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高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题36对数函数的概念、图象及性质(原卷版+解析)
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这是一份高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题36对数函数的概念、图象及性质(原卷版+解析)，共23页。试卷主要包含了对数函数的概念，对数函数的图象及性质，反函数，底数对函数图象的影响，函数图象的变换规律，下列函数是对数函数的有等内容，欢迎下载使用。
函数y＝lgax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
判断一个函数是对数函数必须是形如y＝lgax(a>0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：
(1)系数为1. (2)底数为大于0且不等于1的常数． (3)对数的真数仅有自变量x.
2．对数函数的图象及性质
3．反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0且a≠1)互为反函数．
4．底数对函数图象的影响
对数函数y＝lg2x，y＝lg3x，y＝lg eq \s\d8(\f(1,2)) x，y＝lg eq \s\d8(\f(1,3)) x的图象如图所示，可得如下规律：
①y＝lgax与y＝lg eq \s\d8(\f(1,a)) x的图象关于x轴对称；
②当a＞1时，底数越大图象越靠近x轴；当0＜a＜1时，底数越小图象越靠近x轴．
5．函数图象的变换规律
1一般地，函数y＝fx±a＋ba，b为实数的图象是由函数y＝fx的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的.
2含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.一般地，y＝f|x－a|的图象是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|fx|的图象与y＝fx的图象在fx≥0的部分相同，在fx<0的部分关于x轴对称.
题型一 对数函数的概念及应用
1．指出下列函数哪些是对数函数？
(1)y＝3lg2x；(2) y＝lg6x；(3) y＝lgx3；(4) y＝lg2x＋1.
2．下列给出的函数：①y＝lg5x＋1；②y＝lgax2(a>0，且a≠1)；③y＝lg(eq \r(3)－1)x；④y＝eq \f(1,3)lg3x；
⑤y＝lgxeq \r(3)(x>0，且x≠1)；⑥y＝lgeq \f(2,π)x.其中是对数函数的为( )
A．③④⑤ B．②④⑥
C．①③⑤⑥ D．③⑥
3．下列函数表达式中，是对数函数的有( )
①y＝lgx2；②y＝lgax(a∈R)；③y＝lg8x；④y＝ln x；⑤y＝lgx(x＋2)；⑥y＝2lg4x；⑦y＝lg2(x＋1)．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．下列函数是对数函数的是( )
A．y＝2＋lg3x B．y＝lga(2a)(a>0，且a≠1)
C．y＝lgax2(a>0，且a≠1) D．y＝ln x
5．下列函数是对数函数的是( )
A．y＝lga(2x) B．y＝lg22x
C．y＝lg2x＋1 D．y＝lg x
6．下列函数是对数函数的有( )
①y＝2lg3x；②y＝1＋lg3x；③y＝lg3x；④y＝(lg3x)2.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．若f(x)＝lgax＋(a2－4a－5)是对数函数，则a＝______.
8．函数f(x)＝(a2＋a－5)lgax为对数函数，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)))等于( )
A．3 B．－3 C．－lg36 D．－lg38
9．若函数y＝lg(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则a＝________.
10．若函数f(x)＝lg(a＋1)x＋(a2－2a－8)是对数函数，则a＝________.
11．若对数函数y＝f(x)满足f(4)＝2，则该对数函数的解析式为( )
A．y＝lg2xB．y＝2lg4x
C．y＝lg2x或y＝2lg4xD．不确定
12．已知对数函数的图象过点(16,4)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝__________.
13．已知对数函数f(x)的图象过点(8，－3)，则f(2eq \r(2))＝________.
14．已知函数f(x)＝lg2(x2＋a)．若f(3)＝1，则a＝________.
15．已知f(x)为对数函数，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－2，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝________.
16．已知函数f(x)＝alg2x＋blg3x＋2，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2019)))＝4，则f(2019)的值为( )
A．－4 B．－2 C．0D．2
17．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x，x>0，,2x，x≤0，))若f(a)＝eq \f(1,2)，则a＝________.
18．设函数f(x)＝lgax(a>0，且a≠1)，若f(x1x2…x2 019)＝8，则f(xeq \\al(2,1))＋f(xeq \\al(2,2))＋…＋f(xeq \\al(2,2 019))的值等于___．
19．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2xx≥4，,fx＋2x＜4，))则f(lg23)＝________.
20．若函数y＝f(x)是函数y＝3x的反函数，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))的值为
题型二 对数型函数的定义域
1．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝lg(x－2)＋eq \f(1,x－3)；(2)f(x)＝lg(x＋1)(16－4x)； (3)y＝eq \r(lg 2－x)；(4)y＝eq \f(1,lg33x－2)．
2．求下列函数的定义域：
(1)y＝eq \f(1,lg2x－1)；(2)y＝eq \r(lg x－3)；(3)y＝lg2(16－4x)；(4)y＝lg(x－1)(3－x)．
3．求下列函数的定义域．
(1)y＝eq \r(3,lg2x)；(2)y＝eq \r(lg0.54x－3)；(3)y＝eq \r(lg0.54x－3－1)；(4)y＝lg(x＋1)(2－x)．
4．求下列函数的定义域．
(1)y＝eq \f(\r(lg0.4x－1),2x－1)；(2)y＝eq \f(1,\r(lg0.5x－1))；(3)y＝eq \r(lga4x－3)(a>0且a≠1)．
5．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝eq \f(1,\r(lg\f(1,2)x＋1))；(2)f(x)＝eq \f(1,\r(2－x))＋ln(x＋1)；(3)f(x)＝lg(2x－1)(－4x＋8)；
6．函数y＝ln eq \r(x－2)的定义域是( )
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞) C．(2，＋∞) D．[4，＋∞)
7．函数f(x)＝lg(x－1)＋eq \r(4－x) 的定义域为( )
A．(1,4] B．(1,4)
C．[1,4] D．[1,4)
8．函数f(x)＝eq \r(1－2lg5x)的定义域为________．
9．函数y＝eq \f(1,lg2x－2)的定义域为( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(2,3)∪(3，＋∞) D．(2,4)∪(4，＋∞)
10．函数f(x)＝eq \f(lg 4－x,x－3)的定义域为________．
11．函数f(x)＝eq \f(1,\r(lg2x－1)) 的定义域为( )
A．(0,2) B．(0,2]
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
12．函数y＝eq \r(x)ln(1－x)的定义域为( )
A．(0,1) B．[0,1)
C．(0,1] D．[0,1]
13．函数f(x)＝eq \f(1－x,lg x＋1)的定义域是( )
A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．(－1,0)∪(0，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞)
14．函数y＝eq \f(\r(3－x),2－lg2x＋1)的定义域是( )
A．(－1,3) B．(－1,3]
C．(－∞，3) D．(－1，＋∞)
15．函数f(x)＝eq \r(a－lg x)的定义域为(0,10]，则实数a的值为( )
A．0B．10
C．1 D．eq \f(1,10)
16．若函数y＝lga(x＋a)(a>0且a≠1)的图象过点(－1，0)．
(1)求a的值；(2)求函数的定义域．
17．函数f(x)＝eq \r(lg x)＋lg(5－3x)的定义域是( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(5,3))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(5,3)))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(5,3))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(5,3)))
18．若函数y＝lg2(kx2＋4kx＋5)的定义域为R，则k的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(5,4))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(5,4)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(5,4))) D．(－∞，0)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)，＋∞))
19．已知函数f(x)＝lg (ax2＋2x＋1)．若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围．
20．已知函数f(x)＝lg2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(ax2＋a－1x＋\f(1,4))).若定义域为R，求实数a的取值范围；
题型三 对数函数的图象问题
1．函数y＝lg(x＋1)的图象大致是( )
2．函数f(x)＝lg2(1－x)的图象为( )
3．函数y＝eq \f(lg |x|,x)的图象大致是( )
4．如图，若C1，C2分别为函数y＝lgax和y＝lgbx的图象，则( )
A．0B．0C．a>b>1
D．b>a>1
5．已知m，n∈R，函数f(x)＝m＋lgnx的图象如右图，则m，n的取值范围分别是( )
A．m>0,00，n>1 D．m<0，n>1
6．如图所示的曲线是对数函数y＝lgax，y＝lgbx，y＝lgcx，y＝lgdx的图象，则a，b，c，d,1,0的大小关系为________．
7．当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝lgax的图象为( )
8．已知09．若函数f(x)＝lga(x＋b)的图象如图，其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的图象大致是( )
10．函数f(x)＝lga(x＋2)(0A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
11．已知lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－lgbx的图象可能是( )
12．函数y＝lga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________．
13．已知函数y＝lga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
14．函数f(x)＝lga(x＋2)＋3(a>0，且a≠1)的图象恒过定点________．
15．函数y＝2＋lga(3x－2)(a>0，且a≠1)的图象所过定点的坐标是________．
16．若函数f(x)＝－5lga(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
17．若函数y＝lga(x＋b)＋c(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b，c的值分别为_______．
18．已知f(x)＝lga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．
19．已知f(x)＝lg3x.
(1)作出这个函数的图象；
(2)若f(a)20．若函数f(x)为定义在R上的奇函数，且x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg(x＋1)，求f(x)的表达式，并画出大致图象．
21．已知函数f(x)＝lg |x|，
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)画出函数f(x)的图象草图；
(3)利用定义证明函数f(x)在区间(－∞，0)上是减函数．
22．若不等式x2－lgmx<0在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))内恒成立，求实数m的取值范围．
a的范围
0a>1
图象
定义域
(0，＋∞)
值域
R
性质
定点
(1,0)，即x＝1时，y＝0
单调性
在(0，＋∞)上是减函数
在(0，＋∞)上是增函数
专题36 对数函数的概念、图象及性质
1．对数函数的概念
函数y＝lgax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
判断一个函数是对数函数必须是形如y＝lgax(a>0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：
(1)系数为1. (2)底数为大于0且不等于1的常数． (3)对数的真数仅有自变量x.
2．对数函数的图象及性质
3．反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0且a≠1)互为反函数．
4．底数对函数图象的影响
对数函数y＝lg2x，y＝lg3x，y＝lg eq \s\d8(\f(1,2)) x，y＝lg eq \s\d8(\f(1,3)) x的图象如图所示，可得如下规律：
①y＝lgax与y＝lg eq \s\d8(\f(1,a)) x的图象关于x轴对称；
②当a＞1时，底数越大图象越靠近x轴；当0＜a＜1时，底数越小图象越靠近x轴．
5．函数图象的变换规律
1一般地，函数y＝fx±a＋ba，b为实数的图象是由函数y＝fx的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的.
2含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.一般地，y＝f|x－a|的图象是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|fx|的图象与y＝fx的图象在fx≥0的部分相同，在fx<0的部分关于x轴对称.
题型一 对数函数的概念及应用
1．指出下列函数哪些是对数函数？
(1)y＝3lg2x；(2) y＝lg6x；(3) y＝lgx3；(4) y＝lg2x＋1.
[解析] (1)lg2x的系数是3，不是1，不是对数函数．
(2)符合对数函数的结构形式，是对数函数．
(3)自变量在底数位置上，不是对数函数．
(4)对数式lg2x后又加1，不是对数函数．
2．下列给出的函数：①y＝lg5x＋1；②y＝lgax2(a>0，且a≠1)；③y＝lg(eq \r(3)－1)x；④y＝eq \f(1,3)lg3x；
⑤y＝lgxeq \r(3)(x>0，且x≠1)；⑥y＝lgeq \f(2,π)x.其中是对数函数的为( )
A．③④⑤ B．②④⑥
C．①③⑤⑥ D．③⑥
[解析]由对数函数定义知，③⑥是对数函数，故选D.
3．下列函数表达式中，是对数函数的有( )
①y＝lgx2；②y＝lgax(a∈R)；③y＝lg8x；④y＝ln x；⑤y＝lgx(x＋2)；⑥y＝2lg4x；⑦y＝lg2(x＋1)．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
[解析]形如y＝lgax(a>0，且a≠1)的函数即为对数函数，符合此形式的只有③④，其他的不符合．故选B.
4．下列函数是对数函数的是( )
A．y＝2＋lg3x B．y＝lga(2a)(a>0，且a≠1)
C．y＝lgax2(a>0，且a≠1) D．y＝ln x
[解析]结合对数函数的形式y＝lgax(a>0且a≠1)可知D正确．
5．下列函数是对数函数的是( )
A．y＝lga(2x) B．y＝lg22x
C．y＝lg2x＋1 D．y＝lg x
[解析]形如y＝lgax(a>0，且a≠1)的函数即为对数函数，符合此形式的只有D，其他的不符合．故选D.
6．下列函数是对数函数的有( )
①y＝2lg3x；②y＝1＋lg3x；③y＝lg3x；④y＝(lg3x)2.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
[解析]结合对数函数的形式y＝lgax(a>0且a≠1)可知A正确．
7．若f(x)＝lgax＋(a2－4a－5)是对数函数，则a＝______.
[解析]由对数函数的定义可知，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－4a－5＝0，,a＞0，,a≠1，))解得a＝5.答案：5
8．函数f(x)＝(a2＋a－5)lgax为对数函数，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)))等于( )
A．3 B．－3 C．－lg36 D．－lg38
[解析]∵函数f(x)＝(a2＋a－5)lgax为对数函数，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋a－5＝1，,a＞0，,a≠1，))解得a＝2，
∴f(x)＝lg2x，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)))＝lg2eq \f(1,8)＝－3.故选B.
9．若函数y＝lg(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则a＝________.
[解析]因为函数y＝lg(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a－1>0，,2a－1≠1，,a2－5a＋4＝0，))解得a＝4.
10．若函数f(x)＝lg(a＋1)x＋(a2－2a－8)是对数函数，则a＝________.
[解析] 由对数函数的定义可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－2a－8＝0，,a＋1＞0，,a＋1≠1，))解得a＝4.
11．若对数函数y＝f(x)满足f(4)＝2，则该对数函数的解析式为( )
A．y＝lg2xB．y＝2lg4x
C．y＝lg2x或y＝2lg4xD．不确定
[解析]设对数函数的解析式为y＝lgax(a >0，且a≠1)，由题意可知lga4＝2，∴a2＝4，∴a＝2.
∴该对数函数的解析式为y＝lg2x.
12．已知对数函数的图象过点(16,4)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝__________.
[解析]设对数函数为f(x)＝lgax(a>0且a≠1)，由f(16)＝4可知lga16＝4，∴a＝2，
∴f(x)＝lg2x，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝lg2eq \f(1,2)＝－1.
13．已知对数函数f(x)的图象过点(8，－3)，则f(2eq \r(2))＝________.
[解析]设f(x)＝lgax(a>0，且a≠1)，则－3＝lga8，∴a＝eq \f(1,2)，
∴f(x)＝lgeq \f(1,2)x，f(2eq \r(2))＝lgeq \f(1,2)(2eq \r(2))＝－lg2(2eq \r(2))＝－eq \f(3,2).
14．已知函数f(x)＝lg2(x2＋a)．若f(3)＝1，则a＝________.
[解析]由f(3)＝1得lg2(32＋a)＝1，所以9＋a＝2，解得a＝－7.
15．已知f(x)为对数函数，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－2，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝________.
[解析]设f(x)＝lgax，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝lgaeq \f(1,2)＝－2，得a＝eq \r(2)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝lg eq \s\d8(eq \r(2)) eq \f(1,4)＝－4.
16．已知函数f(x)＝alg2x＋blg3x＋2，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2019)))＝4，则f(2019)的值为( )
A．－4 B．－2 C．0D．2
[解析]f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝alg2 x＋blg3 x＋2＋alg2eq \f(1,x)＋blg3eq \f(1,x)＋2＝4，所以f(2019)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2019)))＝4，
又因为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2019)))＝4，所以f(2019)＝0.
17．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x，x>0，,2x，x≤0，))若f(a)＝eq \f(1,2)，则a＝________.
[解析]当x>0时，f(x)＝lg2x，由f(a)＝eq \f(1,2)得lg2a＝eq \f(1,2)，即a＝eq \r(2).
当x≤0时，f(x)＝2x，由f(a)＝eq \f(1,2)得2a＝eq \f(1,2)，a＝－1.
综上a＝－1或eq \r(2).
18．设函数f(x)＝lgax(a>0，且a≠1)，若f(x1x2…x2 019)＝8，则f(xeq \\al(2,1))＋f(xeq \\al(2,2))＋…＋f(xeq \\al(2,2 019))的值等于___．
[解析]∵f(xeq \\al(2,1))＋f(xeq \\al(2,2))＋f(xeq \\al(2,3))＋…＋f(xeq \\al(2,2 019))＝lgaxeq \\al(2,1)＋lgaxeq \\al(2,2)＋lgaxeq \\al(2,3)＋…＋lgaxeq \\al(2,2 019)
＝lga(x1x2x3…x2 019)2＝2lga(x1x2x3…x2 019)＝2×8＝16.
19．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2xx≥4，,fx＋2x＜4，))则f(lg23)＝________.
[解析]因为lg23＜4，lg23＋2＝lg23＋lg24＝lg212＜4，lg212＋2＝lg212＋lg24＝lg248＞4，
所以f(lg23)＝f(lg248)＝2lg248＝48.
20．若函数y＝f(x)是函数y＝3x的反函数，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))的值为
[解析]由题意可知f(x)＝lg3x，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝lg3eq \f(1,2)＝－lg32
题型二 对数型函数的定义域
1．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝lg(x－2)＋eq \f(1,x－3)；(2)f(x)＝lg(x＋1)(16－4x)； (3)y＝eq \r(lg 2－x)；(4)y＝eq \f(1,lg33x－2)．
[解析] (1)要使函数有意义，需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2>0，,x－3≠0，))解得x>2且x≠3，
所以函数定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．
(2)要使函数有意义，需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(16－4x>0，,x＋1>0，,x＋1≠1，))解得－1所以函数定义域为(－1,0)∪(0,4)．
(3)由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg 2－x≥0，,2－x>0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x≥1，,2－x>0.))∴x≤1.即y＝eq \r(lg 2－x)的定义域为{x|x≤1}．
(4)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg33x－2≠0，,3x－2>0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－2≠1，,3x>2，))解得x>eq \f(2,3)，且x≠1.
∴y＝eq \f(1,lg33x－2)的定义域为{xeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x>\f(2,3)，且x≠1)).
2．求下列函数的定义域：
(1)y＝eq \f(1,lg2x－1)；(2)y＝eq \r(lg x－3)；(3)y＝lg2(16－4x)；(4)y＝lg(x－1)(3－x)．
[解析] (1)要使函数式有意义，需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1>0，,lg2x－1≠0，))解得x>1，且x≠2.
∴函数y＝eq \f(1,lg2x－1)的定义域是{x|x>1，且x≠2}．
(2)要使函数式有意义，需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－3>0，,lg x－3≥0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－3>0，,x－3≥1，))解得x≥4.
∴所求函数的定义域是{x|x≥4}．
(3)要使函数式有意义，需16－4x>0，解得x<2.∴所求函数的定义域是{x|x<2}．
(4)要使函数式有意义，需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－x>0，,x－1>0，,x－1≠1，))解得1∴所求函数的定义域是{x|13．求下列函数的定义域．
(1)y＝eq \r(3,lg2x)；(2)y＝eq \r(lg0.54x－3)；(3)y＝eq \r(lg0.54x－3－1)；(4)y＝lg(x＋1)(2－x)．
[解析] (1)定义域为(0，＋∞)．
(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x－3>0，,4x－3≤1，))解得eq \f(3,4)(3)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x－3>0，,4x－3≤\f(1,2)，))解得eq \f(3,4)(4)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1>0，,x＋1≠1，,2－x>0，))解得－14．求下列函数的定义域．
(1)y＝eq \f(\r(lg0.4x－1),2x－1)；(2)y＝eq \f(1,\r(lg0.5x－1))；(3)y＝eq \r(lga4x－3)(a>0且a≠1)．
[解析] (1)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1>0，,lg0.4x－1≥0，,2x－1≠0，))解得1(2)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1>0，,lg0.5x－1>0，))解得1(3)当0当a>1时，4x－3≥1⇒x≥1，∴定义域为{x|x≥1}.
5．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝eq \f(1,\r(lg\f(1,2)x＋1))；(2)f(x)＝eq \f(1,\r(2－x))＋ln(x＋1)；(3)f(x)＝lg(2x－1)(－4x＋8)；
[解析] (1)要使函数f(x)有意义，则lgeq \f(1,2)x＋1>0，即lgeq \f(1,2)x>－1，解得0(2)函数式若有意义，需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1>0，,2－x>0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>－1，,x<2，))解得－1(3)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－4x＋8>0，,2x－1>0，,2x－1≠1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<2，,x>\f(1,2)，,x≠1.))故函数y＝lg(2x－1)(－4x＋8)的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)6．函数y＝ln eq \r(x－2)的定义域是( )
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞) C．(2，＋∞) D．[4，＋∞)
[解析]要使函数有意义，真数需大于0，所以x－2＞0，即x＞2.故选C.
7．函数f(x)＝lg(x－1)＋eq \r(4－x) 的定义域为( )
A．(1,4] B．(1,4)
C．[1,4] D．[1,4)
[解析]由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1＞0，,4－x≥0，))所以1＜x≤4.
8．函数f(x)＝eq \r(1－2lg5x)的定义域为________．
[解析]由1－2lg5x≥0，得lg5x≤eq \f(1,2)，故09．函数y＝eq \f(1,lg2x－2)的定义域为( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(2,3)∪(3，＋∞) D．(2,4)∪(4，＋∞)
[解析]要使函数有意义，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2>0，,lg2x－2≠0，))解得x＞2且x≠3，故选C.
10．函数f(x)＝eq \f(lg 4－x,x－3)的定义域为________．
[解析]由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－x＞0，,x－3≠0))⇒{x|x＜4，且x≠3}．
11．函数f(x)＝eq \f(1,\r(lg2x－1)) 的定义域为( )
A．(0,2) B．(0,2]
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
[解析]若函数f(x)有意义，则lg2x－1＞0，∴lg2x＞1，∴x＞2.所以函数f(x)的定义域为(2，＋∞)．
12．函数y＝eq \r(x)ln(1－x)的定义域为( )
A．(0,1) B．[0,1)
C．(0,1] D．[0,1]
[解析]由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥0，,1－x>0，))得0≤x<1，故选B.
13．函数f(x)＝eq \f(1－x,lg x＋1)的定义域是( )
A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．(－1,0)∪(0，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞)
[解析]由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1＞0，,x＋1≠1))⇒x＞－1，且x≠0.故选C.
14．函数y＝eq \f(\r(3－x),2－lg2x＋1)的定义域是( )
A．(－1,3) B．(－1,3]
C．(－∞，3) D．(－1，＋∞)
[解析]若要函数有意义，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－x≥0，,x＋1＞0，,2≠lg2x＋1，))解得－1＜x＜3.
15．函数f(x)＝eq \r(a－lg x)的定义域为(0,10]，则实数a的值为( )
A．0B．10
C．1 D．eq \f(1,10)
[解析]由已知，得a－lg x≥0的解集为(0,10]，由a－lg x≥0，得lg x≤a，
又当0＜x≤10时，lg x≤1，所以a＝1，故选C.
16．若函数y＝lga(x＋a)(a>0且a≠1)的图象过点(－1，0)．
(1)求a的值；(2)求函数的定义域．
[解析] (1)将(－1,0)代入y＝lga(x＋a)(a>0，a≠1)中，有0＝lga(－1＋a)，则－1＋a＝1，所以a＝2.
(2)由(1)知y＝lg2(x＋2)，由x＋2>0，解得x>－2，所以函数的定义域为{x|x>－2}．
17．函数f(x)＝eq \r(lg x)＋lg(5－3x)的定义域是( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(5,3))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(5,3)))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(5,3))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(5,3)))
[解析]由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg x≥0，,5－3x>0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥1，,x<\f(5,3)，))即1≤x18．若函数y＝lg2(kx2＋4kx＋5)的定义域为R，则k的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(5,4))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(5,4)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(5,4))) D．(－∞，0)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)，＋∞))
[解析]由题意得，kx2＋4kx＋5＞0在R上恒成立．
k＝0时，成立；
k≠0时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＞0，,Δ＝16k2－20k＜0，))解得0＜k＜eq \f(5,4)，
综上，k∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(5,4)))，故选B.
19．已知函数f(x)＝lg (ax2＋2x＋1)．若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围．
[解析]由已知，u＝ax2＋2x＋1的值恒为正，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ＝4－4a<0，))解得a的取值范围是a>1.
20．已知函数f(x)＝lg2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(ax2＋a－1x＋\f(1,4))).若定义域为R，求实数a的取值范围；
[解析] 要使f(x)的定义域为R，则对任意实数x都有t＝ax2＋(a－1)x＋eq \f(1,4)>0恒成立．当a＝0时，不合题意；当a≠0时，由二次函数图象可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ＝a－12－a<0.))解得eq \f(3－\r(5),2)故所求a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3－\r(5),2)，\f(3＋\r(5),2))).
题型三 对数函数的图象问题
1．函数y＝lg(x＋1)的图象大致是( )
[解析]由底数大于1可排除A、B，y＝lg(x＋1)可看作是y＝lgx的图象向左平移1个单位．
(或令x＝0得y＝0，而且函数为增函数)，[答案] C
2．函数f(x)＝lg2(1－x)的图象为( )
[解析]该函数为单调递减的复合函数，且过定点(0,0)，故A正确．
3．函数y＝eq \f(lg |x|,x)的图象大致是( )
[解析]由函数y＝eq \f(lg |x|,x)的定义域是{x|x≠0}，易得函数为奇函数，所以函数图象关于原点对称，可排除A，B，当x＝1时，y＝lg 1＝0，故图象与x轴相交，且其中一个交点为(1,0)，只有D中图象符合．
4．如图，若C1，C2分别为函数y＝lgax和y＝lgbx的图象，则( )
A．0B．0C．a>b>1
D．b>a>1
[解析]作直线y＝1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知05．已知m，n∈R，函数f(x)＝m＋lgnx的图象如右图，则m，n的取值范围分别是( )
A．m>0,00，n>1 D．m<0，n>1
[解析] 由图象知函数为增函数，故n>1.又当x＝1时，f(x)＝m>0，故m>0.[答案] C
6．如图所示的曲线是对数函数y＝lgax，y＝lgbx，y＝lgcx，y＝lgdx的图象，则a，b，c，d,1,0的大小关系为________．
[解析]由题图可知函数y＝lgax，y＝lgbx的底数a>1，b>1，函数y＝lgcx，y＝lgdx的底数0过点(0,1)作平行于x轴的直线l(图略)，则直线l与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为 c，d，a，b，
显然b>a>1>d>c>0.
7．当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝lgax的图象为( )
[解析]∵a>1，∴08．已知0[解析]因为0所以选D．
9．若函数f(x)＝lga(x＋b)的图象如图，其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的图象大致是( )
[解析]由函数f(x)＝lga(x＋b)的图象可知，函数f(x)＝lga(x＋b)在(－b，＋∞)上是减函数．
∴0所以g(x)＝ax＋b的图象应在直线y＝b的上方，故排除C.[答案] D
10．函数f(x)＝lga(x＋2)(0A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析]∵f(x)＝lga(x＋2)(0＜a＜1)，∴其图象如下图所示，故选A.
11．已知lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－lgbx的图象可能是( )
[解析]由lg a＋lg b＝0，得lg(ab)＝0，所以ab＝1，故a＝eq \f(1,b)，所以当0＜b＜1时，a＞1；
当b＞1时，0＜a＜1.又因为函数y＝－lgbx与函数y＝lgbx的图象关于x轴对称．利用这些信息可知选项B符合0＜b＜1且a＞1的情况．
12．函数y＝lga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________．
[解析]因为函数y＝lgax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，则令x＋1＝1，得x＝0，
此时y＝lga(x＋1)－2＝－2，所以函数y＝lga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0，－2).
13．已知函数y＝lga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
[解析]y＝lgax的图象恒过点(1,0)，令x－3＝1，得x＝4，则y＝－1.
14．函数f(x)＝lga(x＋2)＋3(a>0，且a≠1)的图象恒过定点________．
[解析]令x＋2＝1，解得x＝－1.因为f(－1)＝3，所以f(x)的图象恒过定点(－1,3)．
15．函数y＝2＋lga(3x－2)(a>0，且a≠1)的图象所过定点的坐标是________．
[解析]令3x－2＝1，解得x＝1，此时y＝2，即函数y＝2＋lga(3x－2)(a>0，且a≠1)的图象过定点(1,2)．
16．若函数f(x)＝－5lga(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
[解析]令x－1＝1，得x＝2，即f(2)＝2，故P(2,2)．
17．若函数y＝lga(x＋b)＋c(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b，c的值分别为_______．
[解析]∵函数的图象恒过定点(3,2)，∴将(3,2)代入y＝lga(x＋b)＋c，得2＝lga(3＋b)＋C．又当a>0，
且a≠1时，lga1＝0恒成立，∴c＝2，由lga(3＋b)＝0，得3＋b＝1，∴b＝－2.故填－2,2.
18．已知f(x)＝lga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．
[解析]∵f(x)＝lga|x|，∴f(－5)＝lga5＝1，即a＝5，∴f(x)＝lg5|x|，
∴f(x)是偶函数，其图象如图所示．
19．已知f(x)＝lg3x.
(1)作出这个函数的图象；
(2)若f(a)[解析](1)作出函数y＝lg3x的图象如图所示．
(2)令f(x)＝f(2)，即lg3x＝lg32，解得x＝2.由图象知：
当020．若函数f(x)为定义在R上的奇函数，且x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg(x＋1)，求f(x)的表达式，并画出大致图象．
[解析]∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0.
又当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，∴f(－x)＝lg(1－x)．
又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－lg(1－x)，
∴f(x)的解析式为f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg(x＋1)，x>0，,0，x＝0，,－lg(1－x)，x<0，))
∴f(x)的大致图象如图所示．
21．已知函数f(x)＝lg |x|，
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)画出函数f(x)的图象草图；
(3)利用定义证明函数f(x)在区间(－∞，0)上是减函数．
[解析] (1)要使函数有意义，x的取值需满足|x|>0，解得x≠0，即函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
因为f(－x)＝lg |－x|＝lg |x|＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．
(2)由于函数f(x)是偶函数，则其图象关于y轴对称，将函数y＝lg x的图象对称到y轴的左侧与函数y＝lg x的图象合起来得函数f(x)的图象，如图所示．
(3)证明：设x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝lg |x1|－lg |x2|＝lg eq \f(|x1|,|x2|)＝lg eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(x1,x2))).因为x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2，
所以|x1|>|x2|＞0.所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(x1,x2)))＞1.所以lg eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(x1,x2)))＞0.所以f(x1)＞f(x2)．
所以函数f(x)在区间(－∞，0)上是减函数．
22．若不等式x2－lgmx<0在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))内恒成立，求实数m的取值范围．
[解析]由x2－lgmx<0，得x2要使x2∵x＝eq \f(1,2)时，y＝x2＝eq \f(1,4)，∴只要x＝eq \f(1,2)时，y＝lgmeq \f(1,2)≥eq \f(1,4)＝lgmmeq \f(1,4)，∴eq \f(1,2)≤meq \f(1,4)，即eq \f(1,16)≤m.
又0a的范围
0a>1
图象
定义域
(0，＋∞)
值域
R
性质
定点
(1,0)，即x＝1时，y＝0
单调性
在(0，＋∞)上是减函数
在(0，＋∞)上是增函数
函数y＝lgax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
判断一个函数是对数函数必须是形如y＝lgax(a>0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：
(1)系数为1. (2)底数为大于0且不等于1的常数． (3)对数的真数仅有自变量x.
2．对数函数的图象及性质
3．反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0且a≠1)互为反函数．
4．底数对函数图象的影响
对数函数y＝lg2x，y＝lg3x，y＝lg eq \s\d8(\f(1,2)) x，y＝lg eq \s\d8(\f(1,3)) x的图象如图所示，可得如下规律：
①y＝lgax与y＝lg eq \s\d8(\f(1,a)) x的图象关于x轴对称；
②当a＞1时，底数越大图象越靠近x轴；当0＜a＜1时，底数越小图象越靠近x轴．
5．函数图象的变换规律
1一般地，函数y＝fx±a＋ba，b为实数的图象是由函数y＝fx的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的.
2含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.一般地，y＝f|x－a|的图象是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|fx|的图象与y＝fx的图象在fx≥0的部分相同，在fx<0的部分关于x轴对称.
题型一 对数函数的概念及应用
1．指出下列函数哪些是对数函数？
(1)y＝3lg2x；(2) y＝lg6x；(3) y＝lgx3；(4) y＝lg2x＋1.
2．下列给出的函数：①y＝lg5x＋1；②y＝lgax2(a>0，且a≠1)；③y＝lg(eq \r(3)－1)x；④y＝eq \f(1,3)lg3x；
⑤y＝lgxeq \r(3)(x>0，且x≠1)；⑥y＝lgeq \f(2,π)x.其中是对数函数的为( )
A．③④⑤ B．②④⑥
C．①③⑤⑥ D．③⑥
3．下列函数表达式中，是对数函数的有( )
①y＝lgx2；②y＝lgax(a∈R)；③y＝lg8x；④y＝ln x；⑤y＝lgx(x＋2)；⑥y＝2lg4x；⑦y＝lg2(x＋1)．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．下列函数是对数函数的是( )
A．y＝2＋lg3x B．y＝lga(2a)(a>0，且a≠1)
C．y＝lgax2(a>0，且a≠1) D．y＝ln x
5．下列函数是对数函数的是( )
A．y＝lga(2x) B．y＝lg22x
C．y＝lg2x＋1 D．y＝lg x
6．下列函数是对数函数的有( )
①y＝2lg3x；②y＝1＋lg3x；③y＝lg3x；④y＝(lg3x)2.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．若f(x)＝lgax＋(a2－4a－5)是对数函数，则a＝______.
8．函数f(x)＝(a2＋a－5)lgax为对数函数，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)))等于( )
A．3 B．－3 C．－lg36 D．－lg38
9．若函数y＝lg(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则a＝________.
10．若函数f(x)＝lg(a＋1)x＋(a2－2a－8)是对数函数，则a＝________.
11．若对数函数y＝f(x)满足f(4)＝2，则该对数函数的解析式为( )
A．y＝lg2xB．y＝2lg4x
C．y＝lg2x或y＝2lg4xD．不确定
12．已知对数函数的图象过点(16,4)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝__________.
13．已知对数函数f(x)的图象过点(8，－3)，则f(2eq \r(2))＝________.
14．已知函数f(x)＝lg2(x2＋a)．若f(3)＝1，则a＝________.
15．已知f(x)为对数函数，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－2，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝________.
16．已知函数f(x)＝alg2x＋blg3x＋2，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2019)))＝4，则f(2019)的值为( )
A．－4 B．－2 C．0D．2
17．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x，x>0，,2x，x≤0，))若f(a)＝eq \f(1,2)，则a＝________.
18．设函数f(x)＝lgax(a>0，且a≠1)，若f(x1x2…x2 019)＝8，则f(xeq \\al(2,1))＋f(xeq \\al(2,2))＋…＋f(xeq \\al(2,2 019))的值等于___．
19．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2xx≥4，,fx＋2x＜4，))则f(lg23)＝________.
20．若函数y＝f(x)是函数y＝3x的反函数，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))的值为
题型二 对数型函数的定义域
1．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝lg(x－2)＋eq \f(1,x－3)；(2)f(x)＝lg(x＋1)(16－4x)； (3)y＝eq \r(lg 2－x)；(4)y＝eq \f(1,lg33x－2)．
2．求下列函数的定义域：
(1)y＝eq \f(1,lg2x－1)；(2)y＝eq \r(lg x－3)；(3)y＝lg2(16－4x)；(4)y＝lg(x－1)(3－x)．
3．求下列函数的定义域．
(1)y＝eq \r(3,lg2x)；(2)y＝eq \r(lg0.54x－3)；(3)y＝eq \r(lg0.54x－3－1)；(4)y＝lg(x＋1)(2－x)．
4．求下列函数的定义域．
(1)y＝eq \f(\r(lg0.4x－1),2x－1)；(2)y＝eq \f(1,\r(lg0.5x－1))；(3)y＝eq \r(lga4x－3)(a>0且a≠1)．
5．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝eq \f(1,\r(lg\f(1,2)x＋1))；(2)f(x)＝eq \f(1,\r(2－x))＋ln(x＋1)；(3)f(x)＝lg(2x－1)(－4x＋8)；
6．函数y＝ln eq \r(x－2)的定义域是( )
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞) C．(2，＋∞) D．[4，＋∞)
7．函数f(x)＝lg(x－1)＋eq \r(4－x) 的定义域为( )
A．(1,4] B．(1,4)
C．[1,4] D．[1,4)
8．函数f(x)＝eq \r(1－2lg5x)的定义域为________．
9．函数y＝eq \f(1,lg2x－2)的定义域为( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(2,3)∪(3，＋∞) D．(2,4)∪(4，＋∞)
10．函数f(x)＝eq \f(lg 4－x,x－3)的定义域为________．
11．函数f(x)＝eq \f(1,\r(lg2x－1)) 的定义域为( )
A．(0,2) B．(0,2]
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
12．函数y＝eq \r(x)ln(1－x)的定义域为( )
A．(0,1) B．[0,1)
C．(0,1] D．[0,1]
13．函数f(x)＝eq \f(1－x,lg x＋1)的定义域是( )
A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．(－1,0)∪(0，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞)
14．函数y＝eq \f(\r(3－x),2－lg2x＋1)的定义域是( )
A．(－1,3) B．(－1,3]
C．(－∞，3) D．(－1，＋∞)
15．函数f(x)＝eq \r(a－lg x)的定义域为(0,10]，则实数a的值为( )
A．0B．10
C．1 D．eq \f(1,10)
16．若函数y＝lga(x＋a)(a>0且a≠1)的图象过点(－1，0)．
(1)求a的值；(2)求函数的定义域．
17．函数f(x)＝eq \r(lg x)＋lg(5－3x)的定义域是( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(5,3))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(5,3)))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(5,3))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(5,3)))
18．若函数y＝lg2(kx2＋4kx＋5)的定义域为R，则k的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(5,4))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(5,4)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(5,4))) D．(－∞，0)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)，＋∞))
19．已知函数f(x)＝lg (ax2＋2x＋1)．若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围．
20．已知函数f(x)＝lg2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(ax2＋a－1x＋\f(1,4))).若定义域为R，求实数a的取值范围；
题型三 对数函数的图象问题
1．函数y＝lg(x＋1)的图象大致是( )
2．函数f(x)＝lg2(1－x)的图象为( )
3．函数y＝eq \f(lg |x|,x)的图象大致是( )
4．如图，若C1，C2分别为函数y＝lgax和y＝lgbx的图象，则( )
A．0
D．b>a>1
5．已知m，n∈R，函数f(x)＝m＋lgnx的图象如右图，则m，n的取值范围分别是( )
A．m>0,0
6．如图所示的曲线是对数函数y＝lgax，y＝lgbx，y＝lgcx，y＝lgdx的图象，则a，b，c，d,1,0的大小关系为________．
7．当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝lgax的图象为( )
8．已知0
10．函数f(x)＝lga(x＋2)(0
C．第三象限 D．第四象限
11．已知lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－lgbx的图象可能是( )
12．函数y＝lga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________．
13．已知函数y＝lga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
14．函数f(x)＝lga(x＋2)＋3(a>0，且a≠1)的图象恒过定点________．
15．函数y＝2＋lga(3x－2)(a>0，且a≠1)的图象所过定点的坐标是________．
16．若函数f(x)＝－5lga(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
17．若函数y＝lga(x＋b)＋c(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b，c的值分别为_______．
18．已知f(x)＝lga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．
19．已知f(x)＝lg3x.
(1)作出这个函数的图象；
(2)若f(a)
21．已知函数f(x)＝lg |x|，
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)画出函数f(x)的图象草图；
(3)利用定义证明函数f(x)在区间(－∞，0)上是减函数．
22．若不等式x2－lgmx<0在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))内恒成立，求实数m的取值范围．
a的范围
0
图象
定义域
(0，＋∞)
值域
R
性质
定点
(1,0)，即x＝1时，y＝0
单调性
在(0，＋∞)上是减函数
在(0，＋∞)上是增函数
专题36 对数函数的概念、图象及性质
1．对数函数的概念
函数y＝lgax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
判断一个函数是对数函数必须是形如y＝lgax(a>0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：
(1)系数为1. (2)底数为大于0且不等于1的常数． (3)对数的真数仅有自变量x.
2．对数函数的图象及性质
3．反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0且a≠1)互为反函数．
4．底数对函数图象的影响
对数函数y＝lg2x，y＝lg3x，y＝lg eq \s\d8(\f(1,2)) x，y＝lg eq \s\d8(\f(1,3)) x的图象如图所示，可得如下规律：
①y＝lgax与y＝lg eq \s\d8(\f(1,a)) x的图象关于x轴对称；
②当a＞1时，底数越大图象越靠近x轴；当0＜a＜1时，底数越小图象越靠近x轴．
5．函数图象的变换规律
1一般地，函数y＝fx±a＋ba，b为实数的图象是由函数y＝fx的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的.
2含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.一般地，y＝f|x－a|的图象是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|fx|的图象与y＝fx的图象在fx≥0的部分相同，在fx<0的部分关于x轴对称.
题型一 对数函数的概念及应用
1．指出下列函数哪些是对数函数？
(1)y＝3lg2x；(2) y＝lg6x；(3) y＝lgx3；(4) y＝lg2x＋1.
[解析] (1)lg2x的系数是3，不是1，不是对数函数．
(2)符合对数函数的结构形式，是对数函数．
(3)自变量在底数位置上，不是对数函数．
(4)对数式lg2x后又加1，不是对数函数．
2．下列给出的函数：①y＝lg5x＋1；②y＝lgax2(a>0，且a≠1)；③y＝lg(eq \r(3)－1)x；④y＝eq \f(1,3)lg3x；
⑤y＝lgxeq \r(3)(x>0，且x≠1)；⑥y＝lgeq \f(2,π)x.其中是对数函数的为( )
A．③④⑤ B．②④⑥
C．①③⑤⑥ D．③⑥
[解析]由对数函数定义知，③⑥是对数函数，故选D.
3．下列函数表达式中，是对数函数的有( )
①y＝lgx2；②y＝lgax(a∈R)；③y＝lg8x；④y＝ln x；⑤y＝lgx(x＋2)；⑥y＝2lg4x；⑦y＝lg2(x＋1)．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
[解析]形如y＝lgax(a>0，且a≠1)的函数即为对数函数，符合此形式的只有③④，其他的不符合．故选B.
4．下列函数是对数函数的是( )
A．y＝2＋lg3x B．y＝lga(2a)(a>0，且a≠1)
C．y＝lgax2(a>0，且a≠1) D．y＝ln x
[解析]结合对数函数的形式y＝lgax(a>0且a≠1)可知D正确．
5．下列函数是对数函数的是( )
A．y＝lga(2x) B．y＝lg22x
C．y＝lg2x＋1 D．y＝lg x
[解析]形如y＝lgax(a>0，且a≠1)的函数即为对数函数，符合此形式的只有D，其他的不符合．故选D.
6．下列函数是对数函数的有( )
①y＝2lg3x；②y＝1＋lg3x；③y＝lg3x；④y＝(lg3x)2.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
[解析]结合对数函数的形式y＝lgax(a>0且a≠1)可知A正确．
7．若f(x)＝lgax＋(a2－4a－5)是对数函数，则a＝______.
[解析]由对数函数的定义可知，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－4a－5＝0，,a＞0，,a≠1，))解得a＝5.答案：5
8．函数f(x)＝(a2＋a－5)lgax为对数函数，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)))等于( )
A．3 B．－3 C．－lg36 D．－lg38
[解析]∵函数f(x)＝(a2＋a－5)lgax为对数函数，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋a－5＝1，,a＞0，,a≠1，))解得a＝2，
∴f(x)＝lg2x，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)))＝lg2eq \f(1,8)＝－3.故选B.
9．若函数y＝lg(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则a＝________.
[解析]因为函数y＝lg(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a－1>0，,2a－1≠1，,a2－5a＋4＝0，))解得a＝4.
10．若函数f(x)＝lg(a＋1)x＋(a2－2a－8)是对数函数，则a＝________.
[解析] 由对数函数的定义可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－2a－8＝0，,a＋1＞0，,a＋1≠1，))解得a＝4.
11．若对数函数y＝f(x)满足f(4)＝2，则该对数函数的解析式为( )
A．y＝lg2xB．y＝2lg4x
C．y＝lg2x或y＝2lg4xD．不确定
[解析]设对数函数的解析式为y＝lgax(a >0，且a≠1)，由题意可知lga4＝2，∴a2＝4，∴a＝2.
∴该对数函数的解析式为y＝lg2x.
12．已知对数函数的图象过点(16,4)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝__________.
[解析]设对数函数为f(x)＝lgax(a>0且a≠1)，由f(16)＝4可知lga16＝4，∴a＝2，
∴f(x)＝lg2x，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝lg2eq \f(1,2)＝－1.
13．已知对数函数f(x)的图象过点(8，－3)，则f(2eq \r(2))＝________.
[解析]设f(x)＝lgax(a>0，且a≠1)，则－3＝lga8，∴a＝eq \f(1,2)，
∴f(x)＝lgeq \f(1,2)x，f(2eq \r(2))＝lgeq \f(1,2)(2eq \r(2))＝－lg2(2eq \r(2))＝－eq \f(3,2).
14．已知函数f(x)＝lg2(x2＋a)．若f(3)＝1，则a＝________.
[解析]由f(3)＝1得lg2(32＋a)＝1，所以9＋a＝2，解得a＝－7.
15．已知f(x)为对数函数，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－2，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝________.
[解析]设f(x)＝lgax，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝lgaeq \f(1,2)＝－2，得a＝eq \r(2)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝lg eq \s\d8(eq \r(2)) eq \f(1,4)＝－4.
16．已知函数f(x)＝alg2x＋blg3x＋2，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2019)))＝4，则f(2019)的值为( )
A．－4 B．－2 C．0D．2
[解析]f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝alg2 x＋blg3 x＋2＋alg2eq \f(1,x)＋blg3eq \f(1,x)＋2＝4，所以f(2019)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2019)))＝4，
又因为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2019)))＝4，所以f(2019)＝0.
17．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x，x>0，,2x，x≤0，))若f(a)＝eq \f(1,2)，则a＝________.
[解析]当x>0时，f(x)＝lg2x，由f(a)＝eq \f(1,2)得lg2a＝eq \f(1,2)，即a＝eq \r(2).
当x≤0时，f(x)＝2x，由f(a)＝eq \f(1,2)得2a＝eq \f(1,2)，a＝－1.
综上a＝－1或eq \r(2).
18．设函数f(x)＝lgax(a>0，且a≠1)，若f(x1x2…x2 019)＝8，则f(xeq \\al(2,1))＋f(xeq \\al(2,2))＋…＋f(xeq \\al(2,2 019))的值等于___．
[解析]∵f(xeq \\al(2,1))＋f(xeq \\al(2,2))＋f(xeq \\al(2,3))＋…＋f(xeq \\al(2,2 019))＝lgaxeq \\al(2,1)＋lgaxeq \\al(2,2)＋lgaxeq \\al(2,3)＋…＋lgaxeq \\al(2,2 019)
＝lga(x1x2x3…x2 019)2＝2lga(x1x2x3…x2 019)＝2×8＝16.
19．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2xx≥4，,fx＋2x＜4，))则f(lg23)＝________.
[解析]因为lg23＜4，lg23＋2＝lg23＋lg24＝lg212＜4，lg212＋2＝lg212＋lg24＝lg248＞4，
所以f(lg23)＝f(lg248)＝2lg248＝48.
20．若函数y＝f(x)是函数y＝3x的反函数，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))的值为
[解析]由题意可知f(x)＝lg3x，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝lg3eq \f(1,2)＝－lg32
题型二 对数型函数的定义域
1．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝lg(x－2)＋eq \f(1,x－3)；(2)f(x)＝lg(x＋1)(16－4x)； (3)y＝eq \r(lg 2－x)；(4)y＝eq \f(1,lg33x－2)．
[解析] (1)要使函数有意义，需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2>0，,x－3≠0，))解得x>2且x≠3，
所以函数定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．
(2)要使函数有意义，需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(16－4x>0，,x＋1>0，,x＋1≠1，))解得－1
(3)由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg 2－x≥0，,2－x>0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x≥1，,2－x>0.))∴x≤1.即y＝eq \r(lg 2－x)的定义域为{x|x≤1}．
(4)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg33x－2≠0，,3x－2>0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－2≠1，,3x>2，))解得x>eq \f(2,3)，且x≠1.
∴y＝eq \f(1,lg33x－2)的定义域为{xeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x>\f(2,3)，且x≠1)).
2．求下列函数的定义域：
(1)y＝eq \f(1,lg2x－1)；(2)y＝eq \r(lg x－3)；(3)y＝lg2(16－4x)；(4)y＝lg(x－1)(3－x)．
[解析] (1)要使函数式有意义，需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1>0，,lg2x－1≠0，))解得x>1，且x≠2.
∴函数y＝eq \f(1,lg2x－1)的定义域是{x|x>1，且x≠2}．
(2)要使函数式有意义，需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－3>0，,lg x－3≥0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－3>0，,x－3≥1，))解得x≥4.
∴所求函数的定义域是{x|x≥4}．
(3)要使函数式有意义，需16－4x>0，解得x<2.∴所求函数的定义域是{x|x<2}．
(4)要使函数式有意义，需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－x>0，,x－1>0，,x－1≠1，))解得1
(1)y＝eq \r(3,lg2x)；(2)y＝eq \r(lg0.54x－3)；(3)y＝eq \r(lg0.54x－3－1)；(4)y＝lg(x＋1)(2－x)．
[解析] (1)定义域为(0，＋∞)．
(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x－3>0，,4x－3≤1，))解得eq \f(3,4)
(1)y＝eq \f(\r(lg0.4x－1),2x－1)；(2)y＝eq \f(1,\r(lg0.5x－1))；(3)y＝eq \r(lga4x－3)(a>0且a≠1)．
[解析] (1)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1>0，,lg0.4x－1≥0，,2x－1≠0，))解得1
5．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝eq \f(1,\r(lg\f(1,2)x＋1))；(2)f(x)＝eq \f(1,\r(2－x))＋ln(x＋1)；(3)f(x)＝lg(2x－1)(－4x＋8)；
[解析] (1)要使函数f(x)有意义，则lgeq \f(1,2)x＋1>0，即lgeq \f(1,2)x>－1，解得0
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞) C．(2，＋∞) D．[4，＋∞)
[解析]要使函数有意义，真数需大于0，所以x－2＞0，即x＞2.故选C.
7．函数f(x)＝lg(x－1)＋eq \r(4－x) 的定义域为( )
A．(1,4] B．(1,4)
C．[1,4] D．[1,4)
[解析]由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1＞0，,4－x≥0，))所以1＜x≤4.
8．函数f(x)＝eq \r(1－2lg5x)的定义域为________．
[解析]由1－2lg5x≥0，得lg5x≤eq \f(1,2)，故0
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(2,3)∪(3，＋∞) D．(2,4)∪(4，＋∞)
[解析]要使函数有意义，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2>0，,lg2x－2≠0，))解得x＞2且x≠3，故选C.
10．函数f(x)＝eq \f(lg 4－x,x－3)的定义域为________．
[解析]由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－x＞0，,x－3≠0))⇒{x|x＜4，且x≠3}．
11．函数f(x)＝eq \f(1,\r(lg2x－1)) 的定义域为( )
A．(0,2) B．(0,2]
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
[解析]若函数f(x)有意义，则lg2x－1＞0，∴lg2x＞1，∴x＞2.所以函数f(x)的定义域为(2，＋∞)．
12．函数y＝eq \r(x)ln(1－x)的定义域为( )
A．(0,1) B．[0,1)
C．(0,1] D．[0,1]
[解析]由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥0，,1－x>0，))得0≤x<1，故选B.
13．函数f(x)＝eq \f(1－x,lg x＋1)的定义域是( )
A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．(－1,0)∪(0，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞)
[解析]由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1＞0，,x＋1≠1))⇒x＞－1，且x≠0.故选C.
14．函数y＝eq \f(\r(3－x),2－lg2x＋1)的定义域是( )
A．(－1,3) B．(－1,3]
C．(－∞，3) D．(－1，＋∞)
[解析]若要函数有意义，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－x≥0，,x＋1＞0，,2≠lg2x＋1，))解得－1＜x＜3.
15．函数f(x)＝eq \r(a－lg x)的定义域为(0,10]，则实数a的值为( )
A．0B．10
C．1 D．eq \f(1,10)
[解析]由已知，得a－lg x≥0的解集为(0,10]，由a－lg x≥0，得lg x≤a，
又当0＜x≤10时，lg x≤1，所以a＝1，故选C.
16．若函数y＝lga(x＋a)(a>0且a≠1)的图象过点(－1，0)．
(1)求a的值；(2)求函数的定义域．
[解析] (1)将(－1,0)代入y＝lga(x＋a)(a>0，a≠1)中，有0＝lga(－1＋a)，则－1＋a＝1，所以a＝2.
(2)由(1)知y＝lg2(x＋2)，由x＋2>0，解得x>－2，所以函数的定义域为{x|x>－2}．
17．函数f(x)＝eq \r(lg x)＋lg(5－3x)的定义域是( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(5,3))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(5,3)))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(5,3))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(5,3)))
[解析]由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg x≥0，,5－3x>0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥1，,x<\f(5,3)，))即1≤x
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(5,4))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(5,4)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(5,4))) D．(－∞，0)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)，＋∞))
[解析]由题意得，kx2＋4kx＋5＞0在R上恒成立．
k＝0时，成立；
k≠0时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＞0，,Δ＝16k2－20k＜0，))解得0＜k＜eq \f(5,4)，
综上，k∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(5,4)))，故选B.
19．已知函数f(x)＝lg (ax2＋2x＋1)．若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围．
[解析]由已知，u＝ax2＋2x＋1的值恒为正，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ＝4－4a<0，))解得a的取值范围是a>1.
20．已知函数f(x)＝lg2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(ax2＋a－1x＋\f(1,4))).若定义域为R，求实数a的取值范围；
[解析] 要使f(x)的定义域为R，则对任意实数x都有t＝ax2＋(a－1)x＋eq \f(1,4)>0恒成立．当a＝0时，不合题意；当a≠0时，由二次函数图象可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ＝a－12－a<0.))解得eq \f(3－\r(5),2)
题型三 对数函数的图象问题
1．函数y＝lg(x＋1)的图象大致是( )
[解析]由底数大于1可排除A、B，y＝lg(x＋1)可看作是y＝lgx的图象向左平移1个单位．
(或令x＝0得y＝0，而且函数为增函数)，[答案] C
2．函数f(x)＝lg2(1－x)的图象为( )
[解析]该函数为单调递减的复合函数，且过定点(0,0)，故A正确．
3．函数y＝eq \f(lg |x|,x)的图象大致是( )
[解析]由函数y＝eq \f(lg |x|,x)的定义域是{x|x≠0}，易得函数为奇函数，所以函数图象关于原点对称，可排除A，B，当x＝1时，y＝lg 1＝0，故图象与x轴相交，且其中一个交点为(1,0)，只有D中图象符合．
4．如图，若C1，C2分别为函数y＝lgax和y＝lgbx的图象，则( )
A．0
D．b>a>1
[解析]作直线y＝1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0
A．m>0,0
[解析] 由图象知函数为增函数，故n>1.又当x＝1时，f(x)＝m>0，故m>0.[答案] C
6．如图所示的曲线是对数函数y＝lgax，y＝lgbx，y＝lgcx，y＝lgdx的图象，则a，b，c，d,1,0的大小关系为________．
[解析]由题图可知函数y＝lgax，y＝lgbx的底数a>1，b>1，函数y＝lgcx，y＝lgdx的底数0
显然b>a>1>d>c>0.
7．当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝lgax的图象为( )
[解析]∵a>1，∴0
9．若函数f(x)＝lga(x＋b)的图象如图，其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的图象大致是( )
[解析]由函数f(x)＝lga(x＋b)的图象可知，函数f(x)＝lga(x＋b)在(－b，＋∞)上是减函数．
∴0
10．函数f(x)＝lga(x＋2)(0
C．第三象限 D．第四象限
[解析]∵f(x)＝lga(x＋2)(0＜a＜1)，∴其图象如下图所示，故选A.
11．已知lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－lgbx的图象可能是( )
[解析]由lg a＋lg b＝0，得lg(ab)＝0，所以ab＝1，故a＝eq \f(1,b)，所以当0＜b＜1时，a＞1；
当b＞1时，0＜a＜1.又因为函数y＝－lgbx与函数y＝lgbx的图象关于x轴对称．利用这些信息可知选项B符合0＜b＜1且a＞1的情况．
12．函数y＝lga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________．
[解析]因为函数y＝lgax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，则令x＋1＝1，得x＝0，
此时y＝lga(x＋1)－2＝－2，所以函数y＝lga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0，－2).
13．已知函数y＝lga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
[解析]y＝lgax的图象恒过点(1,0)，令x－3＝1，得x＝4，则y＝－1.
14．函数f(x)＝lga(x＋2)＋3(a>0，且a≠1)的图象恒过定点________．
[解析]令x＋2＝1，解得x＝－1.因为f(－1)＝3，所以f(x)的图象恒过定点(－1,3)．
15．函数y＝2＋lga(3x－2)(a>0，且a≠1)的图象所过定点的坐标是________．
[解析]令3x－2＝1，解得x＝1，此时y＝2，即函数y＝2＋lga(3x－2)(a>0，且a≠1)的图象过定点(1,2)．
16．若函数f(x)＝－5lga(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
[解析]令x－1＝1，得x＝2，即f(2)＝2，故P(2,2)．
17．若函数y＝lga(x＋b)＋c(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b，c的值分别为_______．
[解析]∵函数的图象恒过定点(3,2)，∴将(3,2)代入y＝lga(x＋b)＋c，得2＝lga(3＋b)＋C．又当a>0，
且a≠1时，lga1＝0恒成立，∴c＝2，由lga(3＋b)＝0，得3＋b＝1，∴b＝－2.故填－2,2.
18．已知f(x)＝lga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．
[解析]∵f(x)＝lga|x|，∴f(－5)＝lga5＝1，即a＝5，∴f(x)＝lg5|x|，
∴f(x)是偶函数，其图象如图所示．
19．已知f(x)＝lg3x.
(1)作出这个函数的图象；
(2)若f(a)
(2)令f(x)＝f(2)，即lg3x＝lg32，解得x＝2.由图象知：
当0
[解析]∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0.
又当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，∴f(－x)＝lg(1－x)．
又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－lg(1－x)，
∴f(x)的解析式为f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg(x＋1)，x>0，,0，x＝0，,－lg(1－x)，x<0，))
∴f(x)的大致图象如图所示．
21．已知函数f(x)＝lg |x|，
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)画出函数f(x)的图象草图；
(3)利用定义证明函数f(x)在区间(－∞，0)上是减函数．
[解析] (1)要使函数有意义，x的取值需满足|x|>0，解得x≠0，即函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
因为f(－x)＝lg |－x|＝lg |x|＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．
(2)由于函数f(x)是偶函数，则其图象关于y轴对称，将函数y＝lg x的图象对称到y轴的左侧与函数y＝lg x的图象合起来得函数f(x)的图象，如图所示．
(3)证明：设x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝lg |x1|－lg |x2|＝lg eq \f(|x1|,|x2|)＝lg eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(x1,x2))).因为x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2，
所以|x1|>|x2|＞0.所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(x1,x2)))＞1.所以lg eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(x1,x2)))＞0.所以f(x1)＞f(x2)．
所以函数f(x)在区间(－∞，0)上是减函数．
22．若不等式x2－lgmx<0在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))内恒成立，求实数m的取值范围．
[解析]由x2－lgmx<0，得x2
又0
0
图象
定义域
(0，＋∞)
值域
R
性质
定点
(1,0)，即x＝1时，y＝0
单调性
在(0，＋∞)上是减函数
在(0，＋∞)上是增函数
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