高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直第2课时课后复习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直第2课时课后复习题，共13页。试卷主要包含了[多选]下列命题正确的是等内容，欢迎下载使用。

1．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线l(与直线BB1不重合)⊥平面A1C1，则( )
A．B1B⊥l
B．B1B∥l
C．B1B与l异面但不垂直
D．B1B与l相交但不垂直
2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β
3．[多选]下列命题正确的是( )
A.eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a∥b,a⊥α))⇒b⊥α B.eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b
C.eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊥α,a⊥b))⇒b∥α D.eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a∥α,a⊥b))⇒b⊥α
4.如图，▱ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，则CE＝( )
A．2 B．3
C.eq \r(5) D.eq \r(13)
5．如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是( )
A．异面 B．平行
C．垂直 D．不确定
6．线段AB在平面α的同侧，A，B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________．
7.如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，D是侧面PBC上的一点，过点D作平面ABC的垂线DE，其中D∉PC，则DE与平面PAC的位置关系是________.
8．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．
①若m∥α，m⊥n，则n⊥α；②若m⊥α，n∥α，则m⊥n；③若m⊂α，n⊂β，且α∥β，则m∥n；④若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面．其中为真命题的是________．(填序号)
9．已知直线l，m，a，b，l⊥a，l⊥b，m⊥a，m⊥b，且a，b是异面直线，求证：l∥m.
10.如图，四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝eq \r(2).
求证：A1C⊥平面BB1D1D.
拓展练
1.PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系不正确的是( )
A．PA⊥BC B．BC⊥平面PAC
C．AC⊥PB D．PC⊥BC
2．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列四个命题，其中的真命题是( )
①若m⊥n，n⊂α，则m⊥α；②若m⊥α，n⊂α，则m⊥n；③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；④若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n.
A．①和② B．②和③
C．③和④ D．①和④
3．已知直线l∩平面α＝点O，A∈l，B∈l，A∉α，B∉α，且OA＝AB.若AC⊥平面α，垂足为C，BD⊥平面α，垂足为D，AC＝1，则BD＝( )
A．2 B．1
C.eq \f(3,2) D.eq \f(1,2)
4．如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是( )
A．EF⊥平面α B．EF⊥平面β
C．PQ⊥GE D．PQ⊥FH
5．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在平面，若PC⊥BD，平行四边形ABCD一定是________．
6．在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件___________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．
7.在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD.
求证：l∥AE.
培优练
如图，直升机上一点P在地面α上的正射影是点A(即PA⊥α)，从点P看地平面上一物体B(不同于A)，直线PB垂直于飞机玻璃窗所在的平面β.
求证：平面β必与平面α相交．
课时跟踪检测（三十二） 直线与平面垂直的性质
基础练
1．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线l(与直线BB1不重合)⊥平面A1C1，则( )
A．B1B⊥l
B．B1B∥l
C．B1B与l异面但不垂直
D．B1B与l相交但不垂直
解析：选B 因为B1B⊥平面A1C1，又因为l⊥平面A1C1，所以l∥B1B.故选B.
2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β
解析：选C ∵m∥n，m⊥α，则n⊥α，故选C.
3．[多选]下列命题正确的是( )
A.eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a∥b,a⊥α))⇒b⊥α B.eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b
C.eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊥α,a⊥b))⇒b∥α D.eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a∥α,a⊥b))⇒b⊥α
解析：选AB 由性质定理可得A、B正确．故选A、B.
4.如图，▱ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，则CE＝( )
A．2 B．3
C.eq \r(5) D.eq \r(13)
解析：选D 因为四边形ADEF为平行四边形，所以AF∥DE且AF＝DE. 因为AF⊥平面ABCD，所以DE⊥平面ABCD.所以DE⊥DC.因为AF＝2，所以DE＝2.又CD＝3，所以CE＝ eq \r(CD2＋DE2)＝eq \r(9＋4)＝eq \r(13).故选D.
5．如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是( )
A．异面 B．平行
C．垂直 D．不确定
解析：选C ∵BA⊥α，α∩β＝l，l⊂α，∴BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC.∵AC⊂平面ABC，∴l⊥AC.故选C.
6．线段AB在平面α的同侧，A，B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________．
解析：如图，设AB的中点为M，分别过A，M，B向α作垂线，垂足分别为A1，M1，B1，则由线面垂直的性质可知，AA1∥MM1∥BB1，四边形AA1B1B为直角梯形，AA1＝3，BB1＝5，MM1为其中位线，
∴MM1＝4.
答案：4
7.如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，D是侧面PBC上的一点，过点D作平面ABC的垂线DE，其中D∉PC，则DE与平面PAC的位置关系是________.
解析：因为DE⊥平面ABC，PA⊥平面ABC，
所以DE∥PA. 又DE⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，所以DE∥平面PAC.
答案：平行
8．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．
①若m∥α，m⊥n，则n⊥α；②若m⊥α，n∥α，则m⊥n；③若m⊂α，n⊂β，且α∥β，则m∥n；④若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面．其中为真命题的是________．(填序号)
解析：①若m∥α，m⊥n，则n与α位置关系不确定，故为假命题．
②若n∥α，则α内存在直线l与n平行．因为m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n.故为真命题．
③若m⊂α，n⊂β，且α∥β，则m，n可能异面．故为假命题．
④原命题的逆否命题为“若m与n垂直于同一平面，则m，n平行”，为真命题，所以原命题为真命题，所以②④为真命题．
答案：②④
9．已知直线l，m，a，b，l⊥a，l⊥b，m⊥a，m⊥b，且a，b是异面直线，求证：l∥m.
证明：如图，在直线b上任取一点O，过点O作a′∥a，则直线b，a′确定一个平面α.
∵a′∥a，l⊥a，∴l⊥a′.
∵l⊥b，a′∩b＝O，∴l⊥α.
同理可证m⊥α，∴l∥m.
10.如图，四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝eq \r(2).
求证：A1C⊥平面BB1D1D.
证明：∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O⊥BD.
又底面ABCD是正方形
∴BD⊥AC，∴BD⊥平面A1OC，∴BD⊥A1C.
又OA1是AC的中垂线
∴A1A＝A1C＝eq \r(2)，且AC＝2，
∴AC2＝AAeq \\al(2,1)＋A1C2
∴△AA1C是直角三角形，∴AA1⊥A1C.
又BB1∥AA1，∴A1C⊥BB1，
又BD∩BB1＝B，
∴A1C⊥平面BB1D1D.
拓展练
1.PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系不正确的是( )
A．PA⊥BC B．BC⊥平面PAC
C．AC⊥PB D．PC⊥BC
解析：选C PA⊥平面ABC，得PA⊥BC，A正确；又BC⊥AC，所以BC⊥面PAC，所以BC⊥PC，B、D均正确．故选C.
2．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列四个命题，其中的真命题是( )
①若m⊥n，n⊂α，则m⊥α；②若m⊥α，n⊂α，则m⊥n；③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；④若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n.
A．①和② B．②和③
C．③和④ D．①和④
解析：选B ①中，直线m垂直于平面α内的一条直线n，则直线m与平面α不一定垂直，所以①不是真命题；②是直线与平面垂直的定义的应用，所以②是真命题；③是直线与平面垂直的性质定理，所以③是真命题；④中，分别在两个平行平面α，β内的直线m，n平行或异面，所以④不是真命题．故选B.
3．已知直线l∩平面α＝点O，A∈l，B∈l，A∉α，B∉α，且OA＝AB.若AC⊥平面α，垂足为C，BD⊥平面α，垂足为D，AC＝1，则BD＝( )
A．2 B．1
C.eq \f(3,2) D.eq \f(1,2)
解析：选A 因为AC⊥平面α，BD⊥平面α，所以AC∥BD.连接OD，所以eq \f(OA,OB)＝eq \f(AC,BD). 因为OA＝AB，所以eq \f(OA,OB)＝eq \f(1,2). 因为AC＝1，所以BD＝2.故选A.
4．如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是( )
A．EF⊥平面α B．EF⊥平面β
C．PQ⊥GE D．PQ⊥FH
解析：选B 因为EG⊥平面α，PQ⊂平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ⊂平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH.故选B.
5．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在平面，若PC⊥BD，平行四边形ABCD一定是________．
解析：易知，BD⊥平面PAC，∴BD⊥AC.又四边形ABCD是平行四边形，∴ABCD一定是菱形．
答案：菱形
6．在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件___________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．
解析：当BD⊥AC时，BD⊥AA1，所以BD⊥平面AA1C，从而BD⊥A1C，又B1D1∥BD，所以A1C⊥B1D1.
答案：BD⊥AC
7.在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD.
求证：l∥AE.
证明：因为PA⊥平面ABCD，
CD⊂平面ABCD，
所以PA⊥CD.
又四边形ABCD是矩形，所以CD⊥AD.
因为PA∩AD＝A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，
所以CD⊥平面PAD.
又AE⊂平面PAD，所以AE⊥DC.
因为AE⊥PD，PD∩CD＝D，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，
所以AE⊥平面PCD.
因为l⊥平面PCD，
所以l∥AE.
培优练
如图，直升机上一点P在地面α上的正射影是点A(即PA⊥α)，从点P看地平面上一物体B(不同于A)，直线PB垂直于飞机玻璃窗所在的平面β.
求证：平面β必与平面α相交．
证明：假设平面α与平面β平行．
因为PA⊥平面α，所以PA⊥平面β.
因为PB⊥平面β，
由线面垂直的性质定理，可得PA∥PB，
与已知PA∩PB＝P矛盾，
所以平面β必与平面α相交．