高三数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)1.4.1均值不等式及其应用(题型战法)(原卷版+解析)

这是一份高三数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)1.4.1均值不等式及其应用(题型战法)(原卷版+解析)，共27页。试卷主要包含了均值不等式相关拓展推式等内容，欢迎下载使用。
知识梳理
1．算术平均值与几何平均值
给定两个正数，数称为的算术平均值；数称为的几何平均值．
2．均值不等式
如果都是正数，那么，当且仅当时，等号成立．
3.均值不等式求最值得关键在于“一正二定三相等”
一正：各项必须为正。
二定：要求积的最大，其和必为定值，要求和的最小，其积必为定
三等：必须验证等号成立的条件。
4.均值不等式相关拓展推式：
（1）
（2）
（3）
（4）
题型战法
题型战法一 均值不等式的内容及辨析
典例1．下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
变式1-1．已知x，y都是正数，且，则下列选项不恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
变式1-2．已知，，则下列式子一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
变式1-3．对于，，下列不等式中不成立的是（ ）
A．B．
C．D．
变式1-4．若a＞0，b＞0，且a≠b，则（ ）
A．＜＜B．＜＜
C．＜＜D．＜＜
题型战法二 均值不等式的简单应用
典例2．若，且，则的最大值为（ ）
A．4B．2C．D．
变式2-1．已知，且，则的最大值为（ ）
A．2B．5C．D．
变式2-2．已知，，，则的最大值为（ ）
A．0B．C．D．1
变式2-3．设，，若和的等差中项是0，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．
变式2-4．已知，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
题型战法三 均值不等式相关拓展公式的应用
典例3．已知正数，满足，则下列结论错误的是（ ）．
A．B．
C．D．
变式3-1．若，且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
变式3-2．若，，且，则（ ）
A．B．C．D．
变式3-3．已知
A．B．C．D．
变式3-4．已知，，，则下列各式中正确的是（ ）
A．B．1C．2D．1
题型战法四 均值不等式“1”的妙用
典例4．已知，，，则的最小值为（ ）
A．B．12C．D．6
变式4-1．已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A．6B．8C．16D．20
变式4-2．若正实数，满足，则的最小值是（ ）
A．4B．C．5D．9
变式4-3．已知，，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
变式4-4．设，为正数，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
题型战法五 对勾函数与均值定理的关系与区别
典例5．下列结论正确的是（ ）
A．当且时，
B．当时，的最小值为4
C．当时，
D．当时，
变式5-1．下列不等式中，一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
变式5-2．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．有最小值4B．有最大值4C．有最小值D．有最大值
变式5-3．若，则的（ ）
A．最小值为0B．最大值为4
C．最小值为4D．最大值为0
变式5-4．已知时，函数的最小值为（ ）
A．B．5C．4D．3
题型战法六 分式最值问题
典例6．已知，则有
A．最大值B．最小值C．最大值2D．最小值2
变式6-1．若，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
变式6-2．若 ，则有（ ）
A．最大值B．最小值C．最大值D．最小值
变式6-3．设正实数、、满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
变式6-4．已知正实数、、满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
题型战法七 均值不等式的综合应用
典例7．已知直线过圆的圆心，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
变式7-1．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c．若，当角A取最大值时，则（ ）
A．B．C．D．
变式7-2．等比数列的各项都是正数，等差数列满足，则（ ）
A．B．C．D．大小不定
变式7-3．函数的最小值为( )
A．0B．1C．2D．-1
变式7-4．如图，在中，是线段上的一点，且，过点的直线分别交直线，于点，，若，，则的最小值是（ ）
A．B．
C．D．
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
1.4.1 均值不等式及其应用（题型战法）
知识梳理
1．算术平均值与几何平均值
给定两个正数，数称为的算术平均值；数称为的几何平均值．
2．均值不等式
如果都是正数，那么，当且仅当时，等号成立．
3.均值不等式求最值得关键在于“一正二定三相等”
一正：各项必须为正。
二定：要求积的最大，其和必为定值，要求和的最小，其积必为定
三等：必须验证等号成立的条件。
4.均值不等式相关拓展推式：
（1）
（2）
（3）
（4）
题型战法
题型战法一 均值不等式的内容及辨析
典例1．下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据不等式成立的条件依次判断各选项即可得答案.
【详解】
解：对于A选项，当时，不等式显然不成立，故错误；
对于B选项，成立的条件为，故错误；
对于C选项，当时，不等式显然不成立，故错误；
对于D选项，由于，故，正确.
故选：D
变式1-1．已知x，y都是正数，且，则下列选项不恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据基本不等式判断．
【详解】
x，y都是正数，
由基本不等式，，，，这三个不等式都是当且仅当时等号成立，而题中，因此等号都取不到，所以ABC三个不等式恒成立；
中当且仅当时取等号，如即可取等号，D中不等式不恒成立．
故选：D．
变式1-2．已知，，则下列式子一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用基本不等式可判断各选项的正误.
【详解】
对于A选项，由基本不等式可得，A错；
对于B选项，因为，所以，
所以，，故，B错；
对于C选项，因为，，由基本不等式可得，
所以，，C错；
对于D选项，因为，，
由不等式的性质可得，则，
所以，，D对.
故选：D.
变式1-3．对于，，下列不等式中不成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用基本不等式即可求解.
【详解】
对于A，令a＝－， b＝－，
则＋＝－a－b＝－(a＋b)≤－2＝－，当且仅当取等号，不成立；
对于B， >0, >0，所以＋≥2，当且仅当取等号，成立；
对于C，st＝(－s)(－t)≤，当且仅当取等号，成立；
对于D，，
当且仅当取等号，成立．
故选：A
变式1-4．若a＞0，b＞0，且a≠b，则（ ）
A．＜＜B．＜＜
C．＜＜D．＜＜
【答案】B
【解析】
利用基本不等式或作差法判断选项.
【详解】
∵a，b∈R+，且a≠b，
∴a+b＞2，∴＜，
而＝＞0，
∴＜，
故选：B
题型战法二 均值不等式的简单应用
典例2．若，且，则的最大值为（ ）
A．4B．2C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用基本不等式计算可得；
【详解】
解：因为，且，所以，当且仅当时取等号；
故选：A
变式2-1．已知，且，则的最大值为（ ）
A．2B．5C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
直接由基本不等式求解即可.
【详解】
因为，所以，当且仅当时，等号成立.
所以的最大值为.
故选：D
变式2-2．已知，，，则的最大值为（ ）
A．0B．C．D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
利用对数运算性质和基本不等式即可求解：.
【详解】
∵，，，
∴，当且仅当a＝b＝1时，取等号.
故选：A.
变式2-3．设，，若和的等差中项是0，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知求出，再利用基本不等式求解.
【详解】
解：因为和的等差中项是，所以，
所以，当且仅当时取等号.
所以的最小值为2.
故选：B
变式2-4．已知，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用基本不等式可求得结果.
【详解】
因为，，，则，
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.
故选：D.
题型战法三 均值不等式相关拓展公式的应用
典例3．已知正数，满足，则下列结论错误的是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
A、B、C选项结合均值不等式证明即可，D选项举出反例即可说明错误.
【详解】
A：，当且仅当时，等号成立，又因为，所以，即，故A正确；
B：，当且仅当时，等号成立，因为，所以，故B正确；
C：，当且仅当时，等号成立，所以，故C正确；
D：若，则，故D错误；
故选：D.
变式3-1．若，且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用基本不等式对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
依题意，且，
所以，所以，所以A选项错误.
，所以B选项正确.
，所以C选项错误.
，所以D选项错误.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题.
变式3-2．若，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据已知条件利用基本不等式分析判断即可
【详解】
因为，，且，
所以，所以，当且仅当时取等号，所以B错误，
所以由，得，所以，当且仅当时取等号，所以C正确，
所以，当且仅当时取等号，所以A错误，
由，，且，得，当且仅当时取等号，所以D错误，
故选：C
变式3-3．已知
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【详解】
本小题主要考查不等式的重要不等式知识的运用．由,且，∴，∴ ．
变式3-4．已知，，，则下列各式中正确的是（ ）
A．B．1C．2D．1
【答案】C
【解析】
【分析】
利用特殊值排除错误选项，利用基本不等式证明正确选项.
【详解】
当时，，所以AB选项错误，
同时，所以D选项错误.
对于C选项，由基本不等式得，
当且仅当时等号成立.
所以C选项正确.
故选：C
题型战法四 均值不等式“1”的妙用
典例4．已知，，，则的最小值为（ ）
A．B．12C．D．6
【答案】A
【解析】
【分析】
根据基本不等中“1”的用法，即可求出结果.
【详解】
因为，，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：A.
变式4-1．已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A．6B．8C．16D．20
【答案】C
【解析】
【分析】
运用的“的妙用”和基本不等式即可求解.
【详解】
由已知条件得
，
当且仅当，时，即，时等号成立.
故选：.
变式4-2．若正实数，满足，则的最小值是（ ）
A．4B．C．5D．9
【答案】B
【解析】
【分析】
本题利用“1”的妙用技巧进行替换，然后利用基本不等式求解.
【详解】
解：因为，是正实数，所以
故有，
当且仅当，即，时取到等号.
故选：B.
变式4-3．已知，，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意得，，再根据基本不等式乘“”法即可得最小值.
【详解】
由题可知，乘“”得，当且仅当时，取等号，则的最小值为.
故选：A
变式4-4．设，为正数，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
将拼凑为，利用“1”的妙用及其基本不等式求解即可.
【详解】
∵，
∴，即，
∴
，当且仅当，且时，即
，时等号成立.
故选：.
题型战法五 对勾函数与均值定理的关系与区别
典例5．下列结论正确的是（ ）
A．当且时，
B．当时，的最小值为4
C．当时，
D．当时，
【答案】C
【解析】
【分析】
A选项：取特值，当时，，∴，由此可判断；
B选项：当时，，由此可判断；
C选项：根据基本不等式，再验证等号成立的条件可判断；
D选项：取特值，计算可判断.
【详解】
解：A选项：当时，，∴，故A错误；
B选项：当时，，∴当时，，故B错误；
C选项：当时，，∴，当且仅当时，取等号，故C正确；
D选项：当，时，，，故D错误.
故选：C.
变式5-1．下列不等式中，一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
利用基本不等式或反例逐项检验可得正确的选项.
【详解】
对于A，取，则，故A错.
对于B，取，则，故B错..
对于C，取，则，故C错.
对于D，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，
故选：D.
变式5-2．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．有最小值4B．有最大值4C．有最小值D．有最大值
【答案】D
【解析】
根据基本不等式即可求出．
【详解】
解：，，
，
当且仅当，即时取等号，
有最大值.
故选：D．
变式5-3．若，则的（ ）
A．最小值为0B．最大值为4
C．最小值为4D．最大值为0
【答案】D
【解析】
【分析】
结合拼凑法和基本不等式即可求解
【详解】
因为，所以，
则，
当且仅当，即时取等号，此时取得最大值0，
故选：D．
变式5-4．已知时，函数的最小值为（ ）
A．B．5C．4D．3
【答案】C
【解析】
根据基本不等式，即可求出函数的最小值.
【详解】
当时，，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：C.
【点睛】
易错点睛：
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
题型战法六 分式最值问题
典例6．已知，则有
A．最大值B．最小值C．最大值2D．最小值2
【答案】D
【解析】
【详解】
依题意，类比对钩函数的性质可知，当，即时，函数取得最小值为.
点睛：本题主要考查分离常数法，考查对钩函数的性质.对于分子分母都有的式子，可以采用分离常数的方法，将分子变简单.对钩函数在区间上递减，在上递增，而函数是由函数图像整体向右平移两个单位所得，故时，函数取得最小值为.
变式6-1．若，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
将所求的代数式整理为，再利用基本不等式即可求解.
【详解】
因为，所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
故选：B.
变式6-2．若 ，则有（ ）
A．最大值B．最小值C．最大值D．最小值
【答案】A
【解析】
【分析】
将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得.
【详解】
因，则，
于是得，当且仅当，即时取“=”，
所以当时，有最大值.
故选：A
变式6-3．设正实数、、满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
计算得出，利用基本不等式可求得的最大值.
【详解】
因为正实数、、满足，则，
则，当且仅当时取等号.
故的最大值为.
故选：C.
变式6-4．已知正实数、、满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
由可得出，利用不等式的性质结合基本不等式可求得的最小值.
【详解】
，，，
由于、、均为正数，则，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，的最小值是.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于中等题.
题型战法七 均值不等式的综合应用
典例7．已知直线过圆的圆心，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由圆的方程确定圆心，代入直线方程可得，由，利用基本不等式可求得结果.
【详解】
由圆的方程知：圆心；
直线过圆的圆心，；
（当且仅当，即时取等号），
的最小值为.
故选：A.
变式7-1．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c．若，当角A取最大值时，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意可得，结合余弦定理可得时,角A最大，即有 ，由此化简，结合同角的三角函数的关系式，求得答案.
【详解】
由题意得，，
故，当且仅当时取等号，
即时,角A最大,此时，
故，
而,所以，
故选：B．
变式7-2．等比数列的各项都是正数，等差数列满足，则（ ）
A．B．C．D．大小不定
【答案】B
【解析】
【分析】
利用等比中项、等差中项，结合基本不等式求解.
【详解】
因为数列是各项都为正数的等比数列，
所以成等比数列，
所以，
又数列是等差数列，
所以成等差数列，
所以，
又因为，
所以，
故选：B
变式7-3．函数的最小值为( )
A．0B．1C．2D．-1
【答案】B
【解析】
【分析】
利用余弦二倍角公式将函数解析式构造为可以使用基本不等式的形式即可利用基本不等式求其最小值．
【详解】
∵，
当且仅当，即时取等号﹒
故选：B．
变式7-4．如图，在中，是线段上的一点，且，过点的直线分别交直线，于点，，若，，则的最小值是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平面向量基本定理，以及三点共线，可确定的关系，即 ，可得，再利用基本不等式求最值即可．
【详解】
由条件可得，
∵，
∴，
因为三点共线，
∴，
∴，
∵，
∴，则；
当且仅当，即时取等号，
故的最小值是；
故选：C．