数学人教A版 (2019)6.2 平面向量的运算练习题

这是一份数学人教A版 (2019)6.2 平面向量的运算练习题，共13页。

1．在四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \(AC,\s\up7(―→))，则四边形ABCD是( )
A．梯形 B．矩形
C．正方形 D．平行四边形
2．已知a，b，c是非零向量，则(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(a＋b)，c＋(b＋a)中，与向量a＋b＋c相等的向量的个数为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
3．向量(eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(MB,\s\up7(―→)))＋(eq \(BO,\s\up7(―→))＋eq \(BC,\s\up7(―→)))＋eq \(OM,\s\up7(―→))＝( )
A.eq \(BC,\s\up7(―→)) B.eq \(AB,\s\up7(―→))
C.eq \(AC,\s\up7(―→)) D.eq \(AM,\s\up7(―→))
4.如图，正六边形ABCDEF中，eq \(BA,\s\up7(―→))＋eq \(CD,\s\up7(―→))＋eq \(FE,\s\up7(―→))＝( )
A．0 B.eq \(BE,\s\up7(―→))
C.eq \(AD,\s\up7(―→)) D.eq \(CF,\s\up7(―→))
5．已知向量a∥b，且|a|>|b|>0，则向量a＋b的方向( )
A．与向量a的方向相同
B．与向量a的方向相反
C．与向量b的方向相同
D．不确定
6.如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，则eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(BC,\s\up7(―→))＋eq \(AB,\s\up7(―→))＝________.
7．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，|eq \(AB,\s\up7(―→))|＝1，则|eq \(BC,\s\up7(―→))＋eq \(DC,\s\up7(―→))|＝______.
8．若|a|＝|b|＝2，则|a＋b|的取值范围为________，当|a＋b|取得最大值时，向量a·b的方向________．
9.如图所示，求：
(1)a＋d；(2)c＋b；(3)e＋c＋b；
(4)c＋f＋b.
10.如图，点D，E，F分别为△ABC的三边AB，BC，CA的中点．求证：
(1)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BE,\s\up7(―→))＝eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \(CE,\s\up7(―→))；
(2)eq \(EA,\s\up7(―→))＋eq \(FB,\s\up7(―→))＋eq \(DC,\s\up7(―→))＝0.
拓展练
1．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则eq \(OP,\s\up7(―→))＋eq \(OQ,\s\up7(―→))＝( )
A.eq \(OH,\s\up7(―→)) B.eq \(OG,\s\up7(―→))
C.eq \(FO,\s\up7(―→)) D.eq \(EO,\s\up7(―→))
2．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足eq \(PA,\s\up7(―→))＋eq \(PB,\s\up7(―→))＝eq \(PC,\s\up7(―→))，则下列结论中正确的是( )
A．P在△ABC的内部
B．P在△ABC的边AB上
C．P在AB边所在的直线上
D．P在△ABC的外部
3．若在△ABC中，eq \(AB,\s\up7(―→))＝a，eq \(BC,\s\up7(―→))＝b，且|a|＝|b|＝1，|a＋b|＝eq \r(2)，则△ABC的形状是( )
A．正三角形 B．锐角三角形
C．斜三角形 D．等腰直角三角形
4．已知|eq \(AB,\s\up7(―→))|＝10，|eq \(AC,\s\up7(―→))|＝7，则|eq \(BC,\s\up7(―→))|的取值范围是( )
A．[3,17] B．(3,17)
C．(3,10) D．[3,10]
5．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，向量|eq \(AB,\s\up7(―→))|＝1，则|eq \(BC,\s\up7(―→))＋eq \(CD,\s\up7(―→))|＝________.
6.如图，已知电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力|F1|＝24 N. 绳BO与墙壁垂直，所受拉力|F2|＝12 N，则F1与F2的合力大小为_______，方向为_______.
7.如图所示，∠AOB＝∠BOC＝120°，|eq \(OA,\s\up7(―→))|＝|eq \(OB,\s\up7(―→))|＝|eq \(OC,\s\up7(―→))|，求eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→))＋eq \(OC,\s\up7(―→)).
培优练
如图，已知向量a，b，c，d.
(1)求作a＋b＋c＋d.
(2)设|a|＝2，e为单位向量，试探索|a＋e|的最大值．
课时跟踪检测（二） 向量的加法运算
基础练
1．在四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \(AC,\s\up7(―→))，则四边形ABCD是( )
A．梯形 B．矩形
C．正方形 D．平行四边形
解析：选D 由平行四边形法则可得，四边形ABCD是以AB，AD为邻边的平行四边形．故选D.
2．已知a，b，c是非零向量，则(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(a＋b)，c＋(b＋a)中，与向量a＋b＋c相等的向量的个数为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
解析：选A 向量加法满足交换律，所以五个向量均等于a＋b＋c.故选A.
3．向量(eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(MB,\s\up7(―→)))＋(eq \(BO,\s\up7(―→))＋eq \(BC,\s\up7(―→)))＋eq \(OM,\s\up7(―→))＝( )
A.eq \(BC,\s\up7(―→)) B.eq \(AB,\s\up7(―→))
C.eq \(AC,\s\up7(―→)) D.eq \(AM,\s\up7(―→))
解析：选C (eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(MB,\s\up7(―→)))＋(eq \(BO,\s\up7(―→))＋eq \(BC,\s\up7(―→)))＋eq \(OM,\s\up7(―→))＝(eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BO,\s\up7(―→)))＋(eq \(MB,\s\up7(―→))＋eq \(BC,\s\up7(―→)))＋eq \(OM,\s\up7(―→))＝eq \(AO,\s\up7(―→))＋eq \(MC,\s\up7(―→))＋eq \(OM,\s\up7(―→))＝(eq \(AO,\s\up7(―→))＋eq \(OM,\s\up7(―→)))＋eq \(MC,\s\up7(―→))＝eq \(AM,\s\up7(―→))＋eq \(MC,\s\up7(―→))＝eq \(AC,\s\up7(―→)).故选C.
4.如图，正六边形ABCDEF中，eq \(BA,\s\up7(―→))＋eq \(CD,\s\up7(―→))＋eq \(FE,\s\up7(―→))＝( )
A．0 B.eq \(BE,\s\up7(―→))
C.eq \(AD,\s\up7(―→)) D.eq \(CF,\s\up7(―→))
解析：选B 连接BE，取BE中点O，连接OF，BF.∵eq \(CD,\s\up7(―→))＝eq \(AF,\s\up7(―→))，则eq \(BA,\s\up7(―→))＋eq \(CD,\s\up7(―→))＋eq \(FE,\s\up7(―→))＝(eq \(BA,\s\up7(―→))＋eq \(AF,\s\up7(―→)))＋eq \(FE,\s\up7(―→))＝eq \(BE,\s\up7(―→)).故选B.
5．已知向量a∥b，且|a|>|b|>0，则向量a＋b的方向( )
A．与向量a的方向相同
B．与向量a的方向相反
C．与向量b的方向相同
D．不确定
解析：选A 若a和b方向相同，则它们的和的方向应该与a(或b)的方向相同；若它们的方向相反，而a的模大于b的模，则它们的和的方向与a的方向相同．故选A.
6.如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，则eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(BC,\s\up7(―→))＋eq \(AB,\s\up7(―→))＝________.
解析：eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(BC,\s\up7(―→))＋eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BC,\s\up7(―→))＝eq \(OC,\s\up7(―→)).
答案：eq \(OC,\s\up7(―→))
7．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，|eq \(AB,\s\up7(―→))|＝1，则|eq \(BC,\s\up7(―→))＋eq \(DC,\s\up7(―→))|＝______.
解析：如图，|eq \(BC,\s\up7(―→))＋eq \(DC,\s\up7(―→))|＝|eq \(AC,\s\up7(―→))|，在Rt△AOB中，AB＝1，∠OAB＝30°，AC＝2AO＝2AB·cs 30°＝eq \r(3).
答案：eq \r(3)
8．若|a|＝|b|＝2，则|a＋b|的取值范围为________，当|a＋b|取得最大值时，向量a·b的方向________．
解析：由||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|知0≤|a＋b|≤4，当|a＋b|取得最大值时，向量a，b的方向相同．
答案：[0,4] 相同
9.如图所示，求：
(1)a＋d；(2)c＋b；(3)e＋c＋b；
(4)c＋f＋b.
解：(1)a＋d＝d＋a＝eq \(DO,\s\up7(―→))＋eq \(OA,\s\up7(―→))＝eq \(DA,\s\up7(―→))；
(2)c＋b＝eq \(CO,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→))＝eq \(CB,\s\up7(―→))；
(3)e＋c＋b＝e＋(c＋b)＝e＋eq \(CB,\s\up7(―→))＝eq \(DC,\s\up7(―→))＋eq \(CB,\s\up7(―→))＝eq \(DB,\s\up7(―→))；
(4)c＋f＋b＝eq \(CO,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→))＋eq \(BA,\s\up7(―→))＝eq \(CA,\s\up7(―→)).
10.如图，点D，E，F分别为△ABC的三边AB，BC，CA的中点．求证：
(1)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BE,\s\up7(―→))＝eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \(CE,\s\up7(―→))；
(2)eq \(EA,\s\up7(―→))＋eq \(FB,\s\up7(―→))＋eq \(DC,\s\up7(―→))＝0.
证明：(1)由向量加法的三角形法则，
∵eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BE,\s\up7(―→))＝eq \(AE,\s\up7(―→))，eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \(CE,\s\up7(―→))＝eq \(AE,\s\up7(―→))，
∴eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BE,\s\up7(―→))＝eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \(CE,\s\up7(―→)).
(2)由向量加法的平行四边形法则，
∵eq \(EA,\s\up7(―→))＝eq \(EF,\s\up7(―→))＋eq \(ED,\s\up7(―→))，eq \(FB,\s\up7(―→))＝eq \(FE,\s\up7(―→))＋eq \(FD,\s\up7(―→))，eq \(DC,\s\up7(―→))＝eq \(DF,\s\up7(―→))＋eq \(DE,\s\up7(―→))，
∴eq \(EA,\s\up7(―→))＋eq \(FB,\s\up7(―→))＋eq \(DC,\s\up7(―→))＝eq \(EF,\s\up7(―→))＋eq \(ED,\s\up7(―→))＋eq \(FE,\s\up7(―→))＋eq \(FD,\s\up7(―→))＋eq \(DF,\s\up7(―→))＋eq \(DE,\s\up7(―→))
＝(eq \(EF,\s\up7(―→))＋eq \(FE,\s\up7(―→)))＋(eq \(ED,\s\up7(―→))＋eq \(DE,\s\up7(―→)))＋(eq \(FD,\s\up7(―→))＋eq \(DF,\s\up7(―→)))
＝0＋0＋0＝0.
拓展练
1．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则eq \(OP,\s\up7(―→))＋eq \(OQ,\s\up7(―→))＝( )
A.eq \(OH,\s\up7(―→)) B.eq \(OG,\s\up7(―→))
C.eq \(FO,\s\up7(―→)) D.eq \(EO,\s\up7(―→))
解析：选C eq \(OP,\s\up7(―→))＋eq \(OQ,\s\up7(―→))＝eq \(FO,\s\up7(―→)).故选C.
2．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足eq \(PA,\s\up7(―→))＋eq \(PB,\s\up7(―→))＝eq \(PC,\s\up7(―→))，则下列结论中正确的是( )
A．P在△ABC的内部
B．P在△ABC的边AB上
C．P在AB边所在的直线上
D．P在△ABC的外部
解析：选D eq \(PA,\s\up7(―→))＋eq \(PB,\s\up7(―→))＝eq \(PC,\s\up7(―→))，根据平行四边形法则，如图，则点P在△ABC外．故选D.
3．若在△ABC中，eq \(AB,\s\up7(―→))＝a，eq \(BC,\s\up7(―→))＝b，且|a|＝|b|＝1，|a＋b|＝eq \r(2)，则△ABC的形状是( )
A．正三角形 B．锐角三角形
C．斜三角形 D．等腰直角三角形
解析：选D 由于eq \(AB,\s\up7(―→))＝|a|＝1，|eq \(BC,\s\up7(―→))|＝|b|＝1，|eq \(AC,\s\up7(―→))|＝|a＋b|＝eq \r(2)，所以△ABC为等腰直角三角形．故选D.
4．已知|eq \(AB,\s\up7(―→))|＝10，|eq \(AC,\s\up7(―→))|＝7，则|eq \(BC,\s\up7(―→))|的取值范围是( )
A．[3,17] B．(3,17)
C．(3,10) D．[3,10]
解析：选A 利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质及eq \(AB,\s\up7(―→))与eq \(AC,\s\up7(―→))共线时的情况求解．即|eq \(AB,\s\up7(―→))|－|eq \(AC,\s\up7(―→))|≤|eq \(BC,\s\up7(―→))|≤|eq \(AC,\s\up7(―→))|＋|eq \(AB,\s\up7(―→))|，故3≤|eq \(BC,\s\up7(―→))|≤17.故选A.
5．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，向量|eq \(AB,\s\up7(―→))|＝1，则|eq \(BC,\s\up7(―→))＋eq \(CD,\s\up7(―→))|＝________.
解析： 在△ABD中，AD＝AB＝1，∠DAB＝60°，△ABC是等边三角形，则BD＝1，则|eq \(BC,\s\up7(―→))＋eq \(CD,\s\up7(―→))|＝|eq \(BD,\s\up7(―→))|＝1.
答案：1
6.如图，已知电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力|F1|＝24 N. 绳BO与墙壁垂直，所受拉力|F2|＝12 N，则F1与F2的合力大小为_______，方向为_______.
解析：以eq \(OA,\s\up7(―→))，eq \(OB,\s\up7(―→))为邻边作平行四边形BOAC，则F1＋F2＝F，即eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→))＝eq \(OC,\s\up7(―→))，则∠OAC＝60°，|eq \(OA,\s\up7(―→))|＝24，
|eq \(AC,\s\up7(―→))|＝|eq \(OB,\s\up7(―→))|＝12，∴∠ACO＝90°，∴|eq \(OC,\s\up7(―→))|＝12eq \r(3).
∴F1与F2的合力大小为12eq \r(3) N，方向为竖直向上．
答案：12eq \r(3) N 竖直向上
7.如图所示，∠AOB＝∠BOC＝120°，|eq \(OA,\s\up7(―→))|＝|eq \(OB,\s\up7(―→))|＝|eq \(OC,\s\up7(―→))|，求eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→))＋eq \(OC,\s\up7(―→)).
解：如图所示，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB，由向量加法的平行四边形法则知
eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→))＝eq \(OD,\s\up7(―→)).
由|eq \(OA,\s\up7(―→))|＝|eq \(OB,\s\up7(―→))|，∠AOB＝120°，
知∠BOD＝60°，|eq \(OB,\s\up7(―→))|＝|eq \(OD,\s\up7(―→))|.
又∠COB＝120°，且|eq \(OB,\s\up7(―→))|＝|eq \(OC,\s\up7(―→))|.
∴eq \(OD,\s\up7(―→))＋eq \(OC,\s\up7(―→))＝0，故eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→))＋eq \(OC,\s\up7(―→))＝0.
培优练
如图，已知向量a，b，c，d.
(1)求作a＋b＋c＋d.
(2)设|a|＝2，e为单位向量，试探索|a＋e|的最大值．
解：(1)在平面内任取一点O，作eq \(OA,\s\up7(―→))＝a，eq \(AB,\s\up7(―→))＝b，eq \(BC,\s\up7(―→))＝c，eq \(CD,\s\up7(―→))＝d，则eq \(OD,\s\up7(―→))＝a＋b＋c＋d.
(2)在平面内任取一点O，
作eq \(OA,\s\up7(―→))＝a，eq \(AB,\s\up7(―→))＝e，
则a＋e＝eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \(OB,\s\up7(―→))，
因为e为单位向量，
所以点B在以A为圆心的单位圆上(如图所示)，
由图可知当点B在点B1时，即O，A，B1三点共线时，
|a＋e|最大，最大值是3.