湖北省武汉市部分重点中学2023-2024学年高二下学期期末联考数学试卷(含答案)

这是一份湖北省武汉市部分重点中学2023-2024学年高二下学期期末联考数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．从含有3件正品,2件次品的产品中随机抽取2件产品,则抽取出的2件产品中恰有1件次品的概率为( )
A.B.C.D.
2．已知随机变量X服从正态分布,则( )
A.0.1B.0.2C.0.4D.0.8
3．若函数在处取得极值,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
4．函数的图像大致为( )
A.B.
C.D.
5．若函数的图象与的图象恰好有四个交点,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
6．某人在n次射击中击中目标的次数为X，且，记，，1，2，…，n，若是唯一的最大值，则的值为( )
A.7B.7.7C.8.4D.9.1
7．已知,,,则( )
A.B.C.D.
8．设函数,若存在实数,,使得,则的最小值为( )
A.eB.2C.1D.
二、多项选择题
9．下列说法中,正确的命题是( )
A.两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于1
B.
C.用不同的模型拟合同一组数据,则残差平方和越小的模型拟合的效果越好
D.随机变量X服从两点分布,且,设,则
10．甲乙两人参加三局两胜制比赛（谁先赢满两局则获得最终胜利且比赛结束）.已知在每局比赛中,甲赢的概率为0.6,乙赢的概率为0.4,且每局比赛的输赢相互独立.若用M表示事件“甲最终获胜”,N表示事件“有人获得了最终胜利时比赛共进行了两局”,Q表示事件“甲赢下第三局”.则下列说法正确的是( )
A.B.C.N与Q互斥D.N与Q独立
11．若直线与曲线,相交于不同两点,,曲线在A,B点处切线交于点,则( )
A.B.
C.D.不存在a,使得
三、填空题
12．已知离散型随机变量的分布列为
若,则________________.
13．已知函数,若恒成立,则的最小值为______________.
14．从这10个数中随机抽一个数记为X,再从中随机抽一个数记为Y,则_____________.
四、解答题
15．已知命题,不等式恒成立;命题,使成立.
（1）若命题p为真命题,求实数m的取值范围;
（2）若命题p,q中恰有一个为真命题,求实数m的取值范围.
16．随着社会经济的发展,越来越多的人在抵达目的地后选择租车游玩,拉动了许多租车公司的业务,某租车公司为继续开拓市场,提升服务质量,迎接暑假旅游旺季的到来,对近5年的暑假的租车业务量（单位：十万元）进行了汇总研究,情况如下：
经过数据分析,已知年份与业务量具有线性相关关系.
（1）假设2019年为第1年,求第x年的业务量y关于x的经验回归方程,并预测2024年暑假的业务量;
（2）该公司从2023年暑假租车的客户中随机抽取了100名客户进行调研,现将100名客户的年龄划分为“青年”和“中老年”,评分划分为“好评”和“差评”,整理得到如下数据,请将列联表补充完整并根据小概率值的独立性检验,分析青年群体和中老年群体对租车服务的评价是否有差异.
附：经验回归直线方程,其中,
独立性检验中的,其中.
临界值表：
17．在数列中,,且.
（1）求的通项公式;
（2）令,求数列的前项和.
18．已知函数.
（1）求曲线在处的切线方程;
（2）若不等式对任意恒成立,求实数的最大值;
（3）证明：.（参考数据：）
19．Catalan数列（卡特兰数列）最早由我国清代数学家明安图（1692-1765）在研究三角函数幂级数的推导过程中发现,成果发表于1774年出版的《割圜密率捷法》中,后由比利时数学家卡特兰（Catalan,1814-1894）的名字来命名,该数列的通项被称为第个Catalan数,其通项公式为.在组合数学中,有如下结论：由个和个构成的所有数列,,中,满“对任意,都有”的数列的个数等于.
已知在数轴上,有一个粒子从原点出发,每秒向左或向右移动一个单位,且向左移动和向右移动的概率均为.
（1）设粒子第3秒末所处的位置为随机变量X（若粒子第一秒末向左移一个单位,则位置为-1;若粒子第一秒末向右移一个单位,则位置为1）,求X的分布列和数学期望;
（2）记第n秒末粒子回到原点的概率为.
（i）求及;
（ii）设粒子在第n秒末第一次回到原点的概率为,求.
参考答案
1．答案：A
解析：由题意,从含有3件正品,2件次品的产品中随机抽取2件产品,
则抽取出的2件产品中恰有1件次品的概率为.
故选：A.
2．答案：D
解析：随机变量X服从正态分布,
则曲线的对称轴为,
由,可得,
则.
故选:D
3．答案：C
解析：因为,所以,
令,得到或,
又因为函数在处取得极值,所以,得到,
故选：C.
4．答案：C
解析：当时,,即在上单调递增,故排除A;
注意到,则为奇函数,故可排除B;
又注意到时,,故可排除D.
故选：C
5．答案：C
解析：当时,,可得,
当时,;当时,,
所以函数在上单调递减,在上单调递增,且,
当时,,可得,
当时,;当时,,
所以函数在上单调递增,在上单调递减,且,
当时,;当时,,
函数的图象,如图所示,
要使得函数与的图象有4个交点,则,
所以实数a的取值范围为.
故选：C.
6．答案：A
解析：因为，，，1，2，…，n，若是唯一最大值，
则，所以，
由，得，解得，
由，得，解得，
所以，
因为，，所以，得，
因为n为正整数，所以，
所以，
故选：A.
7．答案：A
解析：因为,
构造函数,则,,,
,令
所以,当,为增函数,当,,为减函数,
所以
因为,又因为,
所以,所以.
故选：A.
8．答案：C
解析：,
存在实数,,使得,即,
,
令,则,
当时,,当时,,
故在上单调递减,在上单调递增,
故在处取得极小值,也是最小值,
,
故在R上单调递增,
所以,
故,
令,,则,
当时,,当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增,
故,
所以,当且仅当,时,等号成立.
故选：C.
9．答案：ACD
解析：对于A选项,两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r的绝对值越接近于1,正确;
对于B选项,,,故B选项错误;
对于C选项,残差平方和越小的模型拟效果越好,故C选项正确;
对于D选项,因为随机变量服从两点分布,且,所以,
因为,所以,故D选项正确.
故选：ACD.
10．答案：ABC
解析：对于A：,
则,A正确;
对于B：,
则,B正确;
对于C：N与Q不可能同时发生,故N与Q互斥,C正确;
对于D：,,,
故,故D错误.
故选：ABC.
11．答案：ABD
解析：对于A：当时,直线与曲线没有两个不同交点,所以,如图1所示,
当直线与曲线相切时,设切点为,则,
所以切线方程为：,代入点解得,此时,所以直线与曲线相切,
所以当时直线与曲线有两个不同的交点,
当时,直线与曲线没有交点,故A正确;
对于B：由已知得,,不妨设,则,
又在点A处的切线方程为：,在点B处的切线方程为,
两式相减得,将,代入得,
因为,所以,即,故B正确;
对于C：要证,即证,即证,因为,所以需证.
令,则,令,则点A、B是与的两个交点,令,
所以,令,则,所以当时,,单调递减,
而,,所以 ,所以时,,所以单调递减,所以,
即,又,所以,
而,所以当时,,单调递增,又,,所以,即,故C错误;
对于D：设直线AM交x轴于C,直线BM交x轴于点D,作轴于点E.若,则,
即,
所以,
化简得,即,
由,可得,
则,即为,
,即有,可得,即,
这与矛盾,故不存在,使得,故D正确.
故选：ABD.
12．答案：
解析：由题意知,由得,
解得,,
故.
故答案为：.
13．答案：-1
解析：由可得,
当时,,故在单调递减,当时,,此时显然不满足题意,
当时,令得,故在单调递增,
令得,故在单调递减,
要使恒成立,则,
故
所以,
记,
当时,,单调递增,当时,,单调递减,
故,故,
当,时等号成立,故最小值为-1,
故答案为：-1.
14．答案：
解析：由题意,可得,,
根据全概率公式知
,
,
,
,
所以
.
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）.
解析：（1）命题,不等式恒成立,为真命题,
则,解得,即实数m的取值范围为.
（2）命题,使成立,
当q为真命题时,
即,解得或,
.
当命题p,q中恰有一个为真命题时,
①p为真命题,q为假命题,即,所以;
②p为假命题,q为真命题,即,所以;
综上可得：.
16．答案：（1）,59.9十万元.
（2）表格见解析,青年群体和中老年群体对租车服务的评价有差异.
解析：（1）,,
,
,
,
.
.
时,,
预测2024年暑假的业务量约为59.9十万元.
（2）列联表如下：
零假设为青年群体和中老年群体对租车服务的评价相互独立.
,
根据小概率值的独立性检验,青年群体和中老年群体对租车服务的评价有差异.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）,
是公比为2的等比数列.
,
,.
（2）,,
所以.
当n为偶数,
.
当n为奇数
综上：.
18．答案：（1）
（2）-1
（3）证明见解析
解析：（1）,
,,
在处的切线为.
（2）,
,则,所以,
,在上单调递减,
时,,
因为对任意恒成立,所以,,
则,的最大值为-1.
（3）设,
,
在R上单调递增,
,
,使,
在上单调递减,在上单调递增,
,
,
,
.
19．答案：（1）分布列见解析,0
（2）（i）,;（ii）
解析：（1）,,
,,
的分布列如下：
.
（2）（i）,
（ii）设事件A：粒子在第秒末第一次回到原点,
事件B：粒子第1秒末向右移动一个单位.
,
记粒子往左移动一个单位为,粒子往右移动一个单位为,
以下仅考虑事件.
设第秒末粒子的运动方式为,其中;沿用（1）中对粒子位置的假设X,
则粒子运动方式可用数列表示,
如：1,1,-1,-1表示粒子在前4秒按照右､右､左､左的方式运动.
由粒子在第秒末第一次回到原点,可知
数列的前项中有n个1和n个-1.
,,
粒子在余下秒中运动的位置满足,
即,,
粒子在余下秒中运动方式的总数为,
,又
0
1
2
3
P
m
n
年份
2019年
2020年
2021年
2022年
2023年
业务量
20
24
36
43
52
好评
差评
合计
青年
20
中老年
15
合计
45
100
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
好评
差评
合计
青年
20
30
50
中老年
35
15
50
合计
55
45
100
X
-3
-1
1
3
P