2024天津中考数学二轮重难题型专题训练 题型三 第18题网格作图题 (含答案)

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类型一 面积问题
典例精讲
例 1如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上．
例1题图
(Ⅰ)AB的长等于________；
(Ⅱ)在△ABC的内部有一点P，满足S△PAB∶S△PBC∶S△PCA＝1∶2∶3，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的(不要求证明)________________________________________________________________________.
【思维教练】(Ⅱ)∵S△PAB∶S△PBC∶S△PCA＝1∶2∶3，∴S△PAB＝eq \f(1,6)S△ABC，S△PBC＝eq \f(1,3)S△ABC，S△PCA＝eq \f(1,2)S△ABC，利用平行线间的距离相等，构造同底等高的三角形，利用面积的倍数关系，分别取AC的一个六等分点、AC的一个三等分点，构造AB、BC的平行线即可．
针对演练
1.如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．
第1题图
(Ⅰ)△ABC的面积等于________；
(Ⅱ)若四边形DEFG是△ABC中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图所示的网格中，用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图方法(不要求证明)______________________.
2. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，B，C均为格点．
第2题图
(Ⅰ)sin∠ABC的值为________；
(Ⅱ)点D，F分别为AB，AC上的点，点A关于DF的对称点为E，且DE∥AC，连接DE，EF分别交BC于点H，G，当S△ADF＝15S△EHG时，请利用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点D，F，并简要说明点D，F的位置是如何找到的(不要求证明)________________.
3. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点均在格点上，点P也在格点上，点C是两个同心圆的圆心．
第3题图
(Ⅰ)线段AB的长等于________；
(Ⅱ)以点C为旋转中心，将△ABC绕点C旋转，点A，B的对应点分别是点D，E，当△PDE的面积取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点D，E，并简要说明点D，E的位置是如何找到的(不要求证明)_____________________________________.
4. 如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点C均落在格点上．
第4题图
(Ⅰ)计算AC2＋BC2的值等于____________；
(Ⅱ)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为一边的矩形，使该矩形的面积等于AC2＋BC2，并简要说明画图方法(不要求证明)____________________________.
5. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B都在格点上．
第5题图
(Ⅰ)线段AB的长等于________；
(Ⅱ)在如图所示的网格中，以AB为底边作一个面积为5的等腰三角形ABQ，并简要说明你是怎么画出点Q的(不要求证明)_________________________________________.
类型二 线段问题
典例精讲
例 2 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上．
例2题图
(Ⅰ)线段AC的长等于________；
(Ⅱ)以AB为直径的半圆的圆心为O，在线段AB上有一点P，满足AP＝AC.请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的(不要求证明)________________________________________________________________________.
【思维教练】(Ⅱ)要满足AP＝AC，利用线段垂直平分线的性质，先构造AC的平行线，再利用平行线的性质和直径所对圆心角为90°构造三角形及三角形底边的垂直平分线即可．
针对演练
1. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点P，A，O均在格点上，半圆O的半径为3，PT与半圆O相切于点T.
第1题图
(Ⅰ)∠PTO的大小＝________(度)；
(Ⅱ)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段PT，并简要说明点T的位置是如何找到的(不要求证明)__________________________________________________________.
2. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A、B、C均在格点上．
第2题图
(Ⅰ)∠ACB的大小为________(度)；
(Ⅱ)在如图所示的网格中，P是BC边上任意一点．以A为中心，取旋转角等于∠BAC，把点P逆时针旋转，点P的对应点为P′.当CP′最短时，请用无刻度的直尺，画出点P′，并简要说明点P′的位置是如何找到的(不要求证明)______________________________________.
3. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上，且AB＝eq \f(5,3).
第3题图
(Ⅰ)线段AC的长等于________；
(Ⅱ)以BC为直径的半圆与边AC相交于点D，若P，Q分别为边AC，BC上的动点，当BP＋PQ取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，Q，并简要说明点P，Q的位置是如何找到的(不要求证明)_________________________________________.
4. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A、E为格点，B，F为小正方形边的中点，C为AE，BF的延长线的交点．
第4题图
(Ⅰ)AE的长等于________；
(Ⅱ)若点P在线段AC上，点Q在线段BC上，且满足AP＝PQ＝QB，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段PQ，并简要说明点P、Q的位置是如何找到的(不要求证明)________________________________________________________________________.
5.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，AB为以点C为圆心的半圆的直径，点A，B，C，P都在格点上，PC交半圆于点D.
第5题图
(Ⅰ)PD的长等于________；
(Ⅱ)点F是半圆上一点(点F不与点A，B重合)，PF与半圆相切于点F，点Q为半圆外一点，QD与半圆相切于点D，且QD＝eq \f(16,5)，请用无刻度的直尺在网格中画出符合条件的点F，Q.并简要说明点F，Q的位置是如何找到的(不要求证明)__________________________.
6. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B在格点上，C是小正方形边的中点．
第6题图
(Ⅰ)AB的长等于________；
(Ⅱ)M是线段BC与网格线的交点，P是△ABC外接圆上的动点，点N在线段PB上，且满足PN＝2BN.当MN取得最大值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的(不要求证明)________________________________.
7.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△OAB的顶点A，B，O均落在格点上，以点O为圆心，OA长为半径的圆交OB于点C.
第7题图
(Ⅰ)线段BC的长等于________；
(Ⅱ)若BD切⊙O于点D，P为OA上的动点，当BP＋DP取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点D，P，并简要说明点D，P的位置是如何找到的(不要求证明)________________________________________________________________________.
8. 如图①，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．
(Ⅰ)线段AB的长为________；
(Ⅱ)点P是线段AC上的动点．当AP＋eq \r(5)PB最短时，请你在图②所示的网格中，用无刻度的直尺画出点P的位置(保留画图痕迹)，并简要说明画图的方法(不要求证明)________________________________________________________________________.
第8题图
类型三 角度问题
典例精讲
例 3 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A在格点上，B是小正方形边的中点，∠ABC＝50°，∠BAC＝30°，经过点A，B的圆的圆心在边AC上．
例3题图
(Ⅰ)线段AB的长等于________；
(Ⅱ)请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P，使其满足∠PAC＝∠PBC＝∠PCB，并简要说明点P的位置是如何找到的(不要求证明)____________________________.
【思维教练】(Ⅱ)要确定点P的位置，根据已知∠PAC＝∠PBC＝∠PCB，且点A，B在⊙O上，从而根据圆的对称性，只需在⊙O上确定点Q，使得点Q与点A关于BO对称，点Q与点B关于AO对称，再根据∠ABC及∠A的度数确定∠PBC的度数，从而得到点P的位置．
针对演练
1.如图，是由边长为1的小正方形组成的7×6的网格，△ABC的顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺作图．
第1题图
(Ⅰ)线段AB的长等于________；
(Ⅱ)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个格点P，使∠ABP＝45°并简要说明画图方法(不要求证明)_________________________________________________________.
2. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，P分别为正方形边的中点，B在格点上．
第2题图
(Ⅰ)线段AB的长等于________；
(Ⅱ)请用无刻度的直尺，在线段AB上画出一个点Q，使得点Q满足∠PQA＝3∠PQB，并简要说明点Q的位置是如何找到的(不要求证明)_______________________________________.
3. “三等分任意角”是数学史上一个著名问题．已知一个角∠MAN，设∠α＝eq \f(1,3)∠MAN.
第3题图
(Ⅰ)当∠MAN＝69°时，∠α的大小为________(度)；
(Ⅱ)如图，将∠MAN放置在每个小正方形的边长为1 cm的网格中，角的一边AM与水平方向的网格线平行，另一边AN经过格点B，且AB＝2.5 cm.现要求只能使用带刻度的直尺，请你在图中作出∠α，并简要说明作法(不要求证明)_________________________________.
4. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点B，C均落在格点上，点A在网格线上，且AC＝eq \f(5,2).
(Ⅰ)线段AB的长等于________；
(Ⅱ)以AB为直径的半圆与边BC相交于点D，在圆上有一点P，使得BP平分∠ABC，请用无刻度的直尺在如图所示的网格中画出点P，并简要说明点P的位
置是如何找到的(不要求证明)_______________________________________________________.
第4题图
拓展类型 其他问题
针对演练
1. 如图所示，在每个边长都为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均为格点．
第1题图
(Ⅰ)线段AB的长度等于________；
(Ⅱ)点P是△ABC内切圆与AB的切点，请你借助给定的网格，用无刻度的直尺画出点P，并简要说明你是怎么找到点P的(不要求证明)________________________________.
2. (2021河东区一模)如图，在由边长都为1的小正方形组成的网格中，点A，B均为格点，C为网格线的三等分点，过点B，C的⊙O与线段AB交于点D.
第2题图
(Ⅰ)线段AC的长等于________；
(Ⅱ)请借助无刻度直尺在给定的网格中画出圆心O，并简要说明你是怎么画出点O的(不要求证明)______________________________________________________________________.
3. 如图，在由边长都为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A，B，C均落在格点上.
第3题图
(Ⅰ)线段AB的长为________；
(Ⅱ)在AB上找E点使CE⊥AB，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点E，并简要说明点E的位置是如何找到的(不要求证明)____________________________________.
4. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A、B、C均落在格点上．
第4题图
(Ⅰ)△ABC的面积为________；
(Ⅱ)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺在AC上作一点M，使以M为圆心，MC为半径的⊙M与AB相切，并简要说明点M的位置是如何找到的(不要求证明)___________________.
参考答案
类型一 面积问题
典例精讲
例 1 (Ⅰ)eq \r(17)；
【解析】由勾股定理得AB＝eq \r(42＋12)＝eq \r(17).
(Ⅱ)如解图， AC与网格线相交，得点D，E；取格点F，连接 FB并延长，与网格线相交，得点M，N，连接DN，EM交于点P，连接PA，PB，PC，则点P即为所求．
例1题解图
【解析】∵S△PAB∶S△PBC∶S△PCA＝1∶2∶3，∴S△PAB＝eq \f(1,6)S△ABC，S△PBC＝eq \f(1,3)S△ABC，S△PCA＝eq \f(1,2)S△ABC，作NF∥AC，DN∥BC, EM∥AB，且AE＝eq \f(1,6)AC，CD＝eq \f(1,3)AC，∴S△EAB＝S△PAB＝eq \f(1,6)S△ABC，S△DBC＝S△PBC＝eq \f(1,3)S△ABC，∴S△PCA＝S△ABC－eq \f(1,3)S△ABC－eq \f(1,6)S△ABC＝eq \f(1,2)S△ABC.
针对演练
1. (Ⅰ)6；
【解析】S△ABC＝eq \f(1,2)×4×3＝6.
(Ⅱ)如解图，将点B绕点C顺时针旋转90°得到点P，连接PC，过点A作PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交于点D；过点D作CB的平行线，与AB相交于点E，分别过点D、E作PC的平行线，与CB相交于点G、F.则四边形DEFG即为所求．
第1题解图
【解析】找到格点P的位置，点P可以看成点B绕点C顺时针旋转90°所得，且PC＝BC；连接PC，过点A作PC的平行线交BC于点Q，连接PQ交AC于点D，此时以D为顶点很容易作出一个矩形DEFG，∵∠DQG＝∠PQC，∠DGQ＝∠PCQ＝90°，∴△DGQ∽△PCQ，∴DG∶PC＝DQ∶PQ，∵四边形DEFG为矩形，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∴DE∶BC＝AD∶AC，而AD∶AC＝DQ∶PQ，∴DG∶PC＝DE∶BC，∵PC＝BC，则DG＝DE，可得矩形DEFG即为所求的面积最大的正方形．
2. 解：(Ⅰ)eq \f(3,5)；
【解析】∵AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，∴AB＝5，∴sin∠ABC＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(3,5).
(Ⅱ)如解图①，取格点M，N，连接MN交网格线于点O，取格点L，连接OL交AC于点F，取格点K，连接KC交AB于点D，则点D，F即为所求．

图① 图②
第2题解图
【解析】画草图如解图②，∵点A，E关于DF对称，∴DA＝DE，∠ADF＝∠EDF，∵DE∥AC，∴∠EDF＝∠AFD，∴∠ADF＝∠AFD，∴AD＝AF，设AD＝AF＝x，则DE＝x，BD＝5－x，DH＝BD·sin∠CBD＝eq \f(3,5)(5－x)，∴HE＝DE－DH＝eq \f(8,5)x－3，∵∠E＝∠A，∴HG＝HE ·tanE＝eq \f(4,3)×(eq \f(8,5)x－3)，∴S△HEG＝eq \f(1,2)HE·GH＝eq \f(2,3)×(eq \f(8,5)x－3)2，∵S△ADF＝eq \f(1,2)AF·AD·sinA＝eq \f(1,2)x·eq \f(4,5)x＝eq \f(2,5)x2，∴eq \f(2,5)x2＝15×eq \f(2,3)(eq \f(8,5)x－3)2，解得x＝eq \f(15,7)或eq \f(5,3)，∵HE＝eq \f(8,5)x－3＞0，∴x＝eq \f(15,7)，即AD＝eq \f(15,7)，BD＝eq \f(20,7).∴BD∶AD＝4∶3，在如解图①中，∵eq \f(BK,AC)＝eq \f(BD,AD)＝eq \f(4,3)，∴点D的位置即为所求．∵eq \f(OF,LF)＝eq \f(\f(1,2),3)＝eq \f(1,6)，∴AF＝2＋eq \f(1,7)＝eq \f(15,7)，∴点F的位置即为所求．
3. (Ⅰ)5；
【解析】AB＝eq \r(42＋32)＝5.
(Ⅱ)如解图①，取格点F，G，H，I，分别连接FG，HI，与网格线分别交于点J，K，作直线JK分别与小圆、大圆交于点D，E，则点D，E即为所求．
第3题解图①
【解析】如解图②，连接CD、CE、PE、PD，∵△ABC旋转后点A、B的对应点为点D、E，∴AB＝DE＝5，设点P到直线DE的距离为h，则S△PDE＝eq \f(1,2)h·DE＝eq \f(5,2)h，∴当h取最小值时△PDE的面积最小，当DE⊥CP时h最小，即S△PDE的值最小，则点D，E即为所求．
第3题解图②
4. (Ⅰ)11；
【解析】AC＝eq \r(12＋12)＝eq \r(2)，BC＝3，∴AC2＋BC2＝(eq \r(2))2＋32＝11.
(Ⅱ)如解图，取格点D，E，连接AD，DE，BE，取格点H，I，连接HI，交网格线于点J，取格点K，连接JK，交AD于点M，取格点O，P，连接OP，交网格线于点Q，取格点R，连接QR，交BE于点N，连接MN，则四边形AMNB即为所求．
第4题解图
【解析】如解图，取格点D，E，连接AD，DE，BE，构造正方形ADEB，∵AB＝eq \r(12＋42)＝eq \r(17)，∴正方形ADEB的面积为17，且AD＝BE＝eq \r(17)，要使以AB为一边的矩形的面积为11，则矩形的另一边长为eq \f(11\r(17),17)，则在AD，BE上分别截取AM＝BN＝eq \f(11\r(17),17)，则eq \f(AM,DM)＝eq \f(BN,NE)＝eq \f(11,6)＝eq \f(5.5,3)，取格点H，I，连接HI，交网格线于点J，取格点K，连接JK，交AD于点M，则eq \f(AM,DM)＝eq \f(AJ,KD)＝eq \f(5.5,3)，取格点O，P，连接OP，交网格线于点Q，取格点R，连接QR，交BE于点N，则eq \f(BN,NE)＝eq \f(BQ,RE)＝eq \f(5.5,3)，连接MN，则四边形AMNB即为所求．
5. (Ⅰ)eq \r(26)；
【解析】AB＝eq \r(12＋52)＝eq \r(26).
(Ⅱ)如解图，取格点C，E，F，连接AC，EF，AC与EF相交于点M，取格点D，S，T，连接BD，ST，BD与ST相交于点N，连接MN，取格点L，P，连接LP交MN于点Q，连接AQ，BQ，则△ABQ即为所求．
第5题解图
【解析】如解图，AC＝BD＝eq \r(26)，可证CA⊥AB，DB⊥AB，∴AC∥BD.∵EC∥AF，∴△EMC∽△FMA，∴eq \f(CM,AM)＝eq \f(EC,FA)＝eq \f(8,5)，∴AM＝eq \f(5,13)AC＝eq \f(5\r(26),13).∵SD∥BT，∴△SND∽△TNB，∴eq \f(ND,NB)＝eq \f(SD,TB)＝eq \f(8,5)，∴BN＝eq \f(5,13)BD＝eq \f(5\r(26),13).∴AM＝BN，∴四边形AMNB为矩形，易得LP与AB互相垂直平分，∴点Q是MN的中点，且QA＝QB，∴S△ABQ＝eq \f(1,2)S矩形AMNB＝eq \f(1,2)AB·AM＝5.∴△ABQ即为所求．
类型二 线段问题
典例精讲
例 2 (Ⅰ)eq \r(5)；
【解析】AC＝eq \r(12＋22)＝eq \r(5)；
(Ⅱ)如解图，设BC与网格线相交于点D，连接OD并延长交半圆O于点E，连接AE交BC于点G，延长BE，AC交于点F，连接FG并延长交AB于点P，则点P即为所求．
例2题解图
【解析】如解图，由BC与网格线相交于点D，得CD＝BD.∵AO＝BO，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∴∠AEO＝∠CAE.∵AO＝EO，∴∠OAE＝∠AEO.∴∠CAE＝∠OAE，∴AE平分∠FAB.∵AB为半圆O的直径，∴∠AEB＝90°，∴AE⊥BF.∵AE平分∠FAB，∴直线AE垂直平分BF，∴∠FGE＝∠BGE，∴∠PGA＝∠CGA，∵AE平分∠FAB，AG＝AG，∴△APG≌△ACG，∴AP＝AC.
针对演练
1. (Ⅰ)90；
【解析】∵PT是⊙O的切线，∴∠PTO＝90°.
(Ⅱ)如解图①，取格点C，连接PC即为切线，切点是T，线段PT即为所求作．
第1题解图①
【解析】如解图②，取格点H，连接OC，OT，可知PC＝PO＝5，∴△PCO是等腰三角形，∵等腰三角形两个腰上的高相等，∴OT＝CH＝OA＝3，∴PT⊥TO，∴PC是⊙O的切线．
第1题解图②
2. (Ⅰ)90；
【解析】∵AC2＝32＋32＝18，BC2＝42＋42＝32，AB2＝72＋12＝50，∴AB2＝AC2＋BC2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB＝90°.
(Ⅱ)如解图，取格点D，E，连接DE交AB于点T；取格点M，N，连接MN交BC延长线于点G；取格点F，连接FG交TC的延长线于点P′，则点P′即为所求．
第2题解图
【解析】∵FC＝2eq \r(2)，AC＝3eq \r(2)，∴AF＝AC＋CF＝5eq \r(2)，∴AF＝AB，∴以点A为中心，∠BAC为旋转角，将△ABC逆时针旋转后点F即为点B的对应点．∵点G为MN的中点，∴CG＝eq \f(3\r(2),2)，又∵BC＝4eq \r(2)，AC＝3eq \r(2)，∴eq \f(FC,BC)＝eq \f(CG,AC)＝eq \f(1,2)，又∵∠ACB＝∠GCF＝90°，∴△FCG∽△BCA，∴∠F＝∠B，∠CGP′＝∠A，∴线段FG即为边BC旋转后对应边的一部分，∴点P旋转后的对应点P′在直线FG上，∵点T为AB的中点，AB为Rt△ACB的斜边，∴TC＝TB，∴∠TCB＝∠B，又∵∠GCP′＝∠TCB，∴∠B＝∠GCP′，∴∠GCP′＋∠CGP′＝∠A＋∠B＝90°，∴∠GP′C＝90°，即CP′⊥GF.根据垂线段最短的性质，CP′即为所求．
3. (Ⅰ)eq \r(13)；
【解析】AC＝eq \r(22＋32)＝eq \r(13).
(Ⅱ)如解图①，取格点M，N，连接MN，连接BD并延长，与MN相交于点B′，连接B′C，与半圆相交于点E，连接BE，与AC相交于点P，连接B′P并延长，与BC相交于点Q，则点P，Q即为所求．
第3题解图①
【解析】如解图②，延长NM交网格线于点G，取格点I，设MN与直线CI交于点K，易知KI＝eq \f(2,3)，∴CK＝1＋eq \f(2,3)＝eq \f(5,3)，∵AC∥MN，AG∥CK，∴四边形CKGA为平行四边形，∴AG＝CK＝eq \f(5,3)，∵AB＝eq \f(5,3)，∴AB＝AG，∴BD＝B′D，∵BC为直径，∴∠BDC＝90°，∠BEC＝90°，∴CD垂直平分BB′，BE⊥CE，∴BP＝B′P，点P为△BB′C的垂心，∴BP＋PQ＝B′P＋PQ，B′Q⊥BC，∴BP＋PQ的最小值为B′Q的长，即点P，Q即为所要求的点．
第3题解图②
4. (Ⅰ)eq \r(5)；
【解析】AE＝eq \r(22＋12)＝eq \r(5).
(Ⅱ)如解图，AC与网格线相交于点P；取格点M，连接AM并延长与BC相交于点Q.连接PQ，则线段PQ即为所求．
第4题解图
【解析】若以A为原点建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(6，eq \f(3,2))，E(1，2)，F(5，eq \f(7,2))，∴直线AE的解析式为yAE＝2x，直线BF的解析式为yBF＝－2x＋eq \f(27,2)，设P(m，2m)，Q(n，－2n＋eq \f(27,2))(0＜m＜n＜6)，∴AP2＝m2＋(2m)2＝5m2，PQ2＝(m－n)2＋(2m＋2n－eq \f(27,2))2，BQ2＝(n－6)2＋(－2n＋12)2＝5(n－6)2，∵AP＝PQ＝BQ，∴5m2＝5(n－6)2，5m2＝(m－n)2＋(2m＋2n－eq \f(27,2))2，由5m2＝5(n－6)2得m＝6－n，m＝n－6(舍去)，把m＝6－n代入5m2＝(m－n)2＋(2m＋2n－eq \f(27,2))2，得n＝eq \f(9,2)或n＝eq \f(63,2)(舍去)，∴P(eq \f(3,2)，3)，Q(eq \f(9,2)，eq \f(9,2))．
5. (Ⅰ)2；
【解析】PC＝eq \r(32＋42)＝5，又∵CD＝3，∴PD＝PC－CD＝2.
(Ⅱ)如解图，取格点E，S，H，T，G，连接BE交半圆点F，连接TD，SH并延长交于点Q，则点F，Q为所求点．
第5题解图
【解析】如解图，连接PE，CF，设BE与CP交于点R，∵eq \f(EG,BG)＝eq \f(8,6)＝eq \f(4,3)，eq \f(PB,CB)＝eq \f(4,3)，∴eq \f(EG,BG)＝eq \f(PB,CB).∵∠EGB＝∠PBC＝90°，∴△EGB∽△PBC，∴∠EBG＝∠PCB.∵∠EBG＋∠CBE＝90°，∴∠PCB＋∠CBE＝90°，∴∠CRB＝90°.∵CF＝CB，∴∠PCF＝∠PCB.∵PC＝PC，∴△PFC≌△PBC，∴∠PFC＝∠PBC＝90°，∴PF与半圆相切于点F.∵CD＝CB，∠PCB＝∠TCD，CP＝CT，∴△PCB≌△TCD，∴∠CDT＝∠CBP＝90°，∴QD与半圆相切于点D.∵HP∥SC，HP＝SC，∴四边形HPCS为平行四边形，∴SH∥CP，∴eq \f(TC,SC)＝eq \f(TD,QD)，∴eq \f(5,4)＝eq \f(4,QD).解得QD＝eq \f(16,5).
6. (Ⅰ)eq \r(5)；
【解析】 AB＝eq \r(12＋22)＝eq \r(5).
(Ⅱ)如解图①，取格点T，连接BT交△ABC的外接圆于点P，则点P即为所求．
第6题解图①
【解析】如解图②，连接PC，由题意知，eq \f(PN,BN)＝eq \f(CM,BM)＝2，∴MN∥PC，MN＝eq \f(1,3)PC，∴当PC取最大值时，MN取得最大值，∴当PC是直径时，MN的值最大，由作图知BP⊥BC，∴PC是圆的直径，则点P即为所求．
第6题解图②
7. (Ⅰ)eq \r(13)－3；
【解析】BC＝BO－OC＝eq \r(22＋32)－3＝eq \r(13)－3.
(Ⅱ)如解图①，取格点E，连接AE与⊙O的交点即为点D，取格点F，连接DF，与OA的交点即为点P.
第7题解图①
【解析】如解图②，连接BD，OD，设AE与OB交于点M，∵OD＝OA＝3，OM＝OM，又∵OB⊥AE，∴∠DMO＝∠AMO＝90°，∴△DMO≌△AMO(HL)，∴∠DOM＝∠AOM.∵OB＝OB，∴△DOB≌△AOB(SAS)．∵AB⊥OA，∴BD⊥OD，∵OD为⊙O半径，∴BD为⊙O的切线；∵点F是点B关于OA的对称点，点P在OA上，∴BP＋DP＝DP＋PF，当点D、P、F三点共线即DP＋PF＝DF时有最小值，此时BP＋DP取得最小值，则点D，P即为所求．
第7题解图②
8. (Ⅰ)eq \r(17)；
【解析】AB＝eq \r(12＋42)＝eq \r(17).
(Ⅱ)如解图①，取格点D并连接AD交网格线于点E，连接BE交AC于点P，则点P即为所求．
第8题解图①
【解析】如解图②，取格点M，连接CM，CM与网格线交于点J，可知J为CM的中点，连接AJ与BE交于点I，可知BE⊥AJ，∵J为MC的中点，∴CJ＝MJ＝eq \f(1,2)CM，∵MC⊥AC，AC＝MC，∴sin∠JAC＝eq \f(JC,AJ)＝eq \f(\r(5),5)，∴eq \f(PI,AP)＝eq \f(\r(5),5)，∴PI＝eq \f(\r(5),5)AP，∵AP＋eq \r(5)BP＝eq \r(5)(eq \f(\r(5),5)AP＋PB)＝eq \r(5)(PI＋PB)≥eq \r(5)BI，∴点P即为所求作．
第8题解图②
类型三 角度问题
典例精讲
例 3 (Ⅰ)eq \f(\r(17),2)；
【解析】AB＝eq \r(22＋（\f(1,2)）2)＝eq \f(\r(17),2).
(Ⅱ)如解图①，取圆与网格线的交点E，F，连接EF与AC相交，得圆心O，设AB与网格线相交于点D，连接DO并延长，交⊙O于点Q，连接QC并延长，与点B，O的连线BO相交于点P，连接AP，则点P满足∠PAC＝∠PBC＝∠PCB.
例3题解图①
【解析】如解图②，取圆与网格线的交点E、F，连接EF交AC于点O，∵∠EAF＝90°，∴EF为圆的直径，由题意知过点A、B的圆的圆心在边AC上，∴点O为该圆的圆心，连接DO并延长交⊙O于点Q，连接AQ，BQ，QC，OB，QC的延长线交OB于点P，交AB于点M，∵点D为AB的中点，∴OD⊥AB，∵∠OAB＝30°，∴∠AOD＝∠BOD＝60°，∴∠AOB＝120°，∴∠AQB＝60°，∵OD为AB的垂直平分线，∴AQ＝QB，∴△AQB为等边三角形，∴∠QAB＝60°，∵∠CAB＝30°，∴∠QAC＝∠BAC，∴点O为△AQB三个角的平分线的交点，∴∠OBQ＝∠OBA＝30°，∠QOC＝∠BOC＝60°，易得△QOC≌△BOC，∴∠OQC＝∠OBC，∵∠CBA＝50°，∴∠PBC＝∠CBA－∠OBA＝50°－30°＝20°，∴∠OQC＝20°，∴∠PQB＝30°－20°＝10°，∵∠QDM＝90°，∴∠QMD＝90°－20°＝70°，∵∠QMD＝∠ABC＋∠PCB，∴∠PCB＝70°－50°＝20°，∴∠PCB＝∠PBC，∵∠OBQ＝∠OBA，易得△PBA≌△PBQ，∴∠PAB＝∠PQB＝10°，∴∠PAC＝30°－10°＝20°，∴∠PAC＝∠PBC＝∠PCB＝20°，则点P即为所求．
例3题解图②
针对演练
1. (Ⅰ)5；
【解析】AB＝eq \r(32＋42)＝5.
(Ⅱ)如解图，取格点P，点P即为所求．
第1题解图
【解析】如解图，连接PA，PB，由格点P的位置知，PA⊥AB，PA＝AB，则△PAB是等腰直角三角形，则∠ABP＝45°，则点P即为所求．
2. (Ⅰ)eq \f(\r(53),2)；
【解析】AB＝eq \r(12＋（\f(7,2)）2)＝eq \f(\r(53),2).
(Ⅱ)如解图，取格点M，N，连接MN交网格线于点T，连接PT交线段AB于点Q，则点Q为所求点.
第2题解图
【解析】如解图，取格点C，D，E，F，CE，DF交于点S，连接PS，则PS⊥AB，且PS＝AB，连接TS，则TS⊥PS，TS＝PS，连接PT，则△PST为等腰直角三角形，∴∠PTS＝45°.∵PS⊥AB，TS⊥PS，∴AB∥TS，∴∠PQB＝∠PTS＝45°，∴∠PQA＝135°，∴∠PQA＝3∠PQB.
3. (Ⅰ)23；
【解析】∠α＝eq \f(1,3)∠MAN＝eq \f(1,3)×69°＝23°.
(Ⅱ)如解图①，让直尺有刻度的一边过点A，设该边与过点B的竖直方向的网格线交于点C，与过点B的水平方向的网格线交于点D，保持直尺有刻度的一边过点A，调整点C、D的位置，使CD＝5 cm，画射线AD，此时∠MAD即为所求的∠α.
第3题解图①
【解析】如解图②，取CD的中点E，连接BE，∵ △CBD是直角三角形，CD＝5 cm，∴AB＝BE＝DE＝2.5 cm，∴∠BAE＝∠BEA＝2∠BDE，∵BD∥AM，∴∠BDE＝∠DAM，∴∠DAM＝eq \f(1,3)∠NAM.
第3题解图②
4. (Ⅰ)eq \f(\r(65),2)；
【解析】如解图①，在Rt△AEB中，AE＝eq \f(1,2)，BE＝4，由勾股定理得AB＝eq \r(BE2＋AE2)＝eq \f(\r(65),2).
第4题解图①
(Ⅱ)如解图①，取AB与格线交点为N，取格点M，G，连接MG与格点交于点H，连接HN与半圆交于点P，则点P即为所求．
【解析】如解图②，连接PB，HC，取格点Q，L，∵AC＝eq \f(5,2)，∴点A为格线的中点．∵N为AB的中点，AB为半圆的直径，∴点N为半圆的圆心，NL＝eq \f(1,2)AE.∵点H为MG的四等分点，∴HQ＝NL＝eq \f(1,2)AE，∴HC∥NB，HC＝NB，∴四边形HCBN是平行四边形，∴HN∥CB，∴∠NPB＝∠PBD，∵PN＝BN，∴∠NPB＝∠NBP，∴∠DBP＝∠NBP，∴BP平分∠ABC，则点P即为所求．
第4题解图②
拓展类型 其他问题
针对演练
1. (Ⅰ)5eq \r(2)；
【解析】AB＝eq \r(12＋72)＝5eq \r(2).
(Ⅱ)如解图，取格点D，E，连接DE交AB于点P，则点P即为所求．
第1题解图
【解析】由勾股定理得：AC＝3eq \r(2)，BC＝4eq \r(2)，∵AC2＋BC2＝18＋32＝50＝AB2, ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，设△ABC内切圆的半径为r，则有eq \f(1,2)(AC＋BC＋AB)r＝eq \f(1,2)AC·BC，∴r＝eq \r(2)， 设△ABC内切圆与AC的切点为G，则CG＝eq \r(2)，根据切线长定理，得AG＝AP，∵AG＝AC－CG＝2eq \r(2)∴AP＝2eq \r(2)， ∴BP＝AB－AP＝3eq \r(2)，∴AP∶BP＝2∶3，∴取点A正下方两格的格点D，取B点正上方三格的格点E，连接DE交AB于点P，则点P即为所求．
2. (Ⅰ)eq \f(\r(145),3)；
【解析】AC＝eq \r(32＋（\f(8,3)）2)＝eq \f(\r(145),3)；
(Ⅱ)如解图，取圆与格线的交点M，N，K，连接MN，DK，MN与DK的交点O即为所求作．
第2题解图
【解析】∵格点D，K分别是⊙O与格线的交点，∠DBK＝90°，∴DK是⊙O的直径，同理知∠MHN＝90°，∴MN也是⊙O的直径，∴MN与DK的交点O即为所求的圆心O.
3. (Ⅰ)eq \r(13)；
【解析】AB＝eq \r(32＋22)＝eq \r(13).
(Ⅱ)如解图①，取格点D，连接DC并延长与AB交于点E，则点E即为所求．
第3题解图①
【解析】如解图②，取格点H，连接BH，可知AB⊥BH，由作图可得DE∥BH，∴DE⊥AB.则点E即为所求．
第3题解图②
4. (Ⅰ)6；
【解析】由题图可判断△ABC为直角三角形，直角边为AC，BC分别长为3, 4，则 S△ABC＝eq \f(1,2)×3×4＝6.
(Ⅱ)如解图，取格点D，连接BD交AC于点M，则点M即为所求．
第4题解图
【解析】如解图，取格点E，可知A，D，E三点共线，可知AD＝DE，∵AB＝BE＝5，∴BD是∠ABC的角平分线，∴点M到直线AB的距离等于点M到直线BC的距离即CM，即以M为圆心，MC为半径的⊙M与AB相切，则点M即为所求．