高三数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)3.1.1导数的运算与几何意义(题型战法)(原卷版+解析)

这是一份高三数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)3.1.1导数的运算与几何意义(题型战法)(原卷版+解析)，共32页。
一 导数的公式及运算
基本初等函数的导数公式表：
2．导数的四则运算法则：
(1) 函数和（或差）的求导法则：设，是可导的，则；
(2) 函数积的求导法则：设，是可导的，则；
(3) 函数的商的求导法则：设，是可导的，，则；
二 导数的几何意义
由导数意义可知，曲线在点的切线的斜率等于．
曲线在点处的切线方程为：
题型战法
题型战法一 导数定义中的极限计算
典例1．已知函数，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
变式1-1．已知函数，则（ ）.
A．B．C．D．
变式1-2．若函数在处可导，且，则（ ）
A．1B．C．2D．
变式1-3．设函数，则（ ）
A．eB．1C．D．
变式1-4．设函数满足，则（ ）
A．B．1C．D．2
题型战法二 导数的四则运算
典例2．下列求导运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
变式2-1．下列求导正确的是（ ）
A．B．
C． D．
变式2-2．下列求导运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
变式2-3．若在R上可导， 则f'(−1) =（ ）
A．16B．54C．－25D．－16
变式2-4．已知，则等于（ ）
A．-4B．2C．1D．-2
题型战法三 导数的复合运算
典例3．设，若在处的导数，则的值为（ ）
A．B．C．1D．
变式3-1．已知函数，则等于（ ）
A．B．2C．D．1
变式3-2．函数的导数为（ ）
A．B．
C．D．
变式3-3．函数的导数为（ ）
A． B． C． D．
变式3-4．函数的导数为（ ）
A． B． C．D．
题型战法四 求曲线切线的斜率（倾斜角）
典例4．曲线在处的切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
变式4-1．曲线在点处的切线的倾斜角为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．120°
变式4-2．过函数图像上一个动点作函数的切线，则切线领斜角范围为（ ）
A． B． C． D．
变式4-3．函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列大小关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
变式4-4．已知函数f（x）在上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
题型战法五 “在”一点求曲线的切线方程
典例5．曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
变式5-1．曲线在横坐标为1的点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
变式5-2．曲线在处的切线方程为（ ）
A．4x－y+8＝0 B．4x+y+8＝0 C．3x－y+6＝0 D．3x+y+6＝0
变式5-3．函数在点处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
变式5-4．曲线在点处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．1
题型战法六 “过”一点求曲线的切线方程
典例6．过点(0，-1)作曲线的切线，则切线方程为
A．x+y+1=0B．x-y-1=0
C．x+2y+2=0D．2x-y-1=0
变式6-1．已知，则过点P(-1，0)且与曲线相切的直线方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
变式6-2．若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（ ）
A．0条B．1条C．2条D．3条
变式6-3．已知函数，过原点作曲线的切线，则直线与曲线及轴围成的图形的面积为（ ）
A．B．C．D．
变式6-4．已知函数，若函数有四个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型战法七 已知切线（斜率）求参数
典例7．若曲线在点处的切线的斜率为，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
变式7-1．若函数的图象在处的切线斜率为，则( )
A．B．C．D．
变式7-2．若曲线在点处的切线与直线平行，则实数a的值为（ ）
A．B．C．D．
变式7-3．若曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A．2B．0C．D．
变式7-4．若曲线在点(1，f(1))的切线为，则有( )
A．，B．，
C．，D．，
题型战法八 两条切线垂直、平行、重合（公切线）问题
典例8．已知函数，．若经过点存在一条直线l与曲线和都相切，则（ ）
A．-1B．1C．2D．3
变式8-1．已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，则（ ）
A．B．C．D．
变式8-2．曲线与曲线的公切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
变式8-3．若曲线与曲线：=有公切线，则实数的最大值为（ ）
A．+B．-C．+D．+
变式8-4．对于三次函数，若曲线在点处的切线与曲线在点处点的切线重合，则（ ）
A．B．C．D．
，为有理数
第三章 导数
3.1.1 导数的运算与几何意义（题型战法）
知识梳理
一 导数的公式及运算
基本初等函数的导数公式表：
2．导数的四则运算法则：
(1) 函数和（或差）的求导法则：设，是可导的，则；
(2) 函数积的求导法则：设，是可导的，则；
(3) 函数的商的求导法则：设，是可导的，，则；
二 导数的几何意义
由导数意义可知，曲线在点的切线的斜率等于．
曲线在点处的切线方程为：
题型战法
题型战法一 导数定义中的极限计算
典例1．已知函数，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【解析】
【分析】
利用导数的定义和求导公式进行求解.
【详解】
由题意，
因为，所以，即；
故选：B.
变式1-1．已知函数，则（ ）.
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据导数的定义，结合指数函数的导数进行求解即可.
【详解】
由，
所以，
故选：D
变式1-2．若函数在处可导，且，则（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据导数的定义进行求解即可．
【详解】
由导数定义可得，
所以．
故选：A．
变式1-3．设函数，则（ ）
A．eB．1C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据极限的运算法则，直接计算得出结果.
【详解】
由题意，所以，
所以原式等于.
故选：B.
变式1-4．设函数满足，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
利用函数的导数的定义求解.
【详解】
解：因为，
，
，
所以，
故选：A
题型战法二 导数的四则运算
典例2．下列求导运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用求导公式进行求解，判断四个选项.
【详解】
，A错误；
，B正确；
，C错误；
，D错误
故选：B
变式2-1．下列求导正确的是（ ）
A．B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据导数的运算法则直接计算即可.
【详解】
对A，，故A错误；
对B，，故B错误；
对C，，故C正确；
对D，，故D错误.
故选：C.
变式2-2．下列求导运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由初等函数导数公式和导数运算法则直接判断各个选项即可.
【详解】
对于A，由对数函数导数运算法则知：，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，D错误.
故选：A.
变式2-3．若在R上可导， 则f'(−1) =（ ）
A．16B．54C．－25D．－16
【答案】D
【解析】
【分析】
先求导函数，即可求出，再根据导函数即可求解.
【详解】
解：，则，解得：，
，
故选:D.
变式2-4．已知，则等于（ ）
A．-4B．2C．1D．-2
【答案】B
【解析】
【分析】
先求导，求出，得到，从而求出.
【详解】
，令得：，
解得：，
所以，

故选：B
题型战法三 导数的复合运算
典例3．设，若在处的导数，则的值为
A．B．C．1D．
【答案】B
【解析】
直接求出原函数的导函数，由列式求解的值．
【详解】
由，得．
由，解得：．
故选：B．
【点睛】
本题考查了简单的复合函数求导，关键是不要忘记对内层函数求导，是基础题．
变式3-1．已知函数，则等于（ ）
A．B．2C．D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
利用复合函数的求导法则即可求解.
【详解】
由已知得，
，
故选：.
变式3-2．函数的导数为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复合函数的求导法则以及导数的四则运算可求得结果.
【详解】
因为，则．
故选：B.
变式3-3．函数的导数为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
利用复合函数的求导法则，直接进行求算即可得答案.
【详解】
∵.
故选：C.
【点睛】
本题考查复合函数的求导法则，考查运算求解能力，求解时注意负号问题.
变式3-4．函数的导数为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
直接求导得到答案.
【详解】
，则.
故选：C.
【点睛】
本题考查了求函数的导数，属于简单题.
题型战法四 求曲线切线的斜率（倾斜角）
典例4．曲线在处的切线的斜率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，结合导数的几何意义与求导公式，即可求解.
【详解】
由，得，故曲线在处的切线的斜率.
故选：D.
变式4-1．曲线在点处的切线的倾斜角为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．120°
【答案】B
【解析】
【分析】
利用导数的几何意义求解.
【详解】
解：因为，
所以，则x=1时，当，
设在点处的切线的倾斜角为，
则，
因为，
所以，
故选：B
变式4-2．过函数图像上一个动点作函数的切线，则切线领斜角范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求得，根据指数函数的性质，得到，即切线的斜率，进而得到，即可求解.
【详解】
由题意，函数，可得，
因为，所以，即切线的斜率，
设切线的倾斜角为，则
又因为，所以或，
即切线的倾斜角的范围为.
故选：B.
变式4-3．函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列大小关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由导数的几何意义判断
【详解】
由图象可知在上单调递增，，
故，即
故选：B
变式4-4．已知函数f（x）在上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据图象在上函数的增长越来越快，再结合求解.
【详解】
因为函数的增长越来越快，所以函数在该点的斜率越来越大，
又，所以，
故选：A
题型战法五 “在”一点求曲线的切线方程
典例5．曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求导，根据导数的几何意义求出切线的斜率，再根据点斜式即可得解.
【详解】
解：，
当时，，
所以切线方程为，即.
故选：A.
变式5-1．曲线在横坐标为1的点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据导数的几何意义即可求解.
【详解】
解：因为，所以，
所以切线的斜率，
又，所以切点坐标为，
所以切线方程为，即，
故选：D.
变式5-2．曲线在处的切线方程为（ ）
A．4x－y+8＝0B．4x+y+8＝0
C．3x－y+6＝0D．3x+y+6＝0
【答案】B
【解析】
【分析】
将代入曲线方程求得切点坐标，利用导数的几何意义求解切线斜率，利用直线方程点斜式求解即可.
【详解】
解：因为，所以，所以．
又当时，，故切点坐标为，所以切线方程为．
故选：B.
变式5-3．函数在点处的切线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用导数的几何意义求解即可
【详解】
由，得，
所以切线的斜率为，
所以所求的切线方程为，
故选：B
变式5-4．曲线在点处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
求导数，求切线斜率得切线方程后可得切线与轴和的交点坐标，从而得三角形面积．
【详解】
，时，，切线方程为，即，
在中，令得，令得，得交点，．
直线与轴交点为因此三角形面积为．
故选：A．
题型战法六 “过”一点求曲线的切线方程
典例6．过点(0，-1)作曲线的切线，则切线方程为
A．x+y+1=0B．x-y-1=0
C．x+2y+2=0D．2x-y-1=0
【答案】B
【解析】
设切点为，再求出切点坐标，即得切线的斜率，再写出切线的方程即得解.
【详解】
=ln x+1，
设切点为，∴,
∴=ln x0+1，
∴x0ln x0+1=x0ln x0+x0，∴x0=1，∴y0=0，
所以==1，
∴切线方程为y=x-1，即x-y-1=0，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查导数的几何意义，考查曲线的切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
变式6-1．已知，则过点P(-1，0)且与曲线相切的直线方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【解析】
设切点为则切线方程为，将点代入解，即可求切线方程.
【详解】
设切点为，则，切线斜率为
所以切线方程为，因为过点 则
解得或，所以切线方程为或
故选：C
变式6-2．若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（ ）
A．0条B．1条C．2条D．3条
【答案】C
【解析】
【分析】
设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线方程，再根据点在切线上，即可代入切线方程，解得，即可得解；
【详解】
解：设切点为，由，所以，所以，
所以切线方程为，即，因为切线过点，
所以，
解得或，
所以过点作曲线的切线可以作2条，
故选：C
变式6-3．已知函数，过原点作曲线的切线，则直线与曲线及轴围成的图形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用导数的几何意义求出切线斜率，可得切线方程，再利用定积分的几何意义求解即可.
【详解】
由可得，设切点为，
则切线方程为，
把代入可得，故，可得切线方程为，
则直线与曲线及轴围成的图形的面积为.
故选：C
变式6-4．已知函数，若函数有四个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
转化条件得直线与函数的图象有四个交点，作出函数图象，结合导数的几何意义，数形结合即可得解.
【详解】
有四个交点，作出的图象，结合过定点，则直线应在过此点的切线以及原点的直线之间，过原点时斜率为；当直线与曲线相切时，由，设切点，则切线斜率为，得故，所以，则切线斜率为，故.
故选：B
题型战法七 已知切线（斜率）求参数
典例7．若曲线在点处的切线的斜率为，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据求解即可.
【详解】
根据题意得：，所以，解得.
故选：A.
变式7-1．若函数的图象在处的切线斜率为，则( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求f(x)导数，由题可知即可求a的取值．
【详解】
∵，∴，
若函数的图象在处的切线斜率为，
则．
故选：A．
变式7-2．若曲线在点处的切线与直线平行，则实数a的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据导数的几何意义结合平行线斜率关系即可求解参数．
【详解】
由，得，
则曲线在点处切线的斜率，
因为曲线在点处的切线与直线平行，
所以，所以．
故选：D．
变式7-3．若曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A．2B．0C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求出导数，将代入后，可得，将代入后可得，进而得到．
【详解】
由得，
又曲线在点处的切线方程为，
故当时，
又点在上，则，故．
故选：A．
变式7-4．若曲线在点(1，f(1))的切线为，则有( )
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【解析】
【分析】
根据导数的几何意义可知，，由此可求a；根据切线和y＝f(x)都过点(1，f(1))可求b.
【详解】
x＝1代入得y＝1，则f(1)＝1，
则①，
，则，即②
联立①②，求得，．
故选：B．
题型战法八 两条切线垂直、平行、重合（公切线）问题
典例8．已知函数，．若经过点存在一条直线l与曲线和都相切，则（ ）
A．-1B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
先求得 在 处的切线方程，然后与联立，由 求解
【详解】
解析：∵，∴，∴，∴，∴曲线在处的切线方程为，由得，由，解得．
故选：B
变式8-1．已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分别求出两函数的导函数，再根据题意得两函数的导函数在处的导数值相等即可求得a.
【详解】
解：由，得，所以该曲线在点处的切线斜率为.
由，得，
所以该曲线在点处的切线斜率为.因为两切线平行，
所以.
故选：D.
变式8-2．曲线与曲线的公切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
画出图象，从而确定正确选项.
【详解】
画出以及四个选项中直线的图象如下图所示，由图可知A选项符合.
故选：A
变式8-3．若曲线与曲线：=有公切线，则实数的最大值为（ ）
A．+B．-C．+D．+
【答案】C
【解析】
【分析】
根据导数的几何意义求出两曲线在切点的切线方程，可得，整理得，利用导数研究函数的单调性求出即可得出结果.
【详解】
设在曲线上的切点为，则切线斜率为，
在曲线上的切点为，切线斜率为，
所以切线方程分别为、，
即、，
有，整理得，
设，则，
令，令，
故函数在上单调递增，在上单调递减，
所以在上，如图，
由图可知，即k的最大值为.
故选：C.
变式8-4．对于三次函数，若曲线在点处的切线与曲线在点处点的切线重合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由得，然后求得，由求得，设，由得及，再由得，解得后可得．
【详解】
设，
，
设，则，即……①
又，即
……②
由①②可得，
.
故选：B.
，为有理数