江苏省宿迁市宿豫区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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1．本试卷共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟．
2．答题全部写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔，在答题卡上对应题号的答题区域书写答案．注意不要答错位置，也不要超界．
4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 下列各式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足以下两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B．是最简二次根式，故本选项符合题意．
C．，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D．的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意．
故选：B．
2. 下列各点中与点在同一个反比例函数图象上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键在于求出k的值．先根据反比例函数中的特点求出k的值，再对各选项进行逐一检验即可．
【详解】解：∵反比例函数 过点，
∴，
A． ∵，∴点不与点在同一个反比例函数图象上，故本选项不符合题意；
B． ∵，∴点不与点在同一个反比例函数图象上，故本选项不符合题意；
C． ∵，∴点与点在同一个反比例函数图象上，故本选项符合题意；
D． ∵，∴点不与点在同一个反比例函数图象上，故本选项不符合题意；
故选C．
3. 某事件A发生的概率为0.99．关于事件A描述正确的是（ ）
A. 该事件是确定事件
B. 该事件发生的可能性很小
C. 该事件发生与不发生的可能性一样大
D. 该事件发生的可能性很大，但不一定发生
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，可能发生也可能不发生．
【详解】解：一个事件发生的概率是0.99，只说明发生的可能性很大，但不一定发生．
故选：D．
4. 将一张长方形纸片只折一次，使得折痕平分这个长方形的面积，这样的折纸方法共有（ ）
A. 2种B. 4种C. 6种D. 无数种
【答案】D
【解析】
【分析】根据矩形的中心对称性解答即可.
【详解】根据矩形的中心对称性，过中心的直线可把矩形分成面积相等的两部分，所以使得折痕平分这个长方形的面积的方法共有无数种．
故选D．
本题考查了矩形中心对称性，比较简单，一定要熟练掌握并灵活运用．
5. 下列关于反比例函数的说法正确的是（ ）
A. 它图象在第二、四象限B. 它的图象既是轴对称图形也是中心对称图形
C. 当时，D. y随x的增大而减小
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，理解和掌握反比例函数的图象和性质是正确判断的前提．根据反比例函数的图象和性质逐个进行判断即可得出答案．
【详解】解：A．反比例函数的图象是双曲线，它的两个分支分布在一、三象限，因此选项A不符合题意；
B．反比例函数的图象是关于原点为对称中心的中心对称图形，同时也是以直线，直线为对称轴的轴对称图形，故选项B符合题意；
C．把代入得：，故选项C不符合题意；
D．函数，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而减少，故选项D不符合题意；
故选：B．
6. 小丽与小明为艺术节做小红花，两人每小时共做38朵．已知小明做100朵与小丽做90朵所用时间相等，小明、小丽每小时各做小红花多少朵？若设小明每小时做小红花x朵，则根据题意，可列方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设小明每小时做小红花x朵，则小丽每小时做小红花朵，根据小明做100朵与小丽做90朵所用时间相等，列出方程即可．
【详解】解：设小明每小时做小红花x朵，则小丽每小时做小红花朵，根据题意得：
，
故选：C．
7. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于点两点，点的横坐标为，当时，的取值范围为（ ）

A. 或B. 或
C. 或D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，先根据反比例函数与正比例函数的性质求出点的横坐标，再结合函数图象即可得出答案，利用数形结合的思想，熟练掌握函数的图像和性质是解题关键．
【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，点的横坐标为，
∴点的横坐标为，
由函数图象可知，反比例函数图象在正比例函数的图象的上方时，取值范围是或，
即时，取值范围是或，
故选：．
8. 判断四边形的框架（如图）是不是菱形，有以下方法：①检测框架的四条边是不是相等；②检测框架的四个角是不是相等；③检测框架对角线是否互相垂直且相等．其中方法可行的是（ ）
A. ①B. ②C. ①③D. ②③
【答案】A
【解析】
【分析】因为四条边都相等的四边形是菱形，所以通过检测框架的四条边是不是相等可以判断四边形的框架是不是菱形，可判断方法①可行；因为四个角都相等的四边形是矩形，但不一定是菱形，所以方法②不可行；由对角线互相垂直且相等的四边形不一定是菱形，可判断方法③不可行，于是得到问题的答案．
【详解】解：四条边都相等的四边形是菱形，
通过检测框架的四条边是不是相等可以判断四边形的框架是不是菱形，
故方法①可行；
四个角都相等的四边形，它的四个角都是直角，
这样的四边形是矩形，但不一定是菱形，
通过检测框架的四个角是不是相等不能判断四边形的框架是不是菱形，
故方法②不可行；
对角线互相垂直且相等的四边形不一定是菱形，
通过检测框架对角线是否互相垂直且相等不能判断四边形的框架是不是菱形，
故方法③不可行．
故选：A．
本题考查了菱形的判定定理、矩形的判定定理等知识，正确理解菱形的判定定理是解题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9. 要使式子有意义，则x的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数的条件可得关于x的不等式，解不等式即可得．
【详解】由题意得：
解得：
故答案为：．
10. 若分式的值为0，则x的值是_____．
【答案】-1
【解析】
【分析】根据分子等于零且分母不等于零列式求解即可．
【详解】解：由分式的值为0，得
x+1＝0且x﹣1≠0．
解得x＝﹣1，
故答案为：﹣1．
本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为0，②分母的值不为0，这两个条件缺一不可．
11. 计算的结果是________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据平方差公式计算即可．
详解】解： ，
故答案为：4．
本题考查了平方差公式，实数的运算，正确运用平方差公式计算是本题的关键．
12. 写出一个含有二次根式的式子，使它与的积是有理数，则这个式子可以是______（只需要写出一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的乘法，解答本题的关键是掌握二次根式的乘法法则．根据二次根式的乘法法则求解即可．
【详解】解：∵，且22是有理数，
∴这个式子可以为，
故答案为：（答案不唯一）．
13. 一个物体重，该物体对地面的压强随它与地面的接触面积的变化而变化，则p与S之间的函数表达式为______．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了实际问题中的函数关系，解题关键是知道压强与受力面积成反比．根据物理中的压强与接触面积、物体的重量之间的关系：压强压力受力面积，构造反比例模型，解决实际问题即可．
【详解】解：∵压强与接触面积成反比例关系，
∴根据压强公式得： ，
故答案为：．
14. 如图，矩形的对角线、相交于点O，，，则矩形的周长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质及勾股定理、含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练运用矩形的性质以及含30度角的直角三角形的性质．根据矩形的性质及含30度角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵矩形，
∴，，，，，，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴矩形的周长为：．
故答案为：．
15. 如图，反比例函数的图像经过菱形的顶点C，且点B坐标为，，则k的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】过点C作于点D，根据点B坐标为，求出，根据菱形的性质求出，根据直角三角形的性质和勾股定理求出C的坐标为，把点C的坐标代入反比例函数求出点k的值即可．
【详解】解：过点C作于点D，如图所示：
则，
∵点B坐标为，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点C的坐标为，
把点C的坐标代入反比例函数得：，
解得：．
故答案为：．
本题主要考查了求反比例函数解析式，菱形的性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，求出点C的坐标．
16. 若分式方程无解，则m的值为______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了分式方程无解的情况，分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解得到，代入整式方程即可求出m的值．
【详解】解：
去分母得：，
将代入得：，
则．
故答案为：1．
17. 若点、、都在反比例函数的图像上，则、、的大小关系是______（用“”连接）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点．先根据反比例函数中，判断函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
【详解】解：∵反比例函数中，，
∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大．
∵，
∴点位于第二象限，
∴，
∵，
∴点位于第四象限，
∴，
故答案为：．
18. 如图，正方形的边长为4，点E是的中点，垂直平分且分别交、于点H、G，则的长为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，正方形的性质，勾股定理等，连接，根据线段垂直平分线性质可得，根据正方形的性质可得，根据点E是的中点求得，设的长为x，则的长为，根据勾股定理即可求得的值，然后根据勾股定理求出结果即可．
【详解】解：连接，
在边长为4的正方形中，，
，
垂直平分，
，，，
∵点E是的中点，
，
∴，
∴，
设的长为x，则的长为，
在和中，
，
即，
整理得，，
即，
∴，
∴．
∴．
故答案为：．
三、解答题（本大题共10题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
【详解】解：
．
20. 解方程：．
【答案】无解
【解析】
【分析】本题考查解分式方程，先去分母化为整式方程进行求解，再检验即可．
【详解】解：
，
当时，，
是方程的增根，
∴原分式方程无解．
21. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【解析】
【分析】利用分式的混合运算和运算法则化简题目中的算式，然后将a的值代入化简后的式子即可求值．
【详解】原式
将代入
即=
本题考查分式的化简求值问题，弄清运算顺序，先去括号，在进行分式的乘除．因式分解是解答本题的关键．
22. 在中，，，．求的面积．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了勾股定理的知识，掌握勾股定理的内容是解答本题的关键．
根据勾股定理即可求出，然后利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∴的面积．
23. 如图，在中，点、分别是、边的中点，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质．注意掌握数形结合思想的应用．由四边形是平行四边形，可得，，又由点、分别是边、的中点，可得，继而证得四边形是平行四边形，即可证得结论．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
，，
点、分别是边、的中点，
，，
，
四边形是平行四边形，
．
24. 码头工人往一艘轮船上装载货物，装完货物所需时间与装载速度成反比例．已知当时，．
（1）求与之间的函数表达式；
（2）要在内装完货物，装载速度至少应为多少（精确到）？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，解题的关键是根据实际意义列出函数关系式．
（1）设与之间的函数表达式为，把时，，代入表达式，即可求解．
（2）利用函数关系式，当时，求出，在根据反比例函数的性质，随的增大而减小，即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意可设与之间的函数表达式为，
∵当时，，
∴，
∴，
∴与之间的函数表达式为．
【小问2详解】
当时，将代入中，
解得，
根据反比例函数的性质，随的增大而减小，
∴要在内装完货物，那么装载货物的速度至少为．
25. 【阅读材料】
老师的问题：
已知：如图，矩形．
求作：正方形，使点E、F分别在、上．
小明的作法：
（1）以A为圆心，长为半径画弧，交于点F；
（2）以B为圆心，长为半径画弧，交于点E；
（3）连接．
【解答问题】
请你根据材料中的信息，证明四边形是正方形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的判定，矩形的性质，先证明为平行四边形，再证明为菱形，最后证明为正方形．
【详解】证明：∵四边形为矩形，
∴，，
根据作图可知：，，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形，
∵，
∴四边形为正方形．
26. 【阅读材料】问题：已知，求的值．
小明的做法是：
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
小明的做法是将已知条件适当的变形，再整体代入所求代数式进行解答．
小丽的做法是：
∵
∴当时，
原式
．
小丽的做法是将结论中代数式适当的变形，再已知条件代入变形式进行解答．
【解决问题】
（1）请你仿照“小明的做法”或“小丽的做法”，解决问题：已知，求的值；
（2）请你参考“小明的做法”和“小丽的做法”，运用恰当的方法解决问题：已知，求的值．
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，代数式求值，掌握整体代入法是解题的关键．
（1）仿照小明的做法时，先计算出的值；仿照小丽的做法时，将原式变形为；
（2）仿照小明的做法，计算出的值，的值，再将原式变形为，代入求解即可．
【小问1详解】
解：仿照小明的做法：
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
仿照小丽的做法：
∵
∴当时，
原式
．
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
27 观察下列等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
……
按照以上规律，解答下列问题：
（1）写出第4个等式：______；
（2）试用含有正整数n的式子表示这个规律，并加以证明；
（3）运用规律计算：．
【答案】（1）
（2）；证明见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查数字规律型，观察已知的式子总结规律是解题的关键．
（1）观察题中的式子求解即可；
（2）根据题中的等式进行归纳总结即可求解；
（3）利用（2）中的规律，再裂项进行计算即可．
【小问1详解】
解：第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：；
【小问2详解】
解：第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
……
第n个等式：；
左边，
右边
，
∴左边右边；
小问3详解】
解：
．
28. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A（点A的横坐标为a），与x轴交于点，与y轴交于点，且点B是线段的中点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）若点D在这个反比例函数图像上，且它的横坐标为，的面积为，求n的值；
（3）若P是平面直角坐标系内一点，以A、O、C、P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
【答案】（1）一次函数解析式为；反比例函数解析式为
（2）
（3）或或
【解析】
【分析】（1）先根据待定系数法求出一次函数解析式，根据中点坐标公式求出点A的坐标，然后求出反比例函数解析式即可；
（2）过点D作轴于点E，过点A作轴于点F，求出的坐标为，得出，根据的面积为，得出，求出n的值即可；
（3）分三种情况进行讨论：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，根据中点坐标公式求出结果即可．
【小问1详解】
解：把点，点代入得：
，
解得：，
∴一次函数解析式为：；
∵点B是线段的中点，
∴，
解得：，
∴点A的坐标为，
把代入得：，
∴反比例函数解析式为；
【小问2详解】
解：过点D作轴于点E，过点A作轴于点F，如图所示：
∵点D在这个反比例函数图像上，且它的横坐标为，
∴的坐标为，
，
∵的面积为，
∴，
解得：或（舍去），
即n的值为；
【小问3详解】
解：设点，，，，
当为对角线时，，
解得：，
∴此时点P的坐标为；
当为对角线时，，
解得：，
∴此时点P的坐标为；
当为对角线时，，
解得：，
∴此时点P的坐标为；
综上，P点坐标为：或或．
本题考查了反比例函数与一次函数综合，平行四边形的性质，中点坐标公式，求一次函数解析式，求反比例函数解析式，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法．