x∈−π6,5π12，所以z∈−π3,π4．
因为正切函数y=tanz在−π2,π2上单调递增，且tan−π3=−3，tanπ4=1，
所以tanz∈−3,1．
故选：A．
5．（2022春·河北·高三校联考阶段练习）已知函数fx=csx+π3，若fx在0,a上的值域是−1,12，则实数a的可能取值为（ ）
A．π3B．2π3C．4π3D．5π3
【答案】BC
【分析】根据已知求出a的范围即可.
【详解】fx=csx+π3，因为x∈0,a，所以x+π3∈π3,a+π3
又因为fx的值域是−1,12，所以a+π3∈π,5π3
可知a的取值范围是2π3,4π3.
故选：BC.
6．（2022·高一课时练习）函数y=−tan2x−3π4的定义域为___________.
【答案】{x|x≠5π8+kπ2,k∈Z}
【分析】先得到使函数有意义的关系式2x−3π4≠π2+kπ,k∈Z，求解即可.
【详解】若使函数有意义，需满足：2x−3π4≠π2+kπ,k∈Z，
解得x≠5π8+kπ2,k∈Z；
故答案为：{x|x≠5π8+kπ2,k∈Z}
7．（2022秋·上海崇明·高一上海市崇明中学校考期中）函数f(x)=sin2x,x∈−π4,3π4的值域为_____．
【答案】[−1,1]
【分析】根据正弦函数的图象和性质即得.
【详解】因为函数f(x)=sin2x,x∈−π4,3π4，2x∈−π2,3π2，
所以sin2x∈−1,1，即函数f(x)=sin2x,x∈−π4,3π4的值域为[−1,1]
故答案为：[−1,1].
8．（2022·全国·高三专题练习）函数y=tanx+π6,x∈−π6,π3的值域为______.
【答案】0,+∞
【分析】根据题意，结合正切函数的图象与性质，即可求解.
【详解】设z=x+π6，因为x∈−π6,π3，可得z∈(0,π2)，
因为正切函数y=tanz在0,π2上的值域为0,+∞，
即函数y=tanx+π6在−π6,π3的值域为0,+∞.
故答案为：0,+∞.
9．（2022·上海闵行·统考一模）已知函数fx=2sinωx+π4ω>0在区间−1,1上的值域为m,n，且n−m=3，则ω的值为______．
【答案】5π12
【分析】根据函数值域满足n−m=3，结合正弦函数的图象可知ω+π4=−π6时满足题意，得解.
【详解】∵x∈−1,1，令t=ωx+π4，
∴−ω+π4≤t=ωx+π4≤ω+π4,ω>0,
∵n−m=3，作出函数y=2sint的图象，如图，
由图可知，以π4为中心，当ω>0变大时，若0<ω<π4，函数最大值y→2，最小值y→0，不满足n−m=3，若π4≤ω时，函数最大值y=2，所以只需要确定函数最小值，因为n−m=3，需函数最小值为y=−1，所以当−ω+π4=−π6时，即ω=5π12时，
函数值域为[−1,2]，满足n−m=3，当5π12<ω时，函数最小值y<−1，此时不满足n−m=3， 综上ω=5π12.
故答案为：5π12.
10．（2022春·吉林长春·高一东北师大附中校考阶段练习）函数y=2−sin2x−csx，x∈−π3,2π3的最大值是______．
【答案】74
【分析】利用同角三角函数的关系将函数变形为y=(csx−12)2+34，再根据角的取值范围和二次函数的性质即可求解.
【详解】因为y=2−sin2x−csx=cs2x−csx+1=(csx−12)2+34，
又因为x∈−π3,2π3，所以csx∈[−12,1]，
所以当csx=−12时，函数y=2−sin2x−csx取最大值74，
故答案为：74.
11．（2022春·江西·高三校联考阶段练习）函数fx=cs2x+π4在区间0,π2上的最小值是___________.
【答案】−1
【分析】根据余弦函数的性质结合整体思想即可得解.
【详解】解：因为x∈0,π2，所以2x+π4∈π4,5π4，
所以当2x+π4=π时，函数fxmin=−1.
故答案为：−1.
【考点3：正弦、余弦、正切函数的周期性】
【知识点：正弦、余弦、正切函数的周期性】
1．在函数y=sin2x,y=sinx,y=csx,y=tanx2中，最小正周期为π的函数是（ ）
A．y=sin2xB．y=sinxC．y=csxD．y=tanx2
【答案】A
【分析】根据正余弦、正切函数的性质求各函数的最小正周期即可.
【详解】由正弦函数性质，y=sin2x的最小正周期为2π2=π，y=sinx的最小正周期为2π；
由余弦函数性质，y=csx的最小正周期为2π；
由正切函数性质，y=tanx2的最小正周期为π12=2π.
综上，最小正周期为π的函数是y=sin2x.
故选：A
2．（2022春·内蒙古呼和浩特·高三呼市二中阶段练习）已知函数f(x)=sinωx+π6(ω>0)的最小正周期为TT>π2，且将y=f(x)的图象向右平移π4个单位后的图象关于y轴对称，则T=（ ）
A．3π4B．πC．3π2D．3π
【答案】A
【分析】根据三角函数图象的平移变换和奇偶性，可得ω=−43−4k,k∈Z，由T=2πω>π2可得0<ω<4，即可求解.
【详解】将函数f(x)=sin(ωx+π6)图象向右平移π4个单位长度，
得y=sin(ωx+π6−ωπ4)，图象关于y轴对称，
则函数y=sin(ωx+π6−ωπ4)=cs(π2−ωx−π6+ωπ4)=cs(ωx−π3−ωπ4)为偶函数，
所以−π3−ωπ4=kπ,k∈Z，解得ω=−43−4k,k∈Z；
又T=2πω>π2，所以0<ω<4，所以ω=83，
则T=2π83=3π4.
故选：A.
3．（2022·浙江·模拟预测）已知函数fx=Asinωx+π6（其中A>0，ω>0）的最小正周期为T，若2π3A．−3B．−1C．1D．3
【答案】C
【分析】根据2π3【详解】因为ω>0，所以2π3y=fx图象上有一个最低点3π2,−2，且A>0，故A=2，
且2sin3ωπ2+π6=−2，则3ωπ2+π6=3π2+2kπ，k∈Z，
解得：ω=89+43k，k∈Z，
由2<ω<3可得：89+43k∈2,3，解得：56因为k∈Z，故k=1，
所以ω=89+43=209，
故fx=2sin209x+π6，
所以f3π=2sin209×3π+π6=2sin5π6+6π=2sin5π6=2×12=1.
故选：C
4．（2022春·全国·高三校联考阶段练习）下列函数中，最小正周期为π的是（ ）
A．y=sinxB．y=sinxC．y=cs2xD．y=cs2x
【答案】AD
【分析】利用特殊值排除B，利用图象以及三角函数最小正周期的知识求得正确答案.
【详解】A选项，y=sinx的图象如下图所示，由此可知y=sinx的最小正周期为π.
B选项，令fx=sinx， f−3π2=sin3π2=−1,f−3π2+π=f−π2=sinπ2=1，
f−3π2≠f−3π2+π，所以B选项错误.
C选项，令gx=cs2x，gx+π2=cs2x+π=−cs2x=cs2x=gx，
所以π不是y=cs2x的最小正周期.
D选项，对于函数y=cs2x，当2x≥0时，y=cs2x，
当2x<0时，y=cs−2x=cs2x，
所以y=cs2x=cs2x，其最小正周期为T=2π2=π，D选项正确.
故选：AD
5．（2022秋·上海普陀·高一曹杨二中期中）函数y=sin3x的最小正周期为_____．
【答案】2π3
【分析】直接利用三角函数的周期公式，即可求解.
【详解】解：由正弦函数的周期公式得T=2π3，
所以函数y=sin3x的最小正周期为2π3，
故答案为：2π3
6．（2000·北京·高考真题）函数y=cs2π3x+π4的最小正周期是_____________．
【答案】3
【分析】利用周期公式求解即可.
【详解】函数y=cs2π3x+π4的最小正周期T=2π2π3=3.
故答案为：3.
7．（2022秋·上海浦东新·高一校考期末）函数y=tan3πx+π3的最小正周期为______．
【答案】13
【分析】直接根据正切函数的周期公式得答案.
【详解】函数y=tan3πx+π3的最小正周期为π3π=13
故答案为：13
8．（2022秋·上海金山·高一华东师范大学第三附属中学校考期末）已知函数y=tanax−π6(a≠0)的最小正周期为π2，则a的值为___________.
【答案】±2
【分析】根据正切型三角函数确定最小正周期的表达式，即可求a的值.
【详解】解：函数y=tanax−π6(a≠0)的最小正周期为πa=π2，所以a=±2.
故答案为：±2.
9．（2022春·河南洛阳·高三孟津县第一高级中学校考阶段练习）设f(n)=csnπ2+π4，则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2022)=__________.
【答案】−2
【分析】确定f(n)的周期为4，且f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0，计算得到答案.
【详解】f(1)=csπ2+π4=−22，f(2)=cs(2π2+π4)=−22，f(3)=cs3π2+π4=22，
f(4)=cs4π2+π4=22，f(5)=cs5π2+π4=−22，
f(n+4)=cs2π+nπ2+π4=csnπ2+π4=f(n)，f(n)的周期为4，
且f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0，
所以f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2022)=f(1)+f(2)=−2.
故答案为：−2
10．（2022春·江西宜春·高三校考阶段练习）已知函数f(x)=sinωx+π4(ω>0)的图象与直线y=a的相邻的四个交点依次为A，B，C，D，且AB=π2，BD=4CD，则函数f(x)的最小正周期为______.
【答案】2π
【分析】由正弦函数的图象与性质可得，AB=CD=π2，BD=2π，所以T=2π.
【详解】由题，显然a≠±1，作出示意图
由正弦函数的图象性质及AB=π2，BD=4CD可知，AB=CD=π2，BD=4×π2=2π，
所以函数f(x)的周期为2π.
故答案为：2π.
【考点4：正弦、余弦、正切函数的单调性】
【知识点：正弦、余弦、正切函数的单调性】
1．（2021·陕西榆林·校考模拟预测）下列四个函数中，在区间0,π2上为增函数的是（ ）
A．y=−sinxB．y=csx
C．y=tanxD．y=−tanx
【答案】C
【分析】根据正弦、余弦、正切函数的单调性判断即可.
【详解】对A，因为y=sinx在0,π2上递增，所以y=−sinx在0,π2上单调递减，故A错误；
对B，y=csx在0,π2上单调递减，故B错误；
对C，y=tanx在0,π2上单调递增，故C正确；
对D，由C知，y=−tanx在0,π2上单调递减，故D错误.
故答案为：C
2．（2022·四川达州·统考一模）已知函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)在区间[−π4,2π3]​上单调递增，则ω​的取值范围为（ ）
A．0，83​B．0，12​
C．12，83​D．83，2​
【答案】B
【分析】根据正弦函数的单调递增区间，确定函数f(x)的单调增区间，根据函数f(x)在区间[−π4,2π3]上单调递增，建立不等式，即可求解.
【详解】∵fx在区间[−π4,2π3]上单调递增，
所以−ωπ4+π6≤ωx+π6≤2ωπ3+π6
由函数解析式知: fx在[2kπ−π2,2kπ+π2](k∈Z)上单调递增，
则有−ωπ4+π6≥−π2+2kπ,k∈Z2ωπ3+π6≤π2+2kπ,k∈Zω>0k∈Z，解得ω≤83−8kω≤3k+12ω>0k∈Z，
所以当 k=0时，有0<ω≤12，
故选: B.
3．（2022春·江苏南京·高一金陵中学校考阶段练习）下列不等式成立的是（ ）
A．sin−π10cs−50∘
C．sin7π8【答案】BD
【分析】利用正余弦函数的单调性可得出每个选项中两个三角函数值的大小，即可选出答案.
【详解】因为−π2<−π8<−π10<0，且函数y=sinx在−π2,0上单调递增，则sin−π8因为cs400∘=cs40∘,cs−50∘=cs50∘，且函数y=csx在0,π2上单调递减，则cs40∘>cs50∘，
即cs400∘>cs−50∘，故选项B正确；
因为π2<7π8<8π7<3π2，且函数y=sinx在π2,3π2上单调递减，则sin7π8>sin8π7，故选项C错误；
因为π2<2<3<3π2，且函数y=sinx在π2,3π2上单调递减，则sin3故选：BD
4．（2022春·广西柳州·高三校联考阶段练习）已知函数fx=csωx+φω>0,0<φ<π2的最小正周期π，且对任意x∈R，fx≥fπ3恒成立．若函数y=fx在0,a上单调递减，则实数a的最大值是__________．
【答案】π3
【分析】根据已知先求得fx=cs2x+π3，再求得递减区间，结合函数y=fx在0,a上单调递减即可求得结论．
【详解】解：由函数fx=csωx+φω>0的最小正周期为π得
ω=2ππ=2．
又对任意x∈R，fx≥fπ3恒成立，
所以函数fx在x=π3处取得最小值，则2π3+φ=π+2kπ，k∈Z，
即φ=π3+2kπ，k∈Z，
又0<φ<π2，
所以φ=π3，
所以fx=cs2x+π3．
令2kπ≤2x+π3≤π+2kπ，k∈Z，
解得−π6+kπ≤x≤π3+kπ，k∈Z，
则函数y=fx在0,π3上单调递减，
故实数a的最大值是π3．
故答案为：π3．
5．（2022春·黑龙江哈尔滨·高一尚志市尚志中学校考阶段练习）已知函数fx=3csπ6−2x．
(1)求函数fx的单调区间；
(2)求函数fx在区间−π4,π2上的最小值和最大值，并求此时x的值．
【答案】(1)增区间kπ−5π12,kπ+π12，k∈Z；减区间kπ+π12,kπ+7π12，k∈Z
(2)最大值为3，x=π12；最小值为−32，x=π2
【分析】（1）将2x−π6整体代入y=csx的单调区间，求出x的范围即可；
（2）通过x的范围，求出2x−π6的范围，然后利用y=csx的最值的取值求解即可.
【详解】（1）fx=3csπ6−2x=3cs2x−π6，
令2kπ−π<2x−π6<2kπ，k∈Z，得kπ−5π12令2kπ<2π−π6<2kπ+π，k∈Z，得kπ+π12故函数fx的单调递增区间为kπ−5π12,kπ+π12，k∈Z；
单调递减区间为kπ+π12,kπ+7π12，k∈Z；
（2）当x∈−π4,π2时，2x−π6∈−2π3,5π6，
所以当2x−π6=0，即x=π12时，fx取得最大值3，
当2x−π6=5π6，即x=π2时，fx取得最小值−32．
6．（2022春·安徽滁州·高一阶段练习）已知fx=sinπ6−2x．
(1)求函数在R上的单调递减区间；
(2)求函数在0，π2上的值域；
(3)求不等式fx<−12在−π,π上的解集．
【答案】(1)kπ−π6，kπ+π3，k∈Z
(2)−1，12
(3){x|−5π6【分析】（1）通过诱导公式可得函数fx的单调递减区间相当于函数y=sin2x−π6的单调递增区间，直接由正弦函数的单调性即可得结果；
（2）通过x的范围得出π6−2x的范围，由正弦函数的性质即可得结果；
（3）先求出在R上的解集，再结合给定区间即可得结果.
【详解】（1）fx=sinπ6−2x=−sin2x−π6，
∴函数fx的单调递减区间相当于函数y=sin2x−π6的单调递增区间，
令2x−π6∈2kπ−π2，2kπ+π2，k∈Z，
则x∈kπ−π6，kπ+π3，k∈Z，
∴函数在R上的单调递减区间为kπ−π6，kπ+π3，k∈Z．
（2）∵x∈[0，π2]，
∴π6−2x∈[−5π6，π6]，
当π6−2x=−π2，即x=π3时，f(x)min=f(π3)=−1；
当π6−2x=π6，即x=0时，f(x)max=f(0)=12，
∴函数fx在0，π2上的值域为−1，12.
（3）∵f(x)=sin(π6−2x)<−12，
∴2kπ−5π6<π6−2x<2kπ−π6，k∈Z，
∴−kπ+π6∵x∈[−π，π]，∴−5π6故不等式fx<−12在−π，π上的解集为{x|−5π67．（2022春·重庆·高一阶段练习）已知函数fx=12sin2x+π4,x∈R.
(1)求fx的最小正周期；
(2)求fx的最大值和对应x的取值；
(3)求fx在−π2,π2的单调递增区间.
【答案】(1)π；
(2)当x=π8+kπ,k∈Z时，函数fx有最大值12；
(3)−3π8,π8.
【分析】（1）根据正弦型函数的周期公式即得；
（2）根据正弦函数的图象和性质即得；
（3）根据正弦函数的单调性结合条件即得.
【详解】（1）因为函数fx=12sin2x+π4,x∈R，
所以fx的最小正周期为T=2π2=π；
（2）因为fx=12sin2x+π4,x∈R，
由2x+π4=π2+2kπ,k∈Z，可得x=π8+kπ,k∈Z，
∴当x=π8+kπ,k∈Z时，函数fx有最大值12；
（3）由−π2+2kπ≤2x+π4≤π2+2kπ,k∈Z，可得−3π8+kπ≤x≤π8+kπ,k∈Z，
又x∈−π2,π2，
∴函数fx的单增区间为−3π8,π8.
8．（2022春·山东济南·高一山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）已知函数fx=3csπ6−2x.
(1)求函数fx的单调区间;
(2)求函数fx在−π,π上的单调增区间;
(3)求函数fx在区间−π4,π2上的最小值和最大值.
【答案】(1)增区间为kπ−5π12,kπ+π12k∈Z;减区间为kπ+π12,kπ+7π12k∈Z
(2)−π,−11π12，−5π12,π12，7π12,π
(3)最小值为−32,最大值为3
【分析】(1)根据解析式及诱导公式,先将ω化为正,再将2x−π6放在y=csx的单调区间内,即可求得fx的单调区间;
(2) 由(1)得fx的单调递增区间,令k=−1,k=0,k=1求得递增区间,再由x∈−π,π即可得出结果;
(3)先由x∈−π4,π2,求出2x−π6的范围,再求出cs2x−π6的范围,进而得到fx的范围,即可得最值.
【详解】（1）解:由题知fx=3csπ6−2x=3cs2x−π6,
令2kπ−π≤2x−π6≤2kπ,k∈Z,
得kπ−5π12≤x≤kπ+π12,k∈Z,
令2kπ≤2x−π6≤2kπ+π,k∈Z,
得kπ+π12≤x≤kπ+7π12,k∈Z,
故fx的单调递增区间为kπ−5π12,kπ+π12k∈Z;
单调递减区间为kπ+π12,kπ+7π12k∈Z;
（2）由(1)可得fx的单调递增区间为kπ−5π12,kπ+π12k∈Z
令k=−1,fx在−17π12,−11π12单调递增,
令k=0,fx在−5π12,π12单调递增,
令k=1,fx在7π12,13π12单调递增,
因为x∈−π,π,
所以fx在−π,π上的单调增区间是
−π,−11π12，−5π12,π12，7π12,π;
（3）由题知fx=3csπ6−2x=3cs2x−π6,
当x∈−π4,π2时,−2π3≤2x−π6≤5π6,
根据y=csx图象性质可知:
cs2x−π6∈−32,1,
∴3cs2x−π6∈−32,3,
故fxmin=−32,fxmax=3.
【考点5：正弦、余弦、正切函数的奇偶性】
【知识点：正弦、余弦、正切函数的奇偶性】
1．（2022春·上海·高二开学考试）下列函数中，在其定义域上是偶函数的是（ ）
A．y=sinxB．y=sinxC．y=tanxD．y=csx−π2
【答案】B
【分析】根据奇偶性定义，结合三角函数的奇偶性可直接得到结果.
【详解】对于A，∵y=sinx定义域为R，sin−x=−sinx，∴y=sinx为奇函数，A错误；
对于B，∵y=sinx定义域为R，sin−x=−sinx=sinx，∴y=sinx为偶函数，B正确；
对于C，∵y=tanx定义域为kπ−π2,kπ+π2k∈Z，即定义域关于原点对称，tan−x=−tanx，∴y=tanx为奇函数，C错误；
对于D，∵y=csx−π2=sinx定义域为R，sin−x=−sinx，∴y=csx−π2为奇函数，D错误.
故选：B.
2．（2022春·山东济南·高一山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）已知函数fx=2cs−2x+π4+φ是偶函数，则tanφ的值为（ ）
A．−1B．1C．1或-1D．22
【答案】A
【分析】根据三角函数奇偶性可确定π4+φ=kπ,k∈Z，再利用诱导公式即可求得tanφ的值.
【详解】由函数fx=2cs−2x+π4+φ是偶函数可知，
π4+φ=kπ,k∈Z，即φ=−π4+kπ,k∈Z；
所以，tanφ=tan−π4+kπ=tan−π4=−1；
故选：A.
3．（2021春·江苏徐州·高一校考阶段练习）已知函数f(x)=sinx,x∈R，若函数f(x+θ)是偶函数，则θ的最小正值为（ ）
A．π2B．πC．π3D．2π
【答案】A
【分析】根据三角函数的奇偶性求参即可.
【详解】解：由f(x)=sinx,x∈R，得f(x+θ)=sinx+θ，
又函数f(x+θ)是偶函数，
所以θ=π2+kπ,k∈Z，
所以当k=0时，θ取得最小正值π2.
故选：A.
4．（2022春·山东济宁·高三统考期中）函数fx=csx−ax≤0sinx−bx>0是偶函数，则a，b的值可能是（ ）
A．a=π3,b=π3B．a=π3,b=π6
C．a=2π3,b=π6D．a=2π3,b=5π6
【答案】D
【分析】根据题意，x<0时，−x>0，代入分段函数，又函数为偶函数，可得cs(x−a)=−sin(x+b)，利用诱导公式化简为同名函数，就可得到自变量之间的关系.
【详解】当x<0时，−x>0，f(−x)=sin(−x−b)，因为函数f(x)是偶函数，f(−x)=f(x)，即cs(x−a)=sin−x−b=−sin(x+b)，即−sin(3π2+(x−a))=−sin(x+b)，则有a+b=3π2+2kπ，分析选项，只有D选项满足a+b=3π2.
故选：D
5．（2022春·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习）已知函数f(x)=cs(πx+φ)(0<φ<π)是定义在R上的奇函数，则f1=___________.
【答案】0
【分析】根据题意得到f(x)关于0,0对称，根据余弦函数的性质可得到φ=π2，代入函数即可得到答案
【详解】因为f(x)=cs(πx+φ)是定义在R上的奇函数，故f(x)关于0,0对称，
所以f(0)=csφ=0，解得φ=π2+kπ,k∈Z，
因为0<φ<π，所以φ=π2，
所以f(x)=cs(πx+π2)=−sinπx，
所以f1=−sinπ=0，
故答案为：0
6．（2022春·河北唐山·高三校联考阶段练习）将函数fx=sin2x+π3的图象向左或向右平移φ(0<φ<π)个单位长度，得到函数gx的图象，若gx是偶函数，则φ的一个取值可能为__________.
【答案】π12（或5π12,7π12,11π12）（只需从π12,5π12,7π12,11π12中写一个答案即可）
【分析】根据三角函数图象变换的知识求得gx的解析式，根据gx是偶函数列方程，化简求得φ的表达式，进而求得φ的可能取值.
【详解】由题意可知gx=sin2x±φ+π3=sin2x+π3±2φ.
因为gx是偶函数，所以π3±2φ=kπ+π2,k∈Z，
所以±φ=kπ2+π12,k∈Z.
因为0<φ<π，
所以φ的取值可能为π12,5π12,7π12,11π12.
故答案为：π12（或5π12,7π12,11π12）（只需从π12,5π12,7π12,11π12中写一个答案即可）
7．（2022春·福建三明·高三校联考期中）将函数fx=csωx+π6(ω>0)的图象向左平移π6个单位长度后得到偶函数gx的图象，则ω的最小值是___________.
【答案】5
【分析】利用三角函数的图像变换以及奇偶性的性质求解.
【详解】由题意可得：gx=fx+π6=csωx+π6+π6=csωx+π6ω+π6，
∵gx为偶函数，则π6ω+π6=kπ,k∈Z，
∴ω=6k−1,k∈Z，
又∵ω>0，即6k−1>0,k∈Z，则k>16,k∈Z，
∴当k=1时，ω取到最小值为5.
故答案为：5.
【考点6：正弦、余弦、正切函数的对称性】
【知识点：正弦、余弦、正切函数的对称性】
1．（2022春·江苏连云港·高一期末）函数y=sin(2x+φ)(0≤φ≤π)的图象关于直线x=π8对称，则φ的值是（ ）
A．0B．π4C．π2D．π
【答案】B
【分析】将x=π8代入得2×π8+φ=kπ+π2,k∈Z，解出φ，结合其范围即可得到答案.
【详解】由题意得2×π8+φ=kπ+π2,k∈Z,
解得φ=kπ+π4,k∈Z，
∵0≤φ≤π，∴k=0时，φ=π4，
故选：B.
2．（2021春·陕西榆林·高二陕西省神木中学校考阶段练习）若函数fx=sin2x+φφ∈0,π图像的一条对称轴为x=π6，则φ=（ ）
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
【答案】A
【分析】首先根据x=π6为对称轴，得到φ=π6+kπk∈Z，然后对k取值，结合φ的取值范围即可求解.
【详解】因为x=π6为f(x)的一条对称轴，则2⋅π6+φ=π2+kπk∈Z，所以φ=π6+kπk∈Z，当k=0时，φ=π6，此时φ∈0,π，符合题意.
故选：A
3．（2022春·四川成都·高三树德中学校考阶段练习）已知函数f(x)=sinωx+π3(ω>0)，在(−π,0)上恰有3条对称轴，3个对称中心，则ω的取值范围是（ ）
A．176,103B．176,103C．73,116D．73,16
【答案】A
【分析】采用整体代入法，求出当x∈−π,0时，ωx+π3范围，由正弦函数图象特征确定ωx+π3满足的临界条件，解不等式即可求解.
【详解】当x∈−π,0时，ωx+π3∈−πω+π3,π3，因为此时fx对应3条对称轴，3个对称中心，画出y=sinx函数图象，如图：
故必满足−πω+π3∈−3π,−5π2，解得ω∈176,103.
故选：A
4．（2020·高一课时练习）已知函数f(x)=cs(x2+π3)，则f(x)的最小正周期是______；f(x)的对称中心是______．
【答案】 4π (π3+2kπ,0)，k∈Z
【分析】根据T=2πω取得函数的最小正周期，利用x2+π3=kπ+π2求得fx的对称中心.
【详解】依题意的T=2π12=4π，即函数的最小正周期为4π.令x2+π3=kπ+π2，解得x=π3+2kπ，所以函数的对称中心是π3+2kπ,0k∈Z.
【点睛】本小题主要考查三角函数的最小正周期，考查三角函数零点的求法，属于基础题.对于函数y=sinωx+φ以及函数y=csωx+φ，最小正周期的计算公式为T=2πω.对于y=tanωx+φ，最小正周期的计算公式为T=πω.对称中心的求法是类比y=csx的对称中心来求解.
5．（2020秋·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考阶段练习）函数y=tan2x−π4的最小正周期为____________，对称中心为____________.
【答案】 π2 kπ4+π8,0，k∈Z.
【解析】由题意利用正切函数的周期性以及图象的对称性，得出结论.
【详解】函数y=tan2x−π4的最小正周期T=π2，
令2x−π4=kπ2，求得x=kπ4+π8，
可得函数的图象的对称中心为kπ4+π8,0，k∈Z，
故答案为：π2；kπ4+π8,0，k∈Z.
【点睛】本题考查正切型函数的性质，属于基础题.
6．（2022春·北京·高三北京铁路二中校考阶段练习）已知函数f（x）＝cs（ωx＋φ）（ω>0，|φ|<π2）的最小正周期为4π，且∀x∈R有fx≤fπ3成立，则fx图象的对称中心是________，对称轴方程是________.
【答案】 2kπ+4π3,0k∈Z x=2kπ+π3k∈Z
【分析】首先根据函数的最小正周期和最值确定函数的解析式，进一步利用整体思想求出函数图象的对称中心、对称轴方程.
【详解】由f（x）＝cs（ωx＋φ）的最小正周期为4π，得ω=12，
因为fx≤fπ3成立，所以fxmax=fπ3，即12×π3+φ=2kπk∈Z，
又∵φ<π2，所以φ=−π6，故fx=cs12x−π6，
令12x−π6=π2+kπk∈Z，得x=2kπ+4π3k∈Z，
故f（x）图象的对称中心为2kπ+4π3,0k∈Z，
令12x−π6=kπk∈Z，得x=2kπ+π3k∈Z，
故f（x）图象的对称轴方程是x=2kπ+π3k∈Z.
故答案为：2kπ+4π3,0k∈Z；x=2kπ+π3k∈Z
7．（2020·全国·高一专题练习）已知函数fx=2tanaπx+π6a>0的最小正周期是3.则a=___________fx的对称中心为____________.
【答案】 13 32k−12，0，k∈Z
【分析】根据正切的周期求出a，利用整体法求出对称中心即可.
【详解】解：函数fx=2tanaπx+π6a>0的最小正周期是3，
则3=πaπ，得a=13，
所以函数f(x)=2tan13πx+π6，
由13πx+π6=12kπ, k∈Z，
得x=32k−12，k∈Z，
故对称中心为32k−12，0，k∈Z.
故答案为：13；32k−12，0，k∈Z.
【点睛】考查正切函数的周期，正切函数的对称性，基础题.三角
函数
正弦函数
y＝sin x
余弦函数
y＝cs x
正切函数
y＝tan x
图象
x
0
π2
π
3π2
2π
y=2csx
2
0
−2
0
2
y=2csx−1
1
−1
−3
−1
1
三角
函数
正弦函数
y＝sin x
余弦函数
y＝cs x
正切函数
y＝tan x
图象
定
义
域
R
R
{x|x≠π2+kπ，k∈Z}
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
最值
当且仅当x＝eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)时，取得最大值1；当且仅当x＝－eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)时，取得最小值－1
当且仅当x＝2kπ(k∈Z)时，取得最大值1；当且仅当x＝π＋2kπ(k∈Z)时，取得最小值－1
直接法
形如y＝asin x＋k或y＝acs x＋k的三角函数，直接利用sin x，cs x的值域求出
化一法
形如y＝asin x＋bcs x＋k的三角函数，化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，确定ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)
换元法
形如y＝asin2x＋bsin x＋k的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；形如y＝asin xcs x＋b(sin x±cs x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cs x，化为关于t的二次函数求值域(最值)
函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象
最小正
周期
2π
2π
π
函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象
单调性
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))为增；
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))为减，k∈Z
[2kπ，2kπ＋π]为减；[2kπ－π，2kπ]为增，k∈Z
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))为增，k∈Z
函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象
对称
中心
(kπ，0)，k∈Z
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)，0))，k∈Z
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))，k∈Z
对称轴
x＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z
x＝kπ，k∈Z