江西省重点中学协作体2023-2024学年高一下学期期末联考数学试题(解析版)
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这是一份江西省重点中学协作体2023-2024学年高一下学期期末联考数学试题(解析版),共14页。试卷主要包含了下列说法正确的是,已知,,则,已知,满足等内容,欢迎下载使用。
数学
本试卷共150分,考试用时120分钟.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下列说法正确的是( )
A.通过圆台侧面一点,有无数条母线
B.棱柱的底面一定是平行四边形
C.圆锥的所有过中心轴的截面都是等腰三角形
D.用一个平面去截棱锥,原棱锥底面和截面之间的部分是棱台
2.sin 600°+tan 240°的值等于( )
A.-B.
C.-+D.+
3.设复数z满足,z在复平面内对应的点为(x,y),则
A.B.C.D.
4.已知,,则( )
A.1B.
C.2D.或2
5.已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,直线l满足l ⊥m,l ⊥n,则
( )
A.α∥β且∥αB.α⊥β且⊥β
C.α与β相交,且交线垂直于D.α与β相交,且交线平行于
6.已知函数图象为,为了得到函数的图象,只要把上所有点( )
A.先向右平移个单位长度,再将横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
B.先向右平移个单位长度,再将横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
C.先将横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再向右平移个单位长度
D.先将横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再向右平移个单位长度
7.已知,,,,则向量在向量上的投影向量的坐标为( )
A.B.C.D.
8.已知函数在区间上的最大值为,则实数的取值个数为( )
A.1B.2C.3D.4
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分.部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知集合,其中为虚数单位,则下列属于集合的元素是( )
A.B.C.D.
10.已知,满足:对任意,恒有,则( )
A.B.C.D.
11.如图,在棱长均相等的正四棱锥中,为底面正方形的中心,分别为侧棱的中点,下列结论正确的是( )
A.平面B.平面平面
C.D.直线与直线所成角的大小为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.是虚数单位,若复数 是纯虚数,则实数的值为 .
13.如图,一个水平放置的正方形,它在直角坐标系中,点的坐标为,则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中,顶点到轴的距离为 .
14.已知函数的图象过点和且当时,恒成立,则实数的取值范围是 .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知复数,(其中为虚数单位).
(Ⅰ)求复数;
(Ⅱ)若复数在复平面内所对应的点在第四象限,求实数的取值范围.
16.如图,为圆锥的顶点,是圆锥底面的圆心,是底面的内接正三角形,为上一点,∠APC=90°.
(1)证明:平面PAB⊥平面PAC;
(2)设DO=,圆锥的侧面积为,求三棱锥P−ABC的体积.
17.平面内有向量,,,点为直线上的一个动点.
(1)当取最小值时,求的坐标;
(2)当点满足(1)的条件和结论时,求的值.
18.如图,在平面直角坐标系中,点为单位圆与轴正半轴的交点,点为单位圆上的一点,且,点沿单位圆按逆时针方向旋转角后到点.
(1)当时,求的值;
(2)设,求的取值范围.
19.已知三棱锥的棱两两互相垂直,且.
(1)若点分别在线段上,且,求二面角的余弦值;
(2)若以顶点为球心,8为半径作一个球,球面与该三棱锥的表面相交,试求交线长是多少?
1.C
【解析】根据圆柱、圆锥、圆台以及棱柱的结构特征判断.
【详解】因为通过圆台侧面一点只有一条母线,所以A不正确;
因为棱柱的底面不一定是平行四边形,可以是任意多边形,所以B不正确;
因为由棱台的定义,要求上、下底面平行,所以D不正确;
因为圆锥的所有过中心轴的截面都是等腰三角形,三角形的两腰是其母线,所以C正确.
故选:C
【点睛】本题主要考查几何体的结构特征,还考查了理解辨析的能力,属于基础题.
2.B
【分析】分别利用诱导公式求得sin 600°和tan 240°的值,从而求得结果.
【详解】sin 600°=sin(360°+240°)=sin 240°=sin(180°+60°)=-sin 60°=-,
tan 240°=tan(180°+60°)=tan 60°=,
则 sin 600°+tan 240°=.
故选:B.
【点睛】本题主要考查诱导公式,意在考查学生的数学运算的学科素养,属基础题.
3.C
【分析】本题考点为复数的运算,为基础题目,难度偏易.此题可采用几何法,根据点(x,y)和点(0,1)之间的距离为1,可选正确答案C.
【详解】则.故选C.
【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算,渗透了直观想象和数学运算素养.采取公式法或几何法,利用方程思想解题.
4.C
【分析】根据数量积的运算律即可求解模长.
【详解】因为,所以,
故选:C.
5.D
【详解】试题分析:由平面,直线满足,且,所以,又平面,,所以,由直线为异面直线,且平面平面,则与相交,否则,若则推出,与异面矛盾,所以相交,且交线平行于,故选D.
考点:平面与平面的位置关系,平面的基本性质及其推论.
6.C
【分析】根据三角函数平移伸缩变化求解即可.
【详解】先将函数图象上每点横坐标缩短到原来的,
纵坐标不变,得到的图象,再将得到的图象向右平移个单位长度,
得到函数的图象.
故选:C.
7.B
【解析】求出向量在向量上的投影,再乘以向量方向的单位向量.
【详解】,,,,则向量在向量上的投影向量为,
故选:B
【点睛】本题考查向量的投影,共线向量,掌握向量投影的定义是解题关键.
8.B
【分析】先计算出,分和两种情况讨论,时转化为图像交点问题.
【详解】,则,显然,,
①若即时,在单调增,,
作函数的图象,作与仅一个交点,所以此时有一个满足要求;
②若即时,满足要求,
综上知满足条件的共有两个.
故选:B
9.BC
【分析】先求得集合,然后结合复数运算对选项逐一计算,由此确定正确选项.
【详解】依题意,
,A错误,
,B正确,
,C正确,
,D错误.
故选:BC.
10.BC
【分析】根据向量线性运算的几何意义分析可得,即为定点A到x轴上的动点的距离,进而分析可得,结合数量积运算求解.
【详解】不妨设,
则,即为定点A到x轴上的动点的距离,
显然当轴时,取到最小值,
若对任意,恒有,
则,可得,故B正确,D错误;
∵,
可得,故A错误,C正确;
故选:BC.
11.ABC
【分析】A选项:连接,为中点,为中点,可证∥根据线面平行的判定可以证明∥平面;
B选项:;连接,同理证明∥平面,结合A选项可证明平面平面;
C选项:由于正四棱锥的棱长均相等,且四边形为正方形,根据勾股定理可证,结合∥可证;
D选项:先利用平移思想,根据平行关系找到异面直线与直线所成角的平面角,结合为正三角形,即可求出直线与直线所成角.
【详解】连接如图示:
为底面正方形的中心, 为中点,又为中点,∥又平面,平面,∥平面,故A选项正确;
连接,同理可证∥,又平面,平面,∥平面,又,∥平面平面,平面,
平面平面,故B选项正确;
由于正四棱锥的棱长均相等,且四边形为正方形,,又∥, ,故C选项正确;
分别为侧棱的中点,∥四边形为正方形, ∥,直线与直线所成的角即为直线与直线所成角
即为直线与直线所成角,又为正三角形,, 直线与直线所成角为.故D选项不正确.
故选:ABC
12.
【详解】试题分析:由复数的运算可知,是纯虚数,则其实部必为零,即,所以.
考点:复数的运算.
13.
【分析】作出正方形的直观图,再结合斜二测画法的规则计算可得.
【详解】作出正方形的直观图如图所示:
因为,,
所以顶点到轴的距离为.
故答案为:
14.
【分析】利用三角函数的性质得到参数间的关系,进行消参,然后分类讨论参数范围,求解即可.
【详解】由知,
,
此时,
当时,,
只需,得,又;
当时,
成立,适合;
当时,,要使,
只需,
综上知,
故,则实数的取值范围是.
故答案为:
15.(Ⅰ);(Ⅱ).
【分析】(Ⅰ)利用复数除法法则计算;(Ⅱ)首先化简复数,再根据复数在复平面内所对应的象限,列式求实数的取值范围.
【详解】(Ⅰ);
(Ⅱ),
因为复数在复平面内所对应的点在第四象限,
所以,解得:.
16.(1)证明见解析;(2).
【分析】(1)根据已知可得,进而有≌,可得
,即,从而证得平面,即可证得结论;
(2)将已知条件转化为母线和底面半径的关系,进而求出底面半径,由正弦定理,求出正三角形边长,在等腰直角三角形中求出,在中,求出,即可求出结论.
【详解】(1)连接,为圆锥顶点,为底面圆心,平面,
在上,,
是圆内接正三角形,,≌,
,即,
平面平面,平面平面;
(2)设圆锥的母线为,底面半径为,圆锥的侧面积为,
,解得,,
在等腰直角三角形中,,
在中,,
三棱锥的体积为.
【点睛】本题考查空间线、面位置关系,证明平面与平面垂直,求锥体的体积,注意空间垂直间的相互转化,考查逻辑推理、直观想象、数学计算能力,属于中档题.
17.(1);(2).
【分析】(1)设,利用向量与共线可得,用坐标表示,结合二次函数性质,求最小值,可得;
(2)利用向量的夹角公式求解即可
【详解】(1)设,∵在直线上,
∴向量与共线.
∵,
∴,∴,∴.
又∵,,
∴.
故当时,有最小值,此时.
(2)由(1)知,,,
∴,,
∴.
18.(1)
(2)
【分析】(1)由三角函数定义得到,故,利用诱导公式,辅助角公式化简得到答案;
(2)化简得到,由,整体法求解值域.
【详解】(1)由三角函数的定义可得,,
当时,,即,
.
(2),
,
,
,则,
,
则,
即的取值范围为.
19.(1)
(2)
【详解】(1)两两垂直,
,
面,
,
过作于,连
,则即为的平面角,
在中,
,
.
(2)以为球心,8为半径的球与三棱锥交于四段弧,
①平面与球面相交所成
弧是以为圆心,4为半径的
圆弧.
②平面与球面相交,
得到的弧是以为圆心,8为半径,
圆心角的弧.
③平面与球面相交所得到弧长与②情况相同,长度为.
④平面与球面相交得到弧长,
交线长.
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