八年级上学期期末模拟测试卷01（原卷版+解析版）-【学霸满分】2023-2024学年八年级数学上册重难点专题提优训练（苏科版）

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单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了轴对称图形；
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项正确；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项错误；
故选：A．
2．在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查点关于轴对称的性质，掌握其性质是解题的关键．
根据点关于轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变，由此即可求解．
【详解】解：点与点关于轴对称，
∴，
故选：．
3．下列说法正确的是（ ）
A．5是25的一个平方根B．8的立方根是
C．9的平方根是3D．的平方根是
【答案】A
【分析】根据平方根与立方根的定义进行逐项判断即可．
【详解】解：A、25的平方根为，则5是25的一个平方根，故本选项符合题意；
B、8的立方根是2，故本选项不符合题意；
C、9的平方根是，故本选项不符合题意；
D、，它的平方根是，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查平方根和立方根，熟练掌握其定义是解题的关键．
4．如图是小明的作业，他判断正确的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】根据算术平方根和立方根的概念，逐个判断即可．
【详解】解：①，小明判断错误；
②的绝对值是，小明判断正确；
③，小明判断错误；
④，小明判断正确，
判断正确的个数是2，
故选：C
【点睛】此题考查了算术平方根和立方根，解题的关键是熟练掌握算术平方根和立方根的求解．
5．如图，将边长为的正方形纸片折叠，使点D落在边的中点E处，折痕为，则线段的长是（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理和折叠的性质，先根据题意得到，则由线段中点的定义得到，由折叠的性质可得，设，则，在中，由勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，
∵点E是的中点，
∴，
由折叠的性质可得，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴，
故选A．
6．如图，，点B和点C是对应顶点，，记，当时，α与β之间的数量关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形两底角相等的性质，平行线的性质，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，然后求出，再根据等腰三角形两底角相等求出，然后根据两直线平行，同旁内角互补表示出，整理即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴
整理得，．
故选：B．
7．如图，为的平分线，添下列条件后，不能证明的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了对全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定方法只有共5种，主要培养学生的辨析能力．根据“”对A进行判断；根据“”对B进行判断；根据“”对C进行判断； D选项符合，不能证明．
【详解】解：由，利用可证明，所以A选项不符合题意；
由，利用可证明，所以B选项不符合题意；
由，利用可证明，所以C选项不符合题意；
由，符合，不能证明，所以D选项符合题意．
故选D．
8．如图，是斜边上一点，且，为上任意一点，于点，于点，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】此题考查的知识点是全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，关键是通过等面积法列式计算．据已知，过C作于H，根据等腰直角三角形的性质求得的长度，计算的面积，再利用转化为与的面积和即可求的的值．
【详解】解：如图所示，过C作于H，
∵D是斜边上一点，且，
∴，点H是的中点
∴，
∴，
∵
则
∴．
故答案为：A．
9．如图①，在长方形中，点在上，且，分别以为折痕进行折叠并压平，如图②，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了折叠的性质、角的计算，由图形折叠的性质得到平分，平分，再利用角的和差得到，进而得出答案，利用折叠的性质得出平分，平分是解此题的关键．
【详解】解：由图形折叠的性质得到平分，平分，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
10．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，下列结论错误的是（ ）
A．A、B两城相距300千米
B．乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时
C．乙车追上甲车时甲车行驶了2.5小时
D．当甲、乙两车相距40千米时，或或
【答案】D
【分析】本题主要考查一次函数的应用，由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，进而判断，再令两函数解析式的差为40，可求得t，可得出答案．
【详解】由图象可知A、B两城市之间的距离为300千米，故A正确；
设甲车离开A城的距离y与t的关系式为，
把代入可求得，
∴，
设乙车离开A城的距离y与t的关系式为，
把和代入可得，解得，
∴，
令可得：，解得，
即甲、乙两直线的交点横坐标为，
乙车追上甲车时甲车行驶了2.5小时，故C正确；
乙的速度：，
乙的时间：，
甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，故B正确；
甲、乙两直线的交点横坐标为，此时乙出发时间为1.5小时，即乙车出发1.5小时后追上甲车，
乙还未出发，甲在时前进了40千米，
乙在甲后面时，，可得，解得，
乙车在甲车前面时，或，解得或．
即在一车追上另一车之前，当两车相距40千米时， 或或或，故D错误．
故选：D．
11．已知在平面直角坐标系中，点的坐标为，点与点分别是直线及轴上的动点，则周长的最小值为（ ）
A．6B．8C．10D．
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称的性质、勾股定理，作点关于轴的对称点，关于直线的对称点，连接，交直线于点，交轴于点，则，，当点、、、在同一直线上时，的周长最小，最小值为的长，根据点，可知点在直线上运动，据此解答即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，作点关于轴的对称点，关于直线的对称点，连接，交直线于点，交轴于点，
，
则，，
的周长，
当点、、、在同一直线上时，的周长最小，
周长的最小值为的长，
点，
点在直线上运动，
令直线于轴交于点，交轴于，连接，
在中，当时，，当时，，解得，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
由轴对称的性质可得：，，
，
，
，
，，，
，，
，
故选：D．
12．正方形，，，…，按如图的方式放置，点，，，…和点，，，…分别在直线和轴上，则点的坐标是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意分别求出点的坐标，并根据有理数的乘方运算找出规律，由此即可求解．
【详解】解：∵点，，，…在直线，
∴当时，，即的纵坐标为，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴当时，，，即的横坐标为，纵坐标为，的横坐标为，纵坐标为，
∴的横坐标为，则纵坐标为，
∴，则
∵是正方形是正方形，
∴，则，
∴，
∴当时，，，则的横坐标为，纵坐标为，的横坐标为，纵坐标为，
同理，，的横坐标为，纵坐标为，的横坐标为，纵坐标为，
∴的横坐标为，纵坐标为，的横坐标为，纵坐标为，
∴点的坐标是，
故选：．
【点睛】本题主要考查一次函数图象与结合图形的综合的规律题，理解图示，掌握一次函数图像，正方形的性质确定点的坐标是解题的关键．
填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的运算，根据，，再计算即可．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
14．已知直线与的交点为，则这个方程组的解为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了两直线的交点与二元一次方程组之间的关系，先把点代入中求出，再根据两直线的交点的横纵坐标即为对应的直线解析式组成的二元一次方程组的解即可得到答案．
【详解】解：把点代入中得，
∴直线与的交点为，
∴方程组的解为．
故答案为：．
15．如图，在中，是的垂直平分线，的周长为，则的周长是 ．
【答案】
【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质．根据线段的垂直平分线的性质得到和，根据三角形的周长公式计算即可求解．
【详解】解：是的垂直平分线，
，，
的周长，
的周长，
故答案为：．
16．如图，在一单位为1的方格纸上，，，，……，都是斜边在轴上、斜边长分别为2，4，6，……的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，解题的关键是根据点的坐标的变化寻找规律．根据脚码确定出脚码为偶数时的点的坐标，得到规律：当脚码是2，6，10，…时，横坐标为1，纵坐标为脚码的一半的相反数，当脚码是4，8，12，…时，横坐标是2，纵坐标为脚码的一半，然后确定出点的坐标即可．
【详解】解：观察点的坐标变化发现，当脚码为偶数时的点的坐标，得到规律：
当脚码是2，6，10，…时，横坐标为1，纵坐标为脚码的一半的相反数，
当脚码是4，8，12，…时，横坐标是2，纵坐标为脚码的一半，
因为2024能被4整除，所以横坐标为2，纵坐标为1012．
故答案为：．
17．如图，在中，，，，边的垂直平分线交于E，交于D，F为上一点，连接，点C关于的对称点恰好落在的延长线上，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，垂直平分线的性质，轴对称的性质．由勾股定理，求得，由垂直平分线的性质，得到，，，设，利用勾股定理列方程求解，得出，进而得到，再结合轴对称的性质，即可求出的长．
【详解】解：，，，
，
垂直平分，
，，，
设，则，
在中，，
，
解得：，即，
在中，，
由对称的性质可知，，
，
故答案为：．
18．如图，在锐角三角形中，，的面积为，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值是 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂线段最短，角平分线的定义，在上取一点，使得，证明得到，进而推出当三点共线，且时，有最小值，即此时最小，最小值为的长，里面面积法求出的长即可得到答案．
【详解】解：在上取一点，使得，如图所示：

∵平分，
∴
，
，
，
∴当三点共线，且时，有最小值，即此时最小，最小值为的长，
∵的面积为，
∴，
又∵
，
∴最小值为4，
故答案为：4．
三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】题目主要考查实数的混和运算及零次幂的运算，
（1）先计算有理数的乘方运算，零次幂运算，二次根式的化简，然后计算加减法即可；
（2）运用平方差公式及完全平方公式展开，然后合并同类二次根式即可；
熟练掌握运算法则是解题关键．
【详解】（1）解：
（2）
．
20．（8分）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点的坐标分别为．
(1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；
(2)请作出关于轴对称的；
(3)点的坐标为______；
(4)的面积为______．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
(4)4
【分析】本题考查作图-轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，正确作出图形．
（1）根据A，C两点坐标确定平面直角坐标系即可．
（2）利用轴对称的性质，分别作出A，B，C的对应点，再顺次连接即可．
（3）直接写出点的坐标即可．
（4）利用割补法求出的面积．
【详解】（1）作出平面直角坐标系如图；
（2）作出如图；
（3）点的坐标为，
故答案为：；
（4）的面积
21．（8分）如图，、为上两点，，，，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．根据题意得出，即可求解．
【详解】，
，
即，
在和中，
．
22．（8分）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以，，这三个数为“完美组合数”．
(1)，，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由．
(2)若三个数，，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求的值．
【答案】(1)是“完美组合数”，理由见解析
(2)．
【分析】（1）对于三个互不相等的负整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”，由此定义分别计算可作判断；
（2）分两种情况讨论：①当时，②当时，分别计算即可．
【详解】（1）解：，，这三个数是“完美组合数”，理由如下：
∵，，，
∴，，这三个数是“完美组合数”；
（2）解：∵，
∴分两种情况讨论：
①当时，，
∴；
②当时，，
∴（不符合题意，舍）；
综上，．
【点睛】本题考查算术平方根，理解“完美组合数”的意义是正确解答的前提，求出“任意两个负数乘积的算术平方根”是解决问题的关键．
23．（10分）如图，在△ABC中，，，交于点D，平分．
(1)求证：；
(2)若，且，求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）本题主要考查等腰三角形的判刑和性质，由平分，可得，可得结论．
（2）本题主要考查等边三角形的判定和性质，直接根据，证明，通过证明为等边三角形，可得．
【详解】（1）证明：∵平分；
∴；
∵；
∴；
∴，
∴，
（2）∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴是等边三角形，
∴．
24．（10分）某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元．
(1)求甲、乙两种奖品的单价；
(2)根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品不少于20件，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．
【答案】(1)甲种奖品的单价为20元/件，乙种奖品的单价为10元/件
(2)当学校购买20件甲种奖品、40件乙种奖品时，总费用最少，最少费用是800元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出关于的一次函数关系式．
（1）设甲种奖品的单价为元/件，乙种奖品的单价为元/件，根据“购买1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，购买2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元”，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买甲种奖品件，则购买乙种奖品件，设购买两种奖品的总费用为，由甲种奖品不少于20件，可得出关于的取值范围，再由总价单价数量，可得出关于的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设甲种奖品的单价为元/件，乙种奖品的单价为元/件，
依题意，得：，
解得：，
答：甲种奖品的单价为20元/件，乙种奖品的单价为10元/件．
（2）解：设购买甲种奖品件，则购买乙种奖品件，设购买两种奖品的总费用为元，
甲种奖品不少于20件，
．
依题意，得：，
，
随值的增大而增大，
当学校购买20件甲种奖品、40件乙种奖品时，总费用最少，最少费用是800元．
25．（10分）如图，P是等边三角形内的一点，连接，，以为边作，且，连接．
(1)求证：；
(2)若，，，则 度．
【答案】(1)见解析
(2)90
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理的逆定理．
（1）由等边三角形可得，，又得到，再，即可通过“”证得，从而得证结论；
（2）连接，由，得到是等边三角形，从而，由得到，从而，根据勾股定理的逆定理证得是直角三角形，．
【详解】（1）∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
在和 中，
，
∴，
∴；
（2）连接，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，．
故答案为：90
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图像交于点．
(1)求m的值与一次函数解析式；
(2)如图，一动直线分别与两直线交于P，Q两点，若，求t的值；
(3)在y轴上是否存在点M，使得是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)或
(3)存在，且点或或
【分析】本题考查了一次函数交点的应用，待定系数法求一次函数的解析式，分类计算线段的长度；分类判定等腰三角形．
(1)根据正比例函数过点，确定点，设一次函数的解析式为，构建方程组解答即可．
(2)根据正比例函数，一次函数，设，，根据，得到，求解即可．
(3)根据一次函数，确定，计算，分别以B为圆心，A为圆心，5为半径画弧，与y轴的交点就是所求的点M，利用等腰三角形的性质，确定坐标即可．
【详解】（1）∵正比例函数过点，
∴，
解得，
故点，
设一次函数的解析式为，
∴，
解得，
故一次函数的解析式为．
（2）∵正比例函数，一次函数，直线分别与两直线交于P，Q两点，
∴，，
∵，
∴，
∴或，
解得或．
（3）存在，且点或或．利用如下：
∵一次函数与y轴交于点B，，
∴，
∴，
故以B为圆心，5为半径画弧，与y轴的交于点，
∴
解得，
故点，；
以A为圆心，5为半径画弧，交y轴于点，根据等腰三角形三线合一性质，得到，
故，
综上所述，存在这样的点M，且点或或．
①（√）
②的绝对值是（×）
③（√）
④（√）