人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用第二课时同步训练题

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用第二课时同步训练题，共13页。试卷主要包含了故选B.等内容，欢迎下载使用。

1．在△ABC中，a＝5，b＝3，则sin A∶sin B的值是( )
A.eq \f(5,3) B.eq \f(3,5)
C.eq \f(3,7) D.eq \f(5,7)
2．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
3．在△ABC中，若a＝2，b＝2eq \r(3)，A＝30°，则B为( )
A．60° B．60°或120°
C．30° D．30°或150°
4．已知△ABC中，b＝4eq \r(3)，c＝2，C＝30°，那么此三角形( )
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．解的个数不确定
5．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，C＝eq \f(π,4)，c＝eq \r(2)，a＝x，若满足条件的三角形有两个，则x的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)) B．(eq \r(2)，2)
C．(1,2) D．(1，eq \r(2))
6．在△ABC中，若BC＝eq \r(5)，sin C＝2sin A，则AB＝________.
7．在△ABC中，若A＝105°，C＝30°，b＝1，则c＝________.
8．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角所对的边，若a＝1，b＝eq \r(3)，A＋C＝2B，则sin A＝________.
9．已知一个三角形的两个内角分别是45°，60°，它们所夹边的长是1，求最小边长．
10．在△ABC中，已知b2＝ac，a2－c2＝ac－bc.
(1)求角A的大小；
(2)求eq \f(bsin B,c)的值．
拓展练
1．[多选]下列命题中，正确的是( )
A．在△ABC中，若A>B，则sin A>sin B
B．在锐角△ABC中，不等式sin A>cs B恒成立
C．在△ABC中，若acs A＝bcs B，则△ABC必是等腰直角三角形
D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＝2acs B，则三角形一定是( )
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cs A＝－eq \f(1,4)，则eq \f(b,c)＝( )
A．6 B．5
C．4 D．3
4．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.△ABC的面积为4 eq \r(3)，且2bcs A＋a＝2c，a＋c＝8，则其周长为( )
A．10 B．12
C．8＋eq \r(3) D．8＋2 eq \r(3)
5．在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则eq \f(a,sin A)＋eq \f(b,2sin B)＋eq \f(2c,sin C)＝________.
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝eq \r(7)，b＝2，A＝60°，则sin B＝_______，c＝________.
7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2b·cs A＝c·cs A＋a·cs C.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝eq \r(7)，b＋c＝4，求bc的值．
培优练
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cs 2C＝－eq \f(1,4).
(1)求sin C的值；
(2)当a＝2,2sin A＝sin C时，求b及c的长．
课时跟踪检测（十一） 正弦定理
基础练
1．在△ABC中，a＝5，b＝3，则sin A∶sin B的值是( )
A.eq \f(5,3) B.eq \f(3,5)
C.eq \f(3,7) D.eq \f(5,7)
解析：选A 根据正弦定理得eq \f(sin A,sin B)＝eq \f(a,b)＝eq \f(5,3).故选A.
2．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析：选B 由题意有eq \f(a,sin A)＝b＝eq \f(b,sin B)，则sin B＝1，
即角B为直角，故△ABC是直角三角形．故选B.
3．在△ABC中，若a＝2，b＝2eq \r(3)，A＝30°，则B为( )
A．60° B．60°或120°
C．30° D．30°或150°
解析：选B 由正弦定理可知eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，∴sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(2\r(3)×\f(1,2),2)＝eq \f(\r(3),2)，∵B∈(0°，180°)，∴B＝60°或120°.故选B.
4．已知△ABC中，b＝4eq \r(3)，c＝2，C＝30°，那么此三角形( )
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．解的个数不确定
解析：选C 由正弦定理和已知条件得eq \f(4\r(3),sin B)＝eq \f(2,sin 30°)，∴sin B＝eq \r(3)>1，∴此三角形无解．故选C.
5．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，C＝eq \f(π,4)，c＝eq \r(2)，a＝x，若满足条件的三角形有两个，则x的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)) B．(eq \r(2)，2)
C．(1,2) D．(1，eq \r(2))
解析：选B 在△ABC中，根据正弦定理eq \f(a,sinA)＝eq \f(c,sinC)即eq \f(x,sinA)＝eq \f(\r(2),sin\f(π,4))，所以sinA＝eq \f(1,2)x，由题意可得，当A∈(eq \f(π,4)，eq \f(3π,4))时，满足条件的△ABC有两个，所以eq \f(\r(2),2)6．在△ABC中，若BC＝eq \r(5)，sin C＝2sin A，则AB＝________.
解析：由正弦定理，得AB＝eq \f(sin C,sin A)BC＝2BC＝2eq \r(5).
答案：2eq \r(5)
7．在△ABC中，若A＝105°，C＝30°，b＝1，则c＝________.
解析：由题意，知B＝180°－105°－30°＝45°.由正弦定理，得c＝eq \f(bsin C,sin B)＝eq \f(1×sin 30°,sin 45°)＝eq \f(\r(2),2).
答案：eq \f(\r(2),2)
8．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角所对的边，若a＝1，b＝eq \r(3)，A＋C＝2B，则sin A＝________.
解析：∵A＋C＝2B，A＋B＋C＝π，∴B＝eq \f(π,3)，
∴由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，得eq \f(1,sin A)＝eq \f(\r(3),sin\f(π,3)).
∴sin A＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
9．已知一个三角形的两个内角分别是45°，60°，它们所夹边的长是1，求最小边长．
解：设△ABC中，A＝45°，B＝60°，
则C＝180°－(A＋B)＝75°.
因为C>B>A，所以最小边为a.
又因为c＝1，由正弦定理，得
a＝eq \f(csin A,sin C)＝eq \f(1×sin 45°,sin 75°)＝eq \r(3)－1，
所以最小边长为eq \r(3)－1.
10．在△ABC中，已知b2＝ac，a2－c2＝ac－bc.
(1)求角A的大小；
(2)求eq \f(bsin B,c)的值．
解：(1)由题意知，
b2＝ac⇒cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(ac＋bc－ac,2bc)＝eq \f(1,2)，
∵A∈(0，π)，∴A＝eq \f(π,3).
(2)由b2＝ac，得eq \f(b,c)＝eq \f(a,b)，
∴eq \f(bsin B,c)＝sin B·eq \f(a,b)＝sin B·eq \f(sin A,sin B)＝sin A＝eq \f(\r(3),2).
拓展练
1．[多选]下列命题中，正确的是( )
A．在△ABC中，若A>B，则sin A>sin B
B．在锐角△ABC中，不等式sin A>cs B恒成立
C．在△ABC中，若acs A＝bcs B，则△ABC必是等腰直角三角形
D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形
解析：选ABD 对于A，在△ABC中，由正弦定理可得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，所以sin A>sin B⇔a>b⇔A>B，故A正确；对于B，在锐角△ABC中，A，B∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，且A＋B>eq \f(π,2)，则eq \f(π,2)>A>eq \f(π,2)－B>0，所以sin A>sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－B))＝cs B，故B正确；对于C，在△ABC中，由acs A＝bcs B，利用正弦定理可得sin 2A＝sin 2B，得到2A＝2B或2A＝π－2B，故A＝B或A＝eq \f(π,2)－B，即△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2accs B，所以ac＝a2＋c2－ac，即(a－c)2＝0，解得a＝c，又B＝60°，所以△ABC必是等边三角形，故D正确．故选A、B、D.
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＝2acs B，则三角形一定是( )
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
解析：选C ∵c＝2acs B，∴sin C＝2sin Acs B，
∴sin(A＋B)＝2sin Acs B，∴sin Acs B＋cs Asin B＝2sin Acs B，∴sin Acs B－cs Asin B＝0，∴sin(A－B)＝0，∴A＝B.故选C.
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cs A＝－eq \f(1,4)，则eq \f(b,c)＝( )
A．6 B．5
C．4 D．3
解析：选A ∵ asin A－bsin B＝4csin C，∴ 由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(b2＋c2－4c2＋b2,2bc)＝eq \f(－3c2,2bc)＝－eq \f(1,4)，∴ eq \f(b,c)＝6.故选A.
4．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.△ABC的面积为4 eq \r(3)，且2bcs A＋a＝2c，a＋c＝8，则其周长为( )
A．10 B．12
C．8＋eq \r(3) D．8＋2 eq \r(3)
解析：选B ∵2bcs A＋a＝2c，∴2sin Bcs A＋sin A＝2sin C，又∵A＋B＋C＝π，
∴2sin Bcs A＋sin A＝2sin(A＋B)＝2sin Acs B＋2cs Asin B，
∴sin A＝2sin Acs B，∵sin A≠0，∴cs B＝eq \f(1,2)，
又∵0由△ABC的面积为4 eq \r(3)得eq \f(1,2)acsin B＝4 eq \r(3)，∴ac＝16，又∵a＋c＝8
∴a＝c＝4，∴△ABC为等边三角形，∴△ABC的周长为3×4＝12.故选B.
5．在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则eq \f(a,sin A)＋eq \f(b,2sin B)＋eq \f(2c,sin C)＝________.
解析：∵△ABC的外接圆直径为2R＝2，
∴eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R＝2，
∴eq \f(a,sin A)＋eq \f(b,2sin B)＋eq \f(2c,sin C)＝2＋1＋4＝7.
答案：7
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝eq \r(7)，b＝2，A＝60°，则sin B＝_______，c＝________.
解析：由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，得sin B＝eq \f(b,a)·sin A＝eq \f(2,\r(7))×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(21),7).
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs A，
得7＝4＋c2－4c×cs 60°，
即c2－2c－3＝0，解得c＝3或c＝－1(舍去)．
答案：eq \f(\r(21),7) 3
7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2b·cs A＝c·cs A＋a·cs C.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝eq \r(7)，b＋c＝4，求bc的值．
解：(1)根据正弦定理及2b·cs A＝c·cs A＋a·cs C，
得2sin Bcs A＝sin Ccs A＋sin Acs C＝sin(A＋C)
＝sinB.
∵sin B≠0，∴cs A＝eq \f(1,2).
∵0＜A＜π，∴A＝eq \f(π,3).
(2)根据余弦定理得
7＝a2＝b2＋c2－2bccs eq \f(π,3)＝(b＋c)2－3bc，
∵b＋c＝4，∴bc＝3.
培优练
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cs 2C＝－eq \f(1,4).
(1)求sin C的值；
(2)当a＝2,2sin A＝sin C时，求b及c的长．
解：(1)∵cs 2C＝1－2sin2C＝－eq \f(1,4)，0＜C＜π，
∴sin C＝eq \f(\r(10),4).
(2)当a＝2,2sin A＝sin C时，
由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，得c＝4.
由cs 2C＝2cs2C－1＝－eq \f(1,4)及0＜C＜π，
得cs C＝±eq \f(\r(6),4).
由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcs C，
得b2±eq \r(6)b－12＝0(b＞0)，
解得b＝eq \r(6)或2eq \r(6)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝\r(6)，,c＝4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝2\r(6)，,c＝4.))