高一数学必考分类(人教A版2019必修第一册)专题4.6指数函数与对数函数(能力提升卷)(原卷版+解析)

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专题4.6 指数函数与对数函数（能力提升卷）考试时间：120分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（2022·全国·高一单元测试）已知函数fx=logax−b（a>0且a≠1，a，b为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（    ）A．a>0，b0，−11，所以c0,a≠1)，则m>nD．函数f(x)=ax−2−3(a>0,a≠1)的图像必过定点(2,−2)【答案】BD【解析】对每一个选项进行逐一判断其真假，得出答案.【详解】选项A. 根据指数函数的定义，可得y=2x−1不是指数函数，故A 不正确.选项B. 当a>1时，y=ax2+1≥1，故B正确.选项C. 当02en B．若n>−1,则n+1m+1>nmC．ln(m−n)>0 D．m2022>n2022【答案】ABC【分析】根据函数的单调性和奇偶性性质得到m>n+1，利用不等式的性质即可一一判断.【详解】fx的定义域为R，f−x=ex−e−x=−fx，所以fx是奇函数．因为y=e−x=1ex，y=−ex在R上都单调递减，所以fx在R上是减函数．又f3n−2m+f2−n>0，则f3n−2m>−f2−n，即f3n−2m>fn−2，所以3n−2mn+1．因为y=ex在R上是增函数，所以em>en+1>2en，故A正确；因为n>−1，所以m+1>m>n+1>0，所以n+1m+1−nm=mn+1−nm+1mm+1=m−nmm+1>0，故B正确；因为y=lnx在0,+∞上是增函数，所以lnm−n>ln1，即lnm−n>0，故C正确；取m=1，n=−3，满足m>n+1，但m2022>n2022不成立，故D错误．故选:ABC．12．（2021·福建·莆田第四中学高一阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，例如：[−3.5]=−4，[2.1]=2．已知函数f(x)=ex1+ex−12，则关于函数g(x)=[f(x)]的叙述中正确的是（    ）A．g(x)是偶函数 B．f(x)是奇函数C．f(x)在R上是增函数 D．g(x)的值域是{−1,0,1}【答案】BC【解析】计算g(−1),g(1)得出g(1)≠g(−1),g(1)≠−g(−1)判断选项A不正确；用函数的奇偶性定义，可证f(x)是奇函数，选项B正确；通过分离常数结合复合函数的单调性，可得出f(x)在R上是增函数，判断选项C正确；由y=ex的范围，利用不等式的关系，可求出−121，00且a≠1）．(1)判断并证明函数fx的奇偶性；(2)若a=2，求函数y=f2x的值域．【答案】(1)奇函数，证明见解析；(2)0,+∞.【分析】（1）根据给定条件，利用奇函数定义判断并证明作答.（2）利用指数函数的值域，对数函数定义及性质求解作答.（1）函数fx是奇函数，依题意，x+1x−1>0，解得x1，即fx的定义域为−∞,−1∪1,+∞， 又f−x=loga−x+1−x−1=logax−1x+1=logax+1x−1−1=−logax+1x−1=−fx，所以函数fx是奇函数．（2）当a＝2时，fx=log2x+1x−1，y=f2x=log22x+12x−1=log21+22x−1，显然2x>1，则有22x−1∈0,+∞，即1+22x−1∈1,+∞，而y=log2x在0,+∞上递增，因此log21+22x−1∈0,+∞，所以y=f2x的值域是0,+∞.19．（2021·全国·高一单元测试）已知函数f(x)=logax，g(x)=loga(2x+m−2)，其中x∈[1,3]，a>0且a≠1，m∈R.（1）若m=6且函数F(x)=f(x)+g(x)的最大值为2，求实数a的值.（2）当a>1时，不等式f(x)0.【分析】（1）由题设可得F(x)=loga[x(2x+4)]，讨论a>1、0−2x+x+2，利用二次函数的性质求不等式右边的最小值，即可得m的取值范围.【详解】（1）m=6，g(x)=loga(2x+4)，则F(x)=f(x)+g(x)=loga[x(2x+4)]，x∈[1,3].当a>1时，[F(x)]max=F(3)=loga30=2，所以a=30；当00.由f(x)0.20．（2022·辽宁·义县高级中学高二阶段练习）（1）已知函数gx=a+1x−2+1a>0的图像恒过定点A，且点A又在函数fx=log3x+a的图像上，求不等式gx>3的解集；（2）已知−1≤log12x≤1，求函数y=14x−1−412x+2的最大值和最小值.【答案】（1）3,+∞；（2）ymin=1，ymax=54.【分析】（1）结合指数函数性质首先求a的值，再解指数不等式；（2）通过换元，设t=12x，并且求变量的取值范围，转化为二次函数在定义域内的最大值和最小值.【详解】（1）由题意知定点A的坐标为2,2，∴2=log32+a解得a=1.∴gx=2x−2+1.∴由gx>3得，2x−2+1>3.∴2x−2>2.∴x−2>1.∴x>3.∴不等式gx>3的解集为3,+∞.（2）由−1≤log12x≤1得12≤x≤2令t=12x，则14≤t≤22，y=4t2−4t+2=4t−122+1.∴当t=12，即12x=12，x=1时，ymin=1，当t=14，即12x=14，x=2时，ymax=54.【点睛】本题考查指数函数与对数函数的图象与性质，考查求对数型函数的值域，求值域的方法是用换元法把函数转化为二次函数，然后求解．21．（2022·河南·睢县高级中学高三阶段练习（文））已知函数fx=2x−12x+1．(1)判断并证明fx在其定义域上的单调性；(2)若fk⋅3x+f3x−9x+2x1，可整理得到fx2−fx1=22x2−2x12x2+12x1+1>0，由此可得结论；（2）利用奇偶性定义可证得fx为奇函数，结合单调性可将恒成立的不等式化为kx1，∴fx2−fx1=2x2−12x2+1−2x1−12x1+1=2x2−12x1+1−2x2+12x1−12x2+12x1+1 =22x2−2x12x2+12x1+1；∵x2>x1，∴2x2−2x1>0，又2x2+1>0，2x1+1>0，∴fx2−fx1>0，∴fx在R上单调递增.（2）∵f−x=2−x−12−x+1=1−2x1+2x=−fx，∴fx为R上的奇函数，由fk⋅3x+f3x−9x+2