高三数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)8.4.1抛物线(题型战法)(原卷版+解析)

这是一份高三数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)8.4.1抛物线(题型战法)(原卷版+解析)，共21页。试卷主要包含了5C．3等内容，欢迎下载使用。
知识梳理
一 定义及标准方程
定义：平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
方程：
二 简单几何性质
抛物线：
(1) 焦半径：，；焦点弦：
(2) 若直线的倾斜角为，则，
(3) 以为直径的圆与准线相切，以为直径的圆与y轴相切
(4)
(5)
(6) 中点弦：（中点坐标和斜率的关系）
题型战法
题型战法一 抛物线的定义及辨析
典例1．若动点P到定点的距离与到直线的距离相等，则点P的轨迹是（ ）
A．抛物线B．线段C．直线D．射线
变式1-1．若点到直线的距离比它到点的距离小，则点的轨迹为（ ）
A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆
变式1-2．在平面直角坐标系中，设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，过点作，交准线于点，若直线的倾斜角为，则点的纵坐标为（ ）
A． 3 B． 2 C． 1 D．
变式1-3．抛物线上一点到焦点的距离是10，则点到轴的距离是（ ）
A．10B．9C．8D．7
变式1-4．已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，，则点的横坐标为（ ）
A．6B．5C．4D．2
题型战法二 抛物线上的点到焦点与定点距离的和、差最值
典例2．已知抛物线，，点在抛物线上，记点到直线的距离为，则的最小值是（ ）
A．5B．6C．7D．8
变式2-1．已知焦点为F的抛物线的准线是直线l，点P为抛物线C上一点，且垂足为Q，点则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
变式2-2．已知定点，为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，则的最小值为（ ）
A．5B．4.5C．3.5D．不能确定
变式2-3．抛物线y2＝4x的焦点为F，定点M(2,1)，点P为抛物线上的一个动点，则|MP|＋|PF|的最小值为（ ）
A．5B．4C．3D．2
变式2-4．已知抛物线：的准线为，点的坐标为，点在抛物线上，点到直线的距离为，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
题型战法三 抛物线的标准方程
典例3．以椭圆的对称中心为顶点，椭圆的焦点为焦点的抛物线的方程是（ ）．
A．B．或
C．D．或
变式3-1．已知抛物线y2＝2px（p＞0）经过点M（x0，2），若点M到准线l的距离为3，则该抛物线的方程为（ ）
A．y2＝4xB．y2＝2x或y2＝4x
C．y2＝8xD．y2＝4x或y2＝8x
变式3-2．顶点在原点，关于轴对称，并且经过点的抛物线方程为（ ）
A．B．
C．D．
变式3-3．设抛物线的焦点为，准线为，为上一点，以为圆心，为半径的圆交于，两点．若，且的面积为，则抛物线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
变式3-4．设抛物线：的焦点为，准线为，为抛物线上一点，以为圆心的圆与准线相切，且过点，则抛物线的方程为（ ）
A．B．C．D．或
题型战法四 抛物线的轨迹方程
典例4．在平面直角坐标系中，已知，动点满足，则动点的轨迹方程是
A．B．C．D．
变式4-1．已知是抛物线的焦点，是该抛物线上一动点，则线段的中点的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
变式4-2．设动点是抛物线上任意一点，点，存在点，使得，则的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
变式4-3．一个动圆与定圆相外切，且与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
变式4-4．在平面直角坐标系中，已知点，点为直线：上的动点，点在线段的垂直平分线上，且，则动点的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
题型战法五 抛物线的几何性质
典例5．已知为抛物线的焦点，点A为上一点，点的坐标为，若，则的面积为（ ）
A．2B．4C．8D．16
变式5-1．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在C上，直线PF交y轴于点Q，若，则点P到准线l的距离为（ ）
A．3B．4C．5D．6
变式5-2．已知点是抛物线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
变式5-3．设抛物线的焦点为F，A为抛物线上一点且A在第一象限，.现将直线AF绕点F逆时针旋转，得到直线l，且直线l与抛物线交于C､D两点，则( )
A．1B．C．2D．4
变式5-4．抛物线的焦点为F，A，B是拋物线上两点，若，若AB的中点到准线的距离为3，则AF的中点到准线的距离为（ ）．
A．1B．2C．3D．4
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形与方程
标准方程
焦点
准线
第八章 平面解析几何
8.4.1抛物线（题型战法）
知识梳理
一 定义及标准方程
定义：平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
方程：
二 简单几何性质
抛物线：
(1) 焦半径：，；焦点弦：
(2) 若直线的倾斜角为，则，
(3) 以为直径的圆与准线相切，以为直径的圆与y轴相切
(4)
(5)
(6) 中点弦：（中点坐标和斜率的关系）
题型战法
题型战法一 抛物线的定义及辨析
典例1．若动点P到定点的距离与到直线的距离相等，则点P的轨迹是（ ）
A．抛物线B．线段C．直线D．射线
【答案】A
【分析】由抛物线定义可直接得到结果.
【详解】动点满足抛物线定义，则其轨迹为抛物线.
故选：A.
变式1-1．若点到直线的距离比它到点的距离小，则点的轨迹为（ ）
A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆
【答案】C
【解析】题设条件等价于点到直线的距离等于它到点的距离,满足抛物线定义.
【详解】因为点到直线的距离比它到点的距离小,
所以点到直线的距离等于它到点的距离,
∴点的轨迹为抛物线,
故选:C.
【点睛】本题考查抛物线的基本定义,考查轨迹思想,属于简单题.
变式1-2．在平面直角坐标系中，设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，过点作，交准线于点，若直线的倾斜角为，则点的纵坐标为（ ）
A． 3 B． 2 C． 1 D．
【答案】A
【分析】求出的长，根据抛物线的定义可得．
【详解】设准线与轴交于点，则，，∴，
连接，则，又，所以是正三角形，
∴，准线的方程是，
∴点纵坐标为3.
故选：A
变式1-3．抛物线上一点到焦点的距离是10，则点到轴的距离是（ ）
A．10B．9C．8D．7
【答案】B
【分析】由抛物线的定义即可求解.
【详解】解：由题可知，抛物线的准线方程为，
因为点到焦点的距离是10，故到准线的距离是10，
则点到轴的距离是9.
故选：B.
变式1-4．已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，，则点的横坐标为（ ）
A．6B．5C．4D．2
【答案】C
【分析】根据抛物线的标准方程，确定准线方程，根据抛物线的定义计算可得；
【详解】解：设点的横坐标为，抛物线的准线方程为，
点在抛物线上，，
，．
故选：C．
题型战法二 抛物线上的点到焦点与定点距离的和、差最值
典例2．已知抛物线，，点在抛物线上，记点到直线的距离为，则的最小值是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【分析】先求出抛物线的焦点和准线，利用抛物线的定义将转化为的距离，即可求解.
【详解】由已知得抛物线的焦点为，准线方程为，
设点到准线的距离为，则，
则由抛物线的定义可知．
∵，当点、、三点共线时等号成立，
∴，
故选：.
变式2-1．已知焦点为F的抛物线的准线是直线l，点P为抛物线C上一点，且垂足为Q，点则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【分析】连接PF，由抛物线的定义可知PF=PQ，然后结合图形可得答案
【详解】连接PF，由抛物线的定义可知PF=PQ，
所以，
故选A.
变式2-2．已知定点，为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，则的最小值为（ ）
A．5B．4.5C．3.5D．不能确定
【答案】C
【分析】过点作准线，垂足为，根据抛物线的定义可知，当且仅当、、三点共线时，的最小值为.
【详解】如图所示，过点作准线，垂足为，
则，
当且仅当、、三点共线时，
取得最小值.
故选：C
【点睛】本题考查了抛物线的定义、抛物线的标准方程，考查了基本运算能力，属于基础题.
变式2-3．抛物线y2＝4x的焦点为F，定点M(2,1)，点P为抛物线上的一个动点，则|MP|＋|PF|的最小值为（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】C
【分析】根据抛物线的性质可知最短距离为到准线的距离.
【详解】解：易知点在抛物线的内部，其准线方程为，
过作准线的垂线，垂足为，则，
故而当三点共线时，|MP|＋|PF|取得最小值.
故选：C.
【点睛】本题考查抛物线的定义和性质的应用，考查运算求解能力，考查数形结合思想，解答的关键利用是抛物线定义，体现了转化的数学思想.
变式2-4．已知抛物线：的准线为，点的坐标为，点在抛物线上，点到直线的距离为，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】利用抛物线定义，把问题转化为抛物线上的点到点A和焦点F距离差的最大值求解.
【详解】抛物线：的焦点，依题意，，则，
当且仅当点P，F，A共线，即点P为抛物线顶点时取“=”，
所以的最大值为.
故选：A
题型战法三 抛物线的标准方程
典例3．以椭圆的对称中心为顶点，椭圆的焦点为焦点的抛物线的方程是（ ）．
A．B．或
C．D．或
【答案】D
【分析】由椭圆的方程得出椭圆的焦点坐标，然后可得答案.
【详解】因为椭圆的对称中心为原点，焦点为
所以抛物线的方程为或
故选：D
变式3-1．已知抛物线y2＝2px（p＞0）经过点M（x0，2），若点M到准线l的距离为3，则该抛物线的方程为（ ）
A．y2＝4xB．y2＝2x或y2＝4x
C．y2＝8xD．y2＝4x或y2＝8x
【答案】D
【分析】把M的坐标代入抛物线方程可得M的横坐标，结合点M到准线l的距离为3列式求得p，则抛物线方程可求.
【详解】∵抛物线y2＝2px（p＞0）经过点M（x0，2），
∴，可得.
又点M到准线l的距离为3，
∴，解得p＝2或p＝4.
则该抛物线的方程为 y2＝4 x或 y2 ＝ 8x.
故选：D.
变式3-2．顶点在原点，关于轴对称，并且经过点的抛物线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，设抛物线的方程为，进而待定系数求解即可.
【详解】解：由题，设抛物线的方程为，
因为在抛物线上，
所以，解得，即所求抛物线方程为
故选：C
变式3-3．设抛物线的焦点为，准线为，为上一点，以为圆心，为半径的圆交于，两点．若，且的面积为，则抛物线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用圆和抛物线的定义得到是等边三角形，再面积得到的长度，进而建立关于的等式即可求解.
【详解】解：∵以为圆心，为半径的圆交于，两点，，结合抛物线的定义可得：
是等边三角形，
．
的面积为：，
．
又点到准线的距离为，则该抛物线的方程为．
故选：B．
变式3-4．设抛物线：的焦点为，准线为，为抛物线上一点，以为圆心的圆与准线相切，且过点，则抛物线的方程为（ ）
A．B．C．D．或
【答案】D
【分析】首先根据抛物线的定义得到圆经过焦点，又也在圆上，接着分类讨论当，不重合时，根据垂径定理求得；当，重合时，，最后写出抛物线的方程.
【详解】由抛物线的定义知，圆经过焦点，点的横坐标为5，
由题意，当，不重合时，是线段垂直平分线上的点，
∴，
∴，
所以抛物线的方程为；
当，重合时，
∴，
∴，
所以抛物线的方程为．
故选D．
【点睛】抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．
题型战法四 抛物线的轨迹方程
典例4．在平面直角坐标系中，已知，动点满足，则动点的轨迹方程是
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，然后表示出向量的坐标，代入已知条件，整理后得到动点的轨迹方程.
【详解】设，
，，
因为
所以
整理得
故选A项.
【点睛】本题考查求动点的轨迹方程，属于简单题.
变式4-1．已知是抛物线的焦点，是该抛物线上一动点，则线段的中点的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先把抛物线整理成标准方程，然后求得抛物线的焦点，设出和的坐标，然后利用和的坐标表示出的坐标，进而利用抛物线方程的关系求得和的关系及的轨迹方程．
【详解】解：抛物线的标准方程是，故．
设，，的中点
，即，即
故选：．
【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质和求轨迹方程的问题．解题的关键是充分挖掘题设信息整理求得和的关系．
变式4-2．设动点是抛物线上任意一点，点，存在点，使得，则的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设，由得，代入即得解.
【详解】设，则．
由得
又在抛物线上，
，
即，即，
故选：A．
【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
变式4-3．一个动圆与定圆相外切，且与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据点到直线的距离与点到点之间距离的关系化简即可.
【详解】定圆的圆心，半径为2，
设动圆圆心P点坐标为（x，y），动圆的半径为r，d为动圆圆心到直线的距离，即r，
则根据两圆相外切及直线与圆相切的性质可得，
所以，
化简得：．
∴动圆圆心轨迹方程为．
故选：D．
变式4-4．在平面直角坐标系中，已知点，点为直线：上的动点，点在线段的垂直平分线上，且，则动点的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由抛物线定义得动点轨迹是抛物线，由此易得方程．
【详解】由题意，，所以点轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，
由得，所以抛物线方程为．
故选：A．
题型战法五 抛物线的几何性质
典例5．已知为抛物线的焦点，点A为上一点，点的坐标为，若，则的面积为（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】C
【分析】根据抛物线的焦半径公式可求得点的横坐标，从而可求得点的纵坐标，即可求出三角形的面积.
【详解】解：由题意得，
则，
即点A到准线的距离为4，
所以点A的横坐标为2，
当时，，
即，
所以.
故选：C.
变式5-1．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在C上，直线PF交y轴于点Q，若，则点P到准线l的距离为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】求出焦点的坐标，过点作轴的垂线，垂足为，由可得，求出，结合抛物线的定义，即可得解．
【详解】解：由抛物线，可知，准线的方程为，
过点作轴的垂线，垂足为，
因为，所以，
所以，
所以点到准线的距离为．
故选：C．
变式5-2．已知点是抛物线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分析可知圆的圆心为抛物线的焦点，可求出的最小值，再利用勾股定理可求得的最小值.
【详解】设点的坐标为，有，
由圆的圆心坐标为，是抛物线的焦点坐标，有，
由圆的几何性质可得，
又由，可得的最小值为．
故选：C.
变式5-3．设抛物线的焦点为F，A为抛物线上一点且A在第一象限，.现将直线AF绕点F逆时针旋转，得到直线l，且直线l与抛物线交于C､D两点，则( )
A．1B．C．2D．4
【答案】C
【分析】根据题意求出直线AF的斜率，再求出直线l的斜率，结合抛物线焦半径公式即可计算.
【详解】抛物线交点F为()，准线为x＝，
设A()，，设直线AF的倾斜角为α(0°≤α＜180°)，
∵，∴，，即，
∴，
将直线AF绕点F逆时针旋转得到直线l，则直线l倾斜角为90°，即直线l垂直于x轴，故，故.
故选：C.
变式5-4．抛物线的焦点为F，A，B是拋物线上两点，若，若AB的中点到准线的距离为3，则AF的中点到准线的距离为（ ）．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】结合抛物线的定义求得，由此求得线段的中点到准线的距离．
【详解】抛物线方程为，则，
由于中点到准线的距离为3，结合抛物线的定义可知，
即，
所以线段的中点到准线的距离为.
故选：C．
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形与方程
标准方程
焦点
准线