高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题38不同函数增长的差异(原卷版+解析)

这是一份高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题38不同函数增长的差异(原卷版+解析)，共20页。试卷主要包含了三种函数模型的性质，几种函数模型的增长差异，2万公顷、0，322，206 7，593 3等内容，欢迎下载使用。
2.几种函数模型的增长差异
(1)当a＞1时，指数函数y＝ax是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．
(2)当a＞1时，对数函数y＝lgax是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．
(3)当x＞0，n＞1时，幂函数y＝xn显然也是增函数，并且当x＞1时，n越大，其函数值的增长就越快．
(4)一般地，虽然指数函数y＝ax(a>1)与一次函数y＝kx(k>0)在区间[0，＋∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同，随着x的增大，指数函数y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，即使k的值远远大于a的值， y＝ax(a>1)的增长速度最终都会超过并远远大于y＝kx的增长速度．尽管在x的一定变化范围内， ax会小于kx，但由于指数函数y＝ax(a>1)的增长最终会快于一次函数y＝kx(k>0)的增长，因此，总会存在一个x0，当x>x0时，恒有ax>kx.
(5)一般地，虽然对数函数y＝lgax(a>1)与一次函数y＝kx(k>0)在区间(0，＋∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同．随着x的增大，一次函数y＝kx(k>0)保持固定的增长速度，而对数函数y＝lgax(a>1)的增长速度越来越慢．不论a的值比k的值大多少，在一定范围内， lgax可能会大于kx，但由于lgax的增长慢于kx的增长，因此总会存在一个x0，当x>x0时，恒有lgax1时，有下列结论：
①指数函数y＝ax，当a越大时，其函数值的增长越快；
②指数函数y＝ax，当a越小时，其函数值的增长越快；
③对数函数y＝lgax，当a越大时，其函数值的增长越快；
④对数函数y＝lgax，当a越小时，其函数值的增长越快．
其中正确的结论是( )
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
4．下面对函数f(x)＝lgeq \f(1,2)x，g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x与h(x)＝－2x在区间(0，＋∞)上的递减情况说法正确的是( )
A．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越慢
B．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越快
C．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度不变
D．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越快
5．函数y＝x2与函数y＝xln x在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________ .
6．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：
关于x呈指数函数变化的变量是________．
7．以固定的速度向如图所示的瓶子中注水，则水面的高度h和时间t之间的关系是( )

8．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )
9．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象，A对应________；B对应________；C对应________；D对应________．
题型二 指数函数、对数函数、幂函数、一次函数模型的比较
1．y1＝2x，y2＝x2，y3＝lg2x，当2y3 B．y2>y1>y3
C．y1>y3>y2 D．y2>y3>y1
2．下列各项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是___．
①y＝10×1.05x；②y＝20＋x1.5；③y＝30＋lg(x－1)；④y＝50.
3．当2lg2xB．x2>2x>lg2x
C．2x>lg2x>x2D．x2>lg2x>2x
4．某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是( )
A．y＝0.2x B．y＝eq \f(1,10)(x2＋2x)
C．y＝eq \f(2x,10) D．y＝0.2＋lg16x
5．四人赛跑，假设他们跑过的路程fi(x)(其中i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝lg2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )
A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝4x
C．f3(x)＝lg2x D．f4(x)＝2x
6．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为( )
A B C D
7．某地为加强环境保护，决定使每年的绿地面积比上一年增长10%，那么从今年起，x年后绿地面积是今年的y倍，则函数y＝f(x)的大致图象是( )
8．某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．
以下四种说法：
①前三年产量增长的速度越来越快；
②前三年产量增长的速度越来越慢；
③第三年后这种产品停止生产；
④第三年后产量保持不变．
其中说法正确的序号是________．
9．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品的产量为________万件．
10．画出函数f(x)＝eq \r(x)与函数g(x)＝eq \f(1,4)x2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系．
11．函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x11)
y＝lgax(a>1)
y＝kx(k>0)
在(0，＋∞)上的增减性
增函数
增函数
增函数
图象的变化趋势
随x增大逐渐近似与y轴平行
随x增大逐渐近似与x轴平行
保持固定增长速度
增长速度
①y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝kx(k>0)的增长速度，y＝lgax(a>1)的增长速度越来越慢；
②存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>lgax
x
1
5
10
15
20
25
30
y1
2
26
101
226
401
626
901
y2
2
32
1 024
37 768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
年份
2016
2017
2018
2019
x(年份代码)
0
1
2
3
生产总值y(万亿元)
8.206 7
8.944 2
9.593 3
10.239 8
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
－1.01
0.01
0.98
2.00
t(年)
1
2
3
4
5
6
h(米)
0.6
1
1.3
1.5
1.6
1.7
上市时间t
50
110
250
种植成本Q
15.0
10.8
15.0
专题38 不同函数增长的差异
1.三种函数模型的性质
2.几种函数模型的增长差异
(1)当a＞1时，指数函数y＝ax是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．
(2)当a＞1时，对数函数y＝lgax是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．
(3)当x＞0，n＞1时，幂函数y＝xn显然也是增函数，并且当x＞1时，n越大，其函数值的增长就越快．
(4)一般地，虽然指数函数y＝ax(a>1)与一次函数y＝kx(k>0)在区间[0，＋∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同，随着x的增大，指数函数y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，即使k的值远远大于a的值， y＝ax(a>1)的增长速度最终都会超过并远远大于y＝kx的增长速度．尽管在x的一定变化范围内， ax会小于kx，但由于指数函数y＝ax(a>1)的增长最终会快于一次函数y＝kx(k>0)的增长，因此，总会存在一个x0，当x>x0时，恒有ax>kx.
(5)一般地，虽然对数函数y＝lgax(a>1)与一次函数y＝kx(k>0)在区间(0，＋∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同．随着x的增大，一次函数y＝kx(k>0)保持固定的增长速度，而对数函数y＝lgax(a>1)的增长速度越来越慢．不论a的值比k的值大多少，在一定范围内， lgax可能会大于kx，但由于lgax的增长慢于kx的增长，因此总会存在一个x0，当x>x0时，恒有lgax1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越快，应选A.
2．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( )
A．y＝1 B．y＝x
C．y＝3x D．y＝lg3x
[解析]结合函数y＝1，y＝x，y＝3x及y＝lg3x的图象可知(图略)，随着x的增大，增长速度最快的是y＝3x.
3．当a>1时，有下列结论：
①指数函数y＝ax，当a越大时，其函数值的增长越快；
②指数函数y＝ax，当a越小时，其函数值的增长越快；
③对数函数y＝lgax，当a越大时，其函数值的增长越快；
④对数函数y＝lgax，当a越小时，其函数值的增长越快．
其中正确的结论是( )
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
[解析]结合指数函数及对数函数的图象可知①④正确．故选B.
4．下面对函数f(x)＝lgeq \f(1,2)x，g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x与h(x)＝－2x在区间(0，＋∞)上的递减情况说法正确的是( )
A．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越慢
B．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越快
C．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度不变
D．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越快
[解析]观察函数f(x)＝lgeq \f(1,2)x，g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x与h(x)＝－2x在区间(0，＋∞)上的图象(如图)可知：函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢，同样，函数g(x)的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h(x)的图象递减速度不变．
5．函数y＝x2与函数y＝xln x在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________ .
[解析]当x变大时，x比ln x增长要快，∴x2要比xln x增长的要快．
6．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：
关于x呈指数函数变化的变量是________．
[解析]以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．故填y2.
7．以固定的速度向如图所示的瓶子中注水，则水面的高度h和时间t之间的关系是( )
[解析]水面的高度增长得越来越快，图象应为B．
8．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )
[解析]小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.故选C.
9．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象，A对应________；B对应________；C对应________；D对应________．
[解析] A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器快，与(3)对应，D容器慢，与(2)对应．
题型二 指数函数、对数函数、幂函数、一次函数模型的比较
1．y1＝2x，y2＝x2，y3＝lg2x，当2y3 B．y2>y1>y3
C．y1>y3>y2 D．y2>y3>y1
[解析]在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2,4)内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝lg2x，故y2>y1>y3.
2．下列各项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是___．
①y＝10×1.05x；②y＝20＋x1.5；③y＝30＋lg(x－1)；④y＝50.
[解析]结合三类函数的增长差异可知①的预期收益最大，故填①.
3．当2lg2xB．x2>2x>lg2x
C．2x>lg2x>x2D．x2>lg2x>2x
[解析]解法一：在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝lg2x，y＝x2，y＝2x，在区间(2,4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝lg2x的图象，所以x2>2x>lg2x.
解法二：比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法．可取x＝3，经检验易知选B.
4．某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是( )
A．y＝0.2x B．y＝eq \f(1,10)(x2＋2x)
C．y＝eq \f(2x,10) D．y＝0.2＋lg16x
[解析]用排除法，当x＝1时，排除B项；当x＝2时，排除D项；当x＝3时，排除A项．
5．四人赛跑，假设他们跑过的路程fi(x)(其中i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝lg2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )
A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝4x
C．f3(x)＝lg2x D．f4(x)＝2x
[解析]显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)＝2x，
故选D.
6．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为( )
A B C D
[解析]设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意可得ax＝a(1＋0.104)y，故y＝lg1.104x(x≥1)，所以函数y＝f(x)的图象大致为D中图象，故选D.
7．某地为加强环境保护，决定使每年的绿地面积比上一年增长10%，那么从今年起，x年后绿地面积是今年的y倍，则函数y＝f(x)的大致图象是( )
[解析]设今年绿地面积为m，则有my＝(1＋10%)xm，∴y＝1.1x，故选D．
8．某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．
以下四种说法：
①前三年产量增长的速度越来越快；
②前三年产量增长的速度越来越慢；
③第三年后这种产品停止生产；
④第三年后产量保持不变．
其中说法正确的序号是________．
[解析]由t∈[0,3]的图象联想到幂函数y＝xα(00)
在(0，＋∞)上的增减性
增函数
增函数
增函数
图象的变化趋势
随x增大逐渐近似与y轴平行
随x增大逐渐近似与x轴平行
保持固定增长速度
增长速度
①y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝kx(k>0)的增长速度，y＝lgax(a>1)的增长速度越来越慢；
②存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>lgax
x
1
5
10
15
20
25
30
y1
2
26
101
226
401
626
901
y2
2
32
1 024
37 768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
年份
2016
2017
2018
2019
x(年份代码)
0
1
2
3
生产总值y(万亿元)
8.206 7
8.944 2
9.593 3
10.239 8
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
－1.01
0.01
0.98
2.00
t(年)
1
2
3
4
5
6
h(米)
0.6
1
1.3
1.5
1.6
1.7
上市时间t
50
110
250
种植成本Q
15.0
10.8
15.0