高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题62三角函数的应用(原卷版+解析)

这是一份高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题62三角函数的应用(原卷版+解析)，共29页。试卷主要包含了三角函数模型的作用，解三角函数应用题的基本步骤等内容，欢迎下载使用。
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥重要作用．
2．解三角函数应用题的基本步骤：
(1)审清题意；
(2)搜集整理数据，建立数学模型；
(3)讨论变量关系，求解数学模型；
(4)检验，作出结论．
题型一 三角函数模型在物理学中的应用
1．如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s＝6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2πt＋\f(π,6)))，那么单摆摆动一个周期所需的时间为( )
A．2π s B．π s
C．0.5 s D．1 s
2．如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ(－π0)在一个周期内的图象，则该函数的解析式为( )
A．I＝300sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(50πt＋\f(π,3))) B．I＝300sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(50πt－\f(π,3)))
C．I＝300sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100πt＋\f(π,3))) D．I＝300sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100πt－\f(π,3)))
9．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧eq \x\t(AP)的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是( )
A B C D
10．已知点P是单位圆上的一个质点，它从初始位置P0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))开始，按逆时针方向以角速度1 rad/s做圆周运动，则点P的纵坐标y关于运动时间t(单位：s)的函数关系式为( )
A．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(π,3)))，t≥0 B．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(π,6)))，t≥0
C．y＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(π,3)))，t≥0 D．y＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(π,6)))，t≥0
11．如图所示，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3 cm，周期为3 s，且物体向右运动到A点(距平衡位置最远处)开始计时．
(1)求物体离开平衡位置的位移x(cm)和时间t(s)之间的函数关系式；
(2)求t＝5 s时，该物体的位置．
12．已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(π,3)))，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题．
(1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？
(3)经过多长时间小球往复振动一次？
13．如图，弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化曲线是一个三角函数的图象．
(1)经过多长时间，小球往复振动一次？
(2)求这条曲线的函数解析式；
(3)小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是多少？
14．如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m,60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离为h.
(1)求h与θ之间的函数关系式；
(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB；求h与t之间的函数解析式，并求缆车第一次到达最高点时用的最少时间是多少
15．交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100πt＋\f(π,6)))来表示，求：
(1)开始时电压；
(2)电压值重复出现一次的时间间隔；
(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．
16．如图所示，摩天轮的半径为40 m，O点距地面的高度为50 m，摩天轮作匀速转动，每2 min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点．
(1)试确定在时刻t min时P点距离地面的高度；
(2)在摩天轮转动一圈内，有多长时间P点距离地面超过70 m.
题型二 三角函数模型的实际应用
1．国际油价在某一时间内呈现正弦波动规律：P＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωπt＋\f(π,4)))＋60(美元)(t(天)，A＞0，ω＞0)，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150(天)时达到最低油价，则ω的最小值为________．
2．稳定房价是我国实施宏观调控的重点，国家出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，某市房地产中介对本市一楼盘的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足：y＝500sin(ωx＋φ)＋9500(ω>0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示：
则此楼盘在第三季度的平均单价大约是( )
A．10000元 B．9500元
C．9000元 D．8500元
3．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，|φ|0，ω>0，|φ|0)的图象的一部分，后一段DBC是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|0，ω>0，|φ|0)，
∴ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(π,6).又∵当t＝0时，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，∴y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t＋\f(π,3)))，t∈[0,12]．
可解得函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12]．
5．如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24 h内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为________________．
[解析]设y与x的函数关系式为y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，则A＝6，T＝eq \f(2π,ω)＝12，ω＝eq \f(π,6).
当x＝9时，ymax＝6.故eq \f(π,6)×9＋φ＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z.取k＝1得φ＝π，即y＝－6sineq \f(π,6)x.
6．下表是某市近30年来月平均气温(℃)的数据统计表：
则适合这组数据的函数模型是( )
A．y＝acseq \f(πx,6) B．y＝acseq \f(x－1π,6)＋k(a＞0，k＞0)
C．y＝－acseq \f(x－1π,6)＋k(a＞0，k＞0) D．y＝acseq \f(πx,6)－3
[解析]当x＝1时图象处于最低点，且易知a＝eq \f(－5.9＋22.8,2)＞0.故选C.
7．如图，为一半径为3 m的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮自点A开始1 min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有( )
A．ω＝eq \f(2π,15)，A＝3 B．ω＝eq \f(15,2π)，A＝3
C．ω＝eq \f(2π,15)，A＝5 D．ω＝eq \f(15,2π)，A＝5
[解析]由题目可知最大值为5，∴5＝A×1＋2⇒A＝3.T＝15，则ω＝eq \f(2π,15).故选A.
8．一半径为6米的水轮如图，水轮圆心O距离水面3米，已知水轮每分钟转动4圈，水轮上点P从水中浮现时开始到其第一次达到最高点的用时为________秒．
[解析]过O作水平线的垂线，垂足为Q，由已知可得：OQ＝3，OP＝6，则cs∠POQ＝eq \f(1,2)，即∠POQ＝60°，则水轮上点P从水中浮现时开始到其第一次达到最高点要旋转120°，即eq \f(1,3)个周期，又由水轮每分钟转动4圈，可知周期是15秒，故用时为15×eq \f(1,3)＝5秒．
9．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x－6))(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.
[解析]由题意可知A＝eq \f(28－18,2)＝5，a＝eq \f(28＋18,2)＝23.从而y＝5cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x－6))＋23.
故10月份的平均气温值为y＝5cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)×4))＋23＝20.5.
10．如图一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5圈，当水轮上点P从水中浮现(图中点P0)时开始计算时间．
(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；
(2)求点P第一次到达最高点需要多长时间？
[解析] (1)如图，建立直角坐标系，设角φeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)