初中苏科版4.3 实数练习题

这是一份初中苏科版4.3 实数练习题，文件包含专题04实数知识串讲+热考题型+真题训练原卷版docx、专题04实数知识串讲+热考题型+真题训练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共47页， 欢迎下载使用。

【考点1】无理数．
【考点2】算术平方根．
【考点3】平方根．
【考点4】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝
【考点5】立方根．
【考点6】估算无理数的大小．菁优
【考点7】实数的性质．
【考点8】实数与数轴．
【考点9】实数的运算；
【考点10】二次根式的定义．
【考点11】二次根式有意义的条件．
【考点12】二次根式的性质与化简．
【考点13】最简二次根式．菁
【考点14】同类二次根式．
【考点15】二次根式的乘除法．
【考点16】分母有理化．
【考点17】二次根式的加减法；实数的性质
【考点18】二次根式的混合运算
知识点 1 ：平方根
1.算术平方根的定义
如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.
注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.
2.平方根的定义
如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.
知识点2：平方根和算术平方根的区别与联系
1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和
2．联系：（1）平方根包含算术平方根；
（2）被开方数都是非负数；
（3）0的平方根和算术平方根均为0．
注意：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．
正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.
知识点3：平方根的性质
知识点4：平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.
知识点5：立方根的定义
1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.
2.立方根的特征
立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.
知识点6：立方根的性质

注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.
知识点7： 立方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，.
知识点8：无理数
有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
注意：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式
常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.
知识点9：实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分：
实数
按与0的大小关系分：
实数
2.实数与数轴上的点一一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
知识点10：实数运算
1．注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。
2．运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。
知识点11：二次根式
二次根式的概念
一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．
二次根式满足条件：
必须含有二次根号
被开方数必须是非负数
如都是二次根式。
2.二次根式有无意义的条件
3.二次根式的性质
1.的性质
2.的性质
3.的性质
知识点12： 二次根式的乘除法法则
二次根式的乘法法则：
（二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变）
2.二次根式的乘法法则的推广
，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。
3.二次根式的乘法法则的逆用
（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质）
4.二次根式的乘法法则的逆用的推广
4.二次根式的除法法则
（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）
5.二次根式的除法法则的推广
注意：
a≥0，b＞0时，才有意义；
如果被开方数时带分数，应先化成假分数
知识点13：最简二次根式
最简二次根式的概念
被开方数不含分母
被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式
化简二次根式的一般方法
3.分母有理化
分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。
方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。
知识点14： 同类二次根式
同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如
知识点15： 二次根式的加减
二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
二次根式加减运算的步骤：
①化：将各个二次根式化成最简二次根式；
②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。
知识点16：二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）
【考点1】无理数．
1．（2023•崇川区校级开学）下列一组数﹣8，，0，2，0.010010001…（相邻两个1之间依次增加一个0），其中无理数的个数有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可求解．
【解答】解：在实数﹣8，，0，2，0.010010001…（相邻两个1之间依次增加一个0），中，无理数有，0.010010001…（相邻两个1之间依次增加一个0），共2个．
故选：C．
2．（2022秋•江阴市期末）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．B．0C．πD．0.12
【答案】C
【分析】根据有理数和无理数的定义即可判断．
【解答】解：A、﹣是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；
B、0是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
C、π是无理数，故此选项符合题意；
D、0.12是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意．
故选：C．
【考点2】算术平方根．
3．（2023•瑶海区三模）4的算术平方根是（ ）
A．±2B．﹣2C．2D．
【答案】C
【分析】根据算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为，求出4的算术平方根即可．
【解答】解：4的算术平方根是：，
故选：C．
4．（2023•惠来县模拟）的算术平方根是（ ）
A．±3B．﹣3C．D．3
【答案】C
【分析】利用算术平方根的定义即可求解．
【解答】解：＝3，3的算术平方根是．
故选：C．
5．（2023春•宝清县校级期末）若，则x的取值范围是（ ）
A．x≤2B．x＜2C．x≥2D．0＜x＜2
【答案】A
【分析】根据算术平方根的非负性可得2﹣x≥0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵＝2﹣x，≥0，
∴2﹣x≥0，
解得：x≤2．
故选：A．
6．（2023春•黔东南州期末）已知，，则的值约为（ ）
A．0.228B．0.0722C．0.0228D．0.722
【答案】A
【分析】根据根号内的小数点的移动规律即可求解，算术平方根的移动规律为：根号内的小数点移动两位，对应的结果小数点移动一位，小数点移动方向保持一致．
【解答】解：∵，
∴．
故选：A．
7．（2023春•抚远市期中）已知正数a的两个不同的平方根分别是 2x﹣2 和 6﹣3x，a﹣4b 的算术平方根是4．
（1）求a，b的值；
（2）求 a﹣b2﹣2 的平方根．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）一个数x的平方等于a，则这个数x即为a的平方根，其中正的平方根是这个数的算术平方根，根据平方根性质列得方程解得x值后即可求得a的值，再由算术平方根的定义求得b的值即可；
（2）将a，b的值代入a﹣b2﹣2中计算后求其平方根即可．
【解答】解：（1）∵正数a的两个不同的平方根分别是 2x﹣2 和 6﹣3x，
∴2x﹣2+6﹣3x＝0，
解得：x＝4，
则2x﹣2＝8﹣2＝6，
那么a＝62＝36，
∵a﹣4b 的算术平方根是4，
∴a﹣4b＝16，
解得：b＝5；
（2）∵a﹣b2﹣2
＝36﹣52﹣2
＝36﹣25﹣2
＝9，
那么其平方根为±3．
8．（2022秋•长安区校级期末）如图，用两个边长为cm的小正方形剪拼成一个大的正方形，
（1）则大正方形的边长是 4 cm；
（2）若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为3：2且面积为12cm2，若能，试求出剪出的长方形纸片的长宽；若不能，试说明理由．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可；
（2）先求出长方形的边长，利用长与正方形边长比较大小再判断即可．
【解答】解：（1）大正方形的边长是＝4（cm）；
故答案为：4；
（2）设长方形纸片的长为3xcm，宽为2xcm，
则2x•3x＝12，
解得：x＝，
3x＝3＞4，
所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为3：2，且面积为12cm2．
【考点3】平方根．
9．（2023春•广阳区期末）16的平方根是（ ）
A．4B．﹣4C．±4D．8
【答案】C
【分析】根据平方根的定义即可求解．
【解答】解：16的平方根是±4．
故选：C．
10．（2023•常德三模）的平方根是（ ）
A．4B．±4C．±2D．2
【答案】C
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
【解答】解：＝4，4的平方根是±2．
故选：C．
11．（2023春•黄冈期末）若（x﹣2）2＝9，则x的值是（ ）
A．﹣1B．5C．5或﹣1D．5或1
【答案】C
【分析】利用平方根的定义先得一元一次方程，再解一元一次方程即可．
【解答】解：∵（x﹣2）2＝9，
∴x﹣2＝±3．
∴x＝2±3．
∴x＝5或﹣1．
故选：C．
12．（2023春•商南县期末）若2m﹣4与3m﹣1是同一个数两个不同的平方根，则m的值（ ）
A．﹣3B．1C．﹣3或1D．﹣1
【答案】B
【分析】根据2m﹣4与3m﹣1是同一个数两个不同的平方根，则2m﹣4与3m﹣1互为相反数，构建方程求得m的值．
【解答】解：（2m﹣4）+（3m﹣1）＝0，
解得：m＝1．
故选：B．
13．（2023春•富川县期末）若一个正数的两个平方根分别是m+6和2m﹣15，则的算术平方根是（ ）
A．4B．±4C．2D．±2
【答案】C
【分析】先根据一个正数的平方根互为相反数列方程求得m，再求解值即可求解．
【解答】解：∵一个正数的两个平方根分别是m+6和2m﹣15，
∴m+6+2m﹣15＝0，则m＝3，
∴，
∴的算术平方根是2，
故选：C．
14．（2023春•昭阳区月考）求下列各式中x的值．
（1）x2﹣25＝0；
（2）（x﹣1）2＝64．
【答案】（1）x＝±5；
（2）x＝9或x＝﹣7．
【分析】运用平方根知识进行求解．
【解答】解：（1）移项，得x2＝25，
开平方，得x＝±5；
（2）开平方，得x﹣1＝±8，
解得x＝9或x＝﹣7．
【考点4】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值．
15．（2023春•八步区期中）已知，则a+b＝（ ）
A．8B．﹣8C．6D．﹣6
【答案】D
【分析】利用绝对值和算术平方根的非负性得出a、b的值，代入计算即可．
【解答】解：∵，
∴a﹣1＝0，7+b＝0，
∴a＝1，b＝﹣7，
∴a+b＝1+（﹣7）＝﹣6．
故选：D．
16．（2023春•雅安期末）已知实数x、y满足，则2x+y的平方根是（ ）
A．±2B．2C．﹣2D．±4
【答案】A
【分析】根据二次根式以及平方具有非负性可知：，（y+2）2≥0，又因为，所以可以求出x＝3，y＝﹣2，代入到2x+y中，求出2x+y的平方根，即可解答．
【解答】解：∵，（y+2）2≥0，
又∵，
∴x﹣3＝0，y+2＝0，
则x＝3，y＝﹣2，
∴2x+y＝2×3+（﹣2）＝6﹣2＝4．
∵4的平方根为±2，
故选：A．
17．（2023春•西岗区月考）已知（4﹣a）2与互为相反数，则a﹣b的平方根是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据算术平方根、偶次方的非负性求出a、b的值，再求出a﹣b的值，由平方根的定义进行计算即可．
【解答】解：由题意得，（4﹣a）2+＝0，而（4﹣a）2≥0，≥0，
∴4﹣a＝0，b+1＝0，
解得a＝4，b＝﹣1，
∴a﹣b＝5，
∴a﹣b的平方根是，
故选：C．
【考点5】立方根．
18．（2023春•海林市校级期中）立方根等于它本身的数是（ ）
A．±1B．1，0C．±1，0D．以上都不对
【答案】C
【分析】利用立方根的定义即可求解．
【解答】解：立方根等于它本身的数有：0和±1．
故选：C．
19．（2023春•铁东区期中）27的立方根是（ ）
A．3B．±3C．D．
【答案】A
【分析】根据立方根的定义即可得出答案．
【解答】解：∵33＝27，
∴27的立方根是3，
故选：A．
20．（2023春•巴东县期末）已知≈0.7937，≈1.7100，那么下列各式正确的是（ ）
A．≈17.100B．≈7.937
C．≈171.00D．≈79.37
【答案】B
【分析】根据立方根的规律解答即可．
【解答】解：∵；
故选：B．
21．（2023春•博白县月考）已知x，y为实数，且，则yx的立方根是（ ）
A．B．﹣8C．﹣2D．±2
【答案】C
【分析】运用非负数、乘方和立方根的知识进行求解．
【解答】解：由题意得，
，
解得，
∴yx
＝（﹣2）3
＝﹣8，
∴﹣8的立方根是﹣2，
即yx的立方根是﹣2，
故选：C．
22．（2023春•东莞市期中）x是的平方根，y是27的立方根，则x﹣y的值为（ ）
A．0B．﹣6C．0 或﹣6D．0或﹣3
【答案】C
【分析】求出（﹣）2＝9，根据平方根和立方根定义求出x、y的值，再代入求出即可．
【解答】解：∵x是的平方根，y是27的立方根，
∴x＝±3，y＝3，
当x＝3时，x﹣y＝0，
当x＝﹣3时，x﹣y＝﹣6，
故选：C．
23．（2022秋•鼓楼区期末）计算求下列各式中的x
（1）9x2﹣4＝0；
（2）（x+1）3＝﹣27．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据立方根与平方根的定义即可求出答案．
【解答】解：（1）x2＝，
x＝ x＝﹣
（2）x+1＝﹣3
x＝﹣4
24．（2023春•巩义市期末）已知7a+1的立方根是，8a+b﹣2的平方根是±2．
（1）求a，b的值．
（2）求﹣8a+3b+3的平方根．
【答案】（1）a＝﹣，b＝7；（2）±5．
【分析】（1）根据平方根立方根的性质进行运算即可．
（2）将a、b代入代数式计算数值后再求它的平方根即可．
【解答】解：（1）∵7a+1的立方根是 ，8a+b﹣2 的平方根是±2．
∴7a+1＝；8a+b﹣2＝4，
解得 ；
（2）当 ，b＝7 时，
﹣8a+3b+3＝﹣8×（﹣）+3×7+3＝25．
则25的平方根是±5．
∴﹣8a+3b+3的平方根是±5．
【考点6】估算无理数的大小．
25．（2023春•徐闻县期末）的值在（ ）
A．1与2之间B．2与3之间C．3与4之间D．5与6之间
【答案】C
【分析】根据算术平方根的意义，化为几个数的算术平方根的大小比较．
【解答】解：∵＜＜，
∴3＜＜4，
故选：C．
26．（2023春•沾化区期末）如图1，将两块边长均为3cm的正方形纸板沿对角线剪开，拼成如图2所示的一个大正方形，则大正方形边长的值在哪两个相邻的整数之间？（ ）
A．3到4之间B．4到5之间C．5到6之间D．6到7之间
【答案】B
【分析】根据对角线乘积的一半求出大正方形的面积，即可确定出边长的范围．
【解答】解：根据题意得：大正方形的面积为cm2，
则大正方形的边长为．
∵，
∴．
即大正方形边长的值在4和5之间．
故选：B．
27．（2023春•巴彦淖尔期末）设n为正整数，且n＜﹣1＜n+1，则n的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】直接利用估算无理数大小的方法得出答案．
【解答】解：∵＜＜，
∴8＜＜9，
∴7＜﹣1＜8，
∴n＝7．
故选：C．
【考点7】实数的性质．
28．（2023•邵阳县校级模拟）下列各组数中互为相反数的是（ ）
A．﹣2与B．﹣2与C．﹣2与D．2与|﹣2|
【答案】A
【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、＝2，﹣2与是互为相反数，故本选项正确；
B、＝﹣2，﹣2与相等，不是互为相反数，故本选项错误；
C、﹣2与﹣是互为倒数，不是互为相反数，故本选项错误；
D、|﹣2|＝2，2与|﹣2|相等，不是互为相反数，故本选项错误．
故选：A．
【考点8】实数与数轴．
29．（2023•海港区一模）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数b满足﹣a＜b＜a，则b的值可以是（ ）
A．2B．﹣1C．﹣2D．3
【答案】B
【分析】先由a在数轴上的位置可得1＜a＜2，进而可得∴|a|＜2，再由﹣a＜b＜a可得b的范围，再选出符合要求的选项．
【解答】解：由数轴的定义得：1＜a＜2，
∴﹣2＜﹣a＜﹣1，
∴|a|＜2，
又∵﹣a＜b＜a，
∴b到原点的距离一定小于2，
观察四个选项，只有选项B符合，
故选：B．
30．（2023•浠水县二模）如图，数轴上点A表示的实数是（ ）
A．﹣1B．C．+1D．﹣1
【考点】实数与数轴．
【答案】A
【分析】先根据勾股定理求出斜边，再根据向右就用加法求解．
【解答】解：∵＝，
所以点A表示的数为：﹣1+，
故选：A．
31．（2023春•惠城区校级期中）实数a、b在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（ ）
A．2a﹣bB．b﹣2aC．bD．﹣b
【考点】实数的运算；实数与数轴．
【答案】B
【分析】根据数轴得出a＜0，b＞0，a﹣b＜0，根据二次根式的性质进行计算，再去绝对值，最后合并即可得到答案．
【解答】解：∵a＜0，b＞0，
∴a﹣b＜0，
∴，故B正确．
故选：B．
【考点9】实数的运算；
32．（2023春•沙坪坝区校级期末）计算：|﹣3|+（π﹣2）0＝ 4 ．
．
【答案】4．
【分析】根据绝对值的概念和零指数幂的概念计算．
【解答】解：|﹣3|+（π﹣2）0＝3+1＝4．
故答案为：4．
33．（2023•扶余市二模）计算：＝ 2 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】先得到16的算术平方根，然后进行减法运算即可．
【解答】解：原式＝4﹣2＝2．
故答案为2．
34．（2023春•灵丘县校级期末）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）先根据乘方、立方根、绝对值、算术平方根的意义逐项化简，再算加减即可；
（2）先根据立方根、绝对值、算术平方根的意义逐项化简，再算加减即可．
【解答】解：（1）
＝
＝；
（2）
＝
＝．
35．（2023•望城区模拟）计算：．
【答案】．
【分析】根据乘方、算术平方根定义、绝对值性质、立方根定义，进行计算即可．
【解答】解：
＝
＝
＝．
36．（2023•金安区校级三模）计算：．
【答案】．
【分析】先计算算术平方根．化简绝对值，求解立方根，再合并即可．
【解答】解：+|﹣1|+
＝4+﹣1﹣3
＝．
【考点10】二次根式的定义．
37．下列各式中一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的定义对各选项进行判断．
【解答】解：A．当x≥﹣1时，为二次根式，所以A选项不符合题意；
B． 为二次根式，所以B选项符合题意；
C．当a≤﹣1或a≥1时，为二次根式，所以C选项不符合题意；
D．当a＞0时，为二次根式，所以D选项不符合题意；
故选：B．
38．（2023春•涵江区期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值是（ ）
A．0B．2C．3D．7
【答案】D
【分析】首先把进行化简，然后根据是整数确定n的最小值．
【解答】解：∵，且是整数，
∴7n是个完全平方数，（完全平方数是能表示成一个整式的平方的数）
∴n的最小值是7．
故选：D．
【考点11】二次根式有意义的条件．
39.（2023春•巴南区月考）要使式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＜3B．x≥3C．x≤3D．x≠3
【答案】A
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出6﹣2x＞0，再求出答案即可．
【解答】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴6﹣2x＞0，
解得：x＜3，
故选：A．
40．（2023春•滨海新区期末）若是二次根式，则x的取值范围是（ ）
A．x＞1B．x≤1​C．x≥1​D．x≥0​
【答案】C
【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵表示二次根式，
∴x﹣1≥0，
解得x≥1．
故选：C．
【考点12】二次根式的性质与化简．
41．（2023春•南宁期末）化简的结果是（ ）
A．5B．±5C．﹣5D．25
【答案】A
【分析】先计算出被开方的值，根据二次根式的意义解答．
【解答】解：原式＝＝5；
故选：A．
42．（2023春•禹州市期中）已知1＜a＜2，则化简 的结果为（ ）
A．2a﹣4B．4﹣2aC．2D．﹣2
【答案】C
【分析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：∵1＜a＜2，
∴
＝3﹣a+a﹣1
＝2．
故选：C．
43．（2023春•绥江县期中）实数a在数轴上的位置如图 所示，则+化简后为（ ）
A．9B．﹣9C．2a﹣15D．15﹣2a
【答案】A
【分析】根据数轴表示的方法得到5＜a＜10，再根据二次根式的性质得到原式＝|a﹣3|+|a﹣12|，然后去绝对值、合并即可．
【解答】解：∵5＜a＜10，
∴原式＝|a﹣3|+|a﹣12|
＝a﹣3﹣（a﹣12﹣）
＝a﹣3﹣a+12
＝9．
故选：A．
44．（2023春•双鸭山期末）下列运算中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的性质和立方根的定义进行计算即可．
【解答】解：A．＝|﹣3|＝3，故本选项不符合题意，
B．＝2，故本选项不符合题意，
C．＝﹣2，故本选项符合题意，
D．﹣＝﹣（﹣1）＝1，故本选项不符合题意．
故选：C．
【考点13】最简二次根式．
45．（2023春•南沙区期末）下列式子中，为最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据最简二次根式的定义对各选项进行判断．
【解答】解：A． ＝，所以A选项不符合题意；
B． 为最简二次根式，所以B选项符合题意；
C． ＝2，所以C选项不符合题意；
D． ＝2，所以D选项不符合题意；
故选：B．
46．（2023•平南县模拟）化简＝ 3 ．
【答案】3．
【分析】利用二次根式的运算法则进行化简即可．
【解答】解：＝×＝3，
故答案为：3．
【考点14】同类二次根式．
47．（2023春•清江浦区期末）下列各式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将各个二次根式化成最简二次根式后，选被开方数为2的根式即可．
【解答】解：＝2，因此选项A不符合题意；
＝3，因此选项B符合题意；
＝2，因此选项C不符合题意；
＝2，显然与不是同类二次根式，因此选项D不符合题意；
故选：B．
48．（2023•榆树市二模）最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则x＝ ．
【答案】见试题解答内容
【分析】把化为最简形式，再根据同类二次根式的定义解答即可．
【解答】解：＝2，
∵简二次根式与二次根式是同类二次根式，
∴4﹣3x＝2，
解得x＝．
故答案为：．
【考点15】二次根式的乘除法．
49．（2023春•北京期末）计算：．
【答案】10．
【分析】根据二次根式乘除法法则进行计算即可得出结论．
【解答】解：
＝
＝
＝10．
50．（2023春•船营区期末）计算：．
【答案】．
【分析】先计算括号内二次根式的乘法，再计算二次根式的除法，进行化简，最后合并即可得到答案．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝．
51．（2023春•密云区期末）计算：2．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据二次根式的乘除法法则计算即可．
【解答】解：原式＝2××
＝××
＝6．
【考点16】分母有理化．
52．（2023春•双柏县期中）阅读下面问题：
＝＝﹣1；
＝＝﹣；
＝＝﹣2．
（1）求的值；
（2）计算：+++…++．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）原式根据阅读材料中的方法变形即可得到结果；
（2）原式各项变形后，抵消合并即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝＝﹣；
（2）原式＝﹣1+﹣+…+﹣+﹣＝10﹣1＝9．
53．（2023春•新市区期中）已知a＝3+，b＝3﹣，分别求下列代数式的值：
（1）a2﹣b2
（2）a2﹣2ab+b2．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先由a、b计算出a+b、a﹣b，再代入a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）计算可得；
（2）将a﹣b代入a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2计算可得．
【解答】解：（1）∵a＝3+，b＝3﹣，
∴a+b＝3++3﹣＝6，a﹣b＝3+﹣3+＝2，
则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
＝6×
＝12；
（2）由（1）知a﹣b＝2，
∴a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
＝（2）2
＝8．
【考点17】二次根式的加减法；实数的性质
54．（2023春•兴城市期末）计算：．
【答案】．
【分析】根据算术平方根的定义，以及绝对值的代数意义化简，合并即可得到结果．
【解答】解：原式＝
＝．
55．（2023春•船营区校级期末）计算：．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用二次根式的性质化简并计算即可．
【解答】解：（1）
＝
＝．
【考点18】二次根式的混合运算
56．（2023•二道区校级开学）计算：．
．
【答案】5+．
【分析】直接利用二次根式的混合运算法则计算，进而得出答案．
【解答】解：原式＝3+2+2﹣5×
＝3+2+2﹣
＝5+．
57．（2023春•顺昌县校级月考）计算：．
【答案】．
【分析】根据乘法公式，二次根式的混合运算法则即可求解．
【解答】解：
＝
＝
＝．
【考点19】二次根式的化简求值．
58．（2023春•盐城期中）先化简，再求值：，其中a＝+1．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用乘法公式化简合并同类项得出即可．
【解答】解：原式＝a﹣a2+a2﹣3
＝a﹣3，
将a＝+1代入得：
原式＝a﹣3＝+1﹣3＝﹣2．
59．（2023春•涵江区期中）先化简，后求值：，其中．
【答案】；．
【分析】根据平方差公式，单项式乘以多项式先计算整式的乘法运算，再合并得到化简的结果，再把代入进行计算即可．
【解答】解：
＝
＝；
当时，
原式＝．
一．选择题（共10小题）
1．下列实数，，，|﹣3|，，，，0.3131131113⋯（相邻两个3之间1的个数逐次加1）中，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【解答】解：|﹣3|＝3，，，
∴无理数有：，，，0.3131131113⋯，
故选：D．
2．和数轴上的点是一一对应的数为（ ）
A．虚数B．有理数C．无理数D．实数
【答案】D
【解答】解：因为实数与数轴上的点建立了一一对应关系．
故选：D．
3．下列选项中正确的是（ ）
A．27的立方根是±3
B．的平方根是±4
C．9的算术平方根是3
D．立方根等于平方根的数是1
【答案】C
【解答】解：A、27的立方根是3，故选项错误；
B、的平方根是±2，故选项错误；
C、9的算术平方根是3，故选项正确；
D、立方根等于平方根的数是0，故选项错误．
故选：C．
4．若实数x，y满足|x﹣3|+＝0，则（x+y）3的平方根为（ ）
A．4B．8C．±4D．±8
【答案】D
【解答】解：∵|x﹣3|+＝0，
∴x﹣3＝0，y﹣1＝0，
∴x＝3，y＝1，
则（x+y）3＝（3+1）3＝64，
64的平方根是：±8．
故选：D．
5．4的平方根是（ ）
A．B．±C．2D．±2
【答案】D
【解答】解：22＝2，（﹣2）2＝4，
∴4的平方根为：±2，
故选：D．
6．对于实数a、b，定义一种运算：a*b＝（a﹣b）2．给出三个推断：①a*b＝b*a；②（a*b）2＝a2*b2；③（﹣a）*b＝a*（﹣b）；其中正确的推断个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解答】解：a*b＝（a﹣b）2，b*a＝（b﹣a）2，
∵（a﹣b）2＝（b﹣a）2，
∴a*b＝b*a，故①推断正确，符合题意；
（a*b）2＝[（a﹣b）2]2＝（a﹣b）4，
a2*b2＝（a2﹣b2）2＝（a+b）2（a﹣b）2，
∵（a﹣b）4与（a+b）2（a﹣b）2不一定相等，
∴（a*b）2与a2*b2不一定相等，故②推断错误，不符合题意；
（﹣a）*b＝（﹣a﹣b）2＝[﹣（a+b）]2＝（a+b）2，
a*（﹣b）＝[a﹣（﹣b）]2＝（a+b）2，
∴（﹣a）*b＝a*（﹣b）；故③推断正确，符合题意；
正确的推断共2个，
故选：C．
7．一个数的平方根和它的立方根相等，这个数是（ ）
A．1B．﹣1C．0D．0和1
【答案】C
【解答】解：平方根和它的立方根相等的数是0．
故选：C．
8．a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，﹣a，b，﹣b按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
﹣b＜﹣a＜a＜b B．﹣b＜a＜﹣a＜b
C．﹣a＜﹣b＜a＜b D．﹣b＜b＜﹣a＜a
【答案】B
【解答】解：∵a＜0＜b，且﹣a＜b，
∴﹣a＞0，﹣b＜0，
∵﹣a＜b，
∴﹣b＜a，
∴﹣b＜a＜﹣a＜b．
故选：B．
9．已知数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|﹣|c﹣b|的结果是（ ）
A．a+cB．c﹣aC．﹣a﹣cD．a+2b﹣c
【答案】A
【解答】解：通过数轴得到a＜0，c＜0，b＞0，|a|＜|b|＜|c|，
∴a+b＞0，c﹣b＜0
∴|a+b|﹣|c﹣b|＝a+b﹣b+c＝a+c，
故答案为：a+c．
故选：A．
10．如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，AB＝AC，则点C所表示的数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：∵表示1，的对应点分别为A，B，
∴AB＝﹣1，
∵AB＝AC，
∴AC＝﹣1，
∴点C所表示的数为1﹣（﹣1）＝2﹣．
故选：C．
二．填空题（共5小题）
11．介于和之间的整数是 3 ．
【答案】3．
【解答】解：∵，
∴，
∴介于和之间的整数是3；
故答案为：3．
12．如果x2＝64，那么＝ ±2 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵x2＝64，
∴x＝±8，
∴＝±2．
故答案为：±2．
13．比较大小： ＞ ．
【答案】＞．
【解答】解：∵，，18＜12，
∴．
故答案为：＞．
14．﹣1的整数部分是 3 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴﹣1的整数部分是3，
故答案为：3．
15．如图，小正方形的边长为1，则数轴上点A所表示的实数是 ﹣1+ ．
【答案】﹣1+．
【解答】解：根据勾股定理得正方形对角线长＝＝，
∵以﹣1表示的点为圆心，正方形的对角线长为半径画圆与数轴交于点A，
∴点A表示的实数是﹣1+．
故答案为：﹣1+．
三．解答题（共4小题）
16．求下列各式中x的值．
（1）（x﹣3）2﹣4＝21；
（2）27（x+1）3+8＝0．
【答案】（1）x＝8或﹣2．（2）x＝﹣．
【解答】解：（1）移项得（x﹣3）2＝25，
∴x﹣3＝5或x﹣3＝﹣5，
∴x＝8或﹣2．
（2）移项整理得（x+1）3＝﹣，
∴x+1＝﹣，
∴x＝﹣．
17．已知实数a+9的一个平方根是﹣5，2b﹣a的立方根是﹣2．
（1）求a、b的值．
（2）求2a+b的算术平方根．
【答案】（1）a＝16，b＝4；
（2）6．
【解答】解：（1）∵实数a+9的一个平方根是﹣5，
∴a+9＝（﹣5）2＝25，
解得a＝16，
∵2b﹣a的立方根是﹣2，
∴2b﹣a＝（﹣2）3＝﹣8，即2b﹣16＝﹣8，
解得b＝4，
∴a＝16，b＝4；
（2）解：，
即2a+b的算术平方根是6．
18．如图，a，b在数轴上的位置如图所示．
（1）请用“＞”、“＜”判断下列代数式的大小，a ＜ 0，c﹣a ＞ 0，b+c ＜ 0；
（2）试化简：|a|+|c﹣a|﹣|b+c|．
【答案】（1）＜；＞；＜；（2）﹣2a+b+2c．
【解答】解：（1）∵数轴上表示的数原点左边的是负数，右边的是正数，
∴a＜0，b＜0，c＞0且|b|＞|c|，
∴﹣a＞0．
∴c﹣a＞0，b+c＜0．
故答案为：＜；＞；＜；
（2）∵a＜0，c﹣a＞0，b+c＜0，
∴原式＝﹣a+c﹣a﹣[﹣（b+c）]
＝﹣a+c﹣a+b+c
＝﹣2a+b+2c．
19．阅读材料：
我们定义：如果一个数的平方等于﹣1，记作i2＝﹣1，那么这个i就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为a+bi（a，b均为实数）的形式，其中a叫做它的实部，b叫做它的虚部．
复数的加、减、乘的运算与我们学过的整式加、减、乘的运算类似．
例如计算：（5+i）+（3﹣4i）＝（5+3）+（i﹣4i）＝8﹣3i．
根据上述材料，解决下列问题：
（1）填空：i3＝ ﹣i ，i4＝ 1 ；
（2）计算：（2+i）2；
（3）将化为a+bi（a，b均为实数）的形式（即化为分母中不含i的形式）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵i2＝﹣1，
∴i3＝i2•i＝﹣1•i＝﹣i，i4＝i2•i2＝﹣1•（﹣1）＝1，
故答案为：﹣i，1；
（2）（2+i）2＝i2+4i+4＝﹣1+4i+4＝3+4i；
（3）＝＝＝＝i．
条件
字母表示
二次根式有意义
被开方数为非负数
二次根式无意义
被开方数为负数
符号语言
文字语言
一个非负数的算数平方根是非负数
提示
有最小值，为0
符号语言
应用
正用：
逆用：若a≥0，则
提示
逆用可以再实数范围内分解因式：如
符号语言
a（a＞0）
0（a=0)
-a(a＜0）
文字语言
任意一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值
应用
正用：
逆用：
方法
举例
将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方
化去根号下的分母
若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数
若被开方数中含有小数，先将小数化成分数
若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算
(a＞0，b＞0，c＞0）
被开方数时多项式的要先因式分解
（x≥0，y≥0）