苏科版八年级上册3.1 勾股定理测试题

这是一份苏科版八年级上册3.1 勾股定理测试题，文件包含专题13易错易混集训利用勾股定理求解之四大易错原卷版docx、专题13易错易混集训利用勾股定理求解之四大易错解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共31页， 欢迎下载使用。

目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc5873" 【典型例题】 PAGEREF _Tc5873 \h 1
\l "_Tc32667" 【易错一 没有明确斜边或直角时，考虑不全面而漏解】 PAGEREF _Tc32667 \h 1
\l "_Tc23449" 【易错二 三角形形状不明时，考虑不全面而漏解】 PAGEREF _Tc23449 \h 3
\l "_Tc3358" 【易错三 等腰三角形的腰和底不明时，考虑不全面而漏解】 PAGEREF _Tc3358 \h 8
\l "_Tc20932" 【易错四 求立体图形中两点距离最短时无法找到正确的展开方式】 PAGEREF _Tc20932 \h 16
【典型例题】
【易错一 没有明确斜边或直角时，考虑不全面而漏解】
例题：（2023春·福建龙岩·八年级校考期中）一个直角三角形的两条边长分别为3和5，则这个三角形第三边的长为 ．
【答案】4或/或4
【分析】根据告诉的两边长，利用勾股定理求出第三边即可．注意5可能是直角边，也可能是斜边，所以得分两种情况讨论．
【详解】解：当3，5是两条直角边时，
第三边；
当3是直角边，5是斜边时，
第三边．
故答案为：4或．
【点睛】本题考查了勾股定理的知识，解题的关键是利用分类讨论的数学思想求解．
【变式训练】
1．（2023春·河南驻马店·八年级校考阶段练习）某三角形两边的长为4和5，要使该三角形为直角三角形，则第三边长为（ ）
A．3或B．C．或3D．不确定
【答案】C
【分析】根据勾股定理定理可进行求解．
【详解】解：当5为该直角三角形的斜边时，则第三边长为；
当4、5为该直角三角形的两直角边时，则第三边长为；
故选C．
【点睛】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
2．（2023春·甘肃平凉·八年级校考阶段练习）若一直角三角形两边的长为12和5，则第三边的长为 ．
【答案】13或
【分析】已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边12既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即12是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
【详解】解：当12和5均为直角边时，第三边；
当12为斜边，5为直角边，则第三边，
故第三边的长为13或．
故选：B．
【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
3．（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）若直角三角形的两条边长为，，且满足，则该直角三角形的第三条边长为_____．
【答案】或
【分析】先根据非负数的性质求出a与b的长，再分两种情况根据勾股定理计算即可．
【详解】解：由题意得，，，
解得：，，
当为直角边时，直角三角形的第三条边长，
当为斜边时，直角三角形的第三条边长，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了非负数的性质，勾股定理，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键．
4．如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN和NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的“勾股分割点”．已知点M，N是线段AB的“勾股分割点”，若AM＝3，MN＝4，则BN的长为______．
【答案】5或##或
【解析】
【分析】
分两种情况讨论：当为直角边时，当为斜边时，则为直角边，再利用勾股定理可得答案.
【详解】
解：当为直角边时，

当为斜边时，则为直角边，

故答案为：或
【点睛】
本题考查的是新定义情境下的勾股定理的应用，理解新定义，再分类讨论是解本题的关键.
【易错二 三角形形状不明时，考虑不全面而漏解】
例题：（2023秋·全国·八年级专题练习）在中，为边上的高，，,的面积为12，边的长为 ．
【答案】5或/或5
【分析】分两种情况考虑：如图1所示，此时为锐角三角形，在直角三角形与直角三角形中，利用勾股定理求出的长即可；如图2所示，此时为钝角三角形，同理求出的长即可．
【详解】解：分两种情况考虑：
∵，，的面积为12，，
∴，
∴，
①当在内，如图所示，
在中，根据勾股定理得：，
∴，
在中，根据勾股定理得：；
②当在外，如图所示，
在中，根据勾股定理得：，
∴，
在中，根据勾股定理得：；
故答案为：5或．
【点睛】本题考查的是勾股定理，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
【变式训练】
1．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）的高长为3，且，，则的周长是___________．
【答案】或
【分析】分情况利用勾股定理求出各边的长，继而根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】解：如图1：

，，，
所以三角形的周长；
如图2：

，，，
所以三角形的周长；
故答案为：或．
【点睛】本题考查勾股定理，关键是根据题意画出图形，分情况讨论．
2．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）在等边的边长为8，点是边上任意一点，连接，如果，那么的面积是
【答案】或
【分析】如图，存在两种情况，，过点A作，垂足为E，根据等腰三角形三线合一性质，,求得，，于是，，分别求解即可．
【详解】解：如图，存在两种情况，，
过点A作，垂足为E，则
∴．
∴．
∴，．
∴的面积是或．
故答案为：或

【点睛】本题考查等腰三角形性质，勾股定理，根据三线合一求解线段长是解题的关键．
3．（2022·北京·101中学八年级期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5．点P在直线AC上，且BP＝6，则线段AP的长为__________．
【答案】或
【解析】
【分析】
根据题意，作出图形，分类讨论，根据勾股定理求解即可．
【详解】
解：如图，
∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5
在中，
或
故答案为：或
【点睛】
本题考查了勾股定理，根据题意作出图形，分类讨论是解题的关键．
4．（2023春·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考期中）在中，是边上的高，， ，，则的面积为______．
【答案】30或18/18或30
【分析】分两种情况求解，首先利用勾股定理即可求得的长，再利用三角形的面积公式，即可求解．
【详解】解：分两种情况：
（1）如图，当在的内部时，
是边上的高，
，
在中，，
在中，，
，
，
（2）如图，当在的外部时，
是边上的高，
，
在中，，
在中，，
，
，
故答案为：30或18．
【点睛】本题考查了勾股定理及三角形的面积公式，注意分类讨论求得的长是解决本题的关键．
【易错三 等腰三角形的腰和底不明时，考虑不全面而漏解】
例题：（2023春·辽宁抚顺·八年级统考阶段练习）如图，在中，，，，动点从点出发，沿射线以的速度移动，设运动的时间为，当为等腰三角形时，等于 ．

【答案】或或
【分析】根据为等腰三角形进行分类讨论，分别求出的长，即可求出t．
【详解】解：在中，，
由勾股定理得：（cm），
由题意可知共三种情况，如下：
①时，，则，

∴，解得；
②当时，，

所以，
③当时，即，

所以，
综上所述，当t的值为或或；
故答案为：或或
【点睛】本题主要考查了直角三角形的勾股定理以及等腰三角形的分类讨论思想，能够正确地分类是解决本题的关键．
【变式训练】
1．（2022春·江西九江·八年级统考期末）已知四边形，，对角线将其分成两个三角形，其中是边长为2的等边三角形，是等腰三角形，则的长是 ．
【答案】2或或
【分析】根据题意可求得AC的长及∠DAC，分三种情况讨论：当AD=CD时，当AC=DC时，当AD=AC时，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示：
∵是边长为2的等边三角形，且，
∴AB=BC=AC=2，∠BAC=60°，
∴∠DAC=∠BAD-∠BAC=105°-60°=45°，
当AD=AC时，则是等腰三角形，满足条件，故AD=2；
当AD=CD时，则∠DAC=∠DCA=45°，则∠D=90°，
则，
当AC=DC时，则∠DAC=∠D=45°，则∠ACD=90°，
则，
综上所述：的长是2或或，
故答案为：2或或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及勾股定理的应用，解题的关键是巧妙运用分类讨论思想结合勾股定理解决问题．
2．（2022秋·江西九江·八年级统考期中）如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，AB=13cm，AC=5cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为ts，当△APB为等腰三角形时，t的值为 ．
【答案】t=s或12s或s
【分析】当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB=BP时；②当AB=AP时；③当BP=AP时，分别求出BP的长度，继而可求得t值．
【详解】解：∵∠C=90°，AB=13cm，AC=5cm，
∴BC=12cm．
①当BP=BA=13时，∴t=s．
②当AB=AP时，BP=2BC=24cm，∴t=12s．
③当PB=PA时，PB=PA=2t cm，CP=（12-2t）cm，AC=5 cm，
在Rt△ACP中，AP2=AC2+CP2，
∴（2t）2=52+（12-2t）2，解得t=s．
综上，当△ABP为等腰三角形时，t=s或12s或s，
故答案为：t=s或12s或s．
【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想思考问题．
3．（2023春·江西九江·八年级统考期中）如图是一张长方形纸片，已知，现要剪下一张等腰三角形纸片（），则等腰三角形的底边长是 ．

【答案】或或5
【分析】分情况讨论：①当时，则是等腰直角三角形，得出底边即可；②当时，求出，由勾股定理求出，再由勾股定理求出等边即可；③当时，底边；即可得出结论．
【详解】解：如图所示：

①当时，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴底边；
②当时，
∵，
∴，
∴底边；
③当时，底边；
综上所述：等腰三角形的底边长为或或5；
故答案为：或或5．
【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定，进行分类讨论是解决问题的关键．
4．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，已知点是射线上一动点（不与重合），，，当 时，是等腰三角形．

【答案】或2或
【分析】分三种情况讨论：当、以及时，分别求解即可．
【详解】解：当为等腰三角形时，分三种情况：
①如图，，

∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②如图，

；
③如图，，

∴，
∴，
∴．
综上所述，的长为或2或．
故答案为：或2或．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理等知识，运用分类讨论的思想分析问题是解题关键．
5．（2023春·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）已知在矩形中，，点在边上，，点在矩形的边上，△APE是等腰三角形，则△APE的底边长为 ．
【答案】5或或
【分析】根据点的位置，分类讨论即可求解．
【详解】解：①点在边上，如图所示：

此时△APE的底边为：
②点在边上，如图所示：

此时△APE的底边为：
③点在边上，如图所示：

此时△APE的底边为：
故答案为：5或或
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理等知识点．旨在考查学生的分类讨论思想．
6．（2022秋·江西抚州·八年级南城县第二中学校考阶段练习）如图，在中，，动点P从点A出发，沿射线以的速度运动，设运动时间为t秒．
(1)当为直角三角形时，求t的值；
(2)当为等腰三角形时，求t的值．
【答案】(1)4或
(2)5或8或
【分析】（1）依题意，，分情况讨论①，点与点重合，②，勾股定理即可求得的值；
（2）分情况讨论：①，直接可得的值，②，根据三线合一可得，③，在中勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：，
，
动点P从点A出发，沿射线以的速度运动，
，
①当时，如图，点与点重合，
，
，
②当，，，
在中，，
在中，，
，
解得，
综上所述，或，
（2）解：①当时，，
②当时，
，
，
③当时，
，，
在中，，
，
解得．
综上所述，当是等腰三角形时，或或．
【点睛】本题考查了勾股定理和等腰三角形，掌握勾股定理以及分类讨论是解题的关键．
【易错四 求立体图形中两点距离最短时无法找到正确的展开方式】
例题：（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为（ ）．（杯壁厚度不计）
A．20B．25C．30D．40
【答案】B
【分析】化曲为直，利用勾股定理解决．
【详解】解：把玻璃杯的侧面展开，如图，把点A向上平移6cm到点C，连接，过点B作于D，
由已知得：，，，
在中，由勾股定理得：，
则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为．
故选：B
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据题意把圆柱展开，化曲为直是解决问题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期中）如图，圆柱的底面周长为6cm，是底面圆的直径，高线的长为6cm，点P是高线上一点且，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是 ．

【答案】5cm/5厘米
【分析】首先画出圆柱的侧面展开图，根据高，求出，在中，根据勾股定理求出的长即可．
【详解】解：侧面展开图如图所示，

∵圆柱的底面周长为6cm，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴．
故答案为：5cm．
【点睛】本题主要考查了平面展开图，以及勾股定理的应用，解题的关键是画出圆柱的侧面展开图．
2．（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考开学考试）如图是一个长方体盒子，底面长，宽，高，是边的中点，处有一只蚂蚁，处有一块蛋糕，则蚂蚁沿长方体盒子表面爬行到处的最短距离是 ．

【答案】
【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答.
【详解】只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形, 如图:
∵底面长,宽,高,是DE边的中点，

根据勾股定理得，；
只要把长方体的上底面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图：

∵底面长,宽,高,是边的中点,
根据勾股定理得，；
只要把长方体的上表面剪开与左侧面所在的平面形成一个长方形，如图：

∵底面长,宽,高,是边的中点,
根据勾股定理得，；
，
∴蚂蚁爬行的最短距离是，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是平面展开-最短路径问题，根据题意画出长方体的侧面展开图，根据勾股定理求解是解答此题的关键．
3．（2023秋·重庆南岸·八年级校考期末）如图，一个长方体盒子，其中，，为上靠近的三等分点，在大长方体盒子上有一个小长方体盒子，，，，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点爬行到点，它爬行的最短路程为 ．

【答案】10
【分析】如图，将面、、展开在同一个平面内，连接，则为最短路径，由题意知，，，，则，由勾股定理得，，计算求解即可．
【详解】解：如图，将面、、展开在同一个平面内，连接，则为最短路径，
由题意知，，，，
∴，
由勾股定理得，，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了几何体的展开图，勾股定理最短路径的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
4．（2022秋·四川成都·八年级校考阶段练习）如图，一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是多少？
【答案】它所走的最短路线的长是15cm．
【分析】根据题意，过A点和B点的平面展开图分三种情况，再根据两点之间线段最短和勾股定理可以分别求得三种情况下的最短路线，然后比较大小，即可得到A点到B点的最短路线，本题得以解决．
【详解】解：由题意可得，
当展开前面和右面时，最短路线长是：=15（cm）；
当展开前面和上面时，最短路线长是：（cm）；
当展开左面和上面时，最短路线长是：（cm）；
∵15＜7＜，
∴一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是15cm．
【点睛】本题考查的是平面展开-最短路径问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．
5．（2022秋·全国·八年级期中）如图，长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深为，在水面上紧贴内壁处有一鱼饵，在水面线上，且；一小虫想从鱼缸外的点沿壁爬进鱼缸内处吃鱼饵，求小动物爬行的最短距离．（鱼缸厚度忽略不计）
【答案】100cm
【分析】本题我们首先需要将立体图形转化为几何图形，然后利用勾股定理进行求解.
【详解】解：如图所示作点关于的对称点，连接交与点，小虫沿着的路线爬行时路程最短．
在直角△中，，，
．
最短路线长为．
【点睛】本题主要考查的就是勾股定理在实际问题中的应用.在立体图形中求两点之间的最短距离的时候我们一般首先将几何图形进行展开，转化成直角三角形来进行求解.本题中一个在外面，另一个在里面，我们需要通过翻折将里面的转化成一个平面，然后进行求解.这种问题，在矩形的时候一定要特别注意展开图的不同方法，从而得出不同的直角三角形，然后得出最短距离.
6．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角处．
(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能途径；
(2)当，求蚂蚁爬过的最短路径的长．
【答案】(1)见解析
(2)蚂蚁爬过的最短路径的长是5
【分析】（1）先在备用图中画出柜子的展开图，再找出最快到达目的地的可能路径；
（2）根据已知结合勾股定理求出蚂蚁爬过的最短路径长．
【详解】（1）解：木柜的表面展开图是两个矩形和，蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的和，如图所示：
（2）解：蚂蚁沿着木柜表面经线段到，爬过的路径的长是：
，
蚂蚁沿着木柜表面经线段到，爬过的路径的长是，
∵，
∴最短路径的长是5．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，根据题意画出长方体的展开图，找出蚂蚁可能爬行的最短路径，是解题的关键．
7．（2022秋·江苏·八年级期末）如图①，长方体长AB为8 cm，宽BC为6 cm，高BF为4 cm．在该长体的表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？
(1)蚂蚁从点A爬行到点G，且经过棱EF上一点，画出其最短路径的平面图，并标出它的长．
(2)设该长方体上底面对角线EG、FH相交于点O（如图②），则OE＝OF＝OG＝OH＝5 cm．
①蚂蚁从点B爬行到点O的最短路径的长为 cm；
②当点P在BC边上，设BP长为a cm，求蚂蚁从点P爬行到点O的最短路的长（用含a的代数式表示）．
【答案】(1)见解析
(2)①；②（cm）．
【分析】（1）根据题意画出图形，利用勾股定理求出AG即可；
（2）①画出平面图形，过点O作OK⊥BG于K，根据等腰三角形的性质可得KG＝KF＝cm，然后利用勾股定理求出OK和BO即可；
②画出平面图形，过点O作OM⊥BC于M，则OM⊥FG，垂足为N，利用勾股定理求出ON，可得OM＝4＋4＝8cm，根据BP＝a cm可得PM＝cm或P′M＝cm，分别求出OP和OP′可得答案．
【详解】（1）解：最短路径为AG，如图，
∵AB＝8cm，BF＝4cm，FG＝BC＝6cm，
∴BG＝10cm，
∴其最短路径AG＝cm；
（2）①平面图如图，过点O作OK⊥BG于K，
∵OE＝OF＝OG＝OH＝5cm，
∴KG＝KF＝cm，
∴OK＝cm，BK＝BF＋FK＝7cm，
∴点B爬行到点O的最短路径BO＝cm，
故答案为：；
②平面图如图，过点O作OM⊥BC于M，则OM⊥FG，垂足为N，
∵OE＝OF＝OG＝OH＝5cm，FG＝BC＝6cm，
∴FN＝GN＝cm，且BM＝CM＝3cm，
∴ON＝cm，
∵FG∥BC，BF＝4cm，NM⊥BC，
由平行线间的距离处处相等可得NM＝4cm，
∴OM＝4＋4＝8cm，
∵BP＝a cm，
∴PM＝cm或P′M＝cm，
∴OP＝（cm），
OP′＝（cm），
∴蚂蚁从点P爬行到点O的最短路的长为（cm）．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理的应用，能够根据题意画出平面图形是解答本题的关键．