湖北省部分学校2023-2024学年高二下学期6月月考数学试卷(含答案)

这是一份湖北省部分学校2023-2024学年高二下学期6月月考数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．已知i为虚数单位,z为复数,则下列命题正确的是( )
A.若,则
B.若z的实部为0,则z是纯虚数
C.若,则z的虚部是
D.若,则
3．已知两个单位向量,的夹角为,则( )
A.B.1C.D.
4．已知函数（是的导函数）,则( )
A.1B.-2C.11D.-11
5．已知数列的前n项和（r为常数）,则“”是“为等比数列”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6．某陶瓷厂上釉车间有A,B两条生产线,现随机对这两条生产线所生产的产品进行抽检,抽检A生产线的产品的概率为,抽检B生产线的产品的概率为.经过大量数据分析得A生产线的次品率为,如果本次抽检得到的产品为次品的概率为,据此估计B生产线的次品率为( )
A.9%%C.8%D.6%
7．设函数,若,且,则的取值范围为( )
A. B.C.D.
8．如图,已知双曲线的右焦点为F,过原点的直线l与E交于A,B两点,A在第一象限,延长交E于多一点C,若且,则E的离心率为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列函数中,在定义域内既为奇函数,又为增函数的是( )
A.B.
C.D.
10．在平面直角坐标系中,F为抛物线的焦点,,过F的直线l与C在第一象限交于点A,则( )
A.Q到直线l距离的最大值为
B.若O,Q到直线l的距离相等,则l的倾斜角为
C.的最小值是
D.当A在直线的上方时,面积的最大值为
11．如图,在棱长均为2的正三棱柱中,M是棱的中点,,过点作平面与直线垂直,过点B作平面与平面平行,则( )
A.当时,截正三棱柱所得截面的面积为
B.当时,截正三棱柱所得截面的面积为
C.若截正三棱柱所得截面为三角形,则的取值范围为
D.若,则截正三棱柱所得截面为四边形
三、填空题
12．已知,,则_____________.
13．已知随机变量,,,则的展开式中含项的系数为_____________.
四、双空题
14．定义函数,已知函数,则的值域为_____________;若函数恰有3个零点,则实数k的取值范围为_____________.
五、解答题
15．为了解甲､乙两所学校高二年级学生在2023~2024学年度第二学期期末考试中的物理成绩情况,采用随机抽样方法从两所学校各抽取50名学生的物理成绩,并作出了频数分布统计表如下：
（1）分别估计甲校物理成绩的75%分位数（精确到0.1）和乙校物理成绩的平均分（同一组中的数据用该区间的中点值代表）：
（2）根据以上统计数据完成2×2列联表（成绩不低于60分的视为及格）,并依据的独立性检验,判断两所学校的物理成绩的及格率是否存在差异.
参考公式：,其中.
参考数据：
16．已知数列满足：,.
（1）求;
（2）证明：.
17．如图,三棱锥的底面是边长为2的等边三角形,点S在底面内的射影为的垂心.
（1）证明：;
（2）设,若,则当取何值时,直线与平面ASC所成角的正弦值最大？
18．已知函数在和处取得极值.
（1）求a,b;
（2）,,求整数c的最大值.
19．已知椭圆的离心率为,左､右焦点分別为,,直线是C与圆的一条公切线.
（1）求C的方程;
（2）已知过的直线交C于M,N两点,交y轴于P点,,,若（,,分别表示,,的面积）,,求实数m的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：因为,
所以.
故选C.
2．答案：D
解析：若,则,故A错误;
实部为0的复数可能虚部也为0,从而是实数,故B错误;复数的虚部是1,故C错误;
设,则,所以,即,,
所以,故D正确.
故选：D.
3．答案：A
解析：.故选A.
4．答案：D
解析：因为,
所以,
令,得,
解得.
故选：D.
5．答案：C
解析：当时,,当时,,为等比数列,故“”是“为等比数列”的充要条件.
故选：C.
6．答案：D
解析：设事件N为“抽检得到的产品为次品,事件,分别表示抽检A,B两条生产线的产品,
则,设,
所以,解得.
故选:D.
7．答案：B
解析：法1：令,得,,的图象离y轴最近的一条对称轴为直线,因为,,令,根据图象,若,且,则.
故选：B.
法2：的图象可由的图象向右平移个单位长度得到,
其最小正周期,画出的图象（如图）.因为,
考虑临界状态,而,若,显然离0最近的满足,解得.若,满足题意,显然.
故选：B.
8．答案：A
解析：设E的左焦点为,,连接,,
则,,,
因为,由双曲线的对称性知四边形为矩形.在中,
由,得,化简得.
在中,由,得,
化简得,即离心率.
故选：A.
9．答案：AC
解析：对于A,则在R上既为奇函数,又为增函数,故A正确;
对于B,因为,所以不为奇函数,故B错误;
对于C,,所以为奇函数,又,可见为增函数,故C正确;
对于D,,
即,为奇函数,又,在R上不可能为增函数,故D错误.
故选：AC.
10．答案：AD
解析：对于A,当时,Q到直线l的距离取得最大值,且最大距离为,故正确;
对于B,设l的方程为,若O,Q到直线l的距离相等,则,解得或,故B错误;
由题意知,C的准线为直线,焦点,过点A,Q作C的准线的垂线,垂足分别为,,
则（当且仅当,A,Q共线时取等号）,故的最小值是点Q到C的准线的距离,即为4,故C错误;
对于D,当点A到直线的距离取得最大值时,的面积有最大值,此时抛物线C在A处的切线与直线平行.由得,令,解得,所以,A到直线的距离,所以面积的最大值为,故D正确.
故选：AD.
11．答案：ABD
解析：对于A,当时,取中点D,连接,,如图1.
因为,所以,
所以.易证平面,因为平面,所以,
又,,平面,所以平面,,故A正确;
对于B,当时,取的中点D,的中点E,连接,,
如图2,由A选项知,因为四边形为正方形,所以,则为所求截面,其面积为,故B正确;
对于C,取的中点F,连接,,当时,
如图3,易知,,故平面截正三棱柱所得截面为,故C错误;
对于D,若G为中点,当N在上（不含端点）时,即,作出平面截正三棱柱所得截面如图4所示,N从下到上的过程中,截面为四边形,故D正确.
故选：ABD.
12．答案：
解析：由,得,解得或（舍）,
又因为,所以,
所以.
13．答案：
解析：因为,且,所以,则展开式中的第项为,令,解得,故展开式中含项的系数为.
14．答案：;
解析：根据定义知,
的图象如图所示,显然的
值域为.由,得,因为恰有3个零点,所以的图象与直线恰有3个不同的交点,易求得图中,,所对应的值分别为,,所以实数k的取值范围为.
15．答案：（1）甲校物理成绩的分位数估计值为76.7分,乙校物理成绩的平均62.8
（2）可以认为成立,即认为甲､乙两所学校的物理成绩的及格率没有差异
解析：（1）甲校物理成绩的前三组人数频率为,甲校物理成绩的前四组人数频率为,
所以甲校物理成绩的分位数位于内.
法1：设甲校物理成绩的分位数为,则,解得,
所以甲校物理成绩的分位数估计值为76.7分.
法2：甲校物理成绩的分位数为.
乙校物理成绩的平均分估计值为.
（2）列联表如下：
零假设：甲､乙两所学校的物理成绩的及格率没有差异,
,
依据的独立性检验,没有充分证据推断不成立,因此可以认为成立,即认为甲､乙两所学校的物理成绩的及格率没有差异.
16．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）因为,所以数列为等差数列,
公差,
所以.
（2）证明：令,因为,且,
所以;
因为,
所以
,
因为,所以,故.
综上,.
17．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明：设点S在底面内的射影为O,连接并延长交于E,
因为为等边三角形且O为的重心,所以E为的中点,且,
因为平面,所以,
因为,平面,,所以平面,
所以.
（2）连接,由平面,则,又E为的中点,则.
又,所以.
以所在直线为x轴,过O且平行于的直线为y轴,所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,
,,
因为,所以,
所以,
设平面的法向量为,则即
取,则得,
所以,
所以当时,.
故当时,直线与平面所成角的正弦值最大.
18．答案：（1）
（2）1
解析：（1）,
因为函数在和处取得极值,
所以即解得
而当,时,,
当时,;当时,;当时,,
所以在和上单调递增,在上单调递减,
所以和分别是的极大值点､极小值点,
故满足题意.
（2）由题意,恒成立.
设,
则,
显然在R上单调递增.
又,,所以存在唯一的,使得,
即,所以.
当时,,单调递减;当时,,单调递增,
所以,
当时,,所以,
由题意知,且,
所以整数的最大值为1.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为直线是圆的一条切线,
所以,解得,
因为C的离心率,所以,
由可得,
因为直线是椭圆C的一条切线,
所以,
结合,解得,
所以C的方程为.
（2）设,,显然的斜率存在且不为0,
设的方程为,令,,
则,则,,
由得,
解得,同理.
由得,则,,
.
不妨设,,
,,
代入,有,
则,
由,,得,,.
解得,
因为,所以.
设,则,令,则,
故在上单调递增,
则,,则的值域为,
则m的取值范围为.
分组
甲校
频数
3
4
18
15
10
乙校
频数
2
6
12
18
12
甲校
乙校
合计
及格
不及格
合计
0.10
0.05
0.010
2.706
3.841
6.635
甲校
乙校
合计
及格
25
30
55
不及格
25
20
45
合计
50
50
100