高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题60函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换(原卷版+解析)

这是一份高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题60函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换(原卷版+解析)，共24页。试卷主要包含了ω对y＝sin的图象的影响，A对y＝Asin的图象的影响，对于函数y＝Asin等内容，欢迎下载使用。

2．ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响
3．A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
4．对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)：
(1)A越大，函数的最大值越大，最大值与A是正比例关系．
(2)ω越大，函数的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系．
(3)φ大于0时，函数y＝Asinωx的图象向左平移eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(φ,ω)))个单位长度得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，φ小于0时，函数y＝Asinωx的图象向右平移eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(φ,ω)))个单位长度得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，即“加左减右”．
5．由函数y＝sinx的图象通过变换得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤
6．由y＝sin x的图象，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象，
其变化途径有两条：
(1)y＝sin xeq \(――――→,\s\up15(相位变换))y＝sin(x＋φ)eq \(――――→,\s\up15(周期变换))y＝sin(ωx＋φ)eq \(――――→,\s\up15(振幅变换))y＝Asin(ωx＋φ)．
(2)y＝sin xeq \(――――→,\s\up15(周期变换))y＝sin ωxeq \(――――→,\s\up15(相位变换))y＝sineq \b\lc\[\rc\](ω\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋eq \f(φ,ω)))))＝sin(ωx＋φ)eq \(――――→,\s\up15(振幅变换))y＝Asin(ωx＋φ)．
题型一 用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
1．用“五点法”画函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))(ω>0)在一个周期内的简图时，五个关键点是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，0))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，2))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，0))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,12)π，－2))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，0))，则ω＝________.
2．用“五点法”作出函数y＝eq \f(3,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x－\f(π,3)))的简图．
3．已知f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,3))).
(1)在给定的坐标系内，用“五点法”作出函数f(x)在一个周期内的图象；
(2)写出f(x)的单调递增区间；
(3)求f(x)的最大值和此时相应的x的值．
4．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，π))上的简图是( )
5．函数y＝2sin πx－eq \f(1,1－x)(－2≤x≤4)的所有零点之和为________．
题型二 三角函数图象之间的变换
1．已知函数y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋eq \f(5,4)，该函数的图象可由y＝sinx，x∈R的图象经过怎样的变换得到？
2．将y＝sin x的图象怎样变换可得到函数y＝2sin(2x＋eq \f(π,4))＋1的图象？
3．有下列四种变换方式：
①向左平移eq \f(π,4)个单位长度，再将横坐标变为原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)；
②横坐标变为原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)，再向左平移eq \f(π,8)个单位长度；
③横坐标变为原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)，再向左平移eq \f(π,4)个单位长度；
④向左平移eq \f(π,8)个单位长度，再将横坐标变为原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)．
其中能将正弦函数 y＝sin x 的图象变为 y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的图象的是( )
A．①和② B．①和③
C．②和③ D．②和④
4．把函数y＝sin x的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度后所得图象的解析式为( )
A．y＝sin x－eq \f(π,3) B．y＝sin x＋eq \f(π,3)
C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3))) D．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))
5．将函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))向左平移eq \f(π,6)个单位，可得到函数图象是( )
A．y＝sin2x B．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))
C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))) D．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))
6．将函数y＝sin2x的图象向左平移eq \f(π,4)个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )
A．y＝cs2x B．y＝1＋cs2x
C．y＝1＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4))) D．y＝cs2x－1
7．函数y＝cs x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cs ωx，则ω的值为________．
8．把函数y＝sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平行移动eq \f(π,3)个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( )
A．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，x∈R B．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,6)))，x∈R
C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，x∈R D．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)))，x∈R
9．将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平移eq \f(π,10)个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )
A．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,10))) B．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,5)))
C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,10))) D．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,20)))
10．把函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))的图象向左平移eq \f(π,8)个单位长度，所得到的图象对应的函数是( )
A．奇函数 B.偶函数 C．既是奇函数也是偶函数 D.非奇非偶函数
11．将函数y＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得图象的解析式为________．
12．由y＝3sin x的图象变换到y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))的图象主要有两个过程：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移________个单位，后者需向左平移________个单位．
13．将函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,4)))的图象向右平移eq \f(π,8)个单位长度，再将图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍(纵坐标不变)，则所得的函数解析式是________．
14．把函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)所得图象的函数解析式为y＝sinx，则( )
A．ω＝2，φ＝eq \f(π,6) B．ω＝2，φ＝－eq \f(π,3)
C．ω＝eq \f(1,2)，φ＝eq \f(π,6) D．ω＝eq \f(1,2)，φ＝－eq \f(π,3)
15．要得到函数y＝sineq \f(1,2)x的图象，只需将函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,4)))的图象向右平移________个单位．
16．要得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x－\f(π,3)))的图象，只需将函数y＝sin4x的图象( )
A．向左平移eq \f(π,12)个单位 B．向右平移eq \f(π,12)个单位
C．向左平移eq \f(π,3)个单位 D．向右平移eq \f(π,3)个单位
17．要得到y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))的图象，只要将y＝sin 2x的图象( )
A．向左平移eq \f(π,8)个单位B．向右平移eq \f(π,8)个单位
C．向左平移eq \f(π,4)个单位D．向右平移eq \f(π,4)个单位
18．为了得到函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,3)＋\f(π,6)))，x∈R的图象，只需把函数y＝2sinx，x∈R的图象上所有的点( )
A．向左平移eq \f(π,6)个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,3)(纵坐标不变)
B．向右平移eq \f(π,6)个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,3)(纵坐标不变)
C．向左平移eq \f(π,6)个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)
D．向右平移eq \f(π,6)个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)
19．为了得到函数y＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,6)))，x∈R的图象，只需将函数y＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))，x∈R的图象上的所有点( )
A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，横坐标不变
20．把函数y＝f(x)的图象上各点向右平移eq \f(π,6)个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的eq \f(2,3)倍，所得图象的解析式是y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))，则f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝3cs x B．f(x)＝3sin x
C．f(x)＝3cs x＋3 D．f(x)＝sin 3x
21．为了得到y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,5)))(x∈R)的图象，只需把函数y＝3sin(x＋eq \f(π,5))(x∈R)的图象上所有的点的( )
A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，横坐标不变
22．要得到函数 y＝3sin 2x 的图象，可将函数 y＝3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))的图象( )
A．沿 x 轴向左平移eq \f(π,8)个单位长度 B．沿 x 轴向右平移eq \f(π,8)个单位长度
C．沿 x 轴向左平移eq \f(π,4)个单位长度 D．沿 x 轴向右平移eq \f(π,4)个单位长度
23．把函数 y＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,4)))的图象适当变换就可以得到 y＝sin(－3x)的图象，这种变换可以是( )
A．向右平移eq \f(π,4)个单位长度 B．向左平移eq \f(π,4)个单位长度
C．向右平移eq \f(π,12)个单位长度 D．向左平移eq \f(π,12)个单位长度
24．已知函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,6)))(ω＞0)的相邻两个零点的距离为eq \f(π,2)，要得到y＝f(x)的图象，只需把y＝cs ωx的图象( )
A．向右平移eq \f(π,12)个单位B．向左平移eq \f(π,12)个单位
C．向右平移eq \f(π,6)个单位 D．向左平移eq \f(π,6)个单位
25．函数y＝sin 2x的图象向右平移φ个单位长度(φ＞0)得到的图象恰好关于x＝eq \f(π,6)对称，则φ的最小值是________．
26．为了得到函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,4)))的图象，可以将函数y＝sineq \f(x,2)的图象( )
A．向左平移eq \f(π,2)个单位长度 B．向左平移eq \f(π,4)个单位长度
C．向右平移eq \f(π,2)个单位长度 D．向右平移eq \f(π,4)个单位长度
27．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，－\f(π,2)≤φ<\f(π,2)))图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移eq \f(π,6)个单位长度得到y＝sinx的图象，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝________.
28．设函数f(x)＝csωx(ω>0)，将y＝f(x)的图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )
A.eq \f(1,3) B．3 C．6 D．9
29．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象上所有的点向左平移eq \f(π,2)个单位长度．若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于( )
A．4 B．6 C．8 D．12
30．若将函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(5π,6)))(ω>0)的图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度后，与函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,4)))的图象重合，则ω的最小值为________．
31．将函数f(x)＝sin ωx(其中ω＞0)的图象向右平移eq \f(π,4)个单位长度，所得图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，0))，则ω的最小值是________．
32．为得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的图象，可将函数y＝sinx的图象向左平移 m个单位长度，或向右平移n个单位长度(m，n均为正数)，则|m－n|的最小值是( )
A.eq \f(π,3) B.eq \f(2π,3) C.eq \f(4π,3) D.eq \f(5π,3)
33．已知函数f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,4)))，x∈R.
(1)利用“五点法”画出函数f(x)在一个周期eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(9π,2)))上的简图．
(2)先把f(x)的图象上所有点向左平移eq \f(π,2)个单位长度，得到f1(x)的图象；然后把f1(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到f2(x)的图象；再把f2(x)的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的eq \f(1,3)倍(横坐标不变)，得到g(x)的图象，求g(x)的解析式．
34．已知函数f(x)＝3sin(2x＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(φ∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))))，其图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度后，关于y轴对称．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)说明其图象是由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到的．
35．设ω＞0，若函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))＋2的图象向右平移eq \f(4π,3)个单位长度后与原图象重合，求ω的最小值．
36．已知函数f(x)＝2sin ωx，其中常数ω＞0.
(1)若y＝f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(2π,3)))上单调递增，求ω的取值范围；
(2)令ω＝2，将函数y＝f(x)的图象向左平移eq \f(π,6)个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图象，区间[a，b](a，b∈R且a＜b)满足：y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a，b]中，求b－a的最小值．
专题60 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
1．φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响
2．ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响
3．A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
4．对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)：
(1)A越大，函数的最大值越大，最大值与A是正比例关系．
(2)ω越大，函数的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系．
(3)φ大于0时，函数y＝Asinωx的图象向左平移eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(φ,ω)))个单位长度得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，φ小于0时，函数y＝Asinωx的图象向右平移eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(φ,ω)))个单位长度得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，即“加左减右”．
5．由函数y＝sinx的图象通过变换得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤
6．由y＝sin x的图象，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象，
其变化途径有两条：
(1)y＝sin xeq \(――――→,\s\up15(相位变换))y＝sin(x＋φ)eq \(――――→,\s\up15(周期变换))y＝sin(ωx＋φ)eq \(――――→,\s\up15(振幅变换))y＝Asin(ωx＋φ)．
(2)y＝sin xeq \(――――→,\s\up15(周期变换))y＝sin ωxeq \(――――→,\s\up15(相位变换))y＝sineq \b\lc\[\rc\](ω\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋eq \f(φ,ω)))))＝sin(ωx＋φ)eq \(――――→,\s\up15(振幅变换))y＝Asin(ωx＋φ)．
题型一 用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
1．用“五点法”画函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))(ω>0)在一个周期内的简图时，五个关键点是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，0))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，2))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，0))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,12)π，－2))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，0))，则ω＝________.
[解析]因为周期T＝eq \f(5π,6)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝π，所以eq \f(2π,ω)＝π，所以ω＝2.
2．用“五点法”作出函数y＝eq \f(3,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x－\f(π,3)))的简图．
[解析]函数y＝eq \f(3,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x－\f(π,3)))的周期T＝eq \f(2π,\f(1,3))＝6π，先用“五点法”作它在长度为一个周期上的图象．
列表如下：
描点、连线，如图所示，
利用该函数的周期性，把它在一个周期上的图象分别向左、右扩展，从而得到函数y＝eq \f(3,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x－\f(π,3)))的简图(图略)．
3．已知f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,3))).
(1)在给定的坐标系内，用“五点法”作出函数f(x)在一个周期内的图象；
(2)写出f(x)的单调递增区间；
(3)求f(x)的最大值和此时相应的x的值．
[解析] (1)列表：
作图：
(2)由2kπ－eq \f(π,2)≤eq \f(x,2)＋eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(π,2)，得4kπ－eq \f(5π,3)≤x≤4kπ＋eq \f(π,3)，k∈Z.
所以函数f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4kπ－\f(5π,3)，4kπ＋\f(π,3)))，k∈Z.
(3)当eq \f(x,2)＋eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)＋2kπ，即x＝eq \f(π,3)＋4kπ(k∈Z)时，f(x)max＝2.
4．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，π))上的简图是( )
[解析]当x＝0时，y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝－eq \f(\r(3),2)<0，排除B，D.当x＝eq \f(π,6)时，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,6)－\f(π,3)))＝sin0＝0，排除C，故选A.
5．函数y＝2sin πx－eq \f(1,1－x)(－2≤x≤4)的所有零点之和为________．
[解析]函数y＝2sin πx－eq \f(1,1－x)(－2≤x≤4)的零点即方程2sin πx＝eq \f(1,1－x)的根，
作函数y＝2sin πx与y＝eq \f(1,1－x)的图象如下：由图可知共有8个公共点所以原函数有8个零点．
y＝2sin πx－eq \f(1,1－x)＝2sin π(1－x)－eq \f(1,1－x)，令t＝1－x，则y＝2sin πt－eq \f(1,t)，t∈[－3,3]，
该函数是奇函数，故零点之和为0.所以原函数的零点之和为8.
题型二 三角函数图象之间的变换
1．已知函数y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋eq \f(5,4)，该函数的图象可由y＝sinx，x∈R的图象经过怎样的变换得到？
[解析]解法一：步骤：①把函数y＝sinx的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度，可以得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))的图象；
②把函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))的图象上各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)，纵坐标不变，可以得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象；
③把函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象上各点的纵坐标缩短到原来的eq \f(1,2)，横坐标不变，可以得到函数y＝eq \f(1,2)sin(2x＋eq \f(π,6))的图象；
④再把得到的函数y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象向上平移eq \f(5,4)个单位长度，就能得到函数y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋eq \f(5,4)的图象．
解法二：步骤：①把函数y＝sinx的图象上各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)，而纵坐标不变，得到函数y＝sin2x的图象；
②把函数y＝sin2x的图象向左平移eq \f(π,12)个单位长度，可以得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象；
③把函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象上各点的纵坐标缩短到原来的eq \f(1,2)，而横坐标不变，可以得到函数y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象；
④再把得到的函数y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象向上平移eq \f(5,4)个单位长度，就能得到函数y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋eq \f(5,4)的图象．
2．将y＝sin x的图象怎样变换可得到函数y＝2sin(2x＋eq \f(π,4))＋1的图象？
[解析]法一：(先伸缩法)①把y＝sin x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sin x的图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，得y＝2sin 2x的图象；③将所得图象沿x轴向左平移eq \f(π,8)个单位，得y＝2sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,8)))的图象；
④将所得图象沿y轴向上平移1个单位，得y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))＋1的图象．
法二：(先平移法)①将y＝sin x的图象沿x轴向左平移eq \f(π,4)个单位，得y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))的图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，得y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的图象；③把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来2倍，得到y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的图象；④将所得图象沿y轴向上平移1个单位，得y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))＋1的图象．
3．有下列四种变换方式：
①向左平移eq \f(π,4)个单位长度，再将横坐标变为原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)；
②横坐标变为原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)，再向左平移eq \f(π,8)个单位长度；
③横坐标变为原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)，再向左平移eq \f(π,4)个单位长度；
④向左平移eq \f(π,8)个单位长度，再将横坐标变为原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)．
其中能将正弦函数 y＝sin x 的图象变为 y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的图象的是( )
A．①和② B．①和③
C．②和③ D．②和④
[解析] ①向左平移eq \f(π,4)个单位长度，再将横坐标变为原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)，则正弦函数 y＝sin x的图象变为 y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的图象；②横坐标变为原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)，再向左平移eq \f(π,8)个单位长度，正弦函数 y＝sin x 的图象变为 y＝sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,8)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的图象；③横坐标变为原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)，再向左平移eq \f(π,4)个单位长度，正弦函数 y＝sin x的图象变为 y＝sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))的图象；④向左平移eq \f(π,8)个单位长度，再将横坐标变为原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)，正弦函数 y＝sin x的图象变为 y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,8)))的图象，因此①和②符合题意，故选 A.
4．把函数y＝sin x的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度后所得图象的解析式为( )
A．y＝sin x－eq \f(π,3) B．y＝sin x＋eq \f(π,3)
C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3))) D．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))
[解析]根据图象变换的方法，y＝sin x的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度后得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的图象．
5．将函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))向左平移eq \f(π,6)个单位，可得到函数图象是( )
A．y＝sin2x B．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))
C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))) D．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))
[解析] 将函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))向左平移eq \f(π,6)个单位，得y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))－\f(π,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，故选C.
6．将函数y＝sin2x的图象向左平移eq \f(π,4)个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )
A．y＝cs2x B．y＝1＋cs2x
C．y＝1＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4))) D．y＝cs2x－1
[解析]将函数y＝sin2x的图象向左平移eq \f(π,4)个单位，得到函数y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))))，即y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＝cs2x的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y＝1＋cs2x.[答案] B
7．函数y＝cs x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cs ωx，则ω的值为________．
[解析]函数y＝cs xeq \f(纵坐标不变，横坐标变为,原来的2倍)y＝cseq \f(1,2)x.所以ω＝eq \f(1,2).
8．把函数y＝sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平行移动eq \f(π,3)个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( )
A．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，x∈R B．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,6)))，x∈R
C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，x∈R D．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)))，x∈R
[解析]把函数y＝sinx的图象上所有的点向左平行移动eq \f(π,3)个单位长度后得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的图象，再把所得图象上所有的点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象．[答案] C
9．将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平移eq \f(π,10)个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )
A．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,10))) B．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,5)))
C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,10))) D．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,20)))
[解析] 函数y＝sinx的图象上的点向右平移eq \f(π,10)个单位长度可得函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,10)))的图象；横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)可得函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,10)))的图象，所以所求函数的解析式是y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,10))).[答案] C
10．把函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))的图象向左平移eq \f(π,8)个单位长度，所得到的图象对应的函数是( )
A．奇函数 B.偶函数 C．既是奇函数也是偶函数 D.非奇非偶函数
[解析]y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,8)))))，向左平移eq \f(π,8)个单位长度后为y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,8)＋\f(π,8)))))＝sin 2x，为奇函数．
11．将函数y＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得图象的解析式为________．
[解析]y＝－eq \r(2)cs 2x－3 [y＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度，得y＝eq \r(2)cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＋\f(π,3)))
＝eq \r(2)cs(2x＋π)＝－eq \r(2)cs 2x，再向下平移3个单位长度得y＝－eq \r(2)cs 2x－3的图象．
12．由y＝3sin x的图象变换到y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))的图象主要有两个过程：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移________个单位，后者需向左平移________个单位．
[解析]y＝3sin xeq \(―――――→,\s\up30(向左平移\f(π,3)),\s\d20(个单位))y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))eq \(――――――――――→,\s\up15(横坐标变为原来的),\s\d15(2倍，纵坐标不变))y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))，
y＝3sin xeq \(――――――――→,\s\up15(横坐标变为原来的),\s\d15(2倍，纵坐标不变))y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x))eq \(――――――――→,\s\up30(向左平移\f(2π,3)个单位))\s\d15()y＝3sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2π,3)))))＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3))).]
13．将函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,4)))的图象向右平移eq \f(π,8)个单位长度，再将图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍(纵坐标不变)，则所得的函数解析式是________．
[解析]y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,8))) [y＝sin3x＋eq \f(π,4)eq \(――――――――――→,\s\up30(向右平移\f(π,8)个单位长度)\s\d15())y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,8)))＋\f(π,4)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,8)))
eq \(―――――――――――――――→,\s\up15(各点的横坐标扩大到原来的3倍),\s\d15(纵坐标不变))y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,8)))，故所得的函数解析式是y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,8))).
14．把函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)所得图象的函数解析式为y＝sinx，则( )
A．ω＝2，φ＝eq \f(π,6) B．ω＝2，φ＝－eq \f(π,3)
C．ω＝eq \f(1,2)，φ＝eq \f(π,6) D．ω＝eq \f(1,2)，φ＝－eq \f(π,3)
[解析]将函数y＝sinx图象上所有点的横坐标缩短为原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)，得解析式为y＝sin2x的图象，
再向右平移eq \f(π,6)个单位长度，得解析式为y＝sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象，所以ω＝2，φ＝－eq \f(π,3).故选B.
15．要得到函数y＝sineq \f(1,2)x的图象，只需将函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,4)))的图象向右平移________个单位．
[解析]由于y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,4)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))))，故要得到y＝sineq \f(1,2)x的图象，只要将y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,4)))的图象向右平移eq \f(π,2)个单位．
16．要得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x－\f(π,3)))的图象，只需将函数y＝sin4x的图象( )
A．向左平移eq \f(π,12)个单位 B．向右平移eq \f(π,12)个单位
C．向左平移eq \f(π,3)个单位 D．向右平移eq \f(π,3)个单位
[解析] 由y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x－\f(π,3)))＝sin4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))得，只需将y＝sin4x的图象向右平移eq \f(π,12)个单位即可，故选B.
17．要得到y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))的图象，只要将y＝sin 2x的图象( )
A．向左平移eq \f(π,8)个单位B．向右平移eq \f(π,8)个单位
C．向左平移eq \f(π,4)个单位D．向右平移eq \f(π,4)个单位
[解析]因为y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))＋\f(π,2)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))＝sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,8)))，
所以将y＝sin 2x的图象向左平移eq \f(π,8)个单位，得到y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))的图象．
18．为了得到函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,3)＋\f(π,6)))，x∈R的图象，只需把函数y＝2sinx，x∈R的图象上所有的点( )
A．向左平移eq \f(π,6)个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,3)(纵坐标不变)
B．向右平移eq \f(π,6)个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,3)(纵坐标不变)
C．向左平移eq \f(π,6)个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)
D．向右平移eq \f(π,6)个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)
[解析]先将y＝2sinx，x∈R的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度，得到函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，x∈R的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，得到函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,3)＋\f(π,6)))，x∈R的图象．[答案] C
19．为了得到函数y＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,6)))，x∈R的图象，只需将函数y＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))，x∈R的图象上的所有点( )
A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，横坐标不变
[解析]函数y＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))的图象上各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，
得到y＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,6)))的图象．
20．把函数y＝f(x)的图象上各点向右平移eq \f(π,6)个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的eq \f(2,3)倍，所得图象的解析式是y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))，则f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝3cs x B．f(x)＝3sin x
C．f(x)＝3cs x＋3 D．f(x)＝sin 3x
[解析]y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))eq \(――――――→,\s\up25(纵坐标伸长),\s\d35(到原来的\f(3,2)倍))y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))eq \(――――――→,\s\up25(横坐标缩短),\s\d35(到原来的\f(1,2)倍))y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))
eq \(――――――→,\s\up35(向左平移\f(π,6)个),\s\d20(单位))y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)＋\f(π,3)))＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＝3cs x．
21．为了得到y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,5)))(x∈R)的图象，只需把函数y＝3sin(x＋eq \f(π,5))(x∈R)的图象上所有的点的( )
A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，横坐标不变
[解析]y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,5)))，x∈R图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，纵坐标不变得到y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,5)))，
故选B.
22．要得到函数 y＝3sin 2x 的图象，可将函数 y＝3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))的图象( )
A．沿 x 轴向左平移eq \f(π,8)个单位长度 B．沿 x 轴向右平移eq \f(π,8)个单位长度
C．沿 x 轴向左平移eq \f(π,4)个单位长度 D．沿 x 轴向右平移eq \f(π,4)个单位长度
[解析]由于函数 y＝3sin 2x＝3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2)))＝3cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,8)))－\f(π,4)))，
所以将函数 y＝3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))的图象沿 x 轴向右平移eq \f(π,8)个单位长度，即可得到函数 y＝3sin 2x的图象．
23．把函数 y＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,4)))的图象适当变换就可以得到 y＝sin(－3x)的图象，这种变换可以是( )
A．向右平移eq \f(π,4)个单位长度 B．向左平移eq \f(π,4)个单位长度
C．向右平移eq \f(π,12)个单位长度 D．向左平移eq \f(π,12)个单位长度
[解析]因为 y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,4)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－3x))))＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－3x))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))))，
所以将 y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))))的图象向左平移eq \f(π,12)个单位长度能得到 y＝sin (－3x)的图象．
24．已知函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,6)))(ω＞0)的相邻两个零点的距离为eq \f(π,2)，要得到y＝f(x)的图象，只需把y＝cs ωx的图象( )
A．向右平移eq \f(π,12)个单位B．向左平移eq \f(π,12)个单位
C．向右平移eq \f(π,6)个单位 D．向左平移eq \f(π,6)个单位
[解析]由已知得eq \f(2π,ω)＝2×eq \f(π,2)，故ω＝2.y＝cs 2x向右平移eq \f(π,12)个单位可得y＝cs 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))的图象．
25．函数y＝sin 2x的图象向右平移φ个单位长度(φ＞0)得到的图象恰好关于x＝eq \f(π,6)对称，则φ的最小值是________．
[解析]函数y＝sin 2x的图象向右平移后得到y＝sin[2(x－φ)]的图象，而x＝eq \f(π,6)是对称轴，
即2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－φ))＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，所以φ＝eq \f(－kπ,2)－eq \f(π,12)(k∈Z)．又φ＞0当k＝－1时，φ取得最小值eq \f(5π,12).
26．为了得到函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,4)))的图象，可以将函数y＝sineq \f(x,2)的图象( )
A．向左平移eq \f(π,2)个单位长度 B．向左平移eq \f(π,4)个单位长度
C．向右平移eq \f(π,2)个单位长度 D．向右平移eq \f(π,4)个单位长度
[解析]y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,4)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,4)))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,4)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))))，故选A.
27．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，－\f(π,2)≤φ<\f(π,2)))图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移eq \f(π,6)个单位长度得到y＝sinx的图象，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝________.
[解析] y＝sinx的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度，得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))图象，再对每一点横坐标伸长为原来的2倍，得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))的图象即为f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象，∴f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝eq \f(\r(2),2).
28．设函数f(x)＝csωx(ω>0)，将y＝f(x)的图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )
A.eq \f(1,3) B．3 C．6 D．9
[解析]将y＝f(x)的图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度后得到y＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))))，所得图象与原图象重合，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,3)ω))＝csωx，则－eq \f(π,3)ω＝2kπ(k∈Z)，得ω＝－6k(k∈Z)．又因为ω>0，所以ω的最小值为6，故选C.
29．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象上所有的点向左平移eq \f(π,2)个单位长度．若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于( )
A．4 B．6 C．8 D．12
[解析]解法一：逐项代入检验，对B选项，f(x)＝sin(6x＋φ)图象向左平移eq \f(π,2)个单位得：
y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(6\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＋φ))＝sin(6x＋φ＋π)＝－sin(6x＋φ)的图象．
解法二：y＝f(x)的图象向左平移eq \f(π,2)后得到y＝
sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＋φ))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,2)ω＋φ))，其图象与原图象重合，有eq \f(π,2)ω＝2kπ，即ω＝4k，k∈Z，故选B.
30．若将函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(5π,6)))(ω>0)的图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度后，与函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,4)))的图象重合，则ω的最小值为________．
[解析]y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(5π,6)))的图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度后得到y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＋\f(5π,6)))，即y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(5π,6)－\f(ωπ,3)))，故eq \f(5π,6)－eq \f(ωπ,3)＋2kπ＝eq \f(π,4)(k∈Z)，即eq \f(ωπ,3)＝eq \f(7π,12)＋2kπ，解得ω＝eq \f(7,4)＋6k(k∈Z)，∵ω>0，∴ω的最小值为eq \f(7,4).
31．将函数f(x)＝sin ωx(其中ω＞0)的图象向右平移eq \f(π,4)个单位长度，所得图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，0))，则ω的最小值是________．
[解析]函数f(x)＝sin ωx(其中ω＞0)的图象向右平移eq \f(π,4)个单位长度得到函数f(x)＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))))(其中ω＞0)，
将eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，0))代入得sineq \f(ωπ,2)＝0，所以eq \f(ωπ,2)＝kπ(k∈Z)，解得ω＝2k(k∈Z)，故得ω的最小值是2.
32．为得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的图象，可将函数y＝sinx的图象向左平移 m个单位长度，或向右平移n个单位长度(m，n均为正数)，则|m－n|的最小值是( )
A.eq \f(π,3) B.eq \f(2π,3) C.eq \f(4π,3) D.eq \f(5π,3)
[解析]由题意可知，m＝eq \f(π,3)＋2k1π，k1为非负整数，n＝－eq \f(π,3)＋2k2π，k2为正整数，
∴|m－n|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋2k1－k2π))，∴当k1＝k2时，|m－n|min＝eq \f(2π,3).
33．已知函数f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,4)))，x∈R.
(1)利用“五点法”画出函数f(x)在一个周期eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(9π,2)))上的简图．
(2)先把f(x)的图象上所有点向左平移eq \f(π,2)个单位长度，得到f1(x)的图象；然后把f1(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到f2(x)的图象；再把f2(x)的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的eq \f(1,3)倍(横坐标不变)，得到g(x)的图象，求g(x)的解析式．
[解析] (1)列表取值：描出五个关键点并用光滑连线连接，得到一个周期的简图．
(2)将f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,4)))图象上所有点向左平移eq \f(π,2)个单位长度得到f1(x)＝3sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))－\f(π,4)))＝3sineq \f(1,2)x的图象．
把 f1(x)＝3sineq \f(1,2)x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到f2(x)＝3sineq \f(1,4)x的图象，把f2(x)＝3sineq \f(1,4)x的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的eq \f(1,3)倍(横坐标不变)得到g(x)＝sineq \f(1,4)x的图象．
所以g(x)的解析式g(x)＝sineq \f(1,4)x.
34．已知函数f(x)＝3sin(2x＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(φ∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))))，其图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度后，关于y轴对称．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)说明其图象是由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到的．
[解析] (1)将函数f(x)＝3sin(2x＋φ)图象上的所有点向左平移eq \f(π,6)个单位长度后，
所得图象的函数解析式为y＝3sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))＋φ))＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)＋φ)).
因为图象平移后关于y轴对称，所以2×0＋eq \f(π,3)＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，所以φ＝kπ＋eq \f(π,6)(k∈Z)，
因为φ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以φ＝eq \f(π,6).所以f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))).
(2)将函数y＝sin x的图象上的所有点向左平移eq \f(π,6)个单位长度，所得图象的函数解析式为y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)，得函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象，再把图象上各点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，即得函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象．
35．设ω＞0，若函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))＋2的图象向右平移eq \f(4π,3)个单位长度后与原图象重合，求ω的最小值．
[解析]将y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))＋2的图象向右平移eq \f(4π,3)个单位长度后，
所得图象的函数解析式为y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(4π,3)))＋\f(π,3)))＋2＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)－\f(4ωπ,3)))＋2.
因为平移后的图象与原图象重合，所以有eq \f(4ωπ,3)＝2kπ(k∈Z)，即ω＝eq \f(3k,2)(k∈Z)，
又因为ω＞0，所以k≥1，故ω＝eq \f(3k,2)≥eq \f(3,2).故ω的最小值为eq \f(3,2).
36．已知函数f(x)＝2sin ωx，其中常数ω＞0.
(1)若y＝f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(2π,3)))上单调递增，求ω的取值范围；
(2)令ω＝2，将函数y＝f(x)的图象向左平移eq \f(π,6)个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图象，区间[a，b](a，b∈R且a＜b)满足：y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a，b]中，求b－a的最小值．
[解析] (1)因为ω＞0，根据题意有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)ω≥－\f(π,2)，,\f(2π,3)ω≤\f(π,2)))⇒0＜ω≤eq \f(3,4).所以ω的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4))).
(2)由f(x)＝2sin 2x可得，g(x)＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))))＋1＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＋1，
g(x)＝0⇒sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＝－eq \f(1,2)⇒x＝kπ－eq \f(π,4)或x＝kπ－eq \f(7,12)π，k∈Z，
即g(x)的零点相邻间隔依次为eq \f(π,3)和eq \f(2π,3)，
故若y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个零点，
则b－a的最小值为14×eq \f(2π,3)＋15×eq \f(π,3)＝eq \f(43π,3).
x
π
eq \f(5π,2)
4π
eq \f(11π,2)
7π
eq \f(1,3)x－eq \f(π,3)
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
eq \f(3,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x－\f(π,3)))
0
eq \f(3,2)
0
－eq \f(3,2)
0
eq \f(x,2)＋eq \f(π,3)
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
x
－eq \f(2π,3)
eq \f(π,3)
eq \f(4π,3)
eq \f(7π,3)
eq \f(10π,3)
f(x)
0
2
0
－2
0
x
eq \f(π,2)
eq \f(3π,2)
eq \f(5π,2)
eq \f(7π,2)
eq \f(9π,2)
eq \f(1,2)x－eq \f(π,4)
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
f(x)
0
3
0
－3
0