湖南省岳阳市第十三中学2023-2024学年高一上学期入学考试数学试卷(含答案)

这是一份湖南省岳阳市第十三中学2023-2024学年高一上学期入学考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．下列运算正确的是( )
A.B.
C.D.
2．将一副三角板如图所示放置，斜边平行，则的度数为( )
A.B.C.D.
3．已知，则( )
A.B.C.D.
4．世界近代三大数学难题之一哥德巴赫猜想于1742年由哥德巴赫在给欧拉的信中提出：任一大于2的偶数都可写成两个奇素数之和这个猜想至今没有完全证明，目前最前沿的成果是1966年我国数学家陈景润证明了“”，即他证明了任何一个充分大的偶数，都可以表示为两个数之和，其中一个是素数，另一个或为素数，或为两个素数的乘积，被称为“陈氏定理”我们知道素数又叫质数，是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外，不能被其他自然数整除的数请问同学们，如果我们从不大于8的自然数中任取两个不同的数，这个两个数都是素数有多少种不同的情况？( )
A.6B.10C.12D.16
5．下列选项中的垃圾分类图标，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( )
A.B.C.D.
6．中，若：：：：，为的重心，则面积：面积：面积( )
A.B.C.D.
7．如图，在平行四边形中，，，，以点A为圆心，的长为半径画弧交于点E，连接，则阴影部分的面积是( )
A.B.C.D.
8．在某种浓度的盐水中加入“一杯水”后，得到新的盐水，它的浓度为，又在新盐水中加入与前述“一杯水”的重量相等的纯盐后，盐的浓度变为，那么原来盐水的浓度为( )
A.B.C.D.
9．一条抛物线的顶点为，且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负，则a、b、c中为正数的( )
A.只有aB.只有bC.只有cD.只有a和b
10．反比例函数与一次函数在同一坐标系中的图象只能是( )
A.B.
C.D.
11．如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒若按照这样的方法拼成的第n个图形需要2022根小木棒，则n的值为( )
A.252B.253C.336D.337
12．如图所示，已知三角形为直角三角形，,为圆O切线，C为切点，，则和面积之比为( )
A.B.C.D.
二、填空题
13．已知实系数一元二次方程的两根分别为，，且，则实数m的值为___________.
14．对于实数a，b，定义符号，其意义为：当时，；当时，.例如：，若关于x的函数，则该函数的最大值为______.
15．火车匀速通过长82米的铁桥用了22秒，如果它的速度加快1倍，通过162米长的铁桥就只用了16秒，求这列火车的长度为______.
16．如图，是边长为6的等边三角形，点E为高BD上的动点.连接CE，将CE绕点C顺时针旋转60°得到CF.连接AF，EF，DF，则周长的最小值是________.
三、解答题
17．计算：
（1）；
（2）解方程：.
18．某学校为了丰富学生课余生活，开展了“第二课堂”的活动，推出了以下四种选修课程：A.绘画；B.唱歌；C.演讲；D.十字锈.学校规定：每个学生都必须报名且只能选择其中的一个课程学校随机抽查了部分学生，对他们选择的课程情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图.请结合统计图中的信息，解决下列问题：
（1）这次学校抽查的学生人数是_____；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）求扇形统计图中，B课程部分的圆心角的度数；
（4）如果该校共有1000名学生，请你估计该校报D的学生约有多少人？
19．通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散学生注意力指标数y随时间x(分钟)变化的函数图象如图所示(y越大表示学生注意力越集中).当时，图象是抛物线的一部分，当和时，图象是线段.
（1）当时，求注意力指标数y与时间x的函数关系式；
（2）一道数学竞赛题需要讲解24分钟，问老师能否经过适当安排，使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36.
20．阅读材料，完成相应任务：“贾宪三角”又称“杨辉三角”，在欧洲则称为“帕斯卡三角”如图所示，它揭示了(n为非负数)展开式的各项系数的规律.
根据上述规律，完成下列问题：
（1）直接写出_____.
（2）的展开式中a项的系数是_____.
（3）利用上述规律求的值，写出过程.
21．如图，内接于，为的直径，与相交于点H，的延长线与过点B的直线相交于点E，且.
（1）求证：是的切线；
（2）已知，且与，分别相交于点F，G，若，，，求的值.
22．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，连接.
（1）求点B，点C的坐标；
（2）如下图，点在线段上点E不与点B重合，点F在y轴负半轴上，，连接，，，设的面积为，的面积为，，当S取最大值时，求m的值；
（3）如下图，抛物线的顶点为D，连接，，点P在第一象限的抛物线上，与相交于点Q，是否存在点P，使，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．答案：B
解析：对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，，D错误.
故选：B
2．答案：C
解析：如图所示：
因为，
所以
所以，
故选：C.
3．答案：C
解析：因为，
所以，
故选：C
4．答案：A
解析：根据题意，在不大于8的自然数中，素数有2、3、5、7，共4个，
则取出2个数都是素数的取法有,,,,,共6种，
故选：A.
5．答案：C
解析：由中心对称图形，轴对称图形的定义可知，选项C符合题意，
其他选项均不符合.
故选：C
6．答案：D
解析：如图所示，延长三条线分别交三角形三边于D,E,F三点，由重心的概念知其为各边的中点，
则的面积的面积，的面积的面积，
所以，同理可证明.
所以面积：面积：面积.
故选：D
7．答案：B
解析：过点D作，如图所示：
，则，,
则梯形AECD的面积，扇形ADE的面积
所以阴影部分面积为.
故选：B.
8．答案：B
解析：设原盐水溶液为a克，其中含纯盐m克，后加入“一杯水”为x克，
依题意得：，
解得，
故原盐水的浓度为，
故选：B.
9．答案：A
解析：因为与x轴有两个交点所以时，，即，
设两根为,，
因为顶点为，所以，所以，.
又因为与x轴的两个交点的横坐标为一正一负，所以，因为，所以.
故选：A
10．答案：B
解析：当时，，反比例函数在上应有，且单调递减，
而一次函数的斜率大于1，故此时，A、B、C、D都不可能.
当时，，反比例函数在上应有，且单调递增，
而一次函数的斜率满足，故只有B成立.
当时，，反比例函数在上应有，且单调递增，
而一次函数的斜率k满足，故此时，A、B、C、D都不可能，
故选：B.
11．答案：B
解析：拼第1个图形需要根小木棒，
拼第2个图形需要根小木棒，
拼第3个图形需要根小木棒，
则拼第n个图形需要根小木棒，解得.
故选：B.
12．答案：B
解析：如图,连接OC,过点B作于M.
BC是⊙O的切线,OC为半径,,即.
DE是⊙O的直径,，，，
，，.
，，，，.
又，.
，
.
故选：B.
13．答案：
解析：由题意可得，解得或，
，，
则，解得.
故答案为：.
14．答案：
解析：在平面直角坐标系中画出和的图像，根据符号的意义可知，
截取交点及其下方的图像，得到函数的图像：
联立方程，解得.
所以函数最大值为.
故答案为：.
15．答案：84米
解析：火车以原来的速度通过162米长的铁桥，要用秒，
火车原来的速度为米秒，
火车的长度为米.
故答案为：84米.
16．答案：或
解析：点E为高上的动点.
将绕点C顺时针旋转得到，且是边长为6的等边三角形，
，，，，
，，
点F在射线上运动，
如图，作点C关于的对称点，连接，
设交于点O，则，
在中，，则，
则当D，F，三点共线时，取得最小值，
即，
，，，
，，
在中，，
周长的最小值为.
故答案为：.
17．答案：（1）；
（2）0或2
解析：（1）
；
（2）当时，，解得，故，
当时，，解得，故，
综上所述，原方程的解为0或2.
18．答案：（1）40人；
（2）图见解析；
（3）；
（4）100人
解析：（1）人，
这次学校抽查的学生人数是40人；
（2）样本中选择C课程的人数为：人，
补全条形统计图如下：
（3），
即B课程部分的圆心角的度数为；
（4）人，
即该校名学生中报D的大约有人.
19．答案：（1），；
（2）可以.
解析：（1）当时，设抛物线的函数关系式为，而其图象经过点，，，
因此，解得，，；
所以注意力指标数y与时间x的函数关系式为，
（2）观察图象知，当时，，
当时，设，显然函数图象过点,，
即有，解得,，则当时，，
当时，令，得，解得，
当时，令，得，解得，
显然有，
所以老师可以经过适当的安排，在学生注意力指标数不低于36时，讲授完这道竞赛题.
20．答案：（1）；
（2）8；
（3）答案见解析
解析：（1）由杨辉三角图可得
（2）由杨辉三角的性质可得的展开式二项式系数可知展开式中a项的系数为；
（3）
21．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）连接，如图所示：
是直径，
，即，
，，
，
，
是的切线.
（2），
，
，
，
，
，即，
又，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
，即，
，
，，
，
，
，
，即，
.
22．答案：（1），；
（2）1；
（3）存在，
解析：（1）当时，，解得：，，
点A的坐标为，点B的坐标为；
当时，，点C的坐标为，
（2）由，，，
，，
点E的坐标为，，
，，
，
当时，S取得最大值，
即当S取最大值时，m的值为1.
（3）存在，设点P的坐标为.
如图所示，连接，过点Q作轴于点M，过点D作轴，
过点P作轴交于点N.
，，
为等腰直角三角形，，.
抛物线的顶点为D，点D的坐标为，
点B的坐标为，点C的坐标为，
，，
，，
，
，，
，，，
，
又，，
又，，
，即，
解得：不合题意，舍去，，
点P的坐标为.