高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题49诱导公式五和公式六(原卷版+解析)

这是一份高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题49诱导公式五和公式六(原卷版+解析)，共26页。试卷主要包含了公式五，公式六，化简等内容，欢迎下载使用。
(1)角eq \f(π,2)－α与角α的终边关于直线y＝x对称，如图所示．
(2)公式：sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝csα，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝sinα.
2．公式六
(1)公式五与公式六中角的联系eq \f(π,2)＋α＝π－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)).
(2)公式：sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝csα，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－sinα.
3．诱导公式一～六中的角可归纳为k·eq \f(π,2)±α的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”．
①“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的．
②“奇”“偶”是对诱导公式k·eq \f(π,2)±α中的整数k来讲的．
③“象限”指k·eq \f(π,2)±α中，将α看成锐角时，k·eq \f(π,2)±α所在的象限，根据“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号．
4．利用诱导公式五、六，结合诱导公式二，还可以推出如下公式：
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝－csα，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝－sinα，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))＝－csα，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))＝sinα.
题型一 利用诱导公式化简与求值
1．下列与sin θ的值相等的是( )
A．sin(π＋θ) B．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ)) C．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ)) D．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))
2．化简sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))＝________.
3．下列各式中，不正确的是( )
A．sin(180°－α)＝sinα B．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180°＋α,2)))＝sineq \f(α,2) C．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝－sinα D．tan(－α)＝－tanα
4．若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))0，则θ是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三角限角 D．第四象限角
5．化简sin(π＋α)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))cs(π＋α)＝________.
6．化简：eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)),csπ＋α)－eq \f(sin2π－αcs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)),sinπ－α).
7．化简：eq \f(sinθ－5πcs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)－θ))cs8π－θ,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(3π,2)))sin－θ－4π)＝( )
A．－sin θ B．sin θ C．cs θ D．－cs θ
8．化简：eq \f(sin2π＋αcsπ－αcs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,2)－α)),csπ－αsin3π－αsin－π＋αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋α)))＝________.
9．化简：eq \f(csα－π,sinπ－α)·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)).
10．eq \f(sin2π－α·cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋2α))csπ－α,tanα－3πsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,6)－2α)))等于( )
A．－csα B．csα C．sinα D．－sinα
11．化简：eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)),cs（π＋α）)＋eq \f(sin（π－α）cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)),sin（π＋α）).
12．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋α))＝eq \f(1,5)，那么csα＝
13．已知csθ＝－eq \f(3,5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,2)))＝________.
14．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋φ))＝eq \f(\r(3),2)，且|φ|＜eq \f(π,2)，则tan φ＝________.
15．如果cs(π＋A)＝－eq \f(1,2)，那么sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋A))＝
16．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－eq \f(3,5)，且α是第二象限角，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2)))的结果是
17．若cs(α＋π)＝－eq \f(2,3)，则sin(－α－eq \f(3π,2))＝
18．已知cs α＝eq \f(1,5)，且α为第四象限角，那么cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝________.
19．若sin(3π＋α)＝－eq \f(1,2)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,2)－α))等于
20．已知cs(π＋α)＝－eq \f(1,2)，α为第一象限角，求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))的值．
21．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3π,2)))，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝eq \f(\r(,3),2)，则tan(2018π－α)＝
22．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))的值为
23．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))等于
24．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝eq \f(1,2)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))的值为________．
25．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(3,5)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(2π,3)))的值为________．
26．若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(7π,12)))＝________.
27．已知α是第四象限角，且cs(5°＋α)＝eq \f(4,5)，则cs(α－85°)＝________.
28．已知sin 10°＝k，则cs 620°的值为( )
A．k B．－k
C．±k D．不确定
29．已知csα＝eq \f(1,3)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))tan(π－α)＝________.
30．已知cs 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是( )
A.eq \f(1－m2,m) B.eq \r(1－m2) C．－eq \f(1－m2,m) D．－eq \r(1－m2)
31．若sin(180°＋α)＋cs(90°＋α)＝－a，则cs(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是
32．化简eq \f(sin400°sin－230°,cs850°tan－50°)的结果为________．
33．若f(cs x)＝cs 2x，则f(sin 15°)的值为
34．已知f(sin x)＝cs 3x，则f(cs 10°)的值为
35．若f(sinx)＝3－cs2x，则f(csx)＝( )
A．3－cs2x B．3－sin2x C．3＋cs2x D．3＋sin2x
36．计算sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝
37．在△ABC中，eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－A))＝3sin(π－A)，且csA＝－eq \r(3)cs(π－B)，则C＝________.
题型二 利用诱导公式证明恒等式
1．求证：eq \f(tan2π－αcs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))cs6π－α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2)))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2))))＝－tanα.
2．求证：eq \f(csπ－θ,csθ\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－θ))－1)))＋eq \f(cs2π－θ,csπ＋θsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋θ)))＝eq \f(2,sin2θ).
3．求证：eq \f(sin θ＋cs θ,sin θ－cs θ)＝eq \f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(3π,2)))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,2)))－1,1－2sin2π＋θ).
4．求证：eq \f(cs6π＋θsin－2π－θtan2π－θ,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋θ))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋θ)))＝－tan θ.
5．求证：eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋x)),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5π,2)))tan6π－x)＝－1.
6．求证：eq \f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(3π,2)))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,2)))－1,1－2sin2θ)＝eq \f(tan9π＋θ＋1,tanπ＋θ－1).
题型三 诱导公式的综合应用
1．已知锐角α终边上一点P的坐标是(2sin 2，－2cs 2)，则α等于________．
2．已知f(α)＝eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α)),cs－π－αtanπ－α)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(25,3)π))的值为________．
3．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(1,3)，求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6)π＋α))·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－α))的值．
4．已知cs(15°＋α)＝eq \f(3,5)，α为锐角，求eq \f(tan435°－α＋sinα－165°,cs195°＋α·sin105°＋α)的值．
5．已知角α的终边经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，－\f(3,5))).
(1)求sin α的值；(2)求eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))tanα－π,sinα＋πcs3π－α)的值．
6．已知tanθ＝2，求eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))－csπ－θ,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))－sinπ－θ)的值．
7．已知tan(3π＋α)＝2，则eq \f(sinα－3π＋csπ－α＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))－2cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)),－sin－α＋csπ＋α)＝________.
8．已知eq \f(sin θ＋cs θ,sin θ－cs θ)＝2，则sin(θ－5π)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π－θ))＝________.
9．已知csα＝－eq \f(4,5)，且α为第三象限角．求f(α)＝eq \f(tanπ－α·sinπ－α·sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)),csπ＋α)的值．
10．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))，则eq \f(sin（π－α）＋cs（π＋α）,5cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)－α))＋3sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,2)－α)))＝________．
11．已知sin(α－3π)＝2cs(α－4π)，求eq \f(sin（π－α）＋5cs（2π－α）,2sin（\f(3π,2)－α）－sin（－α）)的值．
12．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3x－y＝0上，
则eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋θ))＋2csπ－θ,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))－sinπ－θ)＝________.
13．已知cs(75°＋α)＝eq \f(1,3)，则sin(α－15°)＋cs(105°－α)的值是
14．已知α，β∈(0，eq \f(π,2))，且α，β的终边关于直线y＝x对称，若sin α＝eq \f(3,5)，则sin β＝
15．已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P(a，eq \f(3,5))，求eq \f(sin（\f(π,2)＋α）＋2sin（\f(π,2)－α）,2cs（\f(3π,2)－α）)的值．
16．已知f(α)＝eq \f(tanπ－αcs2π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)),cs－α－π).
(1)化简f(α)；
(2)若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝－eq \f(3,5)，且α是第二象限角，求tan α.
17．已知f(α)＝eq \f(sinπ－αcs2π－αcs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α＋\f(3π,2))),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))sin－π－α).
(1)化简f(α)；
(2)若α为第三象限角，且cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2)))＝eq \f(1,5)，求f(α)的值；
(3)若α＝－eq \f(31π,3)，求f(α)的值．
18．已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α－\f(3,2)π))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π－α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))·tan2(π－α)的值．
19．若sinα＝eq \f(\r(5),5)，求eq \f(cs3π－α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,2)＋α))－1)))＋eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)－α)),cs3π＋αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋α))－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,2)＋α)))的值．
20．在△ABC中，sineq \f(A＋B－C,2)＝sineq \f(A－B＋C,2)，试判断△ABC的形状．
21．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)－α))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5π,2)－α))＝eq \f(60,169)，且eq \f(π,4)＜α＜eq \f(π,2)，求sin α与cs α的值．
22．已知sin(π－α)－cs(π＋α)＝eq \f(\r(,2),3)(eq \f(π,2)