福建省福州第一中学2024届九年级下学期开学考试数学试卷(含答案)

这是一份福建省福州第一中学2024届九年级下学期开学考试数学试卷(含答案)，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．实数的相反数是( )
A.B.C.D.7
2．2022年11月5日，习近平在《湿地公约》第十四届缔约方大会开幕式上致辞，发言中指出，中国湿地保护取得了历史性成就，湿地面积达到56350000公顷，构建了保护制度体系，出台了《湿地保护法》。用科学记数法表示，正确的是( )
A.B.C.D.
3．如图所示，正三棱柱的俯视图是( )
A.B.C.D.
4．下列运算正确的是( )
A.B.C.D.
5．已知一次函数的函数值y随x的增大而减小，则该函数的图象大致是( )
A.B.C.D.
6．下列命题错误的是( )
A.平行四边形的对角线互相平分B.矩形的对角线相等且互相平分
C.菱形的对角线相等且互相平分D.正方形的对角线相等且互相垂直平分
7．若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是( )
A.B.C.且D.且
8．如图，四边形内接于，，平分交于点E，若.则的大小为( )
A.B.C.D.
9．如图，的顶点坐标分别为、、，线段交x轴于点P，如果将绕点P按顺时针方向旋转，得到，那么点B的对应点的坐标是( )
A.B.C.D.
10．直线和抛物线（a，b是常数，且）在同一平面直角坐标系中，直线经过点.下列结论：
①抛物线的对称轴是直线
②抛物线与x轴一定有两个交点
③关于x的方程有两个根，
④若，当或时，
其中正确的结论是( )
A.①②③④B.①②③C.②③D.①④
二、填空题
11．若分式在实数范围内有意义,则x的取值范围是_____________.
12．已知圆锥的底面半径为3，母线为8，则圆锥的侧面积等于_______.
13．不透明袋子中装有15个红球和若干个绿球，这些球除了颜色外无其他差别.经过大量重复试验后发现摸到红球的频率稳定在，则绿球的个数约是________.
14．如图所示，菱形的对角线、相交于点O.若，，，垂足为E，则的长为______.
15．如图，AC是的内接正六边形的一边，点B在弧AC上，且BC是的内接正十边形的一边，若AB是的内接正n边形的一边，则____.
16．如图，在平面直角坐标系中，点A，B都在反比例函数的图象上，延长交y轴于点C，过点A作轴于点D，连接并延长，交x轴于点E，连接.若，的面积是4.5，则k的值为_______.
三、解答题
17．.
18．先化简，再求值：，其中，.
19．如图，在中，，，，，垂足分别为点E、F，求证：.
20．端午节到来之际，小明家的经销店准备销售粽子和咸鸭蛋.据了解，购进500个粽子和200个咸鸭蛋共需1700元，已知一个粽子的进价比一个咸鸭蛋的进价多2元.
（1）求每个粽子和每个咸鸭蛋的进价分别为多少元？
（2）若每个粽子的售价为5元，每个咸鸭蛋的售价为2元.小明父亲打算购进粽子和咸鸭蛋共1000个，全部售完后利润不低于1600元，求至少购进多少个粽子？
21．某校开展“党在我心中”党史知识竞赛，竞赛得分为整数，林老师为了解竞赛情况，随机抽取了部分竞赛学生的得分并进行整理，绘制成如下不完整的统计图表.
请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：
（1）如表中的______，______；
（2）为参加上级部门组织的党史知识竞赛活动，现要从E组随机抽取两名学生组成代表队.E组中的小经和小武是黄金搭档，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到这对黄金搭档的概率.
22．如图，在中，，以为直径的交于点P，交的延长线于点D，连接.
（1）求作的切线，交于点Q；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，求证：，
23．下表是小明进行数学学科项目化学习时候的记录表，填写活动报告的部分内容.
项目主题：测量河流的宽度.
项目探究：河流宽度不能直接测量，需要借助一些工具，比如：小镜子，标杆，皮尺，自制的直角三角形模板…，各组确定方案后，选择测量工具，画出测量示意图，并进行实地测量，得到具体数据，从而计算出河流的宽度.
项目成果：下面是小明进行交流展示的部分测量方案及测量数据：
请你参与这个项目学习，并完成下列任务
（1）任务一：请你借助小明的测量数据，计算河流的宽度；
（2）任务二：请你写出这个方案中求河流的宽度时用的数学知识______（定出一条即可）；
（3）任务三：请你再设计一个与小明不同的测量方案，并画图简要说明一下。
24．如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且.
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图2，过点C，作轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，连结、，若，求点P的坐标；
（3）如图3，若点P是二次函数图象上位于下方的一个动点，连结交于点Q.设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示的值，并求的最大值.
25．如图1，已知线段，，线段绕点A在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且.
（1）若，以为边在上方作，且，，连接，求证：；
（2）如图2，在（1）的条件下，若，，，求的长；
（3）如图3，若，，，当的值最大时，求此时的值.
参考答案
1．答案：B
解析：实数的相反数是，
故选：B.
2．答案：B
解析：，
故选：B.
3．答案：B
解析：该几何体为水平放置的三棱柱，故俯视图的外部轮廓应为矩形，还有一条可以看到的水平棱（实线），
故选：B.
4．答案：B
解析：A.，原式计算错误，故选项不符合题意；
B.，原式计算正确，故选项符合题意；
C.，原式计算错误，故选项不符合题意；
D.，原式计算错误，故选项不符合题意；
故选：B.
5．答案：B
解析：一次函数的函数值y随x的增大而减小，
，
，
经过第二、三、四象限，故选项B符合题意.
故选：B.
6．答案：C
解析：A.平行四边形的对角线互相平分，正确，不符合题意；
B.矩形的对角线相等且互相平分，正确，不符合题意；
C.菱形的对角线互相垂直且平分，而非相等，错误，符合题意；
D.正方形的对角线相等且互相垂直平分，正确，不符合题意；
故选：C.
7．答案：D
解析：关于x的一元二次方程，
.
方程有两个实数根，，解得.
k的取值范围是且.
故选D.
8．答案：D
解析：四边形内接于，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
故选：D.
9．答案：C
解析：、，
设直线的解析式为，
则，
解得，
，
当时，，
解得，
，
如图所示，过点B作于点D，过点作轴于点E，
将绕点P按顺时针方向旋转，得到，
，，
又，，
，
，
，
，
，，
，，
，即，
故选：C.
10．答案：B
解析：①直线经过点，
，
，
抛物线的对称轴为直线，
故①正确；
②，
由①得，
，
，
，
抛物线与x轴一定有两个交点，
故②正确；
③当时，
，
抛物线也过，
由得
方程，
方程的一个根为，
抛物线，
，
抛物线的对称轴为直线，
与x轴的一个交点为，
，
解得：，
抛物线与x轴的另一个交点为，
关于x的方程有两个根，，
故③正确；
④当，当时，，
故④错误；
故选：B.
11．答案：
解析：根据分式有意义的条件得：
即：.
12．答案：.
解析：直接根据圆锥的侧面积=底面周长×母线长，把相应数值代入即可求圆锥的侧面积.
13．答案：35
解析：设绿球的个数有x个，
根据题意，得：，
解得：，
经检验：是分式方程的解，
绿球的个数约有35个.
故答案为：35.
14．答案：
解析：四边形是菱形，
，，，
中：，
面积，
，
故答案为：.
15．答案：15
解析：连接OB，是的内接正六边形的一边，
，
是的内接正十边形的一边，
，
，
即，，
故答案为15.
16．答案：6
解析：过点B作于点F，连接，设点A的坐标为，点B的坐标为，则，，
，
，
轴于点D，
，
，
，
，
，
，的面积是4.5，
，
，
，
则，
即，
解得，
故答案为：6
17．答案：
解析：原式.
18．答案：，
解析：原式
，
当，时，原式.
19．答案：见解析
解析：证明：，
，
，，
，
在与中，
，
.
20．答案：（1）每个粽子的进价为3元，每个咸鸭蛋的进价为1元
（2）至少购进600个粽子
解析：（1）设每个粽子的进价为x元，每个咸鸭蛋的进价为y元，则：
.
解得.
答：每个粽子的进价为3元，每个咸鸭蛋的进价为1元；
（2）设购进a个粽子，
根据题意，得.
解得.
因为a是正整数，所以a最小值取600.
答：至少购进600个粽子.
21．答案：（1）18，8
（2）
解析：（1）抽取的学生人数为：（人），
，
由题意得：，
，
故答案为：18，8；
（2）将“小经”和“小武”分别记为：A、B，另两个同学分别记为：C、D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到小经和小武的结果有2种，
恰好抽到小经和小武概率为：.
22．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）如图：即为所求；
作射线，以点P为圆心，任意长为半径画弧交射线于M，N，以点M，N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点E，作直线，交于点Q，则直线即为所求；
（2）证明：连接，如图，
为直径，
，
，
，
，
，
为的切线，
，
，
，
，
，
是的中位线，
.
23．答案：（1）
（2）相似三角形对应边成比例
（3）见解析
解析：（1）由题知，
.
，
又，，，
解得：.
答：河流的宽度为.
（2）由题意得：相似三角形的对应边成比例（答案不唯一，合理即可）；
（3）（答案不唯一，合理即可）.在河对岸找一个参照物A，站在A的正对面B的位置，沿着河岸向东走一段距离，到达C处，在C处坚立一竹竿，然后继续向东行走到D处，使得，再沿着与河岸垂直的位置行走，当走到与AC共线时停下，位置记为E，这时的长度即表示河流的宽度.
24．答案：（1）
（2）或
（3），
解析：（1），
，
，
，
点，
设二次函数的解析式为：，
，
，
；
（2）如图2，
当点P在直线的上方时，
过点P作轴，交的延长线于点Q，
设点，则点，
，
，
，
，
，
，或，
当点P在的下方时，
同理得出，
，
，
此时点P和点D重合，故舍去，
，或；
（3）如图3，
作于N，交于M，
，，
，
，
，
，
当时，.
25．答案：（1）见解析
（2）
（3）
解析：（1）证明：在中，，在中，，，
，，，
，，
，
，
；
（2）在，，，，
，，
延长交于点F，如图所示，
，，
，
由（1）可得，
，
，
在中，，
，
，
，
即；
（3）如图所示，以为边在上方作，且，，连接，，，，
同（1）可得，
，
，
，
在中，，，
在以E为圆心，为半径的圆上运动，
当点A，E，D三点共线时，的值最大，此时如图所示，则，
在中，，
，，
，
，
，
，
过点A作于点F，
，，
，
，
，
中，.
组别
成绩x（分）
频数
A
6
B
14
C
m
D
n
E
p
题目
测量河流宽度
目标示意图
测量数据
，，