高三数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)2.3.2函数的周期性与对称性(针对练习)(原卷版+解析)

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针对练习一 周期性与对称性的判断
1．下列函数中，既是奇函数又是周期函数的是
A．B．C．D．
2．已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A．是奇函数B．是偶函数
C．是周期函数D．没有最大值
3．函数的图像关于（ ）
A．轴对称B．直线对称
C．坐标原点对称D．直线对称
4．函数与的图象（ ）
A．关于轴对称B．关于轴对称
C．关于原点对称D．关于直线轴对称
5．函数与函数的图象
A．关于直线对称B．关于原点对称
C．关于轴对称D．关于轴对称
针对练习二 由函数周期性求函数值
6．已知在上是奇函数，且满足，当时，，则等于（ ）
A．-2B．2C．-98D．98
7．已知函数是定义在上周期为4的奇函数，当时，，则
A．1B．-1C．0D．2
8．已知函数是上的奇函数，且，且当时，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
9．已知定义在R上的函数满足，当时，，则（ ）
A．5B．C．2D．－2
10．定义在R上的函数，满足，当时，，当时，，则（ ）.
A．403B．405C．806D．809
针对练习三 由函数对称性求函数值
11．设定义在上的奇函数，满足对任意的都有，且当时，，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
12．已知函数是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，当时，，则
A．3B．C．7D．
13．已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
14．函数为偶函数，且图象关于直线对称，，则（ ）
A．3B．4C．D．
15．已知函数对定义域内任意的都有则实数等于（ ）
A．4B．-4C．D．
针对练习四 由周期性与对称性求函数解析式
16．设奇函数的定义域为，且，当时，则在区间上的表达式为
A．B．
C．D．
17．函数y＝f（x）是以2为周期的偶函数，且当x∈（0，1）时，f（x）＝x+1，则在x∈（1，2）时f（x）＝（ ）
A．﹣x﹣3B．3﹣xC．1﹣xD．x+1
18．设函数为偶函数，且；满足，当时，，则当时，
A．B．
C．D．
19．函数的图象与曲线关于轴对称，则（ ）
A．B．
C．D．
20．若函数的图象与的图象关于直线对称，则（ ）
A．B．C．D．
针对练习五 由周期性与对称性比较大小
21．已知函数是奇函数，且，若在上是增函数，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
22．已知定义在上的函数满足下列三个条件：
①对任意的，都有；②的图象关于轴对称；
③对任意的，都有，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
23．定义在上的函数满足：成立且在上单调递增，设，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
24．已知函数的定义域为，且满足下列三个条件：①任意，当时，都有；②；③是偶函数；若，则的大小关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
25．已知定义在上的函数满足：（1）；（2）；（3） 时，．则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
针对练习六 由抽象函数周期性与对称性求函数值
26．已知是定义域为的偶函数,且满足,,则 ( )
A．B．0C．D．
27．已知函数是上的奇函数,且对任意有是偶函数,且,则.
A．B．0C．1D．2
28．已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且函数与直线有一个交点，则（ ）
A．B．C．D．
29．设定义在R上的函数满足，若，则
A．B．C．D．
30．已知函数对任意的都有.若函数的图象关于对称，且，则（ ）
A．0B．4C．5D．8
第二章 函数
2.3.2 函数的周期性与对称性（针对练习）
针对练习
针对练习一 周期性与对称性的判断
1．下列函数中，既是奇函数又是周期函数的是
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【详解】
根据函数的奇偶性定义可知函数为奇函数，为周期函数，选A.
2．已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A．是奇函数B．是偶函数
C．是周期函数D．没有最大值
【答案】D
【解析】
【分析】
根据指数函数、对数函数的性质直接进行分析即可.
【详解】
因为的定义域为，不关于原点对称，排除A和B；
又因为在上单调递增，
所以易知不是周期函数，排除C，
在上单调递增没有最大值，故D正确，
故选：D.
3．函数的图像关于（ ）
A．轴对称B．直线对称
C．坐标原点对称D．直线对称
【答案】A
【解析】
【分析】
函数，观察知该函数是一个偶函数，解答本题要先证明其是偶函数再由偶函数的性质得出其对称轴是轴.
【详解】
函数的定义域为，
，
是一个偶函数，
由偶函数的性质知函数的图像关于轴对称.
故选：.
【点睛】
本题考点是奇偶函数图象的对称性，考查了偶函数的证明以及偶函数的性质，属于一道基本题.
4．函数与的图象（ ）
A．关于轴对称B．关于轴对称
C．关于原点对称D．关于直线轴对称
【答案】A
【解析】
【分析】
设，得，根据函数与函数之间的对称性可得出正确选项.
【详解】
设，得，由于函数与函数的图象关于轴对称，因此，函数与的图象关于轴对称.
故选A.
【点睛】
本题考查函数图象之间对称性的判断，熟悉两函数关于坐标轴、原点对称的两个函数解析式之间的关系是关键，考查推理能力，属于基础题.
5．函数与函数的图象
A．关于直线对称B．关于原点对称
C．关于轴对称D．关于轴对称
【答案】C
【解析】
【分析】
作出函数与函数的简图，即可得到答案．
【详解】
根据余弦函数的图像，作出函数与函数的简图如下：
由图可得函数与函数的图象关于轴对称，
故答案选C
【点睛】
本题考查余弦函数的图像问题，属于基础题．
针对练习二 由函数周期性求函数值
6．已知在上是奇函数，且满足，当时，，则等于（ ）
A．-2B．2C．-98D．98
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知条件判断出的周期，由此求得的值.
【详解】
由于，所以是周期为的周期函数，所以.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查利用函数的周期性化简求值，属于基础题.
7．已知函数是定义在上周期为4的奇函数，当时，，则
A．1B．-1C．0D．2
【答案】A
【解析】
【详解】
函数是定义在上周期为4的奇函数, ,
又,所以，故选A.
8．已知函数是上的奇函数，且，且当时，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知可求得函数的周期为3，结合函数为奇函数可得即可求解.
【详解】
因为，所以，因此函数的周期为，
所以，
又函数是上的奇函数，所以，
所以，即，
所以原式，
又当时，，可得，因此原式.
故选：B．
9．已知定义在R上的函数满足，当时，，则（ ）
A．5B．C．2D．－2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题中条件，先确定函数以为周期，利用函数周期性，再由给定区间的解析式，即可求出结果.
【详解】
由可得，所以，
因此函数以为周期，又当时，，
所以.
故选：A.
10．定义在R上的函数，满足，当时，，当时，，则（ ）.
A．403B．405C．806D．809
【答案】B
【解析】
【分析】
由函数的周期性计算．
【详解】
由得是周期函数，周期是5，
，，，
，，
所以，
．
故选：B．
针对练习三 由函数对称性求函数值
11．设定义在上的奇函数，满足对任意的都有，且当时，，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用函数的奇偶性和对称性可分别求得和的值，相加即可求得结果.
【详解】
由于函数为上的奇函数，满足对任意的都有，
则，
，
因此，.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性与对称性求函数值，考查计算能力，属于基础题.
12．已知函数是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，当时，，则
A．3B．C．7D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可得，再将化成，即可得到答案；
【详解】
由题意可得，
所以.
故选：D.
【点睛】
本题考查函数的性质，考查运算求解能力与推理论证能力.
13．已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
根据函数的奇偶性，对称性判断函数的周期并求解.
【详解】
因为是定义在上的奇函数，
所以图象的对称中心为，且．
因为，
所以图象的对称轴方程为，
故的周期，
，，
从而，
故选：A．
14．函数为偶函数，且图象关于直线对称，，则（ ）
A．3B．4C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用函数的对称性和偶函数的性质进行求解即可.
【详解】
因为函数的图象关于直线对称，所以，
又因为函数为偶函数，所以，，
而函数的图象关于直线对称，所以.
故选：B
15．已知函数对定义域内任意的都有则实数等于（ ）
A．4B．-4C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据得到关于对称，利用对称轴公式得到答案.
【详解】
则关于对称，故
故选：
【点睛】
本题考查了函数的对称问题，根据确定函数的对称轴是解题的关键.
针对练习四 由周期性与对称性求函数解析式
16．设奇函数的定义域为，且，当时，则在区间上的表达式为
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由，可得原函数的周期，再结合奇偶性，把自变量的范围转化到上，则f (x)在区间上的表达式可求．
【详解】
当时，，
又∵当时，，

又，
函数的周期为，

又∵函数是R上的奇函数，

，
当时，．
故选：B．
【点睛】
本题综合考查函数的周期性､奇偶性，以及函数解析式的求法．要注意函数性质的灵活转化，是中档题．一般这类求函数解析式的题目是求谁设谁，再由周期性或者奇偶性将要求的区间化到所给的区间内．
17．函数y＝f（x）是以2为周期的偶函数，且当x∈（0，1）时，f（x）＝x+1，则在x∈（1，2）时f（x）＝（ ）
A．﹣x﹣3B．3﹣xC．1﹣xD．x+1
【答案】B
【解析】
【分析】
先设x∈（1，2），根据周期性和奇偶性将x转化到（0，1），代入函数解析式，然后根据性质化简求出解析式即可．
【详解】
设x∈（1，2），则﹣x∈（﹣2，﹣1），2﹣x∈（0，1），
∴f（2﹣x）＝2﹣x+1＝3﹣x，
函数y＝f（x）是以2为周期的偶函数，
∴f（x+2）＝f（x），f（﹣x）＝f（x），
则f（2﹣x）＝f（﹣x）＝f（x）＝3﹣x.
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性、周期性等有关性质，同时考查了函数解析式的求解方法，属于基础题．
18．设函数为偶函数，且；满足，当时，，则当时，
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【详解】
试题分析:由可得 ，则当时，
；当 时，， ，
，应选D.
考点：分段函数的解析式及分类整合思想.
【易错点晴】函数的周期性、奇偶性及分类整合思想不仅是中学数学中的重要知识点也是解决许多数学问题的重要思想和方法.本题在求解时,先从题设中的已知条件入手，探究出其周期为 ，再分类求出当时，和当 时函数的解析表达式分别为
和 ，，从而使得问题巧妙获解．
19．函数的图象与曲线关于轴对称，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
任取函数上的一点，先求出点关于轴对称的点坐标为，又点在曲线上，整理即可得出结果.
【详解】
任取函数上的一点，
由函数的图象与曲线关于轴对称，
则点关于轴对称的点坐标为，
又点在曲线上，
可得，
则.
故选：D.
【点睛】
关键点睛：求出点关于轴对称的点坐标是解题的关键.
20．若函数的图象与的图象关于直线对称，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
在函数的图象上任取一点，由对称性的知识可知，点关于直线的对称点在函数的图象上，然后计算即可得解.
【详解】
在函数的图象上任取一点，
则点关于直线对称的点为，
且点在函数的图象上，所以.
故选：C.
【点睛】
本题考查函数的对称性的应用，考查逻辑思维能力和分析能力，属于常考题.
针对练习五 由周期性与对称性比较大小
21．已知函数是奇函数，且，若在上是增函数，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由f（x+2）=﹣f（x），得f（x+4）=f（x），利用函数奇偶性单调性之间的关系，即可比较大小．
【详解】
∵f（x+2）=﹣f（x），函数f（x）是奇函数，
∴f（x+2）=﹣f（x）=f（﹣x），
∴函数f（x）关于x=1对称，
且f（x+4）=f（x），
∴函数是周期为4的周期数列．
∵f（x）在[﹣1，0]上是增函数，
∴f（x）在[﹣1，1]上是增函数，f（x）在[1，2]上是减函数，
f（）=f（4+）=f（）=f（），
∵f（x）在[1，2]上是减函数，且1＜＜，
∴f（1）＞f（）＞f（），
即f（）＜f（）＜f（1），
故选D．
【点睛】
本题主要考查函数值的大小比较，利用函数的奇偶性，对称性和单调性是解决本题的关键，综合考查函数的性质，考查学生的转化意识，属于中档题．
22．已知定义在上的函数满足下列三个条件：
①对任意的，都有；
②的图象关于轴对称；
③对任意的，都有
则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据①可得在上单调递减，根据②可得的图象关于对称，根据③可得周期为，根据单调性、周期性、对称性即可比较大小.
【详解】
因为①对任意的，都有；
可得在上单调递减，
因为②的图象关于轴对称；
可得的图象关于对称，
因为③对任意的，都有，
所以周期为，
因为的图象关于对称，所以，
因为周期为，所以，
因为在上单调递减，，
所以，即，
故选：A.
23．定义在上的函数满足：成立且在上单调递增，设，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由，可得函数周期，将自变量的值利用周期转化到，结合单调性，即得解
【详解】
由题意，，则
，可得函数周期
，，
由于在上单调递增
即
故选：D
【点睛】
本题考查了函数的周期性与单调性综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题
24．已知函数的定义域为，且满足下列三个条件：①任意，当时，都有；②；③是偶函数；若，则的大小关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由条件①确实单调性，条件②确定周期性，条件③确定对称性，由对称性和周期性化自变量到区间上，再由单调性得大小关系、
【详解】
因为任意，当时，都有，所以在上是增函数，
因为，所以，是周期函数，周期是8；
由是偶函数，得的图象关于直线对称，
，，
又，所以．
故选：C．
【点睛】
思路点睛：本题考查函数的奇偶性、单调性、周期性．解题方法一般是利用周期性把自变量化小，再由周期性（或对称性）化自变量到同一个单调区间上，然后由单调性得函数值大小．
25．已知定义在上的函数满足：（1）；（2）；（3） 时，．则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
根据已知可得函数的图象关于直线对称，周期为4，且在上为增函数，得出，，，根据单调性即可比较的大小．
【详解】
解：∵函数满足：
，故函数的图象关于直线对称；
，则，故函数的周期为4；
时，，故函数在上为增函数；
故，，，
而，所以.
故选：B.
【点睛】
本题考查函数的基本性质的应用，考查函数的对称性、周期性和利用函数的单调性比较大小，考查化简能力和转化思想．
针对练习六 由抽象函数周期性与对称性求函数值
26．已知是定义域为的偶函数,且满足,,则 ( )
A．B．0C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
首先求得函数为周期函数,周期为4,故,分别求得,问题得解．
【详解】
解：因为,
所以函数为周期函数,且周期为4,
所以
．
因为是定义域为的偶函数,且,
所以,
当时,,
所以,
当时,,
当时,,
所以,
所以
．
故选A．
【点睛】
本题考查函数的周期性以及奇偶性,比较基础．
27．已知函数是上的奇函数,且对任意有是偶函数,且,则.
A．B．0C．1D．2
【答案】A
【解析】
根据题意，由函数奇偶性的定义分析可得，进而可得，即可得是周期为4的周期函数，据此求出的值，相加即可得答案．
【详解】
解：根据题意，是偶函数，则，
变形可得.
又由是上的奇函数，则，
变形可得，
所以是周期为4得周期函数.
因为是上的奇函数，
所以，
则；
.
故.
故选：A.
【点睛】
本题考查函数的奇偶性与周期性的应用，关键是分析函数的周期性，属于基础题．
28．已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且函数与直线有一个交点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
推导出函数是以为周期的周期函数，并求出以及值，结合周期性可求得所求代数式的值.
【详解】
因为函数为奇函数，为偶函数，所以，
则，所以函数是周期为的周期函数.
因为奇函数的定义域为，所以.
因为函数与直线有一个交点，所以.
所以，，.
所以.
故.
故选：B.
【点睛】
本题考查抽象函数值的计算，涉及函数对称性的应用，推导出函数的周期性是解答的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
29．设定义在R上的函数满足，若，则
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
先由题意推出函数为周期函数且周期为4，则有，然后由和解得，即可得出答案.
【详解】
由题意定义在R上的函数满足，则有，联立解得，则得函数为周期函数且周期为4，则有；又因，则由解得，所以可得.
故选：A.
【点睛】
本题考查了函数周期性的判断与求解，考查了函数周期性的应用，属于一般难度的题.
30．已知函数对任意的都有.若函数的图象关于对称，且，则（ ）
A．0B．4C．5D．8
【答案】D
【解析】
【分析】
由函数的图象关于对称，可得为偶函数，再对赋值可得，从而可得，即的最小正周期为，从而可得.
【详解】
因为的图象关于直线对称，
所以的图象关于直线对称，即为偶函数.
因为，所以，又，
所以，可得，所以的最小正周期为，
所以，，
所以.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查利用函数的奇偶性及周期性，求抽象函数的值，同时考查函数的图象的平移变换，属于中档题.