高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题35对数的运算(原卷版+解析)

这是一份高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题35对数的运算(原卷版+解析)，共22页。试卷主要包含了对数的运算性质，对数的换底公式，由换底公式推导的重要结论，求下列各式的值，计算等内容，欢迎下载使用。
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)lga(MN)＝lgaM＋lgaN；
(2)lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；
(3)lgaMn＝nlgaM(n∈R)．
2．对数的换底公式
若a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0，则有lgab＝eq \f(lgcb,lgca).
3．由换底公式推导的重要结论
(1)lgab·lgbc·lgca＝1(a>0，b>0，c>0，且均不为1)；
(2) lgab＝eq \f(1,lgba)(a>0，b>0，且均不为1)；
(3) ＝eq \f(n,m)lgab(a>0，b>0，且均不为1，m≠0)．
题型一 对数运算性质的应用
1．若a>0，且a≠1，x>y>0，n∈N*，则下列各式：
①lgax·lgay＝lga(x＋y)； ②lgax－lgay＝lga(x－y)；
③lga(xy)＝lgax·lgay； ④eq \f(lgax,lgay)＝lgaeq \f(x,y)；
⑤(lgax)n＝lgaxn； ⑥lgax＝－lgaeq \f(1,x)；
⑦eq \f(lgax,n)＝lgaeq \r(n,x)； ⑧lgaeq \f(x－y,x＋y)＝－lgaeq \f(x＋y,x－y).
其中式子成立的个数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
2．若a>0，且a≠1，则下列说法正确的是( )
A．若M＝N，则lgaM＝lgaN B．若lgaM＝lgaN，则M＝N
C．若lgaM2＝lgaN2，则M＝N D．若M＝N，则lgaM2＝lgaN2
3．已知ab＞0，有下列四个等式：
①lg(ab)＝lg a＋lg b；②lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)))＝lg a－lg b；
③eq \f(1,2)lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)))2＝lg eq \f(a,b)；④lg(ab)＝eq \f(1,lgab10)，其中正确的是( )
A．①②③④ B．①②
C．③④ D．③
4．若a>0，且a≠1，x∈R，y∈R，且xy>0，则下列各式不恒成立的是( )
①lgax2＝2lgax；②lgax2＝2lga|x|；③lga(xy)＝lgax＋lgay；④lga(xy)＝lga|x|＋lga|y|.
A．②④ B．①③ C．①④ D．②③
5．求下列各式的值：
(1)lg345－lg35；(2)lg24·lg28；(3)lg14－2lgeq \f(7,3)＋lg7－lg18；
(4)lg52＋eq \f(2,3)lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2；(5)lg25＋lg 2·lg 50；(6)eq \f(2,3)lg 8＋lg25＋lg 2·lg 50＋lg 25.
6．计算：
(1)lg535－2lg5eq \f(7,3)＋lg57－lg51.8；(2)lg2eq \r(\f(7,48))＋lg212－eq \f(1,2)lg242－1；
(3)eq \f(1,2)lgeq \f(32,49)－eq \f(4,3)lgeq \r(8)＋lgeq \r(245)； (4) eq \f(lg \r(2)＋lg 3－lg \r(10),lg 1.8)；
7．求下列各式的值：
(1)2lg525＋3lg264；(2)lg(eq \r(3＋\r(5))＋eq \r(3－\r(5)))；(3)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2；
(4)4lg 2＋3lg 5－lg eq \f(1,5)；(5)2lg32－lg3eq \f(32,9)＋lg38－5lg53；(6)lg2eq \r(8＋4\r(3))＋lg2eq \r(8－4\r(3)).
8．计算：(1)lgeq \r(3)27＋lg 4＋lg 25；(2)lg 5(lg 8＋lg 1000)＋(lg 2 eq \r(3))2＋lg eq \f(1,6)＋lg 0.06；
(3)2 eq \s\up15(lg2eq \f(1,4)) ＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,9))) eq \s\up15(－eq \f (1,2)) ＋lg 20－lg 2－(lg32)×(lg23)＋(eq \r(2)－1)lg 1.
9．lgeq \r(5)＋lgeq \r(20)的值是________．2lg510＋lg50.25的值是________
10．化简eq \f(1,2)lg612－2lg6eq \r(2)的结果为
11．如果lg x＝lg a＋3lg b－5lg c，那么( )
A．x＝eq \f(ab3,c5) B．x＝eq \f(3ab,5c)
C．x＝a＋3b－5c D．x＝a＋b3－c5
12．化简lg2eq \f(1,2)＋lg2eq \f(2,3)＋lg2eq \f(3,4)＋…＋lg2eq \f(31,32)等于
13．已知3a＝2，则lg38－2lg36＝( )
A．a－2 B．5a－2
C．3a－(1＋a)2 D．3a－a2－1
14．eq \f(lg 2＋lg 5－lg 8,lg 50－lg 40) 的值是________．
15．eq \f(lg 3＋2lg 2－1,lg 1.2)＝________.
16．若lg x－lg y＝a，则lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)))3－lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,2)))3等于( )
A．3a B.eq \f(3,2)a
C．a D.eq \f(a,2)
17．设2a＝5b＝m，且eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝2，则m＝( )
A.eq \r(10) B．10
C．20 D．100
18．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则ab的值等于________．
19．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg \f(a,b)))2的值等于
20．lg3eq \f(\r(4,27),3)＋lg 25＋lg 4＋7lg72＝________.
21．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，x≥2，,fx＋1，x＜2，))则f(lg23)＝
22．若2.5x＝1000,0.25y＝1000，则eq \f(1,x)－eq \f(1,y)＝
23．已知2lg(x－2y)＝lg x＋lg y，则eq \f(x,y)的值为( )
A．1 B．4
C．1或4 D.eq \f(1,4)或4
24．用lg x，lg y，lg z表示下列各式：
(1)lg(xyz)；(2)lgeq \f(xy2,z)；(3)lgeq \f(xy3,\r(z))；(4)lgeq \f(\r(x),y2z).
25． (1)计算：lg3eq \r(27)＋lg 25＋lg 4＋(－9.8)0＋lg eq \r(2)－1(3－2eq \r(2))；
(2)已知lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，求lg eq \r(2)y－lgeq \r(2)x的值．
题型二 对数的换底公式
1．已知ln2＝a，ln3＝b，那么lg32用含a，b的代数式可表示为( )
A．a－b B.eq \f(a,b) C．abD．a＋b
2．eq \f(lg29,lg23)＝
3．lg eq \f(1,2)－lg eq \f(5,8)＋lg eq \f(5,4)－lg92·lg43＝________.
4．计算lg225·lg32eq \r(2)·lg59的结果为
5．计算lg225·lg3eq \f(1,16)·lg5eq \f(1,9)·lneq \r(e)＝________.
6．若lgab·lg3a＝4，则b＝________.
7．计算：lg2eq \f(1,25)·lg3eq \f(1,8)·lg5eq \f(1,9)＝________.
8．计算lg916×lg881的值为
9．lg23×lg34×lg45×lg56×lg67×lg78的值为________．
10．若lg2＝a，lg3＝b，则lg512等于________．
11．设10a＝2，lg 3＝b，则lg26＝
12．已知lg95＝m,3n＝7，试用含m，n的式子表示lg359.
13．已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,7)))a＝eq \f(1,3)，lg74＝b，则lg4948＝________(用含a，b的式子表示)．
14．计算：①lg29·lg34；②eq \f(lg5\r(2)×lg79,lg5\f(1,3)×lg7\r(3,4)).
15．证明：①lgab·lgba＝1(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1)；
②lganbn＝lgab(a>0，且a≠1，n≠0)．
16．求值：
(1)lg23·lg35·lg516；(2)(lg32＋lg92)(lg43＋lg83);(3) (lg43＋lg83)eq \f(lg 2,lg 3)
17．计算：
(1) (lg2125＋lg425＋lg85)·(lg1258＋lg254＋lg52)．
(2)已知lg189＝a,18b＝5，求lg3645(用a，b表示)．
18．已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z，且2x＝py.
(1)求p；(2)求证：eq \f(1,z)－eq \f(1,x)＝eq \f(1,2y).
19．已知2x＝3y＝6z≠1，求证：eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝eq \f(1,z).
20．若a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(lgab＋lgba)的值．
题型三 对数运算性质的综合应用
1．已知3a＝5b＝c，且eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝2，求c的值．
2．已知lg189＝a,18b＝5，试用a，b表示lg3645.
3．已知a，b，c是不等于1的正数，且ax＝by＝cz，eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＋eq \f(1,z)＝0，求abc的值．
4．设a，b，c为正数，且满足a2＋b2＝c2.
(1)求证：lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(b＋c,a)))＋lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(a－c,b)))＝1；
(2)如果lg4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(b＋c,a)))＝1，lg8(a＋b－c)＝eq \f(2,3)，那么a，b，c的值是多少？
5．已知a，b，x为正数，且lg (bx)·lg (ax)＋1＝0，求eq \f(a,b)的取值范围．
6．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080. 则下列各数中与eq \f(M,N)最接近的是(参考数据：lg 3≈0.48)( )
A．1033 B．1053 C．1073 D．1093
7．(1)一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的eq \f(1,3)(结果保留1位有效数字)？(lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)
(2)已知lg189＝a,18b＝5，用a、b表示lg3645.
8．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)满足ev＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(M,m)))2000(e为自然对数的底)．当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，求火箭的最大速度(单位：m/s)．(ln3≈1.099)
9．汶川里氏8.0级特大地震，给人民的生命财产造成了巨大的损失．里氏地震的等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里特判定的．它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关. 震级M＝eq \f(2,3)lg E－3.2，其中E(焦耳)为以地震波的形式释放出的能量．如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗美国在二战时投放在广岛的原子弹的能量，那么汶川大地震所释放的能量相当于________颗广岛原子弹的能量．
专题35 对数的运算
1．对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)lga(MN)＝lgaM＋lgaN；
(2)lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；
(3)lgaMn＝nlgaM(n∈R)．
2．对数的换底公式
若a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0，则有lgab＝eq \f(lgcb,lgca).
3．由换底公式推导的重要结论
(1)lgab·lgbc·lgca＝1(a>0，b>0，c>0，且均不为1)；
(2) lgab＝eq \f(1,lgba)(a>0，b>0，且均不为1)；
(3) ＝eq \f(n,m)lgab(a>0，b>0，且均不为1，m≠0)．
题型一 对数运算性质的应用
1．若a>0，且a≠1，x>y>0，n∈N*，则下列各式：
①lgax·lgay＝lga(x＋y)； ②lgax－lgay＝lga(x－y)；
③lga(xy)＝lgax·lgay； ④eq \f(lgax,lgay)＝lgaeq \f(x,y)；
⑤(lgax)n＝lgaxn； ⑥lgax＝－lgaeq \f(1,x)；
⑦eq \f(lgax,n)＝lgaeq \r(n,x)； ⑧lgaeq \f(x－y,x＋y)＝－lgaeq \f(x＋y,x－y).
其中式子成立的个数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
[解析]对于①，取x＝4，y＝2，a＝2，则lg24·lg22＝2×1＝2，而lg2(4＋2)＝lg26≠2，
∴lgax·lgay＝lga(x＋y)不成立；
对于②，取x＝8，y＝4，a＝2，则lg28－lg24＝1≠lg2(8－4)＝2，∴lgax－lgay＝lga(x－y)不成立；
对于③，取x＝4，y＝2，a＝2，则lg2(4×2)＝lg28＝3，而lg24·lg22＝2×1＝2≠3，
∴lga(xy)＝lgax·lgay不成立；
对于④，取x＝4，y＝2，a＝2，则eq \f(lg24,lg22)＝2≠lg2eq \f(4,2)＝1，∴eq \f(lgax,lgay)＝lgaeq \f(x,y)不成立；
对于⑤，取x＝4，a＝2，n＝3，则(lg24)3＝8≠lg243＝6，∴(lgax)n＝lgaxn不成立；
⑥成立，由于－lgaeq \f(1,x)＝－lgax－1＝lga(x－1)－1＝lgax；
⑦成立，由于lgaeq \r(n,x)＝lgax eq \s\up15(eq \f (1,n)) ＝eq \f(1,n)lgax；
⑧成立，由于lgaeq \f(x－y,x＋y)＝lgaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋y,x－y)))－1＝－lgaeq \f(x＋y,x－y).
[答案] A
2．若a>0，且a≠1，则下列说法正确的是( )
A．若M＝N，则lgaM＝lgaN B．若lgaM＝lgaN，则M＝N
C．若lgaM2＝lgaN2，则M＝N D．若M＝N，则lgaM2＝lgaN2
[解析]在A中，当M＝N≤0时，lgaM与lgaN均无意义，因此lgaM＝lgaN不成立，故A错误；
在B中，当lgaM＝lgaN时，必有M>0，N>0，且M＝N，因此M＝N成立，故B正确；
在C中，当lgaM2＝lgaN2时，有M≠0，N≠0，且M2＝N2，即|M|＝|N|，但未必有M＝N，例如M＝2，N＝－2时，也有lgaM2＝lgaN2，但M≠N，故C错误；
在D中，若M＝N＝0，则lgaM2与lgaN2均无意义，因此lgaM2＝lgaN2不成立，故D错误．
[答案] B
3．已知ab＞0，有下列四个等式：
①lg(ab)＝lg a＋lg b；②lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)))＝lg a－lg b；
③eq \f(1,2)lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)))2＝lg eq \f(a,b)；④lg(ab)＝eq \f(1,lgab10)，其中正确的是( )
A．①②③④ B．①②
C．③④ D．③
解析：①②式成立的前提条件是a＞0，b＞0；④式成立的前提条件是ab≠1，只有③式成立．
4．若a>0，且a≠1，x∈R，y∈R，且xy>0，则下列各式不恒成立的是( )
①lgax2＝2lgax；②lgax2＝2lga|x|；③lga(xy)＝lgax＋lgay；④lga(xy)＝lga|x|＋lga|y|.
A．②④ B．①③ C．①④ D．②③
[解析]∵xy>0，∴①中，若x0，所以eq \f(x,y)>2，所以eq \f(x,y)＝4.
24．用lg x，lg y，lg z表示下列各式：
(1)lg(xyz)；(2)lgeq \f(xy2,z)；(3)lgeq \f(xy3,\r(z))；(4)lgeq \f(\r(x),y2z).
[解析] (1)lg(xyz)＝lg x＋lg y＋lg z.
(2)lgeq \f(xy2,z)＝lg(xy2)－lg z＝lg x＋2lg y－lg z.
(3)lg eq \f(xy3,\r(z))＝lg (xy3)－lg eq \r(z)＝lg x＋3lg y－eq \f(1,2)lg z.
(4)lg eq \f(\r(x),y2z)＝lg eq \r(x)－lg (y2z)＝eq \f(1,2)lg x－2lg y－lg z.
25． (1)计算：lg3eq \r(27)＋lg 25＋lg 4＋(－9.8)0＋lg eq \r(2)－1(3－2eq \r(2))；
(2)已知lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，求lg eq \r(2)y－lgeq \r(2)x的值．
[解析] (1)原式＝lg327＋lg 52＋lg 22＋1＋lg eq \r(2)－1(eq \r(2)－1)2＝eq \f(3,2)＋2(lg 5＋lg 2)＋1＋2＝eq \f(13,2).
(2)依题意得x＞0，y＞0，x－2y＞0，∴0＜eq \f(y,x)＜eq \f(1,2).又lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，
∴xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0，又x＞0，∴4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,x)))2－5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,x)))＋1＝0，解得eq \f(y,x)＝eq \f(1,4)或eq \f(y,x)＝1(舍去)，
因此lg eq \r(2)y－lg eq \r(2)x＝lg eq \r(2)eq \f(y,x)＝lg eq \r(2)eq \f(1,4)＝eq \f(－2,\f(1,2))lg22＝－4.
题型二 对数的换底公式
1．已知ln2＝a，ln3＝b，那么lg32用含a，b的代数式可表示为( )
A．a－b B.eq \f(a,b) C．abD．a＋b
[解析] lg32＝eq \f(ln2,ln3)＝eq \f(a,b).
2．eq \f(lg29,lg23)＝
[解析]原式＝lg39＝lg332＝2lg33＝2.
3．lg eq \f(1,2)－lg eq \f(5,8)＋lg eq \f(5,4)－lg92·lg43＝________.
[解析]法一：原式＝lg eq \f(\f(1,2),\f(5,8))＋lg eq \f(5,4)－eq \f(lg 2,lg 9)×eq \f(lg 3,lg 4)＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)×\f(5,4)))－eq \f(lg 2,2lg 3)×eq \f(lg 3,2lg 2)＝lg 1－eq \f(1,4)＝－eq \f(1,4).
法二：原式＝(lg 1－lg 2)－(lg 5－lg 8)＋(lg 5－lg 4)－eq \f(lg 2,lg 9)×eq \f(lg 3,lg 4)＝－lg 2＋lg 8－lg 4－eq \f(lg 2,2lg 3)×eq \f(lg 3,2lg 2)
＝－(lg 2＋lg 4)＋lg 8－eq \f(1,4)＝－lg(2×4)＋lg 8－eq \f(1,4)＝－eq \f(1,4).
4．计算lg225·lg32eq \r(2)·lg59的结果为
[解析] 原式＝eq \f(lg25,lg2)·eq \f(lg2\r(2),lg3)·eq \f(lg9,lg5)＝eq \f(2lg5,lg2)·eq \f(\f(3,2)lg2,lg3)·eq \f(2lg3,lg5)＝6.
5．计算lg225·lg3eq \f(1,16)·lg5eq \f(1,9)·lneq \r(e)＝________.
[解析] 原式＝eq \f(2lg5,lg2)×eq \f(－4lg2,lg3)×eq \f(－2lg3,lg5)×eq \f(1,2)＝8.
6．若lgab·lg3a＝4，则b＝________.
[解析]∵lgab·lg3a＝4，∴eq \f(lg b,lg a)·eq \f(lg a,lg 3)＝4，即lg b＝4lg 3＝lg 34，∴b＝34＝81.
7．计算：lg2eq \f(1,25)·lg3eq \f(1,8)·lg5eq \f(1,9)＝________.
[解析]原式＝eq \f(lg \f(1,25),lg 2)·eq \f(lg \f(1,8),lg 3)·eq \f(lg \f(1,9),lg 5)＝eq \f(－2lg 5·－3lg 2·－2lg 3,lg 2·lg 3·lg 5)＝－12.
8．计算lg916×lg881的值为
[解析] lg916×lg881＝eq \f(lg 16,lg 9)×eq \f(lg 81,lg 8)＝eq \f(4lg 2,2lg 3)×eq \f(4lg 3,3lg 2)＝eq \f(8,3)
9．lg23×lg34×lg45×lg56×lg67×lg78的值为________．
[解析]原式＝eq \f(lg 3,lg 2)×eq \f(lg 4,lg 3)×eq \f(lg 5,lg 4)×eq \f(lg 6,lg 5)×eq \f(lg 7,lg 6)×eq \f(lg 8,lg 7)＝eq \f(lg 8,lg 2)＝eq \f(3lg 2,lg 2)＝3.
10．若lg2＝a，lg3＝b，则lg512等于________．
[解析] lg512＝eq \f(lg12,lg5)＝eq \f(lg3＋2lg2,1－lg2)＝eq \f(b＋2a,1－a).
11．设10a＝2，lg 3＝b，则lg26＝
[解析] ∵10a＝2，∴lg 2＝a，∴lg26＝eq \f(lg 6,lg 2)＝eq \f(lg 2＋lg 3,lg 2)＝eq \f(a＋b,a).
12．已知lg95＝m,3n＝7，试用含m，n的式子表示lg359.
[解析]解法一：由3n＝7，得n＝lg37.因为m＝lg95＝eq \f(lg35,lg39)＝eq \f(1,2)lg35，所以lg35＝2m.
所以lg359＝eq \f(lg39,lg335)＝eq \f(2,lg37＋lg35)＝eq \f(2,n＋2m).
解法二：由3n＝7，得n＝lg37.因为lg37＝eq \f(lg 7,lg 3)＝n，所以lg 7＝nlg 3.
因为lg95＝eq \f(lg 5,lg 9)＝eq \f(lg 5,2lg 3)＝m，所以lg 5＝2mlg 3.
所以lg359＝eq \f(lg 9,lg 35)＝eq \f(2lg 3,lg 5＋lg 7)＝eq \f(2lg 3,2mlg 3＋nlg 3)＝eq \f(2,2m＋n).
13．已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,7)))a＝eq \f(1,3)，lg74＝b，则lg4948＝________(用含a，b的式子表示)．
[解析]由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,7)))a＝eq \f(1,3)，得a＝lg73，又b＝lg74，∴lg4948＝eq \f(lg 48,lg 49)＝eq \f(lg 3＋2lg 4,2lg 7)＝eq \f(lg73＋2lg74,2)＝eq \f(a＋2b,2).
14．计算：①lg29·lg34；②eq \f(lg5\r(2)×lg79,lg5\f(1,3)×lg7\r(3,4)).
[解析] ①原式＝eq \f(lg9,lg2)·eq \f(lg4,lg3)＝eq \f(lg32·lg22,lg2·lg3)＝eq \f(2lg3·2lg2,lg2·lg3)＝4.
②原式＝eq \f(lg5\r(2),lg5\f(1,3))·eq \f(lg79,lg7\r(3,4))＝lgeq \f(1,3)eq \r(2)·lgeq \r(3,4)9＝eq \f(lg\r(2),lg\f(1,3))·eq \f(lg9,lg\r(3,4))＝eq \f(\f(1,2)lg2·2lg3,－lg3·\f(2,3)lg2)＝－eq \f(3,2).
15．证明：①lgab·lgba＝1(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1)；
②lganbn＝lgab(a>0，且a≠1，n≠0)．
[解析]证明：①lgab·lgba＝eq \f(lgb,lga)·eq \f(lga,lgb)＝1.②lganbn＝eq \f(lgbn,lgan)＝eq \f(nlgb,nlga)＝eq \f(lgb,lga)＝lgab.
16．求值：
(1)lg23·lg35·lg516；(2)(lg32＋lg92)(lg43＋lg83);(3) (lg43＋lg83)eq \f(lg 2,lg 3)
[解析] (1)原式＝eq \f(lg 3,lg 2)·eq \f(lg 5,lg 3)·eq \f(lg 16,lg 5)＝eq \f(lg 16,lg 2)＝eq \f(4lg 2,lg 2)＝4.
(2)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg 2,lg 3)＋\f(lg 2,lg 9)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg 3,lg 4)＋\f(lg 3,lg 8)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg 2,lg 3)＋\f(lg 2,2lg 3)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg 3,2lg 2)＋\f(lg 3,3lg 2)))＝eq \f(3lg 2,2lg 3)·eq \f(5lg 3,6lg 2)＝eq \f(5,4).
(3)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg 3,lg 4)＋\f(lg 3,lg 8)))eq \f(lg 2,lg 3)＝eq \f(lg 3,2lg 2)·eq \f(lg 2,lg 3)＋eq \f(lg 3,3lg 2)·eq \f(lg 2,lg 3)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＝eq \f(5,6).
17．计算：
(1) (lg2125＋lg425＋lg85)·(lg1258＋lg254＋lg52)．
(2)已知lg189＝a,18b＝5，求lg3645(用a，b表示)．
[解析] (1) 解法一：原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg253＋\f(lg225,lg24)＋\f(lg25,lg28)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg52＋\f(lg54,lg525)＋\f(lg58,lg5125)))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3lg25＋\f(2lg25,2lg22)＋\f(lg25,3lg22)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg52＋\f(2lg52,2lg55)＋\f(3lg52,3lg55)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3＋1＋\f(1,3)))lg25·3lg52＝13lg25·eq \f(lg22,lg25)＝13.
解法二：原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg 125,lg 2)＋\f(lg 25,lg 4)＋\f(lg 5,lg 8)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg 2,lg 5)＋\f(lg 4,lg 25)＋\f(lg 8,lg 125)))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3lg 5,lg 2)＋\f(2lg 5,2lg 2)＋\f(lg 5,3lg 2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg 2,lg 5)＋\f(2lg 2,2lg 5)＋\f(3lg 2,3lg 5)))＝eq \f(13lg 5,3lg 2)·eq \f(3lg 2,lg 5)＝13.
解法三：原式＝(lg253＋lg2252＋lg2351)(lg52＋lg5222＋lg5323)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3lg25＋lg25＋\f(1,3)lg25))(lg52＋lg52＋lg52)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3＋1＋\f(1,3)))lg25·3lg52＝eq \f(13,3)×3＝13.
(2)∵18b＝5，∴b＝lg185.又lg189＝a，
∴lg3645＝eq \f(lg1845,lg1836)＝eq \f(lg185＋lg189,1＋lg182)＝eq \f(a＋b,2－lg189)＝eq \f(a＋b,2－a).
18．已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z，且2x＝py.
(1)求p；(2)求证：eq \f(1,z)－eq \f(1,x)＝eq \f(1,2y).
[解析] (1)设3x＝4y＝6z＝k(显然k>0，且k≠1)，则x＝lg3k，y＝lg4k，z＝lg6k.
由2x＝py，得2lg3k＝plg4k＝p·eq \f(lg3k,lg34).∵lg3k≠0，∴p＝2lg34.
(2)证明：eq \f(1,z)－eq \f(1,x)＝eq \f(1,lg6k)－eq \f(1,lg3k)＝lgk6－lgk3＝lgk2，又eq \f(1,2y)＝eq \f(1,2)lgk4＝lgk2，∴eq \f(1,z)－eq \f(1,x)＝eq \f(1,2y).
19．已知2x＝3y＝6z≠1，求证：eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝eq \f(1,z).
[解析]设2x＝3y＝6z＝k(k≠1)，∴x＝lg2k，y＝lg3k，z＝lg6k，
∴eq \f(1,x)＝lgk2，eq \f(1,y)＝lgk3，eq \f(1,z)＝lgk6＝lgk2＋lgk3，∴eq \f(1,z)＝eq \f(1,x)＋eq \f(1,y).
20．若a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(lgab＋lgba)的值．
[解析]原方程可化为2(lg x)2－4lg x＋1＝0.设t＝lg x，则方程化为2t2－4t＋1＝0，
∴t1＋t2＝2，t1·t2＝eq \f(1,2).又∵a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，∴t1＝lg a，t2＝lg b，
即lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝eq \f(1,2).
∴lg(ab)·(lgab＋lgba)＝(lg a＋lg b)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg b,lg a)＋\f(lg a,lg b)))＝(lg a＋lg b)·eq \f(lg b2＋lg a2,lg a·lg b)
＝(lg a＋lg b)·eq \f(lg a＋lg b2－2lg a·lg b,lg a·lg b)＝2×eq \f(22－2×\f(1,2),\f(1,2))＝12，
即lg(ab)·(lgab＋lgba )＝12.
题型三 对数运算性质的综合应用
1．已知3a＝5b＝c，且eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝2，求c的值．
[解析]∵3a＝5b＝c，∴a＝lg3c，b＝lg5c，∴eq \f(1,a)＝lgc3，eq \f(1,b)＝lgc5，∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝lgc15.
由lgc15＝2得c2＝15，即c＝eq \r(15).
2．已知lg189＝a,18b＝5，试用a，b表示lg3645.
[解析]解法一：∵18b＝5，∴lg185＝b，又lg189＝a，
∴lg3645＝eq \f(lg1845,lg1836)＝eq \f(lg189×5,lg18\f(182,9))＝eq \f(lg189＋lg185,2lg1818－lg189)＝eq \f(a＋b,2－a).
解法二：∵lg189＝eq \f(lg 9,lg 18)＝a，∴lg 9＝alg 18，同理得lg 5＝blg 18，
∴lg3645＝eq \f(lg 45,lg 36)＝eq \f(lg 9×5,lg \f(182,9))＝eq \f(lg 9＋lg 5,2lg 18－lg 9)＝eq \f(alg 18＋blg 18,2lg 18－alg 18)＝eq \f(a＋b,2－a).
解法三：∵lg189＝a，∴lg18eq \f(18,2)＝1－lg182＝a，∴lg182＝1－a.
∵18b＝5，∴lg185＝b，∴lg3645＝eq \f(lg1845,lg1836)＝eq \f(lg189＋lg185,1＋lg182)＝eq \f(a＋b,2－a).
解法四：∵lg189＝a，∴18a＝9.又18b＝5，∴45＝5×9＝18b·18a＝18a＋b.
令lg3645＝x，则36x＝45＝18a＋b，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(18,3)×\f(18,3)))x＝18a＋b,182x＝9x·18a＋b.
∵18a＝9，∴182x＝(18a)x·18a＋b＝18ax·18a＋b＝18ax＋a＋b.
∴2x＝ax＋a＋b，∴x＝eq \f(a＋b,2－a)，即lg3645＝eq \f(a＋b,2－a).
3．已知a，b，c是不等于1的正数，且ax＝by＝cz，eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＋eq \f(1,z)＝0，求abc的值．
[解析]解法一：设ax＝by＝cz＝t，∴x＝lgat，y＝lgbt，z＝lgct，
∴eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＋eq \f(1,z)＝eq \f(1,lgat)＋eq \f(1,lgbt)＋eq \f(1,lgct)＝lgta＋lgtb＋lgtc＝lgt(abc)＝0，∴abc＝t0＝1，即abc＝1.
解法二：∵a，b，c是不等于1的正数，且ax＝by＝cz，
∴令ax＝by＝cz＝t>0，∴x＝eq \f(lg t,lg a)，y＝eq \f(lg t,lg b)，z＝eq \f(lg t,lg c)，
∴eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＋eq \f(1,z)＝eq \f(lg a,lg t)＋eq \f(lg b,lg t)＋eq \f(lg c,lg t)＝eq \f(lg a＋lg b＋lg c,lg t).∵eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＋eq \f(1,z)＝0，且lg t≠0，
∴lg a＋lg b＋lg c ＝lg (abc)＝0，∴abc＝1.
4．设a，b，c为正数，且满足a2＋b2＝c2.
(1)求证：lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(b＋c,a)))＋lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(a－c,b)))＝1；
(2)如果lg4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(b＋c,a)))＝1，lg8(a＋b－c)＝eq \f(2,3)，那么a，b，c的值是多少？
[解析] (1)证明：左边＝lg2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(b＋c,a)))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(a－c,b)))))＝lg2eq \f(a＋b2－c2,ab)＝lg2eq \f(a＋b2－a2＋b2,ab)
＝lg22＝1＝右边．所以原等式成立．
(2)由lg4eq \f(a＋b＋c,a)＝1，得－3a＋b＋c＝0，①
由lg8(a＋b－c)＝eq \f(2,3)，得a＋b－c＝4，②
由题设知a2＋b2＝c2，③
由①＋②，得b－a＝2，④
由①得c＝3a－b，代入③得a(4a－3b)＝0，
因为a>0，所以4a－3b＝0，⑤
由④⑤得a＝6，b＝8，则c＝10.
5．已知a，b，x为正数，且lg (bx)·lg (ax)＋1＝0，求eq \f(a,b)的取值范围．
[解析]因为lg (bx)·lg (ax)＋1＝0，所以(lg b＋lg x)(lg x＋lg a)＋1＝0.
所以(lg x)2＋(lg a＋lg b)lg x＋lg a·lg b＋1＝0.因为x>0，
所以上述关于lg x的一元二次方程有实根，所以(lg a＋lg b)2－4(lg a·lg b＋1)≥0.
所以(lg a－lg b)2≥4.所以lg a－lg b≥2或lg a－lg b≤－2.所以eq \f(a,b)≥100或0