苏科版八年级上册2.2 轴对称的性质一课一练

这是一份苏科版八年级上册2.2 轴对称的性质一课一练，文件包含专题05利用轴对称的特性解决最值问题之四大考点原卷版docx、专题05利用轴对称的特性解决最值问题之四大考点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共38页， 欢迎下载使用。

目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc15593" 【典型例题】 PAGEREF _Tc15593 \h 1
\l "_Tc11757" 【类型一 几何图形中的最小值问题】 PAGEREF _Tc11757 \h 1
\l "_Tc14499" 【类型二 实际问题中的最短路径问题】 PAGEREF _Tc14499 \h 11
\l "_Tc9197" 【类型三 一次函数中线段和最小值问题】 PAGEREF _Tc9197 \h 17
\l "_Tc4541" 【类型四 一次函数中线段差最大值问题】 PAGEREF _Tc4541 \h 29
【典型例题】
【类型一 几何图形中的最小值问题】
例题：（2023春·广东揭阳·七年级惠来县第一中学校考期末）如图，在等腰中，，，作于点D，，点E为边上的中点，点P为上一动点，则的最小值为 ．

【变式训练】
1．（2023秋·山西忻州·八年级统考期末）如图，等边中，点为的中点，分别为、上的点，，，在上有一动点，则的最小值是（ ）
A．7B．8C．12D．10
2．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则AP+BP的最小值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
3．（2023秋·甘肃·八年级统考期末）如图，，M是边上的一个定点，且，N，P分别是边上的动点，则的最小值是 ．
4．（2023春·全国·八年级专题练习）在中，，D是边上一点，，E，F分别是边上的动点，则的最小值为 ．
5．（2023春·广西河池·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AC=BC，AB=6，△ABC的面积为12，CDAB于点D，直线EF垂直平分BC交AB于点E，交BC于点F，P是线段EF上的一个动点，则△PBD的周长的最小值是 ．
6．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）如图，已知≌，将沿所在的直线折叠至的位置，点B的对应点为，连结．

(1)直接填空：与的位置关系是__________；
(2)点P、Q分别是线段、上的两个动点（不与点A、B、C重合），已知的面积为36，，求的最小值；
(3)试探索：的内角满足什么条件时，是直角三角形？
7．（2023春·全国·七年级期末）古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营A，B．他总是先去A营，再到河边饮马，之后，再巡查B营．他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢?大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．
如图2，作B关于直线l的对称点B′，连结AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．
证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连结AC′，BC，B′C′，
∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上，
∴CB=_________，C′B=_________，
∴AC +CB=AC+CB′=_________．
在△AC′B′，
∵AB′＜AC′+C′B′，
∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小．
本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C在AB′与l的交点上，即A，C，B′三点共线）．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型．
拓展应用：如图，等腰直角△ABC中，∠ACB = 90°，BD平分∠ABC交AC于D，点P是BD上一个动点，点M是BC上一个动点，请在图5中画出PC + PM的值最小时P的位置．（可用三角尺）
【类型二 实际问题中的最短路径问题】
例题：（2023春·广东广州·八年级华南师大附中校考期中）如图，A、B两个村子在笔直河岸的同侧，A、B两村到河岸的距离分别为，，，现在要在河岸上建一水厂E向A、B两村输送自来水，要求水厂E到A、B两村的距离之和最短．
(1)在图中作出水厂E的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求水厂E到A、B两村的距离之和的最小值．
【变式训练】
1．（2023春·八年级课时练习）如图，A，B两个村庄在河CD的同侧，两村庄的距离为a千米，，它们到河CD的距离分别是1千米和3千米．为了解决这两个村庄的饮水问题，乡政府决定在河CD边上修建一水厂向A，B两村输送水．
(1)在图上作出向A，B两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置M．（只需作图，不需要证明）
(2)经预算，修建水厂需20万元，铺设水管的所有费用平均每千米为3万元，其他费用需5万元，求完成这项工程乡政府投入的资金至少为多少万元．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）问题情境：老师在黑板上出了这样一道题：直线同旁有两个定点A，B，在直线上是否存在点，使得的值最小？
小明的解法如下：如图，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．
问题提出：
(1)如图，等腰的直角边长为4，E是斜边的中点，是边上的一动点，求的最小值．
问题解决：
(2)如图，为了解决A，B两村的村民饮用水问题，A，B两村计划在一水渠上建造一个蓄水池，从蓄水池处向A，B两村引水，A，B两村到河边的距离分别为千米，千米，千米．若蓄水池往两村铺设水管的工程费用为每千米15000元，请你在水渠上选择蓄水池的位置，使铺设水管的费用最少，并求出最少的铺设水管的费用．
3．（2023秋·七年级单元测试）问题提出
某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A，B，在直线l上存在点P，使得的值最小．
解法：如图1，作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为．
(1)如图2，在等边中，E是上的点，是的平分线，P是上的点，若，则的最小值为______．
问题解决
(2)如图，草地边缘与小河河岸在点O处形成的夹角，牧马人从A地出发，先让马到草地边缘吃草，然后再去河边饮水，最后回到A地．已知，请在图中设计一条路线，使所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程．
【类型三 一次函数中线段和最小值问题】
例题：（2023春·山东德州·八年级校考阶段练习）如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段为边在第二象限内作等腰．（可能用到的公式：若，①中点坐标为；②
(1)求线段的长；
(2)过B、C两点的直线对应的函数表达式．
(3)点D是中点，在直线上是否存在一点P，使得有最小值？若存在，则求出此最小值；若不存在，则说明理由．
【变式训练】
1．（2023春·河北石家庄·八年级石家庄市第四十一中学校考期中）一次函数的图像经过两点，．点在这个函数图像上
(1)求这个一次函数表达式；
(2)求的值；
(3)点C为的中点，点P为上一动点，求的最小值．
2．（2023春·湖南长沙·八年级校联考期中）如图，直线经过点，与直线：交于点．

(1)求的值和直线的解析式；
(2)直线与轴交于点，求的面积；
(3)在轴上是否存在点，使得的值最小，若存在，请求出的最小值，若不存在，请说明理由．
3．（2023春·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点，，，轴于点，且，直线交轴于点．
（1）求证：≌；
（2）求直线的表达式；
（3）若有一个动点在轴上，当取最小值时，求点的坐标．
4．（2023春·八年级课时练习）（1）模型建立：
如图1，在等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，请直接写出图中相等的线段（除）；
模型应用：
（2）如图2，在平面直角坐标系中，直线与，轴分别交于、两点，为第一象限内的点，若是以为直角边的等腰直角三角形，请求出点的坐标和直线的表达式；
探究提升：
（3）如图3，在平面直角坐标系中，，点在轴上运动，将绕点顺时针旋转至，连接，求的最小值，及此时点坐标．
【类型四 一次函数中线段差最大值问题】
例题：（2023秋·四川成都·八年级统考期末）如图所示，直线与轴交于点，直线与轴交于点，直线与交于点．
(1)求点的坐标；
(2)点在直线上运动，求出满足条件且异于点的点的坐标；
(3)点为轴上一定点，当点在直线上运动时，请直接写出的最大值．
【变式训练】
1．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期中）如图1所示，在平面直角坐标系中，点，点B在x轴负半轴上，．
(1)求直线的解析式：
(2)点是第三象限内一点，的面积为，若点P是x轴上一动点，求的最大值；