北京市东城区2023-2024学年高二下学期期末统一检测数学试题(无答案)

这是一份北京市东城区2023-2024学年高二下学期期末统一检测数学试题(无答案)，共4页。试卷主要包含了25mB．2等内容，欢迎下载使用。

2024.7
本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合M={0,a,a2}，N={-2,-1,0,1,2}，若1∈M，则M∩N=
A．{0,1}B．{-1,0,1}C．{0,1,2}D．{-2,-1,0,1,2}
（2）某校学生科研兴趣小组为了解1~12岁儿童的体质健康情况，随机调查了20名儿童的相关数据，分别制作了肺活量、视力、肢体柔韧度、BMI指数和身高之间的散点图，则与身高之间具有正相关关系的是
A．肺活量B．视力C．肢体柔韧度D．BMI指数
（3）已知x,y∈R，且x>y，则下列不等式中一定成立的是
A．x​2>y​2B．1x>1yC．lnx>lnyD．2​x>2​y
（4）袋中有10个大小相同的小球，其中7个黄球，3个红球.每次从袋子中随机摸出一个球，摸出的球不再放回.则在第一次摸到黄球的前提下，第二次又摸到黄球的概率为
A．23B．12C．13D．310
（5）已知2​a=3，lg45=b，则2​a-2b的值为
A．15B．53C．35D．-2
（6）A，B，C三所大学发布了面向高二学生的夏令营招生计划，每位学生只能报一所大学.某中学现有四位学生报名.若每所大学都有该中学的学生报名，则不同的报名方法共有
A．30种B．36种C．72种D．81种
（7）2024年3月20号，我国成功发射鹊桥二号中继卫星，其通过一个大型可展开的星载天线，实现了月球背面与地球之间的信号传输.星载天线展开后形成一把直径（口径）为4.2m的“金色大伞”，它的曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入接收天线，经反射聚集到焦点F处.若“金色大伞”的深度为0.49m，则“金色大伞”的边缘A点到焦点F的距离为
A．2.25mB．2.74mC．4.5mD．4.99m
（8）已知直线l:mx-y-2m+5=0被圆(x-3)​2+(y-4)​2=4截得的弦长为整数，则满足条件的直线l共有
A．1条B．2条C．3条D．4条
（9）已知函数f(x)=a(x-a)(x-b)2(a,b∈R)，则“b>a>0”是“b为f(x)的极小值点”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
（10）《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作，书中的“中国剩余定理”对同余除法进行了深入的研究.现给出一个同余问题：如果a和b被m除得的余数相同，那么称a和b对模m同余，记为a≡b(mdm).若a=C20240+C20241×3+C20242×32+⋯+C20242024×32024,a≡b(md5)，则b的值可以是
A．2023B．2024C．2025D．2026
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）函数f(x)=1x-1+lnx的定义域是 .
（12）已知双曲线C的焦点为(-2,0)和(2,0)，一条渐近线方程为y=3x，则C的方程为 .
（13）已知二项式(2x+1)n=anxn+an-1xn-1+⋯+a1x+a0的所有项的系数和为243，则n= ；a2= .
（14）某学校要求学生每周校园志愿服务时长不少于1小时.某周可选择的志愿服务项目如下表所示：
每位学生每天最多可选一个项目，且该周同一个项目只能选一次，则不同选择的组合方式共有 种.
（15）设a∈R，函数f(x)=ax​3-x,x>a,-x​2,x≤a.给出下列四个结论：
①当a=0时，函数f(x)的最大值为0；
②当a=7时，函数f(x)是增函数；
③若函数f(x)存在两个零点，则0④若直线y=ax与曲线y=f(x)恰有2个交点，则a<0.
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）
某次乒乓球比赛单局采用11分制，每赢一球得一分.每局比赛开始时，由一方进行发球，随后每两球交换一次发球权，先得11分且至少领先2分者胜，该局比赛结束；当某局比分打成10:10后，每球交换发球权，领先2分者胜，该局比赛结束.已知甲、乙两人要进行一场五局三胜制（当一方赢得三局比赛时，该方获胜，比赛结束）的比赛.
（Ⅰ）单局比赛中，若甲发球时甲得分的概率为45，乙发球时甲得分的概率为12，求甲4:0领先的概率；
（Ⅱ）若每局比赛乙获胜的概率为13，且每局比赛结果相互独立，求乙以3:1赢得比赛的概率.
（17）（本小题13分）
设函数f(x)=ae​x+x，其中a∈R.曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=-x+b.
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求f(x)的单调区间.
（18）（本小题14分）
近年来，我国新能源汽车蓬勃发展，极大地促进了节能减排.遥遥计划在A1，A2，A3，A4，A5，A6这6个国产新能源品牌或在B1，B2，B3，B4这4个国产燃油汽车品牌中选择购车.预计购买新能源汽车比燃油车多花费40000元.据测算，每行驶5公里，燃油汽车约花费3元，新能源汽车约消耗电1千瓦时.如果购买新能源汽车，遥遥使用国家电网所属电动汽车公共充电设施充电，充电价格分为峰时、平时、谷时三类，具体收费标准（精确到0.1元/千瓦时）如下表：
（Ⅰ）若遥遥在6个新能源汽车品牌中选出2个品牌作比较，求品牌A1被选中的概率；
（Ⅱ）若遥遥选购新能源汽车，他在18：00，18：30，19：00，19：30，…，23：30这12个时间点中随机选择一个时间点给车充电，每次充电30千瓦时（用时不超过半小时）.设X为遥遥每次充电的费用，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）假设遥遥一年驾车约行驶30000公里，按新车使用8年计算，如果只考虑购车成本与能源消耗支出，计算说明选择新能源汽车和燃油汽车哪个的总花费更少.
（19）（本小题15分）
已知椭圆E：x​2a​2+y​2b​2=1(a>b>0)过点(0,3)，A，B分别是E的左顶点和下顶点，F是E右焦点，∠AFB=π3.
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）过点F的直线与椭圆E交于点P，Q，直线AP，AQ分别与直线x=4交于不同的两点M，N.设直线FM，FN的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值.
（20）（本小题15分）
已知函数f(x)=x2-alnx-1(a∈R).
（Ⅰ）当a=2时，求f(x)的极值；
（Ⅱ）若对∀x∈(1,+∞)，f(x)>0恒成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）证明：若f(x)在区间(1,+∞)上存在唯一零点x0，则x0（21）（本小题15分）
已知n项数列An:a1,a2,⋯,an(n≥3)，满足∀i≠j有ai≠aj.对于变换T满足∀i∈{1,2,⋯,n}，有T(ai)∈{a1,a2,⋯,an}，且∀i≠j有T(ai)≠T(aj)，称数列T(An):T(a1),T(a2),⋯,T(an)是数列An的一个排列.∀i∈{1,2,⋯,n}，记T(ai)=T1(ai)，Tk+1(ai)=T(Tk(ai))(k∈N*)，如果k是满足Tk(ai)=an+1-i的 最小正整数，称数列An存在k阶逆序排列，称T是An的k阶逆序变换.
（Ⅰ）已知数列A4:1,2,3,4，数列T(A4):3,1,4,2，求T​2(A4)，T​4(A4)；
（Ⅱ）证明：对于4项数列A4，不存在3阶逆序变换；
（Ⅲ）若n项数列An存在3阶逆序变换，求n的最小值.
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）岗位
环保宣讲
器材收纳
校史讲解
食堂清扫
图书整理
时长
20分钟
20分钟
25分钟
30分钟
40分钟
充电时间段
充电价格（元/千瓦时）
充电服务费（元/千瓦时）
峰时
10：00—15：00和18：00—21：00
1.0
0.8
平时
7：00—10：00，15：00—18：00和21：00—23：00
0.7
谷时
当日23：00—次日7：00
0.4