2024天津中考数学二轮重难题型专题训练 题型二 第17题几何图形的相关计算 (含答案)

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类型一 三角形的相关计算
典例精讲
例 1 如图，△ABC为等边三角形，分别延长BC、BA至点D、E，使得BD＝AE.点F、G分别为AE和CD的中点，连接FG、ED，若AB＝2，BD＝4，则FG的长为________．
例1题图
【思维教练】要求FG的长，根据等边三角形的性质和AB，BD的长可得到CD的长，根据点F，G的位置可以求得AF和CG的长，从而得到∠FCB＝∠FCG＝90°，利用勾股定理即可求得FG的长．
针对演练
1. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D是BC的中点，点E在AC上，且CE＝3AE.连接DE并延长交BA的延长线于点G，若BC＝6eq \r(3)，则AG的长为________．
第1题图
2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是边BC上一点，连接AD，以AD为边作等边△ADE，连接BE，若BC＝7，BE＝4，∠CBE＝60°，则CD的长为________．
第2题图
3. 如图，点D、E分别为等边△ABC的边AB，AC上的点，以AD，DE为边作菱形ADEF，连接BE，H是BE的中点，连接AH交DE于点G，若AB＝6，DE＝2，则DG的长为________．
第3题图
4. 如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，BD平分∠ABC，AE⊥BD，垂足E在BD的延长线上，F是AC的中点，连接EF，则△EFD的面积是________．
第4题图
5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝4，D为线段CB的中点，E为CB延长线上一点，DB＝BE，以AD，DE为邻边作▱ADEF，过点D作DG⊥AB于点G，连接FG，则FG的长为________．
第5题图
类型二 四边形的相关计算
典例精讲
例 2 如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE.过点A作AE的垂线AP交DE于点P.若AE＝AP＝1，PB＝eq \r(6)，则PD的长为________．
例2题图
【思维教练】要求PD的长，根据题设所给条件，需要先证明△APD≌△AEB，从而得到PD＝EB，再根据全等三角形和等腰直角三角形的角度关系确定∠PEB＝90°，即△PEB是直角三角形，最后根据题干给出的线段长度用勾股定理即可求得PD的长．
针对演练
1.如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于点E，连接CE，若AD＝8，AB＝4，则CE的长为________．
第1题图
2. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边CD的中点，点F为边BC上一点，连接AF，过点E作EG⊥AF交BC于点G，若CF＝1，则EG的长
为________．
第2题图
3.如图，正方形ABCD的边长为6，M为AB的中点，△MBE为等边三角形，过点E作ME的垂线分别与边AD，BC交于点P，Q，则PE的长为_________．
第3题图
4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，斜边AB＝eq \r(2)，过点C作CE∥AB，以AB为边作菱形ABDE，若∠E＝30°，则Rt△ABC的面积为________．
第4题图
5. 如图，正方形ABCD中，点E是边BC上一点，AE的垂直平分线分别交AB，BD，CD于点F，G，H，若GE＝5，则FH的长为________．
第5题图
6. 如图，菱形ABCD的边长为2eq \r(3)，∠ABC＝60°，点E、F在对角线BD上运动，且EF＝2，连接AE、AF，则△AEF周长的最小值是________．
第6题图
类型三 多边形的相关计算
典例精讲
例 3 如图，在正六边形ABCDEF中，连接AC，AE，CE，△ACE的面积为48eq \r(3)，则正六边形的周长为________．
例3题图
【思维教练】要求正六边形的周长，求出任意一边的长即可，先根据正六边形的性质，可判断△AEC是等边三角形，由△ACE的面积可求得AE的长，过点F作FG⊥AE于点G，在直角三角形中求EF，即可得到正六边形的周长．
针对演练
1. 如图，在正五边形ABCDE中，过顶点A作AF⊥CD，垂足为点F，连接AC，则∠CAF的度数为________．
第1题图
2. 如图，在五边形ABCDE中，AB＝BC＝5，AE＝ED＝6，∠ABC＋∠AED＝180°，M为边CD的中点，若BM＝7，EM＝8，则五边形ABCDE的面积为________．
第2题图
参考答案
类型一 三角形的相关计算
典例精讲
例 1 eq \r(13) 【解析】如解图，连接CF，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝2，∠B＝60°.∵BD＝AE＝4，∴CD＝2.∵F、G分别为AE、CD的中点，∴AF＝2，CG＝1，∴AB＝AC＝AF＝2.∵∠BAC＝60°，∴∠AFC＝eq \f(1,2)∠BAC＝30°，∴∠B＋∠BFC＝90°，∴∠FCB＝90°.在Rt△BCF中，CF＝BF·sin60°＝4×eq \f(\r(3),2)＝2eq \r(3)，在Rt△FCG中，由勾股定理得FG＝eq \r(FC2＋CG2)＝eq \r(13).
例1题解图
针对演练
1. 3 【解析】如解图，连接AD，过点D作DF∥AB交AC于点F.∵AB＝AC，点D是BC的中点，∠BAC＝120°，∴AD⊥BC，BD＝eq \f(1,2)BC＝3eq \r(3)，∠BAD＝60°，∴AB＝6.∵点D是BC的中点，DF∥AB，∴DF是△ABC的中位线，∴DF＝eq \f(1,2)AB＝3，点F是AC的中点．∵CE＝3AE，∴AE＝EF.∵DF∥AG，∴∠FDE＝∠AGE，∠DFE＝∠GAE，∴△DEF≌△GEA，∴AG＝DF＝3.
第1题解图
2. 1 【解析】如解图，在BC的延长线上取点F，连接CF，AF，使得∠AFD＝60°，∵△ADE是等边三角形，∴AD＝DE＝AE，∠ADE＝60°，∵∠ADB＝∠AFD＋∠DAF＝∠ADE＋∠EDB，∴∠DAF＝∠EDB，在△AFD和△DBE中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠AFD＝∠DBE,∠DAF＝∠EDB,AD＝DE))，
∴△AFD≌△DBE，∴FD＝BE＝4，AF＝BD，设CF＝x，则CD＝4－x，BD＝7－(4－x)＝3＋x，∵∠ACB＝90°，∴∠ACF＝90°，∴∠CAF＝30°，∴AF＝2CF＝2x，∴2x＝x＋3，解得x＝3，∴CD＝4－x＝1.
第2题解图
3. eq \f(1,2) 【解析】如解图，延长GH交BC于点M，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵四边形ADEF是菱形，∴AD＝DE＝2，∴△ADE是等边三角形，∴∠ADE＝60°＝∠ABC，∴DE∥BC，∴∠GEH＝∠MBH，△ADG∽△ABM，∴eq \f(DG,BM)＝eq \f(AD,AB)＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3)，∴BM＝3DG，∵H为BE的中点，∴EH＝BH，∵∠GHE＝∠MHB，∴△GHE≌△MHB，∴GE＝MB，∴GE＝3DG，∴DG＝eq \f(1,4)DE＝eq \f(1,2).
第3题解图
4. eq \f(5\r(2)－7,2) 【解析】如解图，延长AE与BC的延长线交于点G，∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，∴AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝2eq \r(2).∵BD平分∠ABC，∴∠1＝∠2.∵AE⊥BD，∴∠AEB＝∠GEB＝90°，在△AEB和△GEB中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠AEB＝∠GEB,BE＝BE,∠1＝∠2))，∴△AEB≌△GEB，∴AB＝GB＝2eq \r(2)，AE＝GE.∵BC＝2，∴GC＝GB－BC＝2eq \r(2)－2.∵E为AG的中点，F为AC的中点，∴EF＝eq \f(1,2)GC＝eq \r(2)－1，且EF∥GB，∴∠FED＝∠2，∠EFD＝∠BCD＝90°，∴△EDF∽△BDC，∴eq \f(EF,BC)＝eq \f(FD,CD)＝eq \f(\r(2)－1,2)，∴FD＝eq \f(\r(2)－1,2)CD.∵FD＋CD＝eq \f(AC,2)＝1，∴(eq \f(\r(2)－1,2)＋1)CD＝1，解得CD＝2eq \r(2)－2，∴FD＝3－2eq \r(2)，∴S△EFD＝eq \f(EF·FD,2)＝eq \f(5\r(2)－7,2).
第4题解图
5. eq \r(10) 【解析】如解图，过点F作FH⊥AB于点H，∵∠C＝90°，CA＝CB＝4，∴∠ABC＝45°，AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝4eq \r(2).∵D为BC的中点，∴BD＝2.∵BD＝BE，∴DE＝4，在Rt△BGD中，BG＝BD·cs45°＝eq \r(2)，∵四边形ADEF是平行四边形，∴AF＝DE＝4，AF∥DE，∴∠FAH＝∠ABC＝45°，∴AH＝FH＝AF·cs45°＝2eq \r(2)，∴HG＝AB－AH－BG＝eq \r(2)，∴在Rt△FHG中，FG＝eq \r(HG2＋FH2)＝eq \r(10).
第5题解图
类型二 四边形的相关计算
典例精讲
例 2 2 【解析】∵AE⊥AP，∴∠EAP＝90°.∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°， AB＝AD，∴∠EAB＝∠PAD.又∵AE＝AP，AB＝AD，∴△APD≌△AEB，∴PD＝EB，∠APD＝∠AEB.∵AE⊥AP，AE＝AP＝1，∴∠APE＝∠AEP＝45°，EP＝eq \r(2)，∴∠APD＝∠AEB＝135°，∴∠PEB＝∠AEB－∠AEP＝90°，即△PEB是直角三角形，由勾股定理得EB＝eq \r(PB2－PE2)＝2 ，∴PD＝EB＝2.
针对演练
1. eq \f(4\r(65),5) 【解析】∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝8，AE⊥BD于点E，∴BD＝eq \r(AB2＋AD2)＝4eq \r(5).∵∠ADB＋∠EAD＝90°，∠EAB＋∠EAD＝90°，∴∠ADB＝∠EAB，∵∠AEB＝∠BAD＝90°，∴△ABE∽△DBA，∴eq \f(BE,AB)＝eq \f(AB,BD)，∴AB2＝BE·BD，∴BE＝eq \f(4\r(5),5)，∴DE＝eq \f(16\r(5),5)，如解图，过点E作EF⊥BC于点F，则EF∥DC，∴△BEF∽△BDC，∴eq \f(EF,DC)＝eq \f(BF,BC)＝eq \f(BE,BD)＝eq \f(1,5)，∴EF＝eq \f(4,5)，BF＝eq \f(8,5)，∴CF＝eq \f(32,5)，∴在Rt△CEF中，由勾股定理得CE＝eq \r(EF2＋CF2)＝eq \f(4\r(65),5).
第1题解图
2. eq \f(10,3) 【解析】如解图，连接AE并延长与BC的延长线交于点H，连接AG，EF，设EG与AF交于点N，∵点E为CD的中点，∴DE＝CE＝2，∵在△ADE和△HCE中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠D＝∠ECH＝90°,DE＝EC,∠DEA＝∠CEH))，∴△ADE≌△HCE，∴AE＝EH，AD＝CH＝4，∵CF＝1，∴FH＝FC＋CH＝5，BF＝3，∵AF＝eq \r(AB2＋BF2)＝5，∴AF＝FH，∵AE＝EH，∴EF⊥AH，∠AFE＝∠HFE，∵EG⊥AF，∠DCB＝90°，∴EC＝EN＝2，∵在Rt△ADE和Rt△ANE中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(DE＝EN,AE＝AE))，∴Rt△ADE≌Rt△ANE，∴AD＝AN＝4＝AB，∵在Rt△AGN和Rt△AGB中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AN＝AB,AG＝AG))，∴Rt△AGN≌Rt△AGB，∴BG＝GN，∵EG2＝EC2＋CG2，∴(2＋BG)2＝22＋(4－BG)2，解得BG＝eq \f(4,3)，∴EG＝eq \f(10,3).
第2题解图
3. 3eq \r(3) 【解析】如解图，连接MP.∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD＝90°.∵M为AB的中点，∴AM＝BM＝eq \f(1,2)AB＝3.∵△BME是等边三角形，∴∠EMB＝60°，ME＝BE＝BM，∴EM＝AM＝3.∵PE⊥ME，∴∠PEM＝90°，∴∠PEM＝∠BAD＝90°.∵PM＝PM，∴Rt△PEM≌Rt△PAM，∴∠AMP＝∠EMP＝eq \f(180°－∠EMB,2)＝60°，∴∠MPE＝30°，∴MP＝2ME＝6，∴在Rt△PEM中，PE＝eq \r(MP2－ME2)＝3eq \r(3).
第3题解图
4. eq \f(1,2) 【解析】如解图，分别过点D，C作DH，CG垂直于AB，垂足为点H，G，∵四边形ABDE为菱形，∴AB＝BD＝eq \r(2)，∵∠ABD＝∠E＝30°，∴在Rt△BHD中，DH＝eq \f(\r(2),2)，∵AB∥CE，根据平行线间的距离处处相等，∴HD＝CG＝eq \f(\r(2),2)，∴Rt△ABC的面积为eq \f(1,2)AB·CG＝eq \f(1,2)×eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(1,2).
第4题解图
5. 5eq \r(2) 【解析】如解图，连接AG，过点G分别作GP⊥AB于点P，GQ⊥BC于点Q，过点F作FM⊥CD于点M，∵BD是正方形ABCD的对角线，点G在BD上，BG平分∠ABC，∴GP＝GQ.又∵∠GPB＝∠PBQ＝∠GQB＝90°，∴四边形GPBQ为正方形．又∵FH是AE的垂直平分线，∴GA＝GE，∵在Rt△AGP和Rt△EGQ中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(GA＝GE,GP＝GQ))，∴Rt△AGP≌Rt△EGQ，∴∠AGP＝∠EGQ，∴∠AGE＝∠AGP＋∠PGE＝∠EGQ＋∠PGE＝∠PGQ＝90°，∴△AGE为等腰直角三角形，∴在Rt△AGE中，AE＝eq \r(AG2＋EG2)＝5eq \r(2)，∵FM⊥CD，∴∠FMC＝∠MCB＝∠CBF＝90°，∴四边形FMCB为矩形，∴FM＝BC＝AB，∵FH⊥AE，∴∠BAE＋∠AFH＝∠AFH＋∠MFH＝90°，∴∠BAE＝∠MFH，∴在△ABE和△FMH中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠BAE＝∠MFH,AB＝FM,∠ABE＝∠FMH))，∴△ABE≌△FMH，∴FH＝AE＝5eq \r(2).
第5题解图
6. 6 【解析】如解图，过点A作AH∥BD，使得AH＝EF＝2，连接AC，连接CH交BD于点F，则AE＋AF的值最小，即△AEF的周长最小．∵AH＝EF，AH∥EF，∴四边形EFHA是平行四边形，∴EA＝FH，∵在菱形ABCD中，BD为对角线，∴AF＝CF，∴AE＋AF＝FH＋CF，∴当C，F，H三点共线时，AE＋AF取最小值CH，∵菱形ABCD的边长为2eq \r(3)，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝2eq \r(3)，AC⊥BD，∵AH∥DB，∴AC⊥AH，∴∠CAH＝90°，∵在Rt△CAH中，CH＝eq \r(AC2＋AH2)＝4，∴AE＋AF的最小值是4，∴△AEF的周长的最小值＝4＋2＝6.
第6题解图
类型三 多边形的相关计算
典例精讲
例 3 48 【解析】如解图，过点F作FG⊥AE于点G，由题意可得AC＝EC＝AE，∴△ACE为等边三角形，设等边△ACE的边长为a，∵S△ACE＝48eq \r(3)，∴eq \f(1,2)a2·sin60°＝48eq \r(3)，解得a＝8eq \r(3).∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AFE＝120°，EF＝AF，∴AG＝EG＝eq \f(1,2)a＝4eq \r(3)，∠EFG＝60°，∴EF＝eq \f(EG,sin 60°)＝8，∴正六边形的周长＝6×8＝48.
例3题解图
针对演练
1. 18° 【解析】∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠B＝∠BCD＝eq \f(（5－2）×180°,5)＝108°，BA＝BC，∴∠BCA＝∠BAC＝eq \f(180°－108°,2)＝36°，∴∠ACF＝∠BCD－∠BCA＝72°，∵AF⊥CD，∴∠AFC＝90°，∴∠CAF＝90°－∠ACF＝18°.
2. 56 【解析】如解图，延长BM到点F，使FM＝BM，连接BE，EF，DF，∵在△BMC和△FMD中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(BM＝FM,∠BMC＝∠FMD,CM＝DM))，∴△BMC≌△FMD，∴BC＝DF＝AB，∠C＝∠CDF，∵∠A＋∠ABC＋∠C＋∠CDE＋∠AED＝(5－2)×180°＝540°，∠ABC＋∠AED＝180°，∴∠A＋∠C＋∠CDE＝360°，∵∠CDE＋∠CDF＋∠EDF＝360°，∴∠A＝∠EDF，在△ABE和△DFE中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB＝DF,∠A＝∠EDF,AE＝DE))，∴△ABE≌△DFE，∴BE＝FE，∵BM＝MF.∴EM⊥BF，∴五边形ABCDE的面积＝S△ABE＋S△BCM＋S四边形BMDE＝S△EDF＋S△MDF＋S四边形BMDE＝S△BEF＝eq \f(1,2)BF·EM＝56.
第2题解图