高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题50正弦函数、余弦函数的图象(原卷版+解析)

这是一份高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题50正弦函数、余弦函数的图象(原卷版+解析)，共24页。试卷主要包含了正弦曲线，正弦函数图象的画法，余弦曲线，余弦函数图象的画法，用“五点法”作出下列函数的简图，用“五点法”作下列函数的简图等内容，欢迎下载使用。

正弦函数y＝sinx，x∈R的图象叫正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线．
2．正弦函数图象的画法
(1)几何法
①利用正弦线画出y＝sinx，x∈[0,2π]的图象；
②将图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)．
(2)五点法：
①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)，用光滑的曲线连接；
②将所得图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)．
3．余弦曲线
余弦函数y＝csx，x∈R的图象叫余弦曲线．它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线．
4．余弦函数图象的画法
(1)要得到y＝cs x的图象，只需把y＝sin x的图象向左平移eq \f(π,2)个单位长度即可．
(2)用“五点法”画余弦曲线y＝cs x在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，
(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)，再用光滑的曲线连接．
题型一 用“五点法”作三角函数的图象
1．用“五点法”作函数y＝2sin x－1的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是( )
A．0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3π,2)，2π B．0，eq \f(π,4)，eq \f(π,2)，eq \f(3π,4)，π
C．0，π，2π，3π，4π D．0，eq \f(π,6)，eq \f(π,3)，eq \f(π,2)，eq \f(2π,3)
2．用“五点法”作函数y＝1－cs x，x∈[0,2π]的图象时，应取的五个关键点分别是______________．
3．用“五点法”作y＝2sin2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是( )
A．0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3,2)π，2π B．0，eq \f(π,4)，eq \f(π,2)，eq \f(3,4)π，π
C．0，π，2π，3π，4π D．0，eq \f(π,6)，eq \f(π,3)，eq \f(π,2)，eq \f(2π,3)
4．函数y＝－sinx，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(3π,2)))的简图是( )
5．用“五点法”作出下列函数的简图．
(1)y＝1－sin x(0≤x≤2π)；(2)y＝－1＋cs x(0≤x≤2π)．
6．用“五点法”作出下列函数的简图．
(1)y＝sinx－1，x∈[0,2π]；(2)y＝2＋csx，x∈[0,2π]．
7．利用“五点法”作出下列函数的简图：
(1)y＝1＋2sinx，x∈[0,2π]；(2)y＝1－csx，x∈[0,2π]．
8．用“五点法”画出函数y＝eq \f(1,2)＋sin x，x∈[0,2π]的图象．
9．用“五点法”画出y＝－2cs x＋3(0≤x≤2π)的简图．
10．用“五点法”作下列函数的简图．
(1)y＝2sin x(x∈[0,2π])；(2)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(5π,2))))).
11．用“五点法”作出函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(11π,6)))的图象．
12．分别作出下列函数的图象．
(1)y＝|sin x|，x∈R；(2)y＝sin|x|，x∈R.
13．作出函数y＝－sin|x|的图象．
14．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(cs x（－π≤x<0）,sin x（0≤x≤π）)).
(1)作出该函数的图象；(2)若f(x)＝eq \f(1,2)，求x的值．
题型二 正弦(余弦)函数图象的应用
1．利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合．
(1)sinx≥eq \f(1,2)；(2)csx≤eq \f(1,2).
2．求下列函数的定义域．
(1)y＝lg(－csx)；(2)y＝eq \r(2sinx－\r(2)).
3．函数y＝lg(eq \r(2)－2cs x)的定义域是________．
4．在[0,2π]内，不等式sinx<－eq \f(\r(3),2)的解集是( )
A．(0，π) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(4π,3))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)，\f(5π,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)，2π))
5．使不等式eq \r(2)－2sinx≥0成立的x的取值集合是( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,4)≤x≤2kπ＋\f(3π,4)，k∈Z)))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,4)≤x≤2kπ＋\f(7π,4)，k∈Z))))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(5π,4)≤x≤2kπ＋\f(π,4)，k∈Z)))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(5π,4)≤x≤2kπ＋\f(7π,4)，k∈Z))))
6．在(0,2π)内，使sin x>cs x成立的x的取值范围是______．
7．利用正弦曲线，求满足eq \f(1,2)8．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x，x≥0，,x＋2，x＜0，))则不等式f(x)＞eq \f(1,2)的解集是________．
9．不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x＜0，,\f(π,2)≤x≤5))的解集是________．
10．求函数y＝ eq \r(sinx－\f(1,2))＋eq \r(csx)的定义域．
11．已知f(x)是定义在(0,3)上的函数，图象如图所示，则不等式f(x)·cs x＜0的解集是( )
A．(0,1) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，3)) C．(0,1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，3)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))
12．函数y＝eq \r(2cs 2x＋1)的定义域是( )
A.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(2kπ≤x≤2kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))) B.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(kπ≤x≤kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))
C.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(2kπ≤x≤kπ＋\f(π,3)，k∈Z)))) D.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,3)≤x≤kπ＋\f(π,3)，k∈Z))))
13．将余弦函数y＝cs x的图象向右至少平移m个单位，可以得到函数y＝－sin x的图象，则m＝
14．画出函数y＝1＋sinx，x∈[0,2π]的图象，并利用图象判断与直线y＝eq \f(3,2)的交点个数．
15．函数y＝cs x＋4，x∈[0,2π]的图象与直线y＝4的交点的坐标为________．
16．在同一坐标系中，作函数y＝sin x和y＝lg x的图象，根据图象判断出方程sin x＝lg x的解的个数．
17．方程sin x＝eq \f(x,10)的根的个数是( )
A．7 B．8 C．9 D．10
18．方程x＋sinx＝0的根有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．无数个
19．若方程sin x＝4m＋1在x∈[0，2π]上有解，则实数m的取值范围是________．
20．若方程sin x＝eq \f(1－a,2)在x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，π))上有两个实数解，求a的取值范围．
21．函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围．
22．方程|x|＝csx在(－∞，＋∞)内( )
A．没有根 B．有且仅有一个根
C．有且仅有两个根 D．有无穷多个根
23．函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象与直线y＝－eq \f(1,2)的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝________.
24．用“五点法”作出函数y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：
(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间．
①y＞1；②y＜1.
(2)若直线y＝a与y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的图象有两个交点，求a的取值范围．
25．若函数y＝2cs x(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形(如图)，求这个封闭图形的面积．
题型三 正弦函数、余弦函数图象的认识
1．下列叙述正确的是( )
①y＝sin x，x∈[0,2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称；
②y＝cs x，x∈[0,2π]的图象关于直线x＝π成轴对称；
③正、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围．
A．0 B．1个 C．2个 D．3个
2．函数y＝sin|x|的图象是( )
3．对于余弦函数y＝csx的图象，有以下三项描述：
①向左向右无限延伸；
②与x轴有无数多个交点；
③与y＝sinx的图象形状一样，只是位置不同．
其中正确的有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
4．关于三角函数的图象，有下列说法：
①y＝sin x＋1.1的图象与x轴有无限多个公共点；
②y＝cs(－x)与y＝cs |x|的图象相同；
③y＝|sin x|与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称；
④y＝cs x与y＝cs(－x)的图象关于y轴对称．
其中正确的序号是________．
5．函数y＝cs x＋|cs x|，x∈[0,2π]的大致图象为( )

6．如图所示，函数y＝cs x·|tan x|0≤x＜eq \f(3π,2)且x≠eq \f(π,2)的图象是( )

7．已知f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))，g(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))，则f(x)的图象( )
A．与g(x)的图象相同 B．与g(x)的图象关于y轴对称
C．向左平移eq \f(π,2)个单位，得g(x)的图象 D．向右平移eq \f(π,2)个单位，得g(x)的图象
8．函数y＝ln csxeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)专题50 正弦函数、余弦函数的图象
1．正弦曲线
正弦函数y＝sinx，x∈R的图象叫正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线．
2．正弦函数图象的画法
(1)几何法
①利用正弦线画出y＝sinx，x∈[0,2π]的图象；
②将图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)．
(2)五点法：
①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)，用光滑的曲线连接；
②将所得图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)．
3．余弦曲线
余弦函数y＝csx，x∈R的图象叫余弦曲线．它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线．
4．余弦函数图象的画法
(1)要得到y＝cs x的图象，只需把y＝sin x的图象向左平移eq \f(π,2)个单位长度即可．
(2)用“五点法”画余弦曲线y＝cs x在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，
(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)，再用光滑的曲线连接．
题型一 用“五点法”作三角函数的图象
1．用“五点法”作函数y＝2sin x－1的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是( )
A．0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3π,2)，2π B．0，eq \f(π,4)，eq \f(π,2)，eq \f(3π,4)，π
C．0，π，2π，3π，4π D．0，eq \f(π,6)，eq \f(π,3)，eq \f(π,2)，eq \f(2π,3)
[解析]依据“五点法”作图规则可知选A.
2．用“五点法”作函数y＝1－cs x，x∈[0,2π]的图象时，应取的五个关键点分别是______________．
[解析]x依次取0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3π,2)，2π得五个关键点(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，2)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，1))，(2π，0)．
3．用“五点法”作y＝2sin2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是( )
A．0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3,2)π，2π B．0，eq \f(π,4)，eq \f(π,2)，eq \f(3,4)π，π
C．0，π，2π，3π，4π D．0，eq \f(π,6)，eq \f(π,3)，eq \f(π,2)，eq \f(2π,3)
[解析]由五点作图法，令2x＝0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3,2)π，2π，解得x＝0，eq \f(π,4)，eq \f(π,2)，eq \f(3,4)π，π.
4．函数y＝－sinx，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(3π,2)))的简图是( )
[解析]将x＝－eq \f(π,2)代入y＝－sinx中，得y＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)))＝sineq \f(π,2)＝1.故排除A、B、C，故选D.
5．用“五点法”作出下列函数的简图．
(1)y＝1－sin x(0≤x≤2π)；(2)y＝－1＋cs x(0≤x≤2π)．
[解析] (1)①取值列表如下：
②描点连线，如图所示.
(2)①取值列表如下：
②描点连线，如图所示．
6．用“五点法”作出下列函数的简图．
(1)y＝sinx－1，x∈[0,2π]；(2)y＝2＋csx，x∈[0,2π]．
[解析] (1)列表：
描点连线，如图所示．
(2)列表：
描点连线，如图所示．
7．利用“五点法”作出下列函数的简图：
(1)y＝1＋2sinx，x∈[0,2π]；(2)y＝1－csx，x∈[0,2π]．
[解析] (1)列表：
在直角坐标系中描出五点(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，3))，(π，1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)， －1))，(2π，1)，然后用光滑曲线顺次连接起来，就得到y＝1＋2sinx，x∈[0,2π]的图象．如图．
(2)列表：
在直角坐标系中，描出五点(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，2)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，1))，(2π，0)，然后并用光滑的曲线连接起来，就得到y＝1－csx，x∈[0,2π]的图象．如图．
8．用“五点法”画出函数y＝eq \f(1,2)＋sin x，x∈[0,2π]的图象．
[解析]取值列表如下：
描点，并将它们用光滑的曲线连接起来．(如图)
9．用“五点法”画出y＝－2cs x＋3(0≤x≤2π)的简图．
[解析]列表：
描点、连线得出函数y＝－2cs x＋3(0≤x≤2π)的图象：
10．用“五点法”作下列函数的简图．
(1)y＝2sin x(x∈[0,2π])；(2)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(5π,2))))).
[解析] (1)列表如下：
描点连线如图：
(2)列表如下：
描点连线如图：
11．用“五点法”作出函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(11π,6)))的图象．
[解析]找出五个关键点，列表如下：
描点并将它们用光滑的曲线连接起来．
12．分别作出下列函数的图象．
(1)y＝|sin x|，x∈R；(2)y＝sin|x|，x∈R.
[解析] (1)y＝|sin x|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin x，2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z，,－sin x，2kπ＋π(2)y＝sin|x|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin x，x≥0，,－sin x，x<0，))其图象如图所示．
13．作出函数y＝－sin|x|的图象．
[解析] y＝－sin|x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－sinxx≥0，,sinxx<0.))
其图象如图所示：
14．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(cs x（－π≤x<0）,sin x（0≤x≤π）)).
(1)作出该函数的图象；(2)若f(x)＝eq \f(1,2)，求x的值．
[解析] (1)作出函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(cs x（－π≤x<0）,sin x（0≤x≤π）))的图象，如图①所示．
(2)因为f(x)＝eq \f(1,2)，所以在图①基础上再作直线y＝eq \f(1,2)，如图②所示，
则当－π≤x<0时，由图象知x＝－eq \f(π,3)，当0≤x≤π时，x＝eq \f(π,6)或x＝eq \f(5π,6).综上，可知x的值为－eq \f(π,3)或eq \f(π,6)或eq \f(5π,6).
题型二 正弦(余弦)函数图象的应用
1．利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合．
(1)sinx≥eq \f(1,2)；(2)csx≤eq \f(1,2).
[解析] (1)作出正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象，
如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋2kπ，\f(5π,6)＋2kπ))，k∈Z.
(2)作出余弦函数y＝csx，x∈[0,2π]的图象，如图所示，
由图象可以得到满足条件的x的集合为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋2kπ，\f(5π,3)＋2kπ))，k∈Z.
2．求下列函数的定义域．
(1)y＝lg(－csx)；(2)y＝eq \r(2sinx－\r(2)).
[解析] (1)为使函数有意义，则需要满足－csx>0，即csx<0.
由余弦函数图象可知满足条件的x为eq \f(π,2)＋2kπeq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2kπ(2)为使函数有意义，则需要满足2sinx－eq \r(2)≥0，即sinx≥eq \f(\r(2),2).
由正弦函数图象可知满足条件的x为eq \f(π,4)＋2kπ≤x≤eq \f(3π,4)＋2kπ，k∈Z.
所以原函数定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋2kπ≤x≤\f(3π,4)＋2kπ，k∈Z)))).
3．函数y＝lg(eq \r(2)－2cs x)的定义域是________．
[解析]由eq \r(2)－2cs x＞0得cs x＜eq \f(\r(2),2)，作出y＝cs x的图象和直线y＝eq \f(\r(2),2)，
由图象可知cs x＜eq \f(\r(2),2)的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋2kπ＜x＜\f(7π,4)＋2kπ，k∈Z)))).
4．在[0,2π]内，不等式sinx<－eq \f(\r(3),2)的解集是( )
A．(0，π) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(4π,3))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)，\f(5π,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)，2π))
[解析]画出y＝sinx，x∈[0,2π]的图象如下：
因为sineq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2)，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,3)))＝－eq \f(\r(3),2)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π－\f(π,3)))＝－eq \f(\r(3),2).
即在[0,2π]内，满足sinx＝－eq \f(\r(3),2)的是x＝eq \f(4π,3)或x＝eq \f(5π,3).
由图可知不等式sinx<－eq \f(\r(3),2)的解集是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)，\f(5π,3))).
5．使不等式eq \r(2)－2sinx≥0成立的x的取值集合是( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,4)≤x≤2kπ＋\f(3π,4)，k∈Z)))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,4)≤x≤2kπ＋\f(7π,4)，k∈Z))))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(5π,4)≤x≤2kπ＋\f(π,4)，k∈Z)))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(5π,4)≤x≤2kπ＋\f(7π,4)，k∈Z))))
[解析]∵eq \r(2)－2sinx≥0，∴sinx≤eq \f(\r(2),2)，作出y＝sinx在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3π,2)，\f(π,2)))内的图象，
如图所示，则满足条件的x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5π,4)，\f(π,4))).∴使不等式成立的x的取值范围为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(5π,4)≤x≤2kπ＋\f(π,4)，k∈Z)))).
6．在(0,2π)内，使sin x>cs x成立的x的取值范围是______．
[解析]在同一坐标系中画出y＝sin x，x∈(0,2π)与y＝csx，x∈(0,2π)的图象如图所示，
由图象可观察出当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(5π,4)))时，sin x>cs x．
7．利用正弦曲线，求满足eq \f(1,2)[解析]首先作出y＝sinx在[0,2π]上的图象．如图所示，
作直线y＝eq \f(1,2)，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sinx，x∈[0,2π]的交点横坐标为eq \f(π,6)和eq \f(5π,6)；
作直线y＝eq \f(\r(3),2)，该直线与y＝sinx，x∈[0,2π]的交点横坐标为eq \f(π,3)和eq \f(2π,3).观察图象可知，在[0,2π]上，
当eq \f(π,6)所以eq \f(1,2)8．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x，x≥0，,x＋2，x＜0，))则不等式f(x)＞eq \f(1,2)的解集是________．
[解析]在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和y＝eq \f(1,2)图象(略)，
由图易得：－eq \f(3,2)＜x＜0或eq \f(π,6)＋2kπ＜x＜eq \f(5π,6)＋2kπ，k∈N.
9．不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x＜0，,\f(π,2)≤x≤5))的解集是________．
[解析]当eq \f(π,2)≤x≤π时0≤sin x≤1，当π＜x≤5时sin x＜0，所以原不等式的解集为(π，5]．
10．求函数y＝ eq \r(sinx－\f(1,2))＋eq \r(csx)的定义域．
[解析]由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sinx－\f(1,2)≥0，,csx≥0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sinx≥\f(1,2)，,2kπ－\f(π,2)≤x≤2kπ＋\f(π,2)，k∈Z.))
所以2kπ＋eq \f(π,6)≤x≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，即函数y＝eq \r(sinx－\f(1,2))＋eq \r(csx)的定义域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,6)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)．
11．已知f(x)是定义在(0,3)上的函数，图象如图所示，则不等式f(x)·cs x＜0的解集是( )
A．(0,1) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，3)) C．(0,1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，3)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))
[解析]当0＜x＜1时，f(x)＜0，而此时cs x＞0，满足f(x)·cs x＜0；
当1＜x＜3时，f(x)＞0，由cs x＜0(x∈(0,3))，解得eq \f(π,2)＜x＜3，故x∈(0,1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，3)).
12．函数y＝eq \r(2cs 2x＋1)的定义域是( )
A.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(2kπ≤x≤2kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))) B.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(kπ≤x≤kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))
C.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(2kπ≤x≤kπ＋\f(π,3)，k∈Z)))) D.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,3)≤x≤kπ＋\f(π,3)，k∈Z))))
[解析]依题意得2cs 2x＋1≥0，即cs 2x≥－eq \f(1,2).
作出y＝cs x的图象如图所示．
由图象得2kπ－eq \f(2π,3)≤2x≤2kπ＋eq \f(2π,3)(k∈Z)，解得kπ－eq \f(π,3)≤x≤kπ＋eq \f(π,3)(k∈Z)，故选D.
13．将余弦函数y＝cs x的图象向右至少平移m个单位，可以得到函数y＝－sin x的图象，则m＝
[解析]根据诱导公式得，y＝－sin x＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－x))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3π,2)))，故欲得到y＝－sin x的图象，
需将y＝cs x的图象向右至少平移eq \f(3π,2)个单位长度．
14．画出函数y＝1＋sinx，x∈[0,2π]的图象，并利用图象判断与直线y＝eq \f(3,2)的交点个数．
[解析]在同一坐标系内画出y＝1＋sinx和y＝eq \f(3,2)的图象(如图所示)，观察可得交点的个数为2.
15．函数y＝cs x＋4，x∈[0,2π]的图象与直线y＝4的交点的坐标为________．
[解析]由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝cs x＋4，,y＝4))得cs x＝0，当x∈[0,2π]时，x＝eq \f(π,2)或eq \f(3π,2)，∴交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，4))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，4)).]
16．在同一坐标系中，作函数y＝sin x和y＝lg x的图象，根据图象判断出方程sin x＝lg x的解的个数．
[解析]建立平面直角坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sin x，x∈R的图象．
描出点(1,0)，(10,1)，并用光滑曲线连接得到y＝lg x的图象，如图所示．
由图象可知方程sin x＝lg x的解有3个．
17．方程sin x＝eq \f(x,10)的根的个数是( )
A．7 B．8 C．9 D．10
[解析]在同一坐标系内画出y＝eq \f(x,10)和y＝sin x的图象如图所示：
根据图象可知方程有7个根．
18．方程x＋sinx＝0的根有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．无数个
[解析] 设f(x)＝－x，g(x)＝sinx，在同一直角坐标系中画出f(x)和g(x)的图象，
如图所示．由图知f(x)和g(x)的图象仅有一个交点，则方程x＋sinx＝0仅有一个根．
19．若方程sin x＝4m＋1在x∈[0，2π]上有解，则实数m的取值范围是________．
[解析]由正弦函数的图象，知当x∈[0，2π]时，sin x∈[－1，1]，要使得方程sin x＝4m＋1在x∈[0，2π]上有解，则－1≤4m＋1≤1，故－eq \f(1,2)≤m≤0.
20．若方程sin x＝eq \f(1－a,2)在x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，π))上有两个实数解，求a的取值范围．
[解析]设h(x)＝sin x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，π))，g(x)＝eq \f(1－a,2).
作出h(x)＝sin x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，π))的图象如图所示．
由图可知，当eq \f(\r(3),2)≤eq \f(1－a,2)＜1，即－1＜a≤1－eq \r(3)时，h(x)＝sin x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，π))的图象与g(x)＝eq \f(1－a,2)的图象有两个交点，即方程sin x＝eq \f(1－a,2)在x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，π))上有两个实数解，
所以a的取值范围是(－1,1－eq \r(3) ]．
21．函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围．
[解析]f(x)＝sin x＋2|sin x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3sin x，x∈[0，π]，,－sin x，x∈π，2π].))图象如图所示，
若使f(x)的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，根据上图可得k的取值范围是(1,3).
22．方程|x|＝csx在(－∞，＋∞)内( )
A．没有根 B．有且仅有一个根
C．有且仅有两个根 D．有无穷多个根
[解析]求解方程|x|＝csx在(－∞，＋∞)内根的个数问题，
可转化为求解函数f(x)＝|x|和g(x)＝csx在(－∞，＋∞)内的交点个数问题．
f(x)＝|x|和g(x)＝csx的图象显然有两交点，即原方程有且仅有两个根．故选C.
23．函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象与直线y＝－eq \f(1,2)的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝________.
[解析] 解法一：y＝sinx，x∈[0,2π]的图象与直线y＝－eq \f(1,2)的交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,6)，－\f(1,2)))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11π,6)，－\f(1,2)))，
故x1＋x2＝eq \f(7π,6)＋eq \f(11π,6)＝eq \f(18π,6)＝3π.
解法二：∵A、B两点关于x＝eq \f(3π,2)对称，∴x1＋x2＝2×eq \f(3π,2)＝3π.
24．用“五点法”作出函数y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：
(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间．
①y＞1；②y＜1.
(2)若直线y＝a与y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的图象有两个交点，求a的取值范围．
[解析]列表如下：
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图：
(1)由图象可知，图象在直线y＝1上方部分时y＞1，在直线y＝1下方部分时y＜1，
所以①当x∈(－π，0)时，y＞1；②当x∈(0，π)时，y＜1.
(2)如图所示，当直线y＝a与y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的图象有两个交点时，1＜a＜3或－1＜a＜1，
所以a的取值范围是(－1,1)∪(1,3)．
25．若函数y＝2cs x(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形(如图)，求这个封闭图形的面积．
[解析] 观察图可知：图形S1与S2，S3与S4都是两个对称图形，有S1＝S2，S3＝S4.
因此函数y＝2cs x的图象与直线y＝2所围成的图形面积，可以等价转化为求矩形OABC的面积．
∵|OA|＝2，|OC|＝2π，∴S矩形OABC＝2×2π＝4π，∴所求封闭图形的面积为4π.
题型三 正弦函数、余弦函数图象的认识
1．下列叙述正确的是( )
①y＝sin x，x∈[0,2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称；
②y＝cs x，x∈[0,2π]的图象关于直线x＝π成轴对称；
③正、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围．
A．0 B．1个 C．2个 D．3个
[解析]分别画出函数y＝sin x，x∈[0,2π]和y＝cs x，x∈[0,2π]的图象，由图象(略)观察可知①②③均正确．
2．函数y＝sin|x|的图象是( )
[解析]y＝sin|x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x，x≥0，,－sin x，x＜0，))结合选项可知选B.
3．对于余弦函数y＝csx的图象，有以下三项描述：
①向左向右无限延伸；
②与x轴有无数多个交点；
③与y＝sinx的图象形状一样，只是位置不同．
其中正确的有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[解析] 如图所示为y＝csx的图象．
可知三项描述均正确．[答案] D
4．关于三角函数的图象，有下列说法：
①y＝sin x＋1.1的图象与x轴有无限多个公共点；
②y＝cs(－x)与y＝cs |x|的图象相同；
③y＝|sin x|与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称；
④y＝cs x与y＝cs(－x)的图象关于y轴对称．
其中正确的序号是________．
[解析]对②，y＝cs(－x)＝cs x，y＝cs |x|＝cs x，故其图象相同；
对④，y＝cs(－x)＝cs x，故其图象关于y轴对称；作图(略)可知①③均不正确．
5．函数y＝cs x＋|cs x|，x∈[0,2π]的大致图象为( )

[解析]由题意得y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2cs x，0≤x≤\f(π,2)或\f(3,2)π≤x≤2π，,0，\f(π,2)＜x＜\f(3,2)π.))显然只有D合适．
6．如图所示，函数y＝cs x·|tan x|0≤x＜eq \f(3π,2)且x≠eq \f(π,2)的图象是( )

[解析]当0≤x＜eq \f(π,2)时，y＝cs x·|tan x|＝sin x；
当eq \f(π,2)＜x≤π时，y＝cs x·|tan x|＝－sin x；
当π＜x＜eq \f(3π,2)时，y＝cs x·|tan x|＝sin x，故其图象为C.
7．已知f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))，g(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))，则f(x)的图象( )
A．与g(x)的图象相同 B．与g(x)的图象关于y轴对称
C．向左平移eq \f(π,2)个单位，得g(x)的图象 D．向右平移eq \f(π,2)个单位，得g(x)的图象
[解析]f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))，g(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))＝sin x，
f(x)图象向右平移eq \f(π,2)个单位得到g(x)图象．
8．函数y＝ln csxeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)[解析] 由余弦函数的图象，可知当－eq \f(π,2)0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
sin x
0
1
0
－1
0
1－sin x
1
0
1
2
1
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
cs x
1
0
－1
0
1
－1＋cs x
0
－1
－2
－1
0
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
sinx
0
1
0
－1
0
sinx－1
－1
0
－1
－2
－1
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
csx
1
0
－1
0
1
2＋csx
3
2
1
2
3
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
sinx
0
1
0
－1
0
1＋2sinx
1
3
1
－1
1
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
csx
1
0
－1
0
1
1－csx
0
1
2
1
0
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
sin x
0
1
0
－1
0
eq \f(1,2)＋sin x
eq \f(1,2)
eq \f(3,2)
eq \f(1,2)
－eq \f(1,2)
eq \f(1,2)
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
－2cs x
－2
0
2
0
－2
－2cs x＋3
1
3
5
3
1
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
2sin x
0
2
0
－2
0
x
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
eq \f(5π,2)
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))
0
1
0
－1
0
u＝x＋eq \f(π,6)
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
x
－eq \f(π,6)
eq \f(π,3)
eq \f(5π,6)
eq \f(4π,3)
eq \f(11π,6)
y＝csu
1
0
－1
0
1
x
－π
－eq \f(π,2)
0
eq \f(π,2)
π
sin x
0
－1
0
1
0
1－2sin x
1
3
1
－1
1