上海市松江二中2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题（原卷版+解析版）

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一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1. 直线的倾斜角为______．
2. 已知向量满足，则______．
3. 已知，若，则______.
4. 已知，若，则________．
5. 在的展开式中，含的项的系数是__________.
6. 已知，双曲线的两个焦点为，，若椭圆的两个焦点是线段的三等分点，则该双曲线的渐近线方程为______.
7. 一名信息员维护甲乙两公司的5G网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立，它们需要维护的概率分别为0.4和0.3，则至少有一个公司不需要维护的概率为________
8. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过点P作，交准线l于点A.若，则的长为_________.
9. 用1，2，3，…，9这九个数字组成的无重复数字的四位偶数中，各位数字之和为奇数的共有________个．
10. 已知函数，若的图象经过第一象限，则实数的取值范围是______．
11. 椭圆具有对称美，受到设计师青睐．现有一工艺品，其图案的基本图形由正方形和内嵌其中的“斜椭圆”组成（如图）．在平面直角坐标系中，将标准方程表示的椭圆绕着对称中心旋转一定角度，即得“斜椭圆”.已知“斜椭圆”的方程为，则“斜椭圆”的离心率为_________．

12. 设集合为满足，，的空间向量，，中可能出现的两两共线的向量组数组成的数集，集合，若，当最小时，的取值为_______.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13. 已知由样本数据组成的一个样本，变量具有线性相关关系，其经验回归方程为，并计算出变量之间的相关系数为，则经验回归直线经过（ ）
A. 第一､二､三象限B. 第二､三､四象限
C. 第一､二､四象限D. 第一､三､四象限
14. 如果函数导函数的图象如图所示，则以下关于判断正确的是（ ）
A. 在区间上是严格减函数B. 在区间上是严格增函数
C. 是极小值点D. 是极小值点
15. 一个质地均匀的正八面体的八个面上分别标有数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为，事件：，事件，事件，则下列正确的是（ ）
A. B.
C. 互斥D. 相互独立
16. 在平面直角坐标系中，圆，若曲线上存在四个点，过动点作圆两条切线，为切点，满足，则k的值不可能为（ ）
A. B. C. D.
三、解答题(本大题共有5题，满分78分)解答下列各题必须写出必要的步骤．
17. 已知全集，集合，.
（1）若，求实数a的取值范围；
（2）命题p:，命题q:，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围.
18. 如图，在圆锥中，P是圆锥的顶点，O是圆锥底面圆的圆心，是圆锥底面圆的直径，等边三角形是圆锥底面圆的内接三角形，是圆锥母线的中点，，.
（1）求证：平面；
（2）设线段与交于点，求直线与平面所成角的正弦值.
19. 某超市为促进消费推出优惠活动，为预估活动期间客户投入的消费金额，采用随机抽样统计了200名客户的消费金额，分组如下：（单位：元），得到如图所示频率分布直方图：
（1）若把消费金额不低于800元客户，称为“活跃客户”，经数据处理，现在列联表中得到一定的相关数据，求列联表中的值，并根据列联表判断是否有的把握认为“活跃客户”与性别有关？
（2）为感谢客户，该超市推出免单福利，方案如下：从“活跃客户”中按分层抽样的方法抽取12人，从中抽取2人进行免单，试写出免单总单金额的分布列及其期望．（每一组消费金额按该组中点值估计，期望结果保留至整数）
附：
20. 已知点为抛物线上一点，点P到的准线的距离为5.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过原点的一条直线与圆相切，交抛物线于另一点，且，求圆的方程；
（3）设为的焦点，，为上两点，，求面积的最小值．
21. 给定函数，若点是的两条互相垂直的切线的交点，则称点为函数的“正交点”.记函数所有“正交点”所组成的集合为.
（1）若，判断集合是否为空集，并说明理由；
（2）若，证明：的所有“正交点”在一条定直线上，并求出该直线；
（3）若，记图像上的所有点组成的集合为，且，求实数的取值范围.
活跃客户
非活跃客户
总计
男
20
女
60
总计
0.150
0.100
0.050
0.010
0.005
k
2.072
2706
3.841
6.635
7.879