高三数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)3.4.1导数的构造法、双变量问题(原卷版+解析)

这是一份高三数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)3.4.1导数的构造法、双变量问题(原卷版+解析)，共41页。
一 导数的构造法
加-乘不等号型
构造
（2） 构造
（3） 构造
（4）构造（注意对的符号进行讨论）
（5） 构造
2、减-除不等号型
（6） 构造
（7） 构造
（8） 构造
（9）构造（注意对的符号进行讨论）
（10） 构造
二 导数双变量问题（含极值点偏移）
1、双变量问题解题步骤：
统一变量-求变量范围-构造函数-求解新函数的单调性、极值、最值
2、极值点偏移解题步骤：
（1）求出函数的单调性；
（2）构造一元差函数Fx=fx−f2a−x；
（3）确定函数的单调性；
（4）结合，判断的符号，从而确定fx、f2a−x的大小关系。
口诀为：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随。
题型战法
题型战法一 导数的构造法-简单不等号型
典例1．函数的定义域为，，对任意，，则的解集为( )
A．B．C．D．
变式1-1．函数的定义域为R，，对任意，，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
变式1-2．定义在R上的函数其导函数恒成立且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
变式1-3．已知定义域为的函数满足，，其中为导函数，则满足不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
变式1-4．定义在上的函数满足，，则不等式的解集为（ ）.
A．B．C．D．
题型战法二 导数的构造法-加乘不等号型
典例2．设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x>0时，，且g（2）=0，则不等式f（x）g（x）0时，，且g（2）=0，则不等式f（x）g（x）0，由构造函数，利用导数证明出g(t)在(e，2e)上是递增的，得到g(t)>g(e)=0即为f(2e- x2)>0.
(1)
当时，，所以.
，所以.
所以函数在处的切线方程为，即.
(2)
的定义域为(0，+∞)， .
当a0时， .在上，，所以单调递减；在上，，所以单调递增.
(3)
当，.由(2)知， 在上单调递减，在上单调递增.
由题意可得：.由及得：.
欲证x1+x2>2e，只要x1>2e- x2，注意到f(x)在(0，e)上单调递减，且f(x1)=0，只要证明f(2e- x2)>0即可.
由得 .所以
令则，则g(t)在(e，2e)上是递增的，∴g(t)>g(e)=0即f(2e- x2)>0.
综上x1+x2>2e.
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
(4)利用导数判断单调性，证明不等式．
变式6-3．已知函数．
(1)若，证明：；
(2)若有两个不同的零点，求a的取值范围，并证明：．
【答案】(1)证明见详解；
(2)证明见详解．
【解析】
【分析】
（1）令，利用导数分析其单调性求出最大值即可证明；
（2）令，通过求导分析单调性，结合的单调性从而证明结结论．
(1)
当时，，定义域为
令，则
当时，；当时，；
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
故，所以，得；
(2)
因为有两个不同的零点，则在定义域内不单调；
由
当时，在恒成立，则在上单调递减，不符合题意；
当时，在上有，在上有，
所以在上单调递增，在上单调递减．不妨设
令
则
当时，，则在上单调递增
所以
故，因为
所以，又，
则，又在上单调递减，
所以，则．
变式6-4．已知函数有两个不同的零点.
(1)求实数的取值范围；
(2)求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）先求定义域，再求导，得到，先得到，在通过验证得到满足题意；（2）构造函数证明极值点偏移问题.
(1)
定义域为，
，所以在上单调递减.
，所以在上单调递增，
所以在处取得极小值，也是最小值，
又，所以先保证必要条件成立，即满足题意.
当时，易知，；
由以上可知，当时，有两个不同的零点.
(2)
由题意，假设，要证明，只需证明.只需证，又.
即只需证，构造函数.
，所以在单调递减.
，即成立，即
所以原命题成立.
【点睛】
对于极值点偏移问题，通常可以构造差函数来进行求解.