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    江西省重点中学协作体2023-2024学年高一下学期期末联考数学试题(解析版)

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    江西省重点中学协作体2023-2024学年高一下学期期末联考数学试题(解析版)

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    这是一份江西省重点中学协作体2023-2024学年高一下学期期末联考数学试题(解析版),共14页。试卷主要包含了下列说法正确的是,已知,,则,已知,满足等内容,欢迎下载使用。
    数学
    本试卷共150分,考试用时120分钟.
    一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1.下列说法正确的是( )
    A.通过圆台侧面一点,有无数条母线
    B.棱柱的底面一定是平行四边形
    C.圆锥的所有过中心轴的截面都是等腰三角形
    D.用一个平面去截棱锥,原棱锥底面和截面之间的部分是棱台
    2.sin 600°+tan 240°的值等于( )
    A.-B.
    C.-+D.+
    3.设复数z满足,z在复平面内对应的点为(x,y),则
    A.B.C.D.
    4.已知,,则( )
    A.1B.
    C.2D.或2
    5.已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,直线l满足l ⊥m,l ⊥n,则
    ( )
    A.α∥β且∥αB.α⊥β且⊥β
    C.α与β相交,且交线垂直于D.α与β相交,且交线平行于
    6.已知函数图象为,为了得到函数的图象,只要把上所有点( )
    A.先向右平移个单位长度,再将横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
    B.先向右平移个单位长度,再将横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
    C.先将横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再向右平移个单位长度
    D.先将横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再向右平移个单位长度
    7.已知,,,,则向量在向量上的投影向量的坐标为( )
    A.B.C.D.
    8.已知函数在区间上的最大值为,则实数的取值个数为( )
    A.1B.2C.3D.4
    二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分.部分选对的得部分分,有选错的得0分.
    9.已知集合,其中为虚数单位,则下列属于集合的元素是( )
    A.B.C.D.
    10.已知,满足:对任意,恒有,则( )
    A.B.C.D.
    11.如图,在棱长均相等的正四棱锥中,为底面正方形的中心,分别为侧棱的中点,下列结论正确的是( )
    A.平面B.平面平面
    C.D.直线与直线所成角的大小为
    三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
    12.是虚数单位,若复数 是纯虚数,则实数的值为 .
    13.如图,一个水平放置的正方形,它在直角坐标系中,点的坐标为,则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中,顶点到轴的距离为 .

    14.已知函数的图象过点和且当时,恒成立,则实数的取值范围是 .
    四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    15.已知复数,(其中为虚数单位).
    (Ⅰ)求复数;
    (Ⅱ)若复数在复平面内所对应的点在第四象限,求实数的取值范围.
    16.如图,为圆锥的顶点,是圆锥底面的圆心,是底面的内接正三角形,为上一点,∠APC=90°.
    (1)证明:平面PAB⊥平面PAC;
    (2)设DO=,圆锥的侧面积为,求三棱锥P−ABC的体积.
    17.平面内有向量,,,点为直线上的一个动点.
    (1)当取最小值时,求的坐标;
    (2)当点满足(1)的条件和结论时,求的值.
    18.如图,在平面直角坐标系中,点为单位圆与轴正半轴的交点,点为单位圆上的一点,且,点沿单位圆按逆时针方向旋转角后到点.
    (1)当时,求的值;
    (2)设,求的取值范围.
    19.已知三棱锥的棱两两互相垂直,且.
    (1)若点分别在线段上,且,求二面角的余弦值;
    (2)若以顶点为球心,8为半径作一个球,球面与该三棱锥的表面相交,试求交线长是多少?
    1.C
    【解析】根据圆柱、圆锥、圆台以及棱柱的结构特征判断.
    【详解】因为通过圆台侧面一点只有一条母线,所以A不正确;
    因为棱柱的底面不一定是平行四边形,可以是任意多边形,所以B不正确;
    因为由棱台的定义,要求上、下底面平行,所以D不正确;
    因为圆锥的所有过中心轴的截面都是等腰三角形,三角形的两腰是其母线,所以C正确.
    故选:C
    【点睛】本题主要考查几何体的结构特征,还考查了理解辨析的能力,属于基础题.
    2.B
    【分析】分别利用诱导公式求得sin 600°和tan 240°的值,从而求得结果.
    【详解】sin 600°=sin(360°+240°)=sin 240°=sin(180°+60°)=-sin 60°=-,
    tan 240°=tan(180°+60°)=tan 60°=,
    则 sin 600°+tan 240°=.
    故选:B.
    【点睛】本题主要考查诱导公式,意在考查学生的数学运算的学科素养,属基础题.
    3.C
    【分析】本题考点为复数的运算,为基础题目,难度偏易.此题可采用几何法,根据点(x,y)和点(0,1)之间的距离为1,可选正确答案C.
    【详解】则.故选C.
    【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算,渗透了直观想象和数学运算素养.采取公式法或几何法,利用方程思想解题.
    4.C
    【分析】根据数量积的运算律即可求解模长.
    【详解】因为,所以,
    故选:C.
    5.D
    【详解】试题分析:由平面,直线满足,且,所以,又平面,,所以,由直线为异面直线,且平面平面,则与相交,否则,若则推出,与异面矛盾,所以相交,且交线平行于,故选D.
    考点:平面与平面的位置关系,平面的基本性质及其推论.
    6.C
    【分析】根据三角函数平移伸缩变化求解即可.
    【详解】先将函数图象上每点横坐标缩短到原来的,
    纵坐标不变,得到的图象,再将得到的图象向右平移个单位长度,
    得到函数的图象.
    故选:C.
    7.B
    【解析】求出向量在向量上的投影,再乘以向量方向的单位向量.
    【详解】,,,,则向量在向量上的投影向量为,
    故选:B
    【点睛】本题考查向量的投影,共线向量,掌握向量投影的定义是解题关键.
    8.B
    【分析】先计算出,分和两种情况讨论,时转化为图像交点问题.
    【详解】,则,显然,,
    ①若即时,在单调增,,
    作函数的图象,作与仅一个交点,所以此时有一个满足要求;
    ②若即时,满足要求,
    综上知满足条件的共有两个.
    故选:B
    9.BC
    【分析】先求得集合,然后结合复数运算对选项逐一计算,由此确定正确选项.
    【详解】依题意,
    ,A错误,
    ,B正确,
    ,C正确,
    ,D错误.
    故选:BC.
    10.BC
    【分析】根据向量线性运算的几何意义分析可得,即为定点A到x轴上的动点的距离,进而分析可得,结合数量积运算求解.
    【详解】不妨设,
    则,即为定点A到x轴上的动点的距离,
    显然当轴时,取到最小值,
    若对任意,恒有,
    则,可得,故B正确,D错误;
    ∵,
    可得,故A错误,C正确;
    故选:BC.
    11.ABC
    【分析】A选项:连接,为中点,为中点,可证∥根据线面平行的判定可以证明∥平面;
    B选项:;连接,同理证明∥平面,结合A选项可证明平面平面;
    C选项:由于正四棱锥的棱长均相等,且四边形为正方形,根据勾股定理可证,结合∥可证;
    D选项:先利用平移思想,根据平行关系找到异面直线与直线所成角的平面角,结合为正三角形,即可求出直线与直线所成角.
    【详解】连接如图示:
    为底面正方形的中心, 为中点,又为中点,∥又平面,平面,∥平面,故A选项正确;
    连接,同理可证∥,又平面,平面,∥平面,又,∥平面平面,平面,
    平面平面,故B选项正确;
    由于正四棱锥的棱长均相等,且四边形为正方形,,又∥, ,故C选项正确;
    分别为侧棱的中点,∥四边形为正方形, ∥,直线与直线所成的角即为直线与直线所成角
    即为直线与直线所成角,又为正三角形,, 直线与直线所成角为.故D选项不正确.
    故选:ABC
    12.
    【详解】试题分析:由复数的运算可知,是纯虚数,则其实部必为零,即,所以.
    考点:复数的运算.
    13.
    【分析】作出正方形的直观图,再结合斜二测画法的规则计算可得.
    【详解】作出正方形的直观图如图所示:

    因为,,
    所以顶点到轴的距离为.
    故答案为:
    14.
    【分析】利用三角函数的性质得到参数间的关系,进行消参,然后分类讨论参数范围,求解即可.
    【详解】由知,

    此时,
    当时,,
    只需,得,又;
    当时,
    成立,适合;
    当时,,要使,
    只需,
    综上知,
    故,则实数的取值范围是.
    故答案为:
    15.(Ⅰ);(Ⅱ).
    【分析】(Ⅰ)利用复数除法法则计算;(Ⅱ)首先化简复数,再根据复数在复平面内所对应的象限,列式求实数的取值范围.
    【详解】(Ⅰ);
    (Ⅱ),
    因为复数在复平面内所对应的点在第四象限,
    所以,解得:.
    16.(1)证明见解析;(2).
    【分析】(1)根据已知可得,进而有≌,可得
    ,即,从而证得平面,即可证得结论;
    (2)将已知条件转化为母线和底面半径的关系,进而求出底面半径,由正弦定理,求出正三角形边长,在等腰直角三角形中求出,在中,求出,即可求出结论.
    【详解】(1)连接,为圆锥顶点,为底面圆心,平面,
    在上,,
    是圆内接正三角形,,≌,
    ,即,
    平面平面,平面平面;
    (2)设圆锥的母线为,底面半径为,圆锥的侧面积为,
    ,解得,,
    在等腰直角三角形中,,
    在中,,
    三棱锥的体积为.
    【点睛】本题考查空间线、面位置关系,证明平面与平面垂直,求锥体的体积,注意空间垂直间的相互转化,考查逻辑推理、直观想象、数学计算能力,属于中档题.
    17.(1);(2).
    【分析】(1)设,利用向量与共线可得,用坐标表示,结合二次函数性质,求最小值,可得;
    (2)利用向量的夹角公式求解即可
    【详解】(1)设,∵在直线上,
    ∴向量与共线.
    ∵,
    ∴,∴,∴.
    又∵,,
    ∴.
    故当时,有最小值,此时.
    (2)由(1)知,,,
    ∴,,
    ∴.
    18.(1)
    (2)
    【分析】(1)由三角函数定义得到,故,利用诱导公式,辅助角公式化简得到答案;
    (2)化简得到,由,整体法求解值域.
    【详解】(1)由三角函数的定义可得,,
    当时,,即,
    .
    (2),


    ,则,

    则,
    即的取值范围为.
    19.(1)
    (2)
    【详解】(1)两两垂直,

    面,

    过作于,连
    ,则即为的平面角,
    在中,

    .
    (2)以为球心,8为半径的球与三棱锥交于四段弧,
    ①平面与球面相交所成
    弧是以为圆心,4为半径的
    圆弧.
    ②平面与球面相交,
    得到的弧是以为圆心,8为半径,
    圆心角的弧.
    ③平面与球面相交所得到弧长与②情况相同,长度为.
    ④平面与球面相交得到弧长,
    交线长.

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