人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算随堂练习题

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算随堂练习题，共32页。试卷主要包含了如图，已知向量，，求作向量，，在中，计算；，化简下列各式，下列命题中正确的是______等内容，欢迎下载使用。

向量加法的三角形法则
作法：
已知向量、,在平面上任取一点A,作,,作向量,则向量叫做向量与的和(或和向量),记作+,即.这种求两个向量和的作图法则,叫做向量求和的三角形法则.
C
A
A
A
A
a+b
b
a
b
a
B
注：两个向量的和仍然是一个向量
三角形法则规律：
作平移,首尾连，由起点指终点
例1．如图，已知向量，，求作向量．（用三角形法则）
举一反三
1．如图，在下列各小题中，已知向量、，分别用两种方法求作向量．
2．如图，已知向量，，不共线，作向量++．
向量加法的平行四边形法则
已知向量、,在平面上任取一点A,作,,如果A、B、D不共线,则以AB、AD为邻边作平行四边形ABCD,则对角线上的向量=+=+.这种求两个向量和的作图法则,叫做向量求和的平行四边形法则.
C
+
O
A
B
注：作平移,共起点,四边形,对角线
例2．如图，已知向量，，求作向量．
举一反三
1．请用平行四边形法则作出，
.
2．设向量表示“向东走3nmile”，向量表示“向北偏东30°走3nmile”，则表示什么？
三、共线向量的加法
A
B
C
= +
1、方向相同：意义类似于有理数加法中的“同号两数相加”，即和向量的长度等于两个向量的长长之和，方向与它们相同。
A
B
C
= －
2、方向相反：类似于“异号两数相加”作法运用三角形法则，作法依然可用三角形法制。
和向量的长度等于用较长的模减去较短的模，方向取模较长的向量的方向。
例3.如图，已知向量，，求作向量．
举一反三
如图①所示，求作向量；
四、向量加法的多边形法则
将n个向量首尾相接，以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量。即为这n个向量的和向量。
注：若平面内有n个首尾相接的向量,构成一个封闭图形,那么这n个向量的和是
例4．（1）如图（1），在中，计算；
（2）如图（2），在四边形ABCD中，计算；
（3）如图（3），在n边形中，证明你的结论.

举一反三
如图，O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量：
(1)；
(2)
(3)．
五、向量加法的交换律和结合律
1、交换律： + = + ，如图，由三角形法则可知向量的加法满足交换律。
++
A
B
C
D
2、结合律：如图：（+）+= ，+（+）=，所以（+）+ = +（+）
+
+
由上图还可知，++ =++ = ，可见将三个向量首尾相加，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点，多个向量相加，同理可得结果。
可见，三角形法则不仅适用于两个向量相加，同样用于多个向量相加，同时也说明三角形法则的实质是首尾相接，而不是一定表示向量的有向线段要构成三角形。
例5．化简下列各式：
(1)；
(2)；
(3)．
举一反三
化简（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）.
拓展创新
例7、如图:
(1)以A为始点,作出;
(2)以B为始点,作出;
(3)假设为单位向量,写出,和.
巩固提升
一、单选题
1．点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则＋＋等于（ ）
A．B．
C．D．0
2．在矩形ABCD中，，，则向量的长度为（ ）
A．B．C．12D．6
3．如图所示的方格纸中有定点O、P、Q、E、F、G、H，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知向量，且，则向量的方向（ ）
A．与向量的方向相同B．与向量的方向相反
C．与向量的方向相同D．不确定
二、多选题
5．在中，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，点G为的重心，则下述结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（多选）下列结论中错误的是（ ）
A．两个向量的和仍是一个向量
B．向量与的和是以的始点为始点，以的终点为终点的向量
C．
D．向量与都是单位向量，则
三、填空题
7．两个大小相等的共点力与，若当它们的夹角为时合力大小为，则当它们的夹角为时合力大小为______．
8．下列命题中正确的是______．
①空间向量与是共线向量，则，，，四点必在一条直线上；
②单位向量一定是相等向量；
③相反向量一定不相等；
④四点不共线，则为平行四边形的充要条件是，
⑤模为0的向量方向是不确定的．
四、解答题
9．如图，已知和点P，请以点P为起点，分别在图中作出下列向量：
(1)与相等的向量；
(2)与互为相反向量的向量.
10．如图，已知D， E， F分别是△ABC三边AB， BC， CA的中点，求证：
6.2.1向量的加法运算
向量加法的定义：求两个向量和的运算,叫做向量的加法.
向量加法的三角形法则
作法：
已知向量、,在平面上任取一点A,作,,作向量,则向量叫做向量与的和(或和向量),记作+,即.这种求两个向量和的作图法则,叫做向量求和的三角形法则.
C
A
A
A
A
a+b
b
a
b
a
B
注：两个向量的和仍然是一个向量
三角形法则规律：
作平移,首尾连，由起点指终点
例1．如图，已知向量，，求作向量．（用三角形法则）
【解析】
将两个向量的起点移到点，利用三角形法则或平行四边形法则作出.
【详解】
作法：在平面内任取一点（图（1）），作，，则．
【点睛】
本题考查平面向量加法的几何意义，考查数形结合思想，属于基础题.
举一反三
1．如图，在下列各小题中，已知向量、，分别用两种方法求作向量．
【答案】见解析
【解析】
将的起点移到的终点或将两个向量的起点移到点，利用三角形法则或平行四边形法则作出.
【详解】
将的起点移到的终点，再首尾相接，可得；
（1）；（2）；
（3）.
【点睛】
本题考查平面向量加法的几何意义，考查数形结合思想，属于基础题.
2．如图，已知向量，，不共线，作向量++．
【答案】答案见详解.
【解析】
【分析】
利用向量加法的三角形法则即可求解.
【详解】
由向量加法的三角形法则，
++如图，
向量加法的平行四边形法则
已知向量、,在平面上任取一点A,作,,如果A、B、D不共线,则以AB、AD为邻边作平行四边形ABCD,则对角线上的向量=+=+.这种求两个向量和的作图法则,叫做向量求和的平行四边形法则.
C
+
O
A
B
注：作平移,共起点,四边形,对角线
例2．如图，已知向量，，求作向量．
【解析】
【分析】
根据，的位置关系，通过平移，使其起点或终点与的起点重合，再由平行四边形法则、向量共线的性质，即可画出.
【详解】
平移，使其起点与起点重合，再应用平行四边形法则，作出，如下图示：
举一反三
1．请用平行四边形法则作出，
.
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】在平面内任取一点，作，，，再由向量加法的平行四边形法则计算，即可求解.
【详解】
在平面内任取一点，作，，，
如图，以，为邻边作平行四边形，
再以，为邻边作平行四边形，
则，.
2．设向量表示“向东走3nmile”，向量表示“向北偏东30°走3nmile”，则表示什么？
【答案】“向东偏北30°走nmile”.
【解析】
【分析】
利用平面向量加法的几何意义，应用数形结合法画出，结合题设判断其所代表的的实际意义.
【详解】
由题设，使、的起点相同，得如下示意图，
，则为
三、共线向量的加法
A
B
C
= +
1、方向相同：意义类似于有理数加法中的“同号两数相加”，即和向量的长度等于两个向量的长长之和，方向与它们相同。
A
B
C
= －
2、方向相反：类似于“异号两数相加”作法运用三角形法则，作法依然可用三角形法制。
和向量的长度等于用较长的模减去较短的模，方向取模较长的向量的方向。
例3.如图，已知向量，，求作向量．
【详解】
平移，使其终点与起点重合，再以的起点为起点，的终点为终点作，如下图示：
举一反三
如图①所示，求作向量；
【详解】
解：（1）首先作向量，然后作向量，则向量，如图③所示.
四、向量加法的多边形法则
将n个向量首尾相接，以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量。即为这n个向量的和向量。
注：若平面内有n个首尾相接的向量,构成一个封闭图形,那么这n个向量的和是
例4．（1）如图（1），在中，计算；
（2）如图（2），在四边形ABCD中，计算；
（3）如图（3），在n边形中，证明你的结论.

【答案】（1）（2）（3），见解析
【解析】
根据向量的加法法则直接对各式计算即可.
【详解】
解：（1）
（2）.
（3）.
证明如下：
【点睛】
本题考查向量加法的运算法则，属于基础题.
举一反三
如图，O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量：
(1)；
(2)
(3)．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【解析】
【分析】
利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则进行求解﹒
(1)
因为四边形OABC是以OA，OC为邻边的平行四边形，OB为其对角线，所以．
(2)
因为与方向相同且长度相等，所以与是相同的向量，从而与方向相同，长度为长度的2倍，因此，可用表示，即．
(3)
因为与是一对相反向量，所以．
五、向量加法的交换律和结合律
1、交换律： + = + ，如图，由三角形法则可知向量的加法满足交换律。
++
A
B
C
D
2、结合律：如图：（+）+= ，+（+）=，所以（+）+ = +（+）
+
+
由上图还可知，++ =++ = ，可见将三个向量首尾相加，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点，多个向量相加，同理可得结果。
可见，三角形法则不仅适用于两个向量相加，同样用于多个向量相加，同时也说明三角形法则的实质是首尾相接，而不是一定表示向量的有向线段要构成三角形。
例5．化简下列各式：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）直接根据向量的加法运算法则得到答案.
（2）直接根据向量的加法运算法则得到答案.
（3）直接根据向量的加法运算法则得到答案.
(1)
.
(2)
.
(3)
.
举一反三
化简（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.
【解析】
【分析】
（1）利用平面向量加法的三角形法则化简可得结果；
（2）利用平面向量加法的三角形法则化简可得结果；
（3）利用平面向量加法的三角形法则化简可得结果；
（4）利用平面向量加法的三角形法则化简可得结果；
（5）利用平面向量加法的三角形法则化简可得结果.
【详解】
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）.
拓展创新
例7、如图:
(1)以A为始点,作出;
(2)以B为始点,作出;
(3)假设为单位向量,写出,和.
【答案】(1)如图所示.(2)如图所示.(3),,.
【解析】
(1)根据向量的性质平移向量至处首尾相连即可.
(2)根据向量的性质平移向量至处首尾相连即可.
(3)根据图像直接计算即可.
【详解】
(1)将起点移至,再将起点移至的终点,再连接与的终点即可得.
(2)将起点移至,再将起点移至的终点, 再将起点移至的终点,再连接与的终点即可得.

(3)为单位向量，所以图中小正方形的边长为1，
由(1)有,，
由(2)有.
巩固提升
一、单选题
1．点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则＋＋等于（ ）
A．B．
C．D．0
【答案】A
【解析】
【分析】
利用平面向量的加法法则进行计算.
【详解】
故选：A.
2．在矩形ABCD中，，，则向量的长度为（ ）
A．B．C．12D．6
【答案】B
【解析】
【分析】
结合向量运算求得正确答案.
【详解】
因为，
所以的长度为的模的2倍．
又，
所以向量的长度为
故选：B
3．如图所示的方格纸中有定点O、P、Q、E、F、G、H，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算法则计算可得；
【详解】
解：如图建立平面直角坐标系，则，，，，，，所以，，，，，
所以，所以；
故选：C
4．已知向量，且，则向量的方向（ ）
A．与向量的方向相同B．与向量的方向相反
C．与向量的方向相同D．不确定
【答案】A
【解析】
【分析】
分别在和方向相同和相反两种情况下，结合模长大小关系可得结论.
【详解】
若和方向相同，则它们的和的方向应该与的方向相同；
若和方向相反，而的模大于的模，则它们的和的方向与的方向相同.
综上所述：向量的方向与向量的方向相同.
故选：A.
二、多选题
5．在中，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，点G为的重心，则下述结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【解析】
【分析】
根据向量的加法运算、相反向量、中线的向量表示，重心的性质分别计算求解.
【详解】
由D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，点G为的重心，
因为，故A错误；
由, 故B错误；
因为, 故C正确；
因为
, 故D正确.
故选：CD
6．（多选）下列结论中错误的是（ ）
A．两个向量的和仍是一个向量
B．向量与的和是以的始点为始点，以的终点为终点的向量
C．
D．向量与都是单位向量，则
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据向量的相关概念，对选项逐一判断即可.
【详解】
两个向量的和差运算结果都是是一个向量，所以A正确；
两个向量的加法遵循三角形法则，只有当首尾相连时才成立，故B错误；
任何向量与相加都得其本身，故C正确；
两个单位向量的方向没有确定，当它们方向相同时才成立，故D错误；
故选：BD
三、填空题
7．两个大小相等的共点力与，若当它们的夹角为时合力大小为，则当它们的夹角为时合力大小为______．
【答案】
【解析】
【分析】
先由已知根据平行四边形法则求出分力的大小，当夹角为120°时，再根据三角形法则求出合力的大小．
【详解】
对于两个大小相等的共点力，，
当它们的夹角为，合力的大小为时，
由平行四边形法则可知，这两个力的大小都是，
当它们的夹角为时，
由三角形法则可知力的合成构成一个等边三角形，
因此合力的大小为．
故答案为：．
8．下列命题中正确的是______．
①空间向量与是共线向量，则，，，四点必在一条直线上；
②单位向量一定是相等向量；
③相反向量一定不相等；
④四点不共线，则为平行四边形的充要条件是，
⑤模为0的向量方向是不确定的．
【答案】④⑤
【解析】
【分析】
根据共线向量的概念，以及单位向量、零向量的定义，以及充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解.
【详解】
由共线向量即为平行向量，只要求两个向量方向相同或相反即可，并不要求两个向量，在同一条直线上，所以①不正确．
由单位向量的模均相等且为1，但方向并不一定相同，所以②不正确．
零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的，所以③不正确，．
若，可得且，所以四边形为平行四边形，
当为平行四边形时，可得，所以④正确．
由模为0的向量为，其中的方向是不确定的，所以⑤正确．
故答案为：④⑤.
四、解答题
9．如图，已知和点P，请以点P为起点，分别在图中作出下列向量：
(1)与相等的向量；
(2)与互为相反向量的向量.
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
【解析】
【分析】
利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合题图及相等、相反向量的定义画出、即可.
(1)
连接，过作，过作，且交于点，
∴由相等向量的定义知：即为所求，如下图示：
(2)
连接，过作，过作，且交于点，
∴由相反向量的定义知：即为所求，如下图示：
10．如图，已知D， E， F分别是△ABC三边AB， BC， CA的中点，求证：
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
根据向量运算得到，，，相加得到证明.
【详解】
如图，连接DE， EF， FD,
因为D， E， F分别是△ABC三边的中点，所以四边形ADEF为平行四边形．
由向量加法的平行四边形法则，得①,
同理②，③，将①②③式相加，
.