高中人教版函数单元测试精练

这是一份高中人教版函数单元测试精练，共25页。

A．图象经过点（1，﹣5）
B．图象位于第二、第四象限
C．当x＜0时，y随x的增大而减小
D．当x＞0时，y随x的增大而增大
【答案】C
【解析】解：∵反比例函数y=−5x，
∴当x＝1时，y=−51=−5，故选项A不符合题意；
k＝﹣5，故该函数图象位于第二、四象限，故选项B不符合题意；
当x＜0，y随x的增大而增大，故选项C符合题意；
当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意；
故选：C．
2．（2021•大连）下列说法正确的是（ ）
①反比例函数y=2x中自变量x的取值范围是x≠0；
②点P（﹣3，2）在反比例函数y=−6x的图象上；
③反比例函数y=3x的图象，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】A
【解析】解：①反比例函数y=2x中自变量x的取值范围是x≠0，故说法正确；
②因为﹣3×2＝﹣6，故说法正确；
③因为k＝3＞0，反比例函数y=3x的图象，在每一个象限内，y随x的增大而减小，故说法错误；
故选：A．
3．（2021•兴安盟）点（﹣5，y1），（﹣3，y2），（3，y3）都在反比例函数y=kx（k＞0）的图象上，则（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y3＞y1＞y2C．y2＞y1＞y3D．y1＞y3＞y2
【答案】B
【解析】解：∵反比例函数y=kx中k＞0，
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵﹣5＜﹣3＜0，
∴0＞y1＞y2，
∵3＞0，
∴y3＞0，
∴y3＞y1＞y2，
故选：B．
4．（2021•济南）反比例函数y=kx（k≠0）图象的两个分支分别位于第一、三象限，则一次函数y＝kx﹣k的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：∵反比例函数y=kx（k≠0）图象的两个分支分别位于第一、三象限，
∴k＞0，
∴﹣k＜0，
∴一次函数y＝kx﹣k的图象图象经过第一、三、四象限，
故选：D．
5．（2021•朝阳）如图，O是坐标原点，点B在x轴上，在△OAB中，AO＝AB＝5，OB＝6，点A在反比例函数y=kx（k≠0）图象上，则k的值（ ）
A．﹣12B．﹣15C．﹣20D．﹣30
【答案】A
【解析】解：过A点作AC⊥OB，
∵AO＝AB，AC⊥OB，OB＝6，
∴OC＝BC＝3，
在Rt△AOC中，OA＝5，
∵AC=OA2−AC2=52−32=4，
∴A（﹣3，4），
把A（﹣3，4）代入y=kx，可得k＝﹣12，
故选：A．
6．（2021•梧州）如图，在同一平面直角坐标系中，直线y＝t（t为常数）与反比例函数y1=4x，y2=−1x的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，则△OAB的面积为（ ）
A．5tB．5t2C．52D．5
【答案】C
【解析】解：如图，设AB交y轴于T．
∵AB⊥y轴，
∴S△OBT=12，S△OAT=42=2，
∴S△AOB＝S△OBT+S△OAT=12+2=52，
故选：C．
7．（2021•遵义）已知反比例函数y=kx（k≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝kx+2的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限
C．第一、二、四象限D．第二、三、四象限
【答案】C
【解析】解：由反比例函数图象经过二、四象限，可知，k＜0，
∴y＝kx+2的图象经过一、二、四象限．
故选：C．
8．（2021•营口）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边BC与x轴平行，A，B两点纵坐标分别为4，2，反比例函数y=kx经过A，B两点，若菱形ABCD面积为8，则k值为（ ）
A．﹣83B．﹣23C．﹣8D．﹣63
【答案】A
【解析】解：方法一：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AD∥BC，
∵A、B两点的纵坐标分别是4、2，反比例函数y=kx经过A、B两点，
∴xB=k2，xA=k4，即A（k4，4），B（k2，2），
∴AB2＝（k4−k2）2+（4﹣2）2=k216+4，
∴BC＝AB=k216+4，
又∵菱形ABCD的面积为8，
∴BC×（yA﹣yB）＝8，
即k216+4×（4﹣2）＝8，
整理得k216+4=4，
解得k＝±83，
∵函数图象在第二象限，
∴k＜0，即k＝﹣83，
方法二：过点A作AE⊥BC于点E，
∵A、B两点的纵坐标分别是4、2，
∴AE＝4﹣2＝2，
∵菱形ABCD的面积为8，
∴BC•AE＝8，
∴BC＝4，
∴AB＝BC＝4，
∴BE=AB2−AE2=42−22=23，
设A点坐标为（a，4），则B点的坐标为（a﹣23，2），
∵反比例函数y=kx经过A、B两点，
∴4=ka2=ka−23，
解得k=−83a=−23，
故选：A．
9．（2021•威海）一次函数y1＝k1x+b（k1≠0）与反比例函数y2=k2x（k2≠0）的图象交于点A（﹣1，﹣2），点B（2，1）．当y1＜y2时，x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣1B．﹣1＜x＜0或x＞2
C．0＜x＜2D．0＜x＜2或x＜﹣1
【答案】D
【解析】解：∵一次函数和反比例函数相交于A，B两点，
∴根据A，B两点坐标，可以知道反比例函数位于第一、三象限，
画出反比例函数和一次函数草图，如图1，
由题可得，当y1＝y2时，x＝﹣1或2，
由图可得，当y1＜y2时，0＜x＜2或x＜﹣1，
故选：D．
10．（2021•扬州）如图，点P是函数y=k1x（k1＞0，x＞0）的图象上一点，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A、B，交函数y=k2x（k2＞0，x＞0）的图象于点C、D，连接OC、OD、CD、AB，其中k1＞k2．下列结论：①CD∥AB；②S△OCD=k1−k22；③S△DCP=(k1−k2)22k1，其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①
【答案】B
【解析】解：∵PB⊥y轴，PA⊥x轴，点P在y=k1x上，点C，D在y=k2x上，
设P（m，k1m），
则C（m，k2m），A（m，0），B（0，k1m），令k1m=k2x，
则x=k2mk1，即D（k2mk1，k1m），
∴PC=k1m−k2m=k1−k2m，PD=m−k2mk1=m(k1−k2)k1，
∵PDPB=m(k1−k2)k1m=k1−k2k1，PCPA=k1−k2mk1m=k1−k2k1，即PDPB=PCPA，
又∠DPC＝∠BPA，
∴△PDC∽△PBA，
∴∠PDC＝∠PBA，
∴CD∥AB，故①正确；
△PDC的面积=12×PD×PC=(k1−k2)22k1，故③正确；
S△OCD＝S四边形OAPB﹣S△OCA﹣S△OBD﹣S△DPC
=k1−12k2−12k2−(k1−k2)22k1
=k12−k222k1，故②错误；
故选：B．
二．填空题（共6小题）
11．（2021•阿坝州）如图，点A，B在反比例函数y=kx（k＞0）的图象上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，OA⊥AB，则k的值为 8 ．
【答案】8
【解析】解：过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥AM于N，
∵∠OAB＝90°，
∴∠OAM+∠BAN＝90°，
∵∠AOM+∠OAM＝90°，
∴∠BAN＝∠AOM，
∴△AOM∽△BAN，
∴AMBN=OMAN，
∵点A，B在反比例函数y=kx（k＞0）的图象上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，
∴A（2，k2），B（k，1），
∴OM＝2，AM=k2，AN=k2−1，BN＝k﹣2，
∴k2k−2=2k2−1，
解得k1＝2（舍去），k2＝8，
∴k的值为8，
故答案为：8．
12．（2021•陕西）若点A（a，3）、B（5a，b）在同一个反比例函数的图象上，则b的值为 35 ．
【答案】35
【解析】解：∵点A（a，3）、B（5a，b）在同一个反比例函数的图象上，
∴3a＝5ab，
解得b=35，
故答案为：35．
13．（2021•日照）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边OC、OA分别在x轴和y轴上，OA＝10，点D是边AB上靠近点A的三等分点，将△OAD沿直线OD折叠后得到△OA′D，若反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过A′点，则k的值为 48． ．
【答案】48
【解析】解：过A′作EF⊥OC于F，交AB于E，
∵∠OA′D＝90°，
∴∠OA′F+∠DA′E＝90°，
∵∠OA′F+∠A′OF＝90°，
∴∠DA′E＝∠A′OF，
∵∠A′FO＝∠DEA′，
∴△A′OF∽△DA′E，
∴OFA′E=A′FDE=OA′A′D，
设A′（m，n），
∴OF＝m，A′F＝n，
∵正方形OABC的边OC、OA分别在x轴和y轴上，OA＝10，点D是边AB上靠近点A的三等分点，
∴DE＝m−103，A′E＝10﹣n，
∴m10−n=nm−103=3，
解得m＝6，n＝8，
∴A′（6，8），
∵反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过A′点，
∴k＝6×8＝48，
故答案为48．
14．（2021•巴中）如图，平行于y轴的直线与函数y1=kx（x＞0）和y2=2x（x＞0）的图象分别交于A、B两点，OA交双曲线y2=2x于点C，连接CD，若△OCD的面积为2，则k＝ 8 ．
【答案】8
【解析】解一：设A（m，km），则B（m，2m），D（m，0），设C（n，2n），
∵S△OCD=12OD•yc=12•m•2n=2，
∴mn=2，
∴nm=12．
又S△OCD＝S△OAD﹣S△ACD
=12k−12•km•（m﹣n）
=12k（1−m−nm）
=12k•nm
=14k，
∴14k＝2，
∴k＝8．
解二：如图，过点C作CE⊥x轴于E，
∵点C在双曲线y2=2x上，
∴S△OCE＝1，
∵S△OCD＝2，
∴S△ECD＝S△OCE＝1，
∴点E为OD的中点，
∵CE∥AD，
∴点C是OA的中点，
∴S△OAD＝2S△OCD＝4，
∵函数y1=kx（x＞0）的图象过点A，AD⊥x轴，
∴k＝8．
故答案为：8．
15．（2021•黄石）如图，A、B两点在反比例函数y=−3x（x＜0）的图象上，AB的延长线交x轴于点C，且AB＝2BC，则△AOC的面积是 6 ．
【答案】6
【解析】解：过A作AH⊥OC，过B作BG⊥OC，
∵A、B两点在反比例函数y=−3x（x＜0）的图象上，
∴设A（x，−3x），S△AOH=32，
∵AB＝2BC，
∴BGAH=CBCA=13，CGHG=CBAB=12，
∴BG=13AH，HG＝2CG
∴点B的纵坐标为−1x，代入反比例函数中得点B的坐标为（3x，−1x），
∴OG＝﹣3x，HG＝﹣2x，CG＝﹣x，则OC＝﹣4x，
∴S△AOC=12⋅OC⋅AH=12•（﹣4x）•（−3x）＝6
故答案为：6．
16．（2021•荆州）如图，过反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）图象上的四点P1，P2，P3，P4分别作x轴的垂线，垂足分别为A1，A2，A3，A4，再过P1，P2，P3，P4分别作y轴，P1A1，P2A2，P3A3的垂线，构造了四个相邻的矩形．若这四个矩形的面积从左到右依次为S1，S2，S3，S4，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，则S1与S4的数量关系为 S1＝4S4 ．
【答案】S1＝4S4
【解析】解：∵过双曲线上任意一点、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积S是个定值，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，
∴S1＝k，S2=12k，S3=13k，S4=14k，
∴S1＝4S4．
故答案为：S1＝4S4．
三．解答题（共8小题）
17．（2021•阿坝州）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y=12x（x＞0）的图象交于A（m，6），B（n，3）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
【解析】解：（1）把A（m，6），B（n，3）两点坐标代入y=12x（x＞0）可得m＝2，n＝4，
∴A（2，6），B（4，3），
∵一次函数y＝kx+b的图象经过点A、B，
∴2k+b=64k+b=3，解得k=−32b=9，
∴一次函数的解析式为y=−32x+9．
（2）设直线与x轴的交点为C，
把y＝0代入y=−32x+9，则−32x+9＝0，解得x＝6，
∴C（6，0），
∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC=12×6×6−12×6×3=9．
18．（2021•兰州）如图，一次函数y=−12x+b与反比例函数y=−10x(x＜0)，y=kx（x＞0）的图象分别交于点A（﹣2，m），B（4，n），与y轴交于点C，连接OA，OB．
（1）求一次函数y=−12x+b和反比例函数y=kx（x＞0）的表达式；
（2）求△AOB的面积．
【解析】解：（1）∵点A在反比例函数y=−10x上，
∴﹣2m＝﹣10，
解得m＝5，
∴点A坐标为（﹣2，5）．
把（﹣2，5）代入y=−12x+b得5＝1+b，
解得b＝4，
∴一次函数表达式为y=−12x+4，
把B（4，n）代入y=−12x+4得n＝﹣2+4＝2，
∴点B坐标为（4，2），
∵点B在反比例函数y=kx图象上，
∴k＝4×2＝8，
∴反比例函数表达式为y=8x．
（2）把x＝0代入y=−12x+4得y＝4，
∴点C坐标为（0，4），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC=12×4×2+12×4×4＝12．
19．（2021•盘锦）如图，直线y=45x−45交x轴于点M，四边形OMAE是矩形，S矩形OMAE＝4，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点A，EA的延长线交直线y=45x−45于点D．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点B在x轴上，且AB＝AD，求点B的坐标．
【解析】解：（1）∵S矩形OMAE＝4，即|k|＝4，
又∵k＞0，
∴k＝4，
∴反比例函数的关系式为y=4x；
（2）当y＝4时，即4=45x−45，
解得x＝6，
即D（6，4），而A（1，4），
∴AD＝DE﹣AE＝6﹣1＝5，
由于AB＝AD＝5，AM＝4，点B在x轴上，
在Rt△AMB中，由勾股定理得，
MB=52−42=3，
①当点B在点M的左侧时，
点B的横坐标为1﹣3＝﹣2，
∴点B（﹣2，0），
②当点B在点M的右侧时，
点B的横坐标为1+3＝4，
∴点B（4，0），
因此点B的坐标为（﹣2，0）或（4，0）．
20．（2021•鞍山）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，与反比例函数y=k2x的图象在第二象限交于C，D（﹣6，2）两点，DE∥OC交x轴于点E，若ADAC=13．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式．
（2）求四边形OCDE的面积．
【解析】解：（1）将D（﹣6，2）代入y=k2x中，
k2＝﹣6×2＝﹣12，
∴反比例函数的解析式为y=−12x；
过点D作DM⊥x轴，过点C作CN⊥x轴，
∵DE∥OC，
∴△ADE∽△ACO，
∴ADAC=AEAO=DMCN=13，
∴CN＝3DM＝6，
将y＝6代入y=−12x中，
−12x=6，
解得：x＝﹣2，
∴C点坐标为（﹣2，6），
将C（﹣2，6），D（﹣6，2）代入y＝k1x+b中，
可得−2k1+b=6−6k1+b=2，
解得：k1=1b=8，
∴一次函数的解析式为y＝x+8；
（2）解法一：设直线OC的解析式为y＝mx，
将C（﹣2，6）代入，得：﹣2m＝6，
解得：m＝﹣3，
∴直线OC的解析式为y＝﹣3x，
由DE∥OC，设直线DE的解析式为y＝﹣3x+n，
将D（﹣6，2）代入可得：﹣3×（﹣6）+n＝2，
解得：n＝﹣16，
∴直线DE的解析式为y＝﹣3x﹣16，
当y＝0时，﹣3x﹣16＝0，
解得：x=−163，
∴E点坐标为（−163，0），
∴OE=163，
在y＝x+8中，当y＝0时，x+8＝0，
解得：x＝﹣8，
∴A点坐标为（﹣8，0），
∴OA＝8，
∴AE＝8−163=83，
S四边形OCDE＝S△AOC﹣S△AED
=12OA⋅CN−12AE⋅DM
=12×8×6−12×83×2
＝24−83
=643．
解法二：在y＝x+8中，当y＝0时，x＝﹣8，
∴A点坐标为（﹣8，0），
又∵DE∥OC，
∴△ADE∽△ACO，
∴ADAC=AEAO=13，
∴AE=13AO=83，
∴S四边形OCDE＝S△AOC﹣S△AED
=12OA⋅CN−12AE⋅DM
=12×8×6−12×83×2
＝24−83
=643．
21．（2021•淄博）如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝k1x+b与双曲线y2=k2x相交于A（﹣2，3），B（m，﹣2）两点．
（1）求y1，y2对应的函数表达式；
（2）过点B作BP∥x轴交y轴于点P，求△ABP的面积；
（3）根据函数图象，直接写出关于x的不等式k1x+b＜k2x的解集．
【解析】解：（1）∵直线y1＝k1x+b与双曲线y2=k2x相交于A（﹣2，3），B（m，﹣2）两点，
∴3=k2−2，解得：k2＝﹣6，
∴双曲线的表达式为：y2=−6x，
∴把B（m，﹣2）代入y2=−6x，得：−2=−6m，解得：m＝3，
∴B（3，﹣2），
把A（﹣2，3）和B（3，﹣2）代入y1＝k1x+b得：−2k1+b=33k1+b=−2，
解得：k1=−1b=1，
∴直线的表达式为：y1＝﹣x+1；
（2）过点A作AD⊥BP，交BP的延长线于点D，如图
∵BP∥x轴，
∴AD⊥x轴，BP⊥y轴，
∵A（﹣2，3），B（3，﹣2），
∴BP＝3，AD＝3﹣（﹣2）＝5，
∴S△ABP=12BP⋅AD=12×3×5=152；
（3）k1x+b＜k2x的解集，则是双曲线的图象在一次函数的图象的上方对应的x的取值，
故其解集为：﹣2＜x＜0或x＞3．
22．（2021•随州）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数y2=mx（m＞0）的图象交于点C（1，2），D（2，n）．
（1）分别求出两个函数的解析式；
（2）连接OD，求△BOD的面积．
【解析】解：（1）由y2=mx过点C（1，2）和D（2，n）可得：
2=m1n=m2，
解得：m=2n=1，
故y2=2x，
又由y1＝kx+b过点C（1，2）和D（2，1）可得：
k+b=22k+b=1，
解得k=−1b=3，
故y1＝﹣x+3．
（2）由y1＝﹣x+3过点B，可知B（0，3），
故OB＝3，
而点D到y轴的距离为2，
∴S△BOD=12×3×2=3．
23．（2021•恩施州）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，坐标原点是BC的中点，∠ABC＝30°，BC＝4，双曲线y=kx经过点A．
（1）求k；
（2）直线AC与双曲线y=−33x在第四象限交于点D，求△ABD的面积．
【解析】解：（1）如图，作AH⊥BC于H，
t△ABC的斜边BC在x轴上，坐标原点是BC的中点，∠ABC＝30°，BC＝4，
∴OC=12BC＝2，AC＝BC×sin30°＝2，
∵∠HAC+∠ACO＝90°，∠ABC+∠ACO＝90°，
∴∠HAC＝∠ABC＝30°，
∴CH＝AC×sin30°＝1，AH＝AC×cs30°=3，
∴OH＝OC﹣CH＝2﹣1＝1，
∴A（1，3），
∵双曲线y=kx经过点A，
∴3=k1，
即k=3；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∵A（1，3），C（2，0），
∴0=2k+b3=k+b，
解得k=−3b=23，
∴直线AC的解析式为y=−3x+23，
∵直线AC与双曲线y=−33x在第四象限交于点D，
∴y=−3x+23y=−33x，
解得x=3y=−3或x=−1y=33，
∵D在第四象限，
∴D（3，−3），
∴S△ABD＝S△ABC+S△BCD=12BC•AH+12BC•（﹣yD）=12×4×3+12×4×3=43．
24．（2021•菏泽）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在坐标轴上，且OA＝2，OC＝4，连接OB．反比例函数y=k1x（x＞0）的图象经过线段OB的中点D，并与AB、BC分别交于点E、F．一次函数y＝k2x+b的图象经过E、F两点．
（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；
（2）点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，点P的坐标为 （175，0） ．
【解析】解：（1）∵四边形OABC为矩形，OA＝BC＝2，OC＝4，
∴B（4，2）．
由中点坐标公式可得点D坐标为（2，1），
∵反比例函数y=k1x（x＞0）的图象经过线段OB的中点D，
∴k1＝xy＝2×1＝2，
故反比例函数表达式为y=2x．
令y＝2，则x＝1；令x＝4，则y=12．
故点E坐标为（1，2），F（4，12）．
设直线EF的解析式为y＝k2x+b，代入E、F坐标得：
2=k2+b12=4k2+b，解得：k2=−12b=52．
故一次函数的解析式为y=−12x+52．
（2）作点E关于x轴的对称点E'，连接E'F交x轴于点P，则此时PE+PF最小．如图．
由E坐标可得对称点E'（1，﹣2），
设直线E'F的解析式为y＝mx+n，代入点E'、F坐标，得：
−2=m+n12=4m+n，解得：m=56n=−176．
则直线E'F的解析式为y=56x−176，
令y＝0，则x=175．
∴点P坐标为（175，0）．
故答案为：（175，0）．