2024年浙江省杭州市下城区启正中学中考数学三模试卷

这是一份2024年浙江省杭州市下城区启正中学中考数学三模试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.计算下列各式，值最大的是( )
A. B. C. D.
2.下列计算中正确的是( )
A. B.
C. D.
3.下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.某一时刻在阳光照射下，广场上的护栏及其影子如图1所示，将护栏拐角处在地面上的部分影子抽象成图2，已知，，则的大小为( )
A. B. C. D.
5.如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与其中的图象分别为直线和直线，下列结论中一定正确的是( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，圆规两脚OA，OB张开的角度为，，则用此圆规所能画出圆的半径为( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，边长为a的大正方形剪去4个边长为x的小正方形，做成一个无盖纸盒.若无盖纸盒的底面积与表面积之比为3：5，则根据题意可知a，x满足的关系式为( )
A. B. C. D.
8.某校组织450名学生参加测试，随机抽取30人的成绩，得到如下频数分布表，下列说法正确的是( )
①该组数据的中位数为90分.
②该组数据的众数在这一分数段中.
③该组数据的平均数满足：
④在统计该组数据时，假设漏掉了一个数据，结果平均成绩提高了，则这个数据一定不在这一分数段中.
A. ①②B. ③④C. ①②③D. ②③④
9.关于x的二次函数与x轴有两个交点，，关于x的方程有两个非零实数根，，则下列关系式不成立的是( )
A. B.
C. D.
10.如图，正方形ABCD的边长是3，，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.计算：______.
12.因式分解：______.
13.已知方程组，则的值为______.
14.传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2马面裙可以近似地看作扇环，其中AD长度为米，BC长度为米，圆心角，则裙长AB为______.
15.如图，在中，，，点D在边AC上，且BD平分的周长，则______.
16.如图，将矩形ABCD沿BE折叠，点A与点重合，连结并延长分别交BD、BC于点G、F，且
若，则______；
若，，则______.
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题6分
计算：；
化简：
18.本小题6分
张老师设计了一个数学接力游戏，由学生合作完成分式的计算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算.规则是每人只能看到前一人传过来的式子.
这个“接力游戏”中计算错误的同学有______；
请你写出正确的解答过程.
19.本小题8分
如图是某停车场，现仅剩下“C001”、“C002”、“C003”、“C004”四个车位.
若有一辆小汽车停车，则这辆车停在“C002”号车位的概率是______；
分别记这四个车位为A、B、C、D，小明和小红同时来到该处停车，用画树状图或列表的方法，求两人停车在相邻车位的概率.
20.本小题8分
如图，已知E、F为平行四边形ABCD的对角线上的两点，且，
求证：≌；
若，求证：四边形AECF为矩形.
21.本小题10分
已知一次函数为常数，的图象与反比例函数是常数，的图象交于，两点.
求一次函数和反比例函数的解析式；
若，请直接写出x的取值范围______；
若，是反比例函数图象上的两点，且满足，求的值.
22.本小题10分
如图，是400米跑道示意图，中间的足球场ABCD是矩形，两边是半圆，直道AB的长是多少？
你一定知道是100米!可你也许不知道，这不仅仅为了比赛的需要，还有另外一个原因，等你做完本题就明白了．设米．
请用含x的代数式表示
设矩形ABCD的面积为
①求出S关于x的函数表达式．
②当直道AB为多少米时，矩形ABCD的面积最大？
23.本小题12分
【基础巩固】：
如图1，在中，D是BC的中点，E是AC的一个三等分点，且连结AD，BE交于点G，则AG：______； BG：______.
【尝试应用】：
如图2，在中，E为AC上一点，，，若，，，求AD的长.
【拓展提高】：
如图3，在平行四边形ABCD中，F为BC上一点，E为CD中点，BE与AC，AF分别交于点G，M，若，，，，求AM的长.
24.本小题12分
已知：如图1，是的内接三角形，且，点D是弧BC上一动点.连接AD交弦BC于点E，点F在弦AD上，且
求证：∽；
如图2，若AD是的直径，，，求直径AD的长；
如图3，保持点B位置不变，调整点A、D的位置使得直线BF经过圆心O，点M在上，使得成立的所有点M中，有一个点的位置始终不变，试找出这个点M，并说明理由.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：，
，
，
，
由上可得，的值最大，
故选：
计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：A、，故此选项符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、故，此选项不符合题意；
故选：
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、此图形是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：
根据中心对称图形的定义，以及轴对称图形的定义即可判断出．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形的对称性是解决问题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：某一时刻在阳光照射下，，且，，
，，
故选：
根据平行线的性质及角的和差即可求得．
本题主要考查平行投影，熟练掌握平行投影的性质是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：一次函数的图象过第一、二、三象限，
，，
一次函数的图象过第一、三、四象限，
，，且，
、，
故A不符合题意；
B、，
故B符合题意；
C、，
故C不符合题意；
D、，
故D不符合题意；
故选：
根据一次函数与的图象位置，可得，，，，然后逐一判断即可解答．
本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数图象的位置与系数的关系是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：过点O作AB的垂线，垂足为M，
，，
，
在中，
，
即，
，
即用此圆规所能画出圆的半径为
故选：
过点O作AB的垂线，再结合正弦的定义即可解决问题．
本题主要考查了解直角三角形，过点O作AB的垂线构造出直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：无盖纸盒的底面积为，表面积为，无盖纸盒的底面积与表面积之比为3：5，
，
故选：
根据无盖纸盒的底面积为，表面积为，无盖纸盒的底面积与表面积之比为3：5，可得，化简即可得出答案．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：由题意可知，
①该组数据的中位数在这一分数段中，原说法错误；
②该组数据的众数不一定在这一分数段中，原说法错误；
③该组数据的平均数满足：，说法正确；
④在统计该组数据时，假设漏掉了一个数据，结果平均成绩提高了，则这个数据一定不在这一分数段中，说法正确；
所以说法正确的是③④．
故选：
分别根据中位数、众数、加权平均数的定义逐一判定即可．
本题主要考查频数分布表、中位数、众数以及加权平均数，解题的关键是根据表格得出解题所需数据．
9.【答案】B
【解析】解：由可得，
，为抛物线与x轴的交点横坐标，
图象是由向上平移1个单位所得，
如图，
，选项A正确，
由抛物线的对称性可得，选项D正确，
，
抛物线对称轴为直线，
，
，选项C正确．
故选：
由可得，则图象是由向上平移1个单位所得，作出图象，通过抛物线与x轴的交点位置求解．
本题考查抛物线与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，将方程问题转化为图象交点的问题．
10.【答案】B
【解析】解：，，
，
∽，
，
，
，
∽，
，
，
故选项A错误；
，，
，
，
正方形ABCD中，，
∽，
，
，
，
，，
∽，
，
，故选项B正确，
，，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
故选项C错误；
四边形ABCD是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
不一定等于OQ，故选项D不正确．
故选：
根据相似三角形的性质以及三角函数的定义即可判断选项A；分别判定∽，∽，从而可得比例式，求得OE和OA的值，则可判断选项B是否正确；证明∽，根据相似三角形的性质即可判断选项C错误；由勾股定理可判断选项D是否正确．
本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质及解直角三角形等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
11.【答案】2024
【解析】解：原式
故答案为：
根据负数的绝对值是它的相反数即可得出答案．
本题主要考查绝对值，解题的关键是熟练掌握绝对值的性质．
12.【答案】
【解析】解：，
，
先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次因式分解．
13.【答案】2
【解析】解：，
①-②，得，
故答案为：
①-②即可得出的值．
本题考查了解二元一次方程组，观察方程组中未知数的系数的特点直接相减得出的值是解题的关键．
14.【答案】米
【解析】解：由题意知，，，
解得，，
米，
故答案为：米．
由题意知，，计算求解OA，OB的值，然后根据计算求解即可．
本题考查了扇形的弧长公式．解题的关键在于正确的计算．
15.【答案】
【解析】解：过点B作AC的垂线，垂足为M，
在中，
，
又，
在中，
平分的周长，
，
，
在中，
故答案为：
过点B作AC的垂线，构造出直角三角形，再根据BD平分的周长及正切的定义即可解决问题．
本题主要考查了解直角三角形及勾股定理，过点B作AC的垂线构造出合适的直角三角形及熟知勾股定理和正切的定义是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：四边形ABCD为矩形，
，
，
根据折叠的性质可得，，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：；
如图，过点E作于点H，
四边形ABCD为矩形，，，
，，，，
，
四边形ABHE、EHCD均为矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
设，则，
，
，
，
在中，，
根据折叠的性质可得，，，，
，，
在中，，
，
解得：，
故答案为：
根据折叠的性质可得，进而求出，则，根据等边对等角可得，最后根据三角形内角和定理即可求解；
过点E作于点H，得到四边形ABHE、EHCD均为矩形，根据得到，由平行线的性质得，由对顶角相等得，则，进而得到，根据勾股定理求出，设，则，，，再根据勾股定理求得，根据折叠的性质可得，，，，于是，，在中，根据勾股定理列出方程求解即可．
本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，灵活运用所学知识解决问题是解题关键．
17.【答案】解：
；

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答；
利用平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算，实数的运算，平方差公式，单项式乘多项式，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】小明和小红
【解析】解：，
小明的计算错误；
，
小亮的计算正确；
，
小红的计算错误，
故答案为：小明和小红．
正确的解答过程如下：
利用异分母分式加减法的法则进行计算，逐一判断即可解答；
利用异分母分式加减法的法则进行计算，即可解答．
本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19.【答案】
【解析】解：现仅剩下“C001”、“C002”、“C003”、“C004”四个车位，
有一辆小汽车停车，则这辆车停在“C002”号车位的概率是，
故答案为：；
由题意，画树状图如图所示：
共有12种等可能的结果，其中小明和小红两人停在相邻车位的结果有6种，
两人停在相邻车位的概率为
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有12种等可能的结果，其中小明和小红两人停在相邻车位的结果有6种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．
20.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌；
如图，由可知，≌，
，
，
，
四边形AECF为平行四边形．
又，
平行四边形AECF为矩形．
【解析】由SAS证明≌即可；
由全等三角形的性质得，再证，则四边形AECF为平行四边形．然后由矩形的判定即可得出结论．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
21.【答案】或
【解析】解：，两点在反比例函数的图象上，
，，，
反比例函数的解析式为
、B在一次函数的图象上，
一次函数的解析式为
由题意，作图如下，
由，
一次函数图象在反比例函数上方的部分对应的自变量的范围即为所求．
又，，
或
故答案为：或
点和点在反比例函数的图象上，
，
，即，
依据题意，利用反比例函数图象上点的坐标特征得到，则可求出，，从而得到反比例函数解析式和A、B点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；
依据题意，由，从而一次函数图象在反比例函数上方的部分对应的自变量的范围即为所求，结合，，再根据图象即可判断得解；
依据题意，由点和点在反比例函数的图象上，可得，，再结合，故，进而计算可以得解．
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质和一次函数的性质是关键．
22.【答案】解：由题意可得：，
；
①四边形ABCD是矩形，
；
②当时，S最大，
当米时，S最大．
【解析】由半圆的长度两种计算方法，列出方程可求解；
①由矩形的面积公式可求解；
②由二次函数的性质可求解．
本题考查了二次函数的应用，矩形的性质，掌握二次函数的性质是本题的关键．
23.【答案】1：1 3：1
【解析】解：如图1，作交BE于H，则，，
是BC的中点，
，
，
，
，
是AC的一个三等分点，且，
，
，
≌，
，，
：：1；
，
，
：：1，
故答案为：1：1；3：
设BE交AD于点L，作交BC于点F，
，，
，，，
，
于点L，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，，
∽，
，
，
设，则，，
，
解得，不符合题意，舍去，
，
的长为
如图3，作交CG于点N，设，
，
，
，
，
，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
为CD中点，
，
，
，，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
的长为
作交BE于H，则，所以，则，由，得，所以，即可证明≌，得，，则AG：：1；因为，所以，则BG：：1，于是得到问题的答案；
设BE交AD于点L，作交BC于点F，由，，得，，所以，则，再证明，得，，则，所以，再证明，则，由∽，得，再证明∽，得，则，设，则，，于是得，求得；
作交CG于点N，设，由，得，由，得，即可证明，则，，所以，，再证明∽，得，则，因为，所以
此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、三角形的中位线定理、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的解法等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
24.【答案】证明：，
，
，
，
，
，
，
∽；
解：若AD是的直径，，
，
，
，
，
∽，
，
，
，，
，，
设，则，，
，
，
，
解：有一个点的位置始终不变，这个点的位置为BF的延长线与的交点．理由：
延长BF，交于点M，连接CM，如图，
∽，
，，
，
，
，
，
有一个点的位置始终不变，这个点的位置为BF的延长线与的交点．
【解析】利用等腰三角形的性质，圆周角定理和相似三角形的判定定理解答即可；
利用垂径定理得到，利用等腰三角形的性质和圆周角定理得到，则，，，设，则，，，利用AE的长度列出关于x的方程，解方程求得x值，则结论可求；
延长BF，交于点M，连接CM，利用相似三角形的性质和圆周角定理得到，通过化简即可得出结论．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定与性质，连接直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线．分组
频数
1
2
5
10
12