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数学必修 第二册第十章 概率10.3 频率与概率同步练习题
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这是一份数学必修 第二册第十章 概率10.3 频率与概率同步练习题，共21页。试卷主要包含了6，0等内容，欢迎下载使用。
在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A).
例1：1．在北京消费季活动中，某商场为促销举行购物抽奖活动，规定购物消费每满200元就可以参加一次抽奖活动，中奖的概率为.那么以下理解正确的是（ ）
A．某顾客抽奖10次，一定能中奖1次
B．某顾客抽奖10次，可能1次也没中奖
C．某顾客消费210元，一定不能中奖
D．某顾客消费1000元，至少能中奖1次
2.对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下：
①根据表中数据分别计算6次试验中抽到优等品的频率；
②该厂生产的电视机为优等品的概率约是多少？
3.一个地区从某年起4年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表所示：
(1)计算男婴出生的频率(保留4位小数)；
(2)这一地区男婴出生的概率约是多少？
举一反三
1．甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，若两人各投2次，则两人投中次数不等的概率是（ ）
A．0.6076B．0.7516C．0.3924D．0.2484
2.设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球，1个黑球，乙箱中有1个白球，99个黑球.先随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球.推断这球是从哪一个箱子中取出的？
.
3. 为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，如200只，给每只天鹅作上记号且不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让它们和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，如150只.查看其中有记号的天鹅，设有20只，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量.
知识点二 随机模拟
用频率估计概率，需做大量的重复试验，我们可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了.我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法.
随机数与伪随机数
(1) 随机数
要产生 1 ～ n ( n ∈ N * ) 之间的随机整数，把 n 个 大小形状 相同的小球分别标上 1 ， 2 ， 3 ， … ， n ，放入一个袋中，把它们 充分搅拌 ，然后从中摸出一个，这个球上的数就称为随机数．
(2) 伪随机数
计算机或计算器产生的随机数是依照 确定算法 产生的数，具有 周期性 ( 周期 很长 ) ，它们具有类似 随机数 的性质．因此，计算机或计算器产生的并不是 真正的随机数 ，我们称它们为伪随机数．
整数值随机数的产生及应用
(1) 产生整数值随机数的方法
用计算器的随机函数 RANDI( a ， b ) 或计算机的随机函数 RANDBET WEEN( a ， b ) 可以产生从整数 a 到整数 b 的取整数值的随机数；也可用计算机中的 Excel 软件产生随机数．
用计算机或计算器模拟试验的方法称为 随机模拟 方法．
(2) 整数值的随机数的应用
利用计算器或计算机产生的 随机数 来做模拟试验，通过模拟试验得到的 频率 来估计概率，这种用计算器或计算机模拟试验的方法称为 随机模拟 方法或 蒙特卡罗 方法．
例2：1.有4个大小、形状相同的小球，装在一个不透明的袋子中，小球上分别标有数字1，2，3，4．现每次有放回地从中随机取出一个小球，直到标有偶数的球都取到过就停止．小明用随机模拟的方法估计恰好在第4次停止摸球的概率，利用计算机软件产生随机数，每1组中有4个数字，分别表示每次摸球的结果，经随机模拟产生了以下21组随机数：
1314 1234 2333 1224 3322 1413 3124 4321 2341 2413
1224 2143 4312 2412 1413 4331 2234 4422 3241 4331 4234
由此可以估计恰好在第4次停止摸球的概率为（ ）
A．B．C．D．
3.经统计某射击运动员随机射击一次命中目标的概率为，为估计该运动员射击4次恰好命中3次的概率，现采用随机模拟的方法，先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，用0，1，2表示没有击中，用3，4，5，6，7，8，9表示击中，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
9597，7424，7610，4281，7520，0293，7140，9857，0347，4373，
0371，6233，2616，8045，6011，3661，8638，7815，1457，5550．
根据以上数据，则可估计该运动员射击4次恰有3次命中的概率为（ ）．
A．B．C．D．
举一反三
1.总体由编号为01，02，…，29，30的30个个体组成.利用下面的随机数表选取7个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（ ）
A．08B．07C．04D．01
【答案】C
2.天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，其中，，，为下雨，，，，，，为不下雨，这三天中恰有一天下雨的概率大约是（ ）
附随机数表:
A．25%B．30%C．45%D．55%
3.一个袋中有7个大小、形状相同的小球，6个白球，1个红球，现任取1个球，若为红球就停止，若为白球就放回，搅拌均匀后再接着取，试设计一个模拟试验计算恰好第三次摸到红球的概率.
巩固提升
一、单选题
1．一个容量为20的样本数据，分组与频数如下表：
则样本在[10，50)内的频率为（ ）
A．0.5B．0.24C．0.6D．0.7
2．中国农历的二十四节气是中华民族的智慧与传统文化的结晶，二十四节气歌是以春、夏、秋、冬开始的四句诗.在国际气象界，二十四节气被誉为“中国的第五大发明”.2016年11月30日，二十四节气被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.某小学三年级共有学生600名，随机抽查100名学生并提问二十四节气歌，只能说出一句的有45人，能说出两句及以上的有38人，据此估计该校三年级的600名学生中，对二十四节气歌一句也说不出的有（ ）
A．17人B．83人C．102人D．115人
3．抛掷一枚质地均匀的硬币，设事件“正面向上”，则下列说法正确的是（ ）
A．抛掷硬币10次，事件A必发生5次
B．抛掷硬币100次，事件A不可能发生50次
C．抛掷硬币1000次，事件A发生的频率一定等于0.5
D．随着抛掷硬币次数的增多，事件A发生的频率在0.5附近波动的幅度较大的可能性小
4．某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：
812，832，569，683，271，989，730，537，925，907
由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（ ）
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5
5．“优选法”，是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法．在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选”提高检测效率：每16人为组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该16人再次抽检确认感染者．某组16人中恰有一人感染(鼻咽拭子样本检验将会是阳性)，若逐一检测可能需要15次才能确认感染者．现在先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查……以此类推，最终从这16人中认定那名感染者需要经过（ ）次检测．
A．3B．4C．5D．6
6．独立地重复一个随机试验次，设随机事件发生的频率为，随机事件发生的概率为，有如下两个判断：①如果是单元素集，则；②集合不可能只含有两个元素，其中（ ）
A．①正确，②正确B．①错误，②正确
C．①正确，②错误D．①错误，②错误
二、多选题
7．(多选)甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是（ ）
A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B．同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜
C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜
D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
8．某学校组织了一次劳动技能大赛，共有100名学生参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在内，得分60分以下为不及格，其得分的频率分布直方图如图所示（按得分分成这五组），则下列结论正确的是（ ）
A．直方图中
B．此次比赛得分不及格的共有40人
C．以频率为概率，从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在的概率为0.5
D．这100名参赛者得分的中位数为65
三、填空题
9．天气预报说，在接下来的一个星期里，每天涨潮的概率为20%，设计一个符合要求的模拟试验：利用计算机产生0~9之间取整数值的随机数，用1，2表示涨潮，用其他数字表示不涨潮，这样体现了涨潮的概率是20%，因为时间是一周，所以每7个随机数作为一组，假设产生20组随机数是：
则下个星期恰有2天涨潮的概率为___________.
10．一个口袋中装有若干个除颜色不同外其他都完全相同的红球和黑球，某同学每次随机取出一个球，观察颜色后放回，连续取了10次，发现取出红球3次，则估计红球在口袋中的占比为______．
四、解答题
11．为弘扬中华优秀传统文化，鼓励全民阅读经典书籍，某市举行阅读月活动，现统计某街道约10000人在该活动月每人每日平均阅读时间（分钟）的频率分布直方图如图：
(1)求x的值；
(2)从该街道任选1人，则估计这个人的每日平均阅读时间超过60分钟的概率.
12．甲乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）完游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.
（1）设分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲乙二人抽到的牌的所有情况；
（2）若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？
（3）甲乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜，你认为此游戏是否公平，说明你的理由.
抽取台数
50
100
200
300
500
1 000
优等品数
40
92
192
285
478
954
时间范围
1年内
2年内
3年内
4年内
新生婴儿数n
5 544
9 607
13 520
17 190
男婴数m
2 883
4 970
6 994
8 892
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
分组
频数
2
3
4
5
4
2
10.3平率与概率（讲义+例题+小练）
知识点一 频率的稳定性
在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A).
例1：1．在北京消费季活动中，某商场为促销举行购物抽奖活动，规定购物消费每满200元就可以参加一次抽奖活动，中奖的概率为.那么以下理解正确的是（ ）
A．某顾客抽奖10次，一定能中奖1次
B．某顾客抽奖10次，可能1次也没中奖
C．某顾客消费210元，一定不能中奖
D．某顾客消费1000元，至少能中奖1次
【答案】B
【分析】
根据概率的定义进行判断.
【详解】
解：中奖概率表示每一次抽奖中奖的可能性都是，
故不论抽奖多少次，都可能一次也不中奖，
故选：B.
【点睛】
此题考查对概率定义的理解，属于基础题
2.对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下：
①根据表中数据分别计算6次试验中抽到优等品的频率；
②该厂生产的电视机为优等品的概率约是多少？
解 ①抽到优等品的频率分别为0.8,0.92,0.96,0.95,0.956,0.954.
②由表中数据可估计优等品的概率约为0.95.
反思感悟 (1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率.
(2)频率本身是随机的，在试验前不能确定.
(3)概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关.
3.一个地区从某年起4年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表所示：
(1)计算男婴出生的频率(保留4位小数)；
(2)这一地区男婴出生的概率约是多少？
解 (1)计算eq \f(m,n)即得男婴出生的频率依次约是0.520 0，0.517 3，0.517 3,0.517 3.
(2)随着新生婴儿数的增多，男婴出生的频率接近0.517 3，因此，这一地区男婴出生的概率约为0.517 3.
举一反三
1．甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，若两人各投2次，则两人投中次数不等的概率是（ ）
A．0.6076B．0.7516C．0.3924D．0.2484
【答案】A
【分析】
先求出两人投中次数相等的概率，再根据对立事件的概率公式可得两人投中次数不相等的概率.
【详解】
两人投中次数相等的概率P＝，
故两人投中次数不相等的概率为：1﹣0.3924＝0.6076.
故选：A.
【点睛】
本题考查了对立事件的概率公式和独立事件的概率公式，属于基础题.
2.设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球，1个黑球，乙箱中有1个白球，99个黑球.先随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球.推断这球是从哪一个箱子中取出的？
解 甲箱中有99个白球，1个黑球，故随机地取出一球，得到白球的可能性是eq \f(99,100).乙箱中有1个白球，99个黑球，从中任取一球，得到白球的可能性是eq \f(1,100).由此可见，这一白球从甲箱中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得多.既然在一次抽样中抽到白球，当然可以认为是从概率大的箱子中取出的.所以我们作出统计推断：该白球是从甲箱中取出的.
反思感悟 在一次试验中，概率大的事件比概率小的事件出现的可能性更大.
3. 为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，如200只，给每只天鹅作上记号且不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让它们和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，如150只.查看其中有记号的天鹅，设有20只，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量.
解 设保护区中天鹅的数量为n，假设每只天鹅被捕到的可能性是相等的，从保护区中任捕一只，
设事件A＝{捕到带有记号的天鹅}，则P(A)＝eq \f(200,n).
从保护区中捕出150只天鹅，
其中有20只带有记号，
由概率的定义可知P(A)≈eq \f(20,150).
由eq \f(200,n)≈eq \f(20,150)，解得n≈1 500，
知识点二 随机模拟
用频率估计概率，需做大量的重复试验，我们可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了.我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法.
随机数与伪随机数
(1) 随机数
要产生 1 ～ n ( n ∈ N * ) 之间的随机整数，把 n 个 大小形状 相同的小球分别标上 1 ， 2 ， 3 ， … ， n ，放入一个袋中，把它们 充分搅拌 ，然后从中摸出一个，这个球上的数就称为随机数．
(2) 伪随机数
计算机或计算器产生的随机数是依照 确定算法 产生的数，具有 周期性 ( 周期 很长 ) ，它们具有类似 随机数 的性质．因此，计算机或计算器产生的并不是 真正的随机数 ，我们称它们为伪随机数．
整数值随机数的产生及应用
(1) 产生整数值随机数的方法
用计算器的随机函数 RANDI( a ， b ) 或计算机的随机函数 RANDBET WEEN( a ， b ) 可以产生从整数 a 到整数 b 的取整数值的随机数；也可用计算机中的 Excel 软件产生随机数．
用计算机或计算器模拟试验的方法称为 随机模拟 方法．
(2) 整数值的随机数的应用
利用计算器或计算机产生的 随机数 来做模拟试验，通过模拟试验得到的 频率 来估计概率，这种用计算器或计算机模拟试验的方法称为 随机模拟 方法或 蒙特卡罗 方法．
例2：1.有4个大小、形状相同的小球，装在一个不透明的袋子中，小球上分别标有数字1，2，3，4．现每次有放回地从中随机取出一个小球，直到标有偶数的球都取到过就停止．小明用随机模拟的方法估计恰好在第4次停止摸球的概率，利用计算机软件产生随机数，每1组中有4个数字，分别表示每次摸球的结果，经随机模拟产生了以下21组随机数：
1314 1234 2333 1224 3322 1413 3124 4321 2341 2413
1224 2143 4312 2412 1413 4331 2234 4422 3241 4331 4234
由此可以估计恰好在第4次停止摸球的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据题中数据，找到满足条件的组数，代入公式，即可求得答案.
【详解】
由题意得，直到标有偶数的球都取到过就停止，且恰好在第4次停止摸球，
表示所得到的4个数中包含2和4，且前3次只能出现2或4中的一个（不限次数），第4次又摸到另外一个偶数，
有1234，1224，3124，1224，4312，2234共有6组，
所以恰好在第4次停止摸球的概率.
故选：C
3.经统计某射击运动员随机射击一次命中目标的概率为，为估计该运动员射击4次恰好命中3次的概率，现采用随机模拟的方法，先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，用0，1，2表示没有击中，用3，4，5，6，7，8，9表示击中，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
9597，7424，7610，4281，7520，0293，7140，9857，0347，4373，
0371，6233，2616，8045，6011，3661，8638，7815，1457，5550．
根据以上数据，则可估计该运动员射击4次恰有3次命中的概率为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据20组随机数得出该运动员射击4次恰好命中3次的随机数共组，由此能求出对应的概率值.
【详解】
根据随机模拟产生的20组随机数知，
该运动员射击4次恰好命中3次的随机数为：
7424，0347，6233，8045，3661，7815，1457，5550，共组，
由以上数据该运动员射击4次恰有3次命中的概率为.
故选：A
【点睛】
本题考查了随机模拟试验、古典概型的概率计算公式，属于基础题.
举一反三
1.总体由编号为01，02，…，29，30的30个个体组成.利用下面的随机数表选取7个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（ ）
A．08B．07C．04D．01
【答案】C
【分析】
首先根据题意找到第一个数字，因为有个个体故舍去，然后再按照由左到右依次选取两个数字，去掉重复的编号，即可找到第个数字.
【详解】
由题知：第一个数为，不符合条件，
第二个数为，不符合条件，
第三个数为，符合条件，
以下符合条件的数字依次是，，，，，
故第个数字为.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查随机数表法，熟练掌握随机数表法的步骤为解题的关键，属于容易题.
2.天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，其中，，，为下雨，，，，，，为不下雨，这三天中恰有一天下雨的概率大约是（ ）
附随机数表:
A．25%B．30%C．45%D．55%
【答案】C
【分析】
根据随机模拟试验以及古典概型的概率计算公式即可求解.
【详解】
三天中恰有一天下雨的次数为：
，共次，
所以这三天中恰有一天下雨的概率大约为.
故选：C
【点睛】
本题考查了随机模拟试验、古典概型的概率计算公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
3.一个袋中有7个大小、形状相同的小球，6个白球，1个红球，现任取1个球，若为红球就停止，若为白球就放回，搅拌均匀后再接着取，试设计一个模拟试验计算恰好第三次摸到红球的概率.
解 用1,2,3,4,5,6表示白球，7表示红球，利用计算器或计算机产生1到7之间(包括1和7)取整数值的随机数，因为要求恰好第三次摸到红球的概率，所以每三个随机数作为一组，如下，产生20组随机数：
666 743 671 464 571
561 156 567 732 375
716 116 614 445 117
573 552 274 114 662
就相当于做了20次试验，在这些数组中，前两个数字不是7，第三个数字恰好是7就表示第一次、第二次摸到的是白球，第三次摸到的是红球，它们分别是567和117，共两组，因此恰好第三次摸到红球的概率约为eq \f(2,20)＝0.1.
巩固提升
一、单选题
1．一个容量为20的样本数据，分组与频数如下表：
则样本在[10，50)内的频率为（ ）
A．0.5B．0.24C．0.6D．0.7
【答案】D
【解析】
【分析】
根据频数分布表可得正确的选项.
【详解】
因为样本在[10，50)内的频数为2＋3＋4＋5＝14，样本容量为20，
所以在[10，50)内的频率为.
故选：D.
2．中国农历的二十四节气是中华民族的智慧与传统文化的结晶，二十四节气歌是以春、夏、秋、冬开始的四句诗.在国际气象界，二十四节气被誉为“中国的第五大发明”.2016年11月30日，二十四节气被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.某小学三年级共有学生600名，随机抽查100名学生并提问二十四节气歌，只能说出一句的有45人，能说出两句及以上的有38人，据此估计该校三年级的600名学生中，对二十四节气歌一句也说不出的有（ ）
A．17人B．83人C．102人D．115人
【答案】C
【解析】
【分析】
根据频率计算出正确答案.
【详解】
一句也说不出的学生频率为，
所以估计名学生中，一句也说不出的有人.
故选：C
3．抛掷一枚质地均匀的硬币，设事件“正面向上”，则下列说法正确的是（ ）
A．抛掷硬币10次，事件A必发生5次
B．抛掷硬币100次，事件A不可能发生50次
C．抛掷硬币1000次，事件A发生的频率一定等于0.5
D．随着抛掷硬币次数的增多，事件A发生的频率在0.5附近波动的幅度较大的可能性小
【答案】D
【解析】
【分析】
根据频率与概率的关系可得答案.
【详解】
不管抛掷硬币多少次，事件A发生的次数是随机事件，故ABC错误；
随着抛掷硬币次数的增多，事件A发生的频率在0.5附近波动的幅度较大的可能性小；
故选：D
4．某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：
812，832，569，683，271，989，730，537，925，907
由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（ ）
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5
【答案】A
【解析】
【分析】
由题可知10组随机数中表示“3例心脏手术全部成功”的有2组，即求.
【详解】
解：由题意，10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，表示“3例心脏手术全部成功”的有： 569, 989，故2个，
故估计“3例心脏手术全部成功”的概率为.
故选：A.
5．“优选法”，是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法．在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选”提高检测效率：每16人为组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该16人再次抽检确认感染者．某组16人中恰有一人感染(鼻咽拭子样本检验将会是阳性)，若逐一检测可能需要15次才能确认感染者．现在先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查……以此类推，最终从这16人中认定那名感染者需要经过（ ）次检测．
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【解析】
【分析】
根据检测方法进行模拟可得．
【详解】
16人平均分成两级，经过一次检验确定感染者在其中的8人中，再平均分成两组，第二次检测，确定感染者在其中的4人中，再平均分成两组，
第三次检测，确定感染者在其中的2人中，最后第四次检测，确定感染者．共4次检测．
故选：B．
6．独立地重复一个随机试验次，设随机事件发生的频率为，随机事件发生的概率为，有如下两个判断：①如果是单元素集，则；②集合不可能只含有两个元素，其中（ ）
A．①正确，②正确B．①错误，②正确
C．①正确，②错误D．①错误，②错误
【答案】B
【解析】
【分析】
对于①，举反例可判断①的正误；对于②，利用频率与概率的关系可判断②正误，即可得出结论.
【详解】
对于①，比如定义随机试验：从个红球中任意抽取个球，
定义随机事件三个球中有一个白球，则，且，①错；
对于②，频率会随着试验的变化而变化，是一个变化的值，但随着试验次数的增加，频率会接近于概率，
因此，不可能只含有两个元素，②对.
故选：B.
二、多选题
7．(多选)甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是（ ）
A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B．同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜
C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜
D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
【答案】ACD
【解析】
【分析】
求出每一个选项的情况下，甲胜和乙胜的概率即可判断得解.
【详解】
解：对于选项A，甲胜和乙胜的概率都是，所以游戏是公平的；
对于选项B，点数之和大于7和点数之和小于7的概率相等，但点数等于7时乙胜，所以甲胜的概率小，所以游戏不公平；
对于选项C，甲胜和乙胜的概率都是，所以游戏是公平的；
对于选项D，甲胜的概率是，乙胜的概率是，所以游戏是公平的.
故选：ACD
8．某学校组织了一次劳动技能大赛，共有100名学生参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在内，得分60分以下为不及格，其得分的频率分布直方图如图所示（按得分分成这五组），则下列结论正确的是（ ）
A．直方图中
B．此次比赛得分不及格的共有40人
C．以频率为概率，从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在的概率为0.5
D．这100名参赛者得分的中位数为65
【答案】ABC
【解析】
【分析】
由频率和为1求参数a，判断A；由直方图求60分以下的人数、求的频率判断B、C；由中位数的性质求中位数即可判断D.
【详解】
因为，所以，所以A正确；
因为不及格的人数为，所以B正确；
因为得分在的频率为，所以从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在的概率为0.5，所以C正确；
这100名参赛者得分的中位数为，所以D错误．
故选：ABC.
三、填空题
9．天气预报说，在接下来的一个星期里，每天涨潮的概率为20%，设计一个符合要求的模拟试验：利用计算机产生0~9之间取整数值的随机数，用1，2表示涨潮，用其他数字表示不涨潮，这样体现了涨潮的概率是20%，因为时间是一周，所以每7个随机数作为一组，假设产生20组随机数是：
则下个星期恰有2天涨潮的概率为___________.
【答案】.
【解析】
【分析】
由题意可知，恰有2天涨潮就是在这组数中，恰有两个是1或2，从这20组数找出恰有两个是1或2的个数，然后利用古典概型的概率公式求解即可
【详解】
产生20组随机数相当于做了20次试验，在这组数中，如果恰有两个是1或2，就表示恰有两天涨潮，它们分别是3142486，5241478，3215687，1258697，共有4组数，于是一周内恰有两天涨潮的概率近似值为，
故答案为：
10．一个口袋中装有若干个除颜色不同外其他都完全相同的红球和黑球，某同学每次随机取出一个球，观察颜色后放回，连续取了10次，发现取出红球3次，则估计红球在口袋中的占比为______．
【答案】##
【解析】
【分析】
根据已知条件求出摸出红球的频率，进而估计红球在口袋中的占比.
【详解】
取球10次，取出红球3次，取出红球的频率为，
故估计红球在口袋中的占比为
故答案为：
四、解答题
11．为弘扬中华优秀传统文化，鼓励全民阅读经典书籍，某市举行阅读月活动，现统计某街道约10000人在该活动月每人每日平均阅读时间（分钟）的频率分布直方图如图：
(1)求x的值；
(2)从该街道任选1人，则估计这个人的每日平均阅读时间超过60分钟的概率.
【答案】(1)
(2)0.7
【解析】
【分析】
（1）利用概率和为1计算可得的值；（2）求频率分布直方图中每人每日平均阅读时间超过60分钟的概率即为这个人阅读时间超过60分钟的概率.
(1)
由
得．
(2)
，
估计这个人的每日平均阅读时间超过60分钟的概率为．
12．甲乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）完游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.
（1）设分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲乙二人抽到的牌的所有情况；
（2）若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？
（3）甲乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜，你认为此游戏是否公平，说明你的理由.
【答案】（1）见解析；（2）；（3）不公平
【解析】
【详解】
（1）甲乙二人抽到的牌的所有情况（方片4用4’表示，红桃2，红桃3，红桃4分别用2，3，4表示）为：
（2，3）、（2，4）、（2，4’）、（3，2）、（3，4）、（3，4’）、
（4，2）、（4，3）、（4，4’）、（4’，2）、（4’，3）、（4’，4）
共12种不同情况
（2）甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，4’
因此乙抽到的牌的数字大于3的概率为
（3）由甲抽到的牌比乙大的有
（3，2）、（4，2）、（4，3）、（4’，2）、（4’，3）5种，
甲胜的概率，乙获胜的概率为，∵
∴此游戏不公平．
考点：列举法及古典概型的计算公式等有关知识的综合运用．
抽取台数
50
100
200
300
500
1 000
优等品数
40
92
192
285
478
954
时间范围
1年内
2年内
3年内
4年内
新生婴儿数n
5 544
9 607
13 520
17 190
男婴数m
2 883
4 970
6 994
8 892
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
分组
频数
2
3
4
5
4
2
在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A).
例1：1．在北京消费季活动中，某商场为促销举行购物抽奖活动，规定购物消费每满200元就可以参加一次抽奖活动，中奖的概率为.那么以下理解正确的是（ ）
A．某顾客抽奖10次，一定能中奖1次
B．某顾客抽奖10次，可能1次也没中奖
C．某顾客消费210元，一定不能中奖
D．某顾客消费1000元，至少能中奖1次
2.对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下：
①根据表中数据分别计算6次试验中抽到优等品的频率；
②该厂生产的电视机为优等品的概率约是多少？
3.一个地区从某年起4年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表所示：
(1)计算男婴出生的频率(保留4位小数)；
(2)这一地区男婴出生的概率约是多少？
举一反三
1．甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，若两人各投2次，则两人投中次数不等的概率是（ ）
A．0.6076B．0.7516C．0.3924D．0.2484
2.设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球，1个黑球，乙箱中有1个白球，99个黑球.先随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球.推断这球是从哪一个箱子中取出的？
.
3. 为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，如200只，给每只天鹅作上记号且不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让它们和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，如150只.查看其中有记号的天鹅，设有20只，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量.
知识点二 随机模拟
用频率估计概率，需做大量的重复试验，我们可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了.我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法.
随机数与伪随机数
(1) 随机数
要产生 1 ～ n ( n ∈ N * ) 之间的随机整数，把 n 个 大小形状 相同的小球分别标上 1 ， 2 ， 3 ， … ， n ，放入一个袋中，把它们 充分搅拌 ，然后从中摸出一个，这个球上的数就称为随机数．
(2) 伪随机数
计算机或计算器产生的随机数是依照 确定算法 产生的数，具有 周期性 ( 周期 很长 ) ，它们具有类似 随机数 的性质．因此，计算机或计算器产生的并不是 真正的随机数 ，我们称它们为伪随机数．
整数值随机数的产生及应用
(1) 产生整数值随机数的方法
用计算器的随机函数 RANDI( a ， b ) 或计算机的随机函数 RANDBET WEEN( a ， b ) 可以产生从整数 a 到整数 b 的取整数值的随机数；也可用计算机中的 Excel 软件产生随机数．
用计算机或计算器模拟试验的方法称为 随机模拟 方法．
(2) 整数值的随机数的应用
利用计算器或计算机产生的 随机数 来做模拟试验，通过模拟试验得到的 频率 来估计概率，这种用计算器或计算机模拟试验的方法称为 随机模拟 方法或 蒙特卡罗 方法．
例2：1.有4个大小、形状相同的小球，装在一个不透明的袋子中，小球上分别标有数字1，2，3，4．现每次有放回地从中随机取出一个小球，直到标有偶数的球都取到过就停止．小明用随机模拟的方法估计恰好在第4次停止摸球的概率，利用计算机软件产生随机数，每1组中有4个数字，分别表示每次摸球的结果，经随机模拟产生了以下21组随机数：
1314 1234 2333 1224 3322 1413 3124 4321 2341 2413
1224 2143 4312 2412 1413 4331 2234 4422 3241 4331 4234
由此可以估计恰好在第4次停止摸球的概率为（ ）
A．B．C．D．
3.经统计某射击运动员随机射击一次命中目标的概率为，为估计该运动员射击4次恰好命中3次的概率，现采用随机模拟的方法，先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，用0，1，2表示没有击中，用3，4，5，6，7，8，9表示击中，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
9597，7424，7610，4281，7520，0293，7140，9857，0347，4373，
0371，6233，2616，8045，6011，3661，8638，7815，1457，5550．
根据以上数据，则可估计该运动员射击4次恰有3次命中的概率为（ ）．
A．B．C．D．
举一反三
1.总体由编号为01，02，…，29，30的30个个体组成.利用下面的随机数表选取7个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（ ）
A．08B．07C．04D．01
【答案】C
2.天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，其中，，，为下雨，，，，，，为不下雨，这三天中恰有一天下雨的概率大约是（ ）
附随机数表:
A．25%B．30%C．45%D．55%
3.一个袋中有7个大小、形状相同的小球，6个白球，1个红球，现任取1个球，若为红球就停止，若为白球就放回，搅拌均匀后再接着取，试设计一个模拟试验计算恰好第三次摸到红球的概率.
巩固提升
一、单选题
1．一个容量为20的样本数据，分组与频数如下表：
则样本在[10，50)内的频率为（ ）
A．0.5B．0.24C．0.6D．0.7
2．中国农历的二十四节气是中华民族的智慧与传统文化的结晶，二十四节气歌是以春、夏、秋、冬开始的四句诗.在国际气象界，二十四节气被誉为“中国的第五大发明”.2016年11月30日，二十四节气被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.某小学三年级共有学生600名，随机抽查100名学生并提问二十四节气歌，只能说出一句的有45人，能说出两句及以上的有38人，据此估计该校三年级的600名学生中，对二十四节气歌一句也说不出的有（ ）
A．17人B．83人C．102人D．115人
3．抛掷一枚质地均匀的硬币，设事件“正面向上”，则下列说法正确的是（ ）
A．抛掷硬币10次，事件A必发生5次
B．抛掷硬币100次，事件A不可能发生50次
C．抛掷硬币1000次，事件A发生的频率一定等于0.5
D．随着抛掷硬币次数的增多，事件A发生的频率在0.5附近波动的幅度较大的可能性小
4．某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：
812，832，569，683，271，989，730，537，925，907
由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（ ）
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5
5．“优选法”，是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法．在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选”提高检测效率：每16人为组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该16人再次抽检确认感染者．某组16人中恰有一人感染(鼻咽拭子样本检验将会是阳性)，若逐一检测可能需要15次才能确认感染者．现在先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查……以此类推，最终从这16人中认定那名感染者需要经过（ ）次检测．
A．3B．4C．5D．6
6．独立地重复一个随机试验次，设随机事件发生的频率为，随机事件发生的概率为，有如下两个判断：①如果是单元素集，则；②集合不可能只含有两个元素，其中（ ）
A．①正确，②正确B．①错误，②正确
C．①正确，②错误D．①错误，②错误
二、多选题
7．(多选)甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是（ ）
A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B．同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜
C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜
D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
8．某学校组织了一次劳动技能大赛，共有100名学生参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在内，得分60分以下为不及格，其得分的频率分布直方图如图所示（按得分分成这五组），则下列结论正确的是（ ）
A．直方图中
B．此次比赛得分不及格的共有40人
C．以频率为概率，从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在的概率为0.5
D．这100名参赛者得分的中位数为65
三、填空题
9．天气预报说，在接下来的一个星期里，每天涨潮的概率为20%，设计一个符合要求的模拟试验：利用计算机产生0~9之间取整数值的随机数，用1，2表示涨潮，用其他数字表示不涨潮，这样体现了涨潮的概率是20%，因为时间是一周，所以每7个随机数作为一组，假设产生20组随机数是：
则下个星期恰有2天涨潮的概率为___________.
10．一个口袋中装有若干个除颜色不同外其他都完全相同的红球和黑球，某同学每次随机取出一个球，观察颜色后放回，连续取了10次，发现取出红球3次，则估计红球在口袋中的占比为______．
四、解答题
11．为弘扬中华优秀传统文化，鼓励全民阅读经典书籍，某市举行阅读月活动，现统计某街道约10000人在该活动月每人每日平均阅读时间（分钟）的频率分布直方图如图：
(1)求x的值；
(2)从该街道任选1人，则估计这个人的每日平均阅读时间超过60分钟的概率.
12．甲乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）完游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.
（1）设分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲乙二人抽到的牌的所有情况；
（2）若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？
（3）甲乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜，你认为此游戏是否公平，说明你的理由.
抽取台数
50
100
200
300
500
1 000
优等品数
40
92
192
285
478
954
时间范围
1年内
2年内
3年内
4年内
新生婴儿数n
5 544
9 607
13 520
17 190
男婴数m
2 883
4 970
6 994
8 892
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
分组
频数
2
3
4
5
4
2
10.3平率与概率（讲义+例题+小练）
知识点一 频率的稳定性
在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A).
例1：1．在北京消费季活动中，某商场为促销举行购物抽奖活动，规定购物消费每满200元就可以参加一次抽奖活动，中奖的概率为.那么以下理解正确的是（ ）
A．某顾客抽奖10次，一定能中奖1次
B．某顾客抽奖10次，可能1次也没中奖
C．某顾客消费210元，一定不能中奖
D．某顾客消费1000元，至少能中奖1次
【答案】B
【分析】
根据概率的定义进行判断.
【详解】
解：中奖概率表示每一次抽奖中奖的可能性都是，
故不论抽奖多少次，都可能一次也不中奖，
故选：B.
【点睛】
此题考查对概率定义的理解，属于基础题
2.对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下：
①根据表中数据分别计算6次试验中抽到优等品的频率；
②该厂生产的电视机为优等品的概率约是多少？
解 ①抽到优等品的频率分别为0.8,0.92,0.96,0.95,0.956,0.954.
②由表中数据可估计优等品的概率约为0.95.
反思感悟 (1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率.
(2)频率本身是随机的，在试验前不能确定.
(3)概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关.
3.一个地区从某年起4年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表所示：
(1)计算男婴出生的频率(保留4位小数)；
(2)这一地区男婴出生的概率约是多少？
解 (1)计算eq \f(m,n)即得男婴出生的频率依次约是0.520 0，0.517 3，0.517 3,0.517 3.
(2)随着新生婴儿数的增多，男婴出生的频率接近0.517 3，因此，这一地区男婴出生的概率约为0.517 3.
举一反三
1．甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，若两人各投2次，则两人投中次数不等的概率是（ ）
A．0.6076B．0.7516C．0.3924D．0.2484
【答案】A
【分析】
先求出两人投中次数相等的概率，再根据对立事件的概率公式可得两人投中次数不相等的概率.
【详解】
两人投中次数相等的概率P＝，
故两人投中次数不相等的概率为：1﹣0.3924＝0.6076.
故选：A.
【点睛】
本题考查了对立事件的概率公式和独立事件的概率公式，属于基础题.
2.设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球，1个黑球，乙箱中有1个白球，99个黑球.先随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球.推断这球是从哪一个箱子中取出的？
解 甲箱中有99个白球，1个黑球，故随机地取出一球，得到白球的可能性是eq \f(99,100).乙箱中有1个白球，99个黑球，从中任取一球，得到白球的可能性是eq \f(1,100).由此可见，这一白球从甲箱中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得多.既然在一次抽样中抽到白球，当然可以认为是从概率大的箱子中取出的.所以我们作出统计推断：该白球是从甲箱中取出的.
反思感悟 在一次试验中，概率大的事件比概率小的事件出现的可能性更大.
3. 为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，如200只，给每只天鹅作上记号且不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让它们和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，如150只.查看其中有记号的天鹅，设有20只，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量.
解 设保护区中天鹅的数量为n，假设每只天鹅被捕到的可能性是相等的，从保护区中任捕一只，
设事件A＝{捕到带有记号的天鹅}，则P(A)＝eq \f(200,n).
从保护区中捕出150只天鹅，
其中有20只带有记号，
由概率的定义可知P(A)≈eq \f(20,150).
由eq \f(200,n)≈eq \f(20,150)，解得n≈1 500，
知识点二 随机模拟
用频率估计概率，需做大量的重复试验，我们可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了.我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法.
随机数与伪随机数
(1) 随机数
要产生 1 ～ n ( n ∈ N * ) 之间的随机整数，把 n 个 大小形状 相同的小球分别标上 1 ， 2 ， 3 ， … ， n ，放入一个袋中，把它们 充分搅拌 ，然后从中摸出一个，这个球上的数就称为随机数．
(2) 伪随机数
计算机或计算器产生的随机数是依照 确定算法 产生的数，具有 周期性 ( 周期 很长 ) ，它们具有类似 随机数 的性质．因此，计算机或计算器产生的并不是 真正的随机数 ，我们称它们为伪随机数．
整数值随机数的产生及应用
(1) 产生整数值随机数的方法
用计算器的随机函数 RANDI( a ， b ) 或计算机的随机函数 RANDBET WEEN( a ， b ) 可以产生从整数 a 到整数 b 的取整数值的随机数；也可用计算机中的 Excel 软件产生随机数．
用计算机或计算器模拟试验的方法称为 随机模拟 方法．
(2) 整数值的随机数的应用
利用计算器或计算机产生的 随机数 来做模拟试验，通过模拟试验得到的 频率 来估计概率，这种用计算器或计算机模拟试验的方法称为 随机模拟 方法或 蒙特卡罗 方法．
例2：1.有4个大小、形状相同的小球，装在一个不透明的袋子中，小球上分别标有数字1，2，3，4．现每次有放回地从中随机取出一个小球，直到标有偶数的球都取到过就停止．小明用随机模拟的方法估计恰好在第4次停止摸球的概率，利用计算机软件产生随机数，每1组中有4个数字，分别表示每次摸球的结果，经随机模拟产生了以下21组随机数：
1314 1234 2333 1224 3322 1413 3124 4321 2341 2413
1224 2143 4312 2412 1413 4331 2234 4422 3241 4331 4234
由此可以估计恰好在第4次停止摸球的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据题中数据，找到满足条件的组数，代入公式，即可求得答案.
【详解】
由题意得，直到标有偶数的球都取到过就停止，且恰好在第4次停止摸球，
表示所得到的4个数中包含2和4，且前3次只能出现2或4中的一个（不限次数），第4次又摸到另外一个偶数，
有1234，1224，3124，1224，4312，2234共有6组，
所以恰好在第4次停止摸球的概率.
故选：C
3.经统计某射击运动员随机射击一次命中目标的概率为，为估计该运动员射击4次恰好命中3次的概率，现采用随机模拟的方法，先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，用0，1，2表示没有击中，用3，4，5，6，7，8，9表示击中，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
9597，7424，7610，4281，7520，0293，7140，9857，0347，4373，
0371，6233，2616，8045，6011，3661，8638，7815，1457，5550．
根据以上数据，则可估计该运动员射击4次恰有3次命中的概率为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据20组随机数得出该运动员射击4次恰好命中3次的随机数共组，由此能求出对应的概率值.
【详解】
根据随机模拟产生的20组随机数知，
该运动员射击4次恰好命中3次的随机数为：
7424，0347，6233，8045，3661，7815，1457，5550，共组，
由以上数据该运动员射击4次恰有3次命中的概率为.
故选：A
【点睛】
本题考查了随机模拟试验、古典概型的概率计算公式，属于基础题.
举一反三
1.总体由编号为01，02，…，29，30的30个个体组成.利用下面的随机数表选取7个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（ ）
A．08B．07C．04D．01
【答案】C
【分析】
首先根据题意找到第一个数字，因为有个个体故舍去，然后再按照由左到右依次选取两个数字，去掉重复的编号，即可找到第个数字.
【详解】
由题知：第一个数为，不符合条件，
第二个数为，不符合条件，
第三个数为，符合条件，
以下符合条件的数字依次是，，，，，
故第个数字为.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查随机数表法，熟练掌握随机数表法的步骤为解题的关键，属于容易题.
2.天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，其中，，，为下雨，，，，，，为不下雨，这三天中恰有一天下雨的概率大约是（ ）
附随机数表:
A．25%B．30%C．45%D．55%
【答案】C
【分析】
根据随机模拟试验以及古典概型的概率计算公式即可求解.
【详解】
三天中恰有一天下雨的次数为：
，共次，
所以这三天中恰有一天下雨的概率大约为.
故选：C
【点睛】
本题考查了随机模拟试验、古典概型的概率计算公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
3.一个袋中有7个大小、形状相同的小球，6个白球，1个红球，现任取1个球，若为红球就停止，若为白球就放回，搅拌均匀后再接着取，试设计一个模拟试验计算恰好第三次摸到红球的概率.
解 用1,2,3,4,5,6表示白球，7表示红球，利用计算器或计算机产生1到7之间(包括1和7)取整数值的随机数，因为要求恰好第三次摸到红球的概率，所以每三个随机数作为一组，如下，产生20组随机数：
666 743 671 464 571
561 156 567 732 375
716 116 614 445 117
573 552 274 114 662
就相当于做了20次试验，在这些数组中，前两个数字不是7，第三个数字恰好是7就表示第一次、第二次摸到的是白球，第三次摸到的是红球，它们分别是567和117，共两组，因此恰好第三次摸到红球的概率约为eq \f(2,20)＝0.1.
巩固提升
一、单选题
1．一个容量为20的样本数据，分组与频数如下表：
则样本在[10，50)内的频率为（ ）
A．0.5B．0.24C．0.6D．0.7
【答案】D
【解析】
【分析】
根据频数分布表可得正确的选项.
【详解】
因为样本在[10，50)内的频数为2＋3＋4＋5＝14，样本容量为20，
所以在[10，50)内的频率为.
故选：D.
2．中国农历的二十四节气是中华民族的智慧与传统文化的结晶，二十四节气歌是以春、夏、秋、冬开始的四句诗.在国际气象界，二十四节气被誉为“中国的第五大发明”.2016年11月30日，二十四节气被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.某小学三年级共有学生600名，随机抽查100名学生并提问二十四节气歌，只能说出一句的有45人，能说出两句及以上的有38人，据此估计该校三年级的600名学生中，对二十四节气歌一句也说不出的有（ ）
A．17人B．83人C．102人D．115人
【答案】C
【解析】
【分析】
根据频率计算出正确答案.
【详解】
一句也说不出的学生频率为，
所以估计名学生中，一句也说不出的有人.
故选：C
3．抛掷一枚质地均匀的硬币，设事件“正面向上”，则下列说法正确的是（ ）
A．抛掷硬币10次，事件A必发生5次
B．抛掷硬币100次，事件A不可能发生50次
C．抛掷硬币1000次，事件A发生的频率一定等于0.5
D．随着抛掷硬币次数的增多，事件A发生的频率在0.5附近波动的幅度较大的可能性小
【答案】D
【解析】
【分析】
根据频率与概率的关系可得答案.
【详解】
不管抛掷硬币多少次，事件A发生的次数是随机事件，故ABC错误；
随着抛掷硬币次数的增多，事件A发生的频率在0.5附近波动的幅度较大的可能性小；
故选：D
4．某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：
812，832，569，683，271，989，730，537，925，907
由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（ ）
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5
【答案】A
【解析】
【分析】
由题可知10组随机数中表示“3例心脏手术全部成功”的有2组，即求.
【详解】
解：由题意，10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，表示“3例心脏手术全部成功”的有： 569, 989，故2个，
故估计“3例心脏手术全部成功”的概率为.
故选：A.
5．“优选法”，是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法．在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选”提高检测效率：每16人为组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该16人再次抽检确认感染者．某组16人中恰有一人感染(鼻咽拭子样本检验将会是阳性)，若逐一检测可能需要15次才能确认感染者．现在先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查……以此类推，最终从这16人中认定那名感染者需要经过（ ）次检测．
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【解析】
【分析】
根据检测方法进行模拟可得．
【详解】
16人平均分成两级，经过一次检验确定感染者在其中的8人中，再平均分成两组，第二次检测，确定感染者在其中的4人中，再平均分成两组，
第三次检测，确定感染者在其中的2人中，最后第四次检测，确定感染者．共4次检测．
故选：B．
6．独立地重复一个随机试验次，设随机事件发生的频率为，随机事件发生的概率为，有如下两个判断：①如果是单元素集，则；②集合不可能只含有两个元素，其中（ ）
A．①正确，②正确B．①错误，②正确
C．①正确，②错误D．①错误，②错误
【答案】B
【解析】
【分析】
对于①，举反例可判断①的正误；对于②，利用频率与概率的关系可判断②正误，即可得出结论.
【详解】
对于①，比如定义随机试验：从个红球中任意抽取个球，
定义随机事件三个球中有一个白球，则，且，①错；
对于②，频率会随着试验的变化而变化，是一个变化的值，但随着试验次数的增加，频率会接近于概率，
因此，不可能只含有两个元素，②对.
故选：B.
二、多选题
7．(多选)甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是（ ）
A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B．同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜
C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜
D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
【答案】ACD
【解析】
【分析】
求出每一个选项的情况下，甲胜和乙胜的概率即可判断得解.
【详解】
解：对于选项A，甲胜和乙胜的概率都是，所以游戏是公平的；
对于选项B，点数之和大于7和点数之和小于7的概率相等，但点数等于7时乙胜，所以甲胜的概率小，所以游戏不公平；
对于选项C，甲胜和乙胜的概率都是，所以游戏是公平的；
对于选项D，甲胜的概率是，乙胜的概率是，所以游戏是公平的.
故选：ACD
8．某学校组织了一次劳动技能大赛，共有100名学生参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在内，得分60分以下为不及格，其得分的频率分布直方图如图所示（按得分分成这五组），则下列结论正确的是（ ）
A．直方图中
B．此次比赛得分不及格的共有40人
C．以频率为概率，从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在的概率为0.5
D．这100名参赛者得分的中位数为65
【答案】ABC
【解析】
【分析】
由频率和为1求参数a，判断A；由直方图求60分以下的人数、求的频率判断B、C；由中位数的性质求中位数即可判断D.
【详解】
因为，所以，所以A正确；
因为不及格的人数为，所以B正确；
因为得分在的频率为，所以从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在的概率为0.5，所以C正确；
这100名参赛者得分的中位数为，所以D错误．
故选：ABC.
三、填空题
9．天气预报说，在接下来的一个星期里，每天涨潮的概率为20%，设计一个符合要求的模拟试验：利用计算机产生0~9之间取整数值的随机数，用1，2表示涨潮，用其他数字表示不涨潮，这样体现了涨潮的概率是20%，因为时间是一周，所以每7个随机数作为一组，假设产生20组随机数是：
则下个星期恰有2天涨潮的概率为___________.
【答案】.
【解析】
【分析】
由题意可知，恰有2天涨潮就是在这组数中，恰有两个是1或2，从这20组数找出恰有两个是1或2的个数，然后利用古典概型的概率公式求解即可
【详解】
产生20组随机数相当于做了20次试验，在这组数中，如果恰有两个是1或2，就表示恰有两天涨潮，它们分别是3142486，5241478，3215687，1258697，共有4组数，于是一周内恰有两天涨潮的概率近似值为，
故答案为：
10．一个口袋中装有若干个除颜色不同外其他都完全相同的红球和黑球，某同学每次随机取出一个球，观察颜色后放回，连续取了10次，发现取出红球3次，则估计红球在口袋中的占比为______．
【答案】##
【解析】
【分析】
根据已知条件求出摸出红球的频率，进而估计红球在口袋中的占比.
【详解】
取球10次，取出红球3次，取出红球的频率为，
故估计红球在口袋中的占比为
故答案为：
四、解答题
11．为弘扬中华优秀传统文化，鼓励全民阅读经典书籍，某市举行阅读月活动，现统计某街道约10000人在该活动月每人每日平均阅读时间（分钟）的频率分布直方图如图：
(1)求x的值；
(2)从该街道任选1人，则估计这个人的每日平均阅读时间超过60分钟的概率.
【答案】(1)
(2)0.7
【解析】
【分析】
（1）利用概率和为1计算可得的值；（2）求频率分布直方图中每人每日平均阅读时间超过60分钟的概率即为这个人阅读时间超过60分钟的概率.
(1)
由
得．
(2)
，
估计这个人的每日平均阅读时间超过60分钟的概率为．
12．甲乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）完游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.
（1）设分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲乙二人抽到的牌的所有情况；
（2）若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？
（3）甲乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜，你认为此游戏是否公平，说明你的理由.
【答案】（1）见解析；（2）；（3）不公平
【解析】
【详解】
（1）甲乙二人抽到的牌的所有情况（方片4用4’表示，红桃2，红桃3，红桃4分别用2，3，4表示）为：
（2，3）、（2，4）、（2，4’）、（3，2）、（3，4）、（3，4’）、
（4，2）、（4，3）、（4，4’）、（4’，2）、（4’，3）、（4’，4）
共12种不同情况
（2）甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，4’
因此乙抽到的牌的数字大于3的概率为
（3）由甲抽到的牌比乙大的有
（3，2）、（4，2）、（4，3）、（4’，2）、（4’，3）5种，
甲胜的概率，乙获胜的概率为，∵
∴此游戏不公平．
考点：列举法及古典概型的计算公式等有关知识的综合运用．
抽取台数
50
100
200
300
500
1 000
优等品数
40
92
192
285
478
954
时间范围
1年内
2年内
3年内
4年内
新生婴儿数n
5 544
9 607
13 520
17 190
男婴数m
2 883
4 970
6 994
8 892
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
分组
频数
2
3
4
5
4
2
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