高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题58简单的三角恒等变换(原卷版+解析)

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(1)sineq \f(α,2)＝± eq \r(\f(1－cs α,2))，
(2)cseq \f(α,2)＝± eq \r(\f(1＋cs α,2))，
(3)taneq \f(α,2)＝± eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α))，
(4)taneq \f(α,2)＝eq \f(sin \f(α,2),cs\f(α,2))＝eq \f(sin\f(α,2)·2cs\f(α,2),cs\f(α,2)·2cs\f(α,2))＝eq \f(sin α,1＋cs α)，taneq \f(α,2)＝eq \f(sin\f(α,2),cs\f(α,2))＝eq \f(sin\f(α,2)·2sin\f(α,2),cs\f(α,2)·2sin\f(α,2))＝eq \f(1－cs α,sin α).
知识点二 积化和差与和差化积公式
(1)积化和差公式
sinαcsβ＝eq \f(1,2)[sin(α＋β)＋sin(α－β)]． csαsinβ＝eq \f(1,2)[sin(α＋β)－sin(α－β)]．
csαcsβ＝eq \f(1,2)[cs(α＋β)＋cs(α－β)]． sinαsinβ＝－eq \f(1,2)[cs(α＋β)－cs(α－β)]．
(2)和差化积公式
sinα＋sinβ＝2sineq \f(α＋β,2)cseq \f(α－β,2). sinα－sinβ＝2cseq \f(α＋β,2)sineq \f(α－β,2).
csα＋csβ＝2cseq \f(α＋β,2)cseq \f(α－β,2). csα－csβ＝－2sineq \f(α＋β,2)sineq \f(α－β,2).
知识点三 辅助角公式
辅助角公式：asinx＋bcsx＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(tanφ＝\f(b,a))).
推导过程：asinx＋bcsx＝eq \r(a2＋b2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,\r(a2＋b2))sinx＋\f(b,\r(a2＋b2))csx)).
令csφ＝eq \f(a,\r(a2＋b2))，sinφ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，
则asinx＋bcsx＝eq \r(a2＋b2)(sinxcsφ＋csxsinφ)＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)，
其中角φ所在象限由a，b的符号确定，
角φ的值由tanφ＝eq \f(b,a)确定或由sinφ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))和csφ＝eq \f(a,\r(a2＋b2))共同确定．
题型一 求值问题
类型一 应用半角公式求值
1．已知taneq \f(θ,2)＝3，则csθ等于
2．已知sinα＝－eq \f(4,5)，π