高三数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)10.1.1排列组合(题型战法)(原卷版+解析)

这是一份高三数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)10.1.1排列组合(题型战法)(原卷版+解析)，共30页。试卷主要包含了分类加法计数原理，分步乘法计数原理等内容，欢迎下载使用。
知识梳理
一 分类计数原理与分步计数原理
1.分类加法计数原理：完成一件事有几类办法，各类办法相互独立，每类办法中又有多种不同的办法，则完成这件事的不同办法数是各类不同方法种数的和。
2.分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法，则完成这件事的不同方法种数是各种不同的方法数的乘积。
原则：先分类后分步；由特殊点入手。
二 排列与排列数
1.排列：从个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.
2.排列数：从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，记作
三 组合与组合数
1.组合：从个不同元素中取出个元素组成一个组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.
2.组合数：从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，记作.
公式：（1）
（2）（，且）.特别地，
性质：（1）= 1 \* GB3①；= 2 \* GB3②.（2）= 1 \* GB3①；= 2 \* GB3②
题型战法
题型战法一 数字排列问题
典例1．用0，1，2，3，4可以组成没有重复数字的四位偶数的个数为（ ）
A．36B．48C．60D．72
变式1-1．在1，2，3，4，5，6这六个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（ ）
A．36个B．48个C．54个D．60个
变式1-2．用这五个数字能组成无重复数字且与不相邻的五位数的个数有（ ）
A．36B．48C．60D．72
变式1-3．用 四个数字组成无重复数字的四位数， 其中比大的偶数共有（ ）
A． 个B． 个C． 个D． 个
变式1-4．用0，2，4，5，6，8组成无重复数字的四位数，则这样的四位数中偶数共有（ ）
A．120个B．192个C．252个D．300个
题型战法二 染色问题
典例2．用4种不同颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，不同的涂色方法共有（ ）
A．24种B．36种C．48种D．72种
变式2-1．如图，有、、、四块区域需要植入花卉，现有种不同花卉可供选择，要求相邻区域植入不同花卉，不同的植入方法有（ ）
A．种B．种C．种D．种
变式2-2．用4种不同颜色给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有多少种（ ）
A．72B．48C．36D．24
变式2-3．给图中A，B，C，D，E五个区域染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则不同的染色方案共有（ ）
A．24种B．36种C．48种D．72种
变式2-4．现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色（分割成六个不同区域），要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则不同涂色方法有（ ）
A．48种B．64种C．96种D．144种
题型战法三 位置（元素）有限的排列问题（优先法）
典例3．将五辆车停在5个车位上，其中A车不能停在1号车位上，则不同的停车方案有（ ）
A．24种B．78种C．96种D．120种
变式3-1．4人随机排成一排，甲不在排头且乙不在排尾的排法有多少种（ ）
A．14种B．16种C．10种D．13种
变式3-2．甲，乙，丙，丁，戊共5名同学进行劳动技能比赛，决出第1名到第5名的名次.已知甲和乙都不是第1名，且乙不是最后1名，则5人的名次排列的所有可能情况共有（ ）
A．30种B．54种C．84种D．120种
变式3-3．甲、乙、丙、丁名同学站成一排参加文艺汇演，若甲、乙不能同时站在两端，则不同排列方式共有（ ）
A．种B．种C．种D．种
变式3-4．某中学举行的秋季运动会中，有甲､乙､丙､丁四位同学参加100米短跑决赛，现将四位同学安排在1，2，3，4这4个跑道上，每个跑道安排一名同学，则甲不在2跑道，乙不在4跑道的不同安排方法种数为（ ）
A．12B．14C．16D．18
题型战法四 相邻问题的排列问题（捆绑法）
典例4．为弘扬我国古代的“六艺”文化，某小学开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，课程“乐”“数”排在相邻两周，则不同的安排方案有（ ）
A．60种B．120种C．240种D．480种
变式4-1．“宫、商、角、徵、羽”起源于春秋时期，是中国古乐的五个基本音阶，亦称五音．如果把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，要求宫、商两音阶相邻且宫音阶不在正中间，则可排成不同的音序共有（ ）
A．48种B．36种C．32种D．24种
变式4-2．把语文，数学，英语，物理等7本不同的书放入书架，若数学书和物理书相邻，语文书不放在最左边，英语书不放在最右边，则不同的放法共有（ ）
A．780B．960C．1440D．1008
变式4-3．小明跟父母､爷爷和奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐一排.则小明的父母都与他相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
变式4-4．“学习强国”学习平台设有“看党史”“听原著”等多个栏目．假设在这些栏目中，周一“看党史”栏目更新了3篇文章，“听原著”栏目更新了4个音频．一位学习者准备从更新的这7项内容中随机选取2篇文章和2个音频进行学习，则这2篇文章学习顺序相邻的学法有（ ）
A．216种B．108种C．72种D．54种
题型战法五 不相邻的排列问题（插空法）
典例5．“杭帮菜”山肤水豢，回味无穷.今有人欲以“糟烩鞭笋”、“冰糖甲鱼”、“荷叶粉蒸肉”、“宋嫂鱼羹”、“龙井虾仁”、“叫化童鸡”共六道杭帮菜宴请远方来客.这六道菜要求依次而上，其中“冰糖甲鱼”和“叫化章鸡”不能接连相邻上菜，请问不同的上菜顺序种数为（ ）
A．480B．240C．384D．1440
变式5-1．2022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，惊艳了全球观众．衡阳市某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”、“惊蛰”、“雨水”、“春分”、“清明”、“谷雨”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式有多少种？（ ）
A．24B．48C．144D．244
变式5-2．在2016年“两会”记者招待会上，主持人要从5名国内记者与4名国外记者中选出3名进行提问，要求3人中既有国内记者又有国外记者，且国内记者不能连续提问，则不同的提问方式有（ ）
A．420种B．260种C．180种D．80种
变式5-3．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱．某商店有4个不同造型的吉祥物“冰墩墩”和3个不同造型的吉祥物“雪容融”展示在柜台上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，则不同排法的种数是（ ）
A．B．C．D．
变式5-4．某电视台曾在某时间段连续播放5个不同的商业广告，现在要在该时间段新增播一个商业广告与两个不同的公益宣传广告，且要求两个公益宣传广告既不能连续播放也不能在首尾播放，则在不改变原有5个不同的商业广告的相对播放顺序的前提下，不同的播放顺序共有（ ）
A．60种B．120种C．144种D．300种
题型战法六 部分定序问题的排列问题（缩倍法）
典例6．5本书编号为a，b，c，d，e，其中a必须排放在b的左边，则一共有多少种排放方法（ ）
A．42B．60C．30D．36
变式6-1．用组成没有重复数字的七位数，若的顺序一定，则符合条件的七位数有（ ）个
A．840B．210C．640D．410
变式6-2．某公司为庆祝年利润实现目标，计划举行答谢联欢会，原定表演6个节目，已排成节目单，开演前又临时增加了2个互动节目.如果保持原节目的顺序不变，那么不同排法的种数为（ ）.
A．42B．56C．30D．72
变式6-3．习近平总书记在全国教育大会上发表重要讲话，称教育是国之大计，党之大计．哈九中落实讲话内容，组织研究性学习．在研究性学习成果报告会上，有A、B、C、D、E、F共6项成果要汇报，如果B成果不能最先汇报，而A、C、D按先后顺序汇报（不一定相邻），那么不同的汇报安排种数为（ ）
A．100B．120C．300D．600
变式6-4．某学校文艺汇演准备从舞蹈、小品、相声、音乐、魔术、朗诵6个节目中选取5个进行演出．要求舞蹈和小品必须同时参加，且他们的演出顺序必须满足舞蹈在前、小品在后．那么不同的演出顺序种数有（ ）
A．240种B．480种C．540种D．720种
题型战法七 分组分配问题
典例7．佳木斯市第一中学校为了做好疫情防控工作，组织了6名教师组成志愿服务小组，分配到东门、西门、中门3个楼门进行志愿服务.由于中门学生出入量较大，要求中门志愿者人数不少于另两个门志愿者人数，若每个楼门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个楼门进行服务，则不同的分配方法种数为（ ）
A．240B．180C．690D．150
变式7-1．6名志愿者要到，，三个社区进行志愿服务，每个志愿者只去一个社区，每个社区至少安排1名志愿者，若要2名志愿者去社区，则不同的安排方法共有（ ）
A．105种B．144种C．150种D．210种
变式7-2．2022年3月中旬，新冠肺炎疫情突袭南昌，南昌市统一指挥，多方携手、众志成城，构筑起抗击疫情的坚固堡垒．某小区有小王、小张等5位中学生积极参加社区志愿者，他们被分派到测温和扫码两个小组，若小王和小张不同组，且他们所在的两个组都至少需要2名中学生志愿者，则不同的分配方案种数有（ ）
A．8B．10C．12D．14
变式7-3．甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者去三个不同的小区参加新冠疫情防控志愿服务，每个小区至少去1人，每人只去1个小区，且甲、乙去同一个小区，则不同的安排方法有（ ）
A．28 种B．32 种C．36 种D．42 种
变式7-4．某校从8名青年教师中选派4名分别作为四个学生社团的指导教师，每个社团各派去1名教师，其中教师甲和乙不能同时参加，甲和丙只能都参加或都不参加，则不同的选派方案有（ ）
A．360种B．480种C．600种D．720种
题型战法八 x+y+z=n整数解的个数问题（隔板法）
典例8．学校有个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少个名额，则有（ ）种分配方案.
A．B．C．D．
变式8-1．袋中有十个完全相同的乒乓球，四个小朋友去取球，每个小朋友至少取一个球，所有的球都被取完，最后四个小朋友手中乒乓球个数的情况一共有（ ）
A．84种B．504种C．729种D．39种
变式8-2．将9个志愿者名额全部分配给3个学校，则每校至少一个名额且各校名额互不相同的分配方法总数是（ ）
A．16B．18C．27D．28
变式8-3．7个相同的小球放入，，三个盒子，每个盒子至少放一球，共有（ ）种不同的放法．
A．60种B．36种C．30种D．15种
变式8-4．将10本完全相同的科普知识书，全部分给甲､乙､丙3人，每人至少得2本，则不同的分法数为（ ）
A．720种B．420种C．120种D．15种
题型战法九 正难则反的排列组合问题（间接法）
典例9．甲、乙、丙、丁名同学站成一排参加文艺汇演，若甲、乙不能同时站在两端，则不同排列方式共有（ ）
A．种B．种C．种D．种
变式9-1．某班周一上午共有四节课，计划安排语文、数学、美术、体育各一节，要求体育不排在第一节，则该班周一上午不同的排课方案共有（ ）
A．24种B．18种C．12种D．6种
变式9-2．某社区拟从6名男生､3名女生这9名志愿者中选出3人到某小区协助新冠肺炎防控工作，要求选出的3人中既有男生又有女生，则不同的选法共有（ ）
A．48种B．53种C．56种D．63种
变式9-3．某学校开展劳动教育，决定在3月12日植树节当天把包含甲、乙两班在内的6个班级平均分到附近的3个植树点植树，则甲、乙两班不在同一植树点的分配方案数为（ ）
A．72B．90C．84D．18
变式9-4．某大学开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中选3门课．若要求两类选修课至少各选一门，则不同的选法有（ ）
A．30种B．60种C．12种D．7种
第十章 计数原理与概率、随机变量及其分布列
10.1.1排列组合（题型战法）
知识梳理
一 分类计数原理与分步计数原理
1.分类加法计数原理：完成一件事有几类办法，各类办法相互独立，每类办法中又有多种不同的办法，则完成这件事的不同办法数是各类不同方法种数的和。
2.分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法，则完成这件事的不同方法种数是各种不同的方法数的乘积。
原则：先分类后分步；由特殊点入手。
二 排列与排列数
1.排列：从个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.
2.排列数：从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，记作
三 组合与组合数
1.组合：从个不同元素中取出个元素组成一个组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.
2.组合数：从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，记作.
公式：（1）
（2）（，且）.特别地，
性质：（1）= 1 \* GB3①；= 2 \* GB3②.（2）= 1 \* GB3①；= 2 \* GB3②
题型战法
题型战法一 数字排列问题
典例1．用0，1，2，3，4可以组成没有重复数字的四位偶数的个数为（ ）
A．36B．48C．60D．72
【答案】C
【分析】当个位数为0时，从其他4个数选3个进行排列，当个位数为2或4时，从剩下的非零的3个数中选一个排在千位，再从剩下的3个数中选2个排在十位和百位，最后用分类计数原理求解.
【详解】当个位数为0时，有个，
当个位数为2或4时，有个，
所以无重复数字的四位偶数有24+36=60个，
故选：C.
变式1-1．在1，2，3，4，5，6这六个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（ ）
A．36个B．48个C．54个D．60个
【答案】D
【分析】分这三个数字是三个奇数和两个偶数，一个奇数两种情况计算.
【详解】解：①这三个数字为三个奇数，共（个）；
②这三个数字为两个偶数，一个奇数，共（个）.
故各数位之和为奇数的共有（个）.
故选：D.
变式1-2．用这五个数字能组成无重复数字且与不相邻的五位数的个数有（ ）
A．36B．48C．60D．72
【答案】C
【分析】根据题意分当在万位，当在万位，当在万位和当在万位四种情况分别求解即可.
【详解】根据题意：当在万位时，千位不能排，所以千位有：种，再排列剩下的数字有：，所以当在万位时，共有：种；
当在万位时，先排和，有：种，会出现三个空，再将数字和插入三个空，有种，所以当在万位时，共有：种；
当在万位时，千位不能排，所以千位有：种，再排列剩下的数字有：，所以当在万位时，共有：种；
当在万位时，先排和，有：种，会出现三个空，再将数字和插入三个空，有种，所以当在万位时，共有：种；
综上所述：满足条件的方法共有：.
故选：C.
变式1-3．用 四个数字组成无重复数字的四位数， 其中比大的偶数共有（ ）
A． 个B． 个C． 个D． 个
【答案】D
【分析】比大，故千位为，分类讨论即可
【详解】比大，故千位为，
千位为2，则个位为4，有种
千位为3，则个位为2或4，有种
千位为4，则个位为2，有种
故一共有8种，
故选：D
变式1-4．用0，2，4，5，6，8组成无重复数字的四位数，则这样的四位数中偶数共有（ ）
A．120个B．192个C．252个D．300个
【答案】C
【分析】根据个位数是否为零分类讨论即可.
【详解】若这个偶数的个位数是0，则有个；
若这个偶数的个位数不是0，则有个.
故满足条件的四位数中偶数的总个数为；
故选：C.
题型战法二 染色问题
典例2．用4种不同颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，不同的涂色方法共有（ ）
A．24种B．36种C．48种D．72种
【答案】C
【分析】根据分步乘法计数原理逐一按①②③和④涂色，即可求解.
【详解】对于①②③，两两相邻，依次用不同颜色涂，共有种涂色方法，对于④，与②③相邻，但与①相隔，此时可用剩下的一种颜色或者与①同色，共2种涂色方法，则由分步乘法计数原理得种不同的涂色方法.
故选:C
变式2-1．如图，有、、、四块区域需要植入花卉，现有种不同花卉可供选择，要求相邻区域植入不同花卉，不同的植入方法有（ ）
A．种B．种C．种D．种
【答案】D
【分析】依次考虑、、、区域，利用分步乘法计数原理可得结果.
【详解】区域有种选择，区域有种选择，区域有种选择，区域有种选择，
由分步乘法计数原理可知，不同的檀入方法共有种.
故选：D.
变式2-2．用4种不同颜色给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有多少种（ ）
A．72B．48C．36D．24
【答案】A
【分析】可以同色的区域为BD，CE，分类讨论结合排列知识即可求解．
【详解】由题意，可以同色的区域为BD，CE；若只有BD同色，则有种；
若只有CE同色，有种；若BD，CE都同色，则种，由分类计数原理，
共有种，
故选：A．
变式2-3．给图中A，B，C，D，E五个区域染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则不同的染色方案共有（ ）
A．24种B．36种C．48种D．72种
【答案】D
【分析】先对A，B，C三个区域染色，再讨论B，E是否同色．
【详解】当B，E同色时，共有种不同的染色方案，
当B，E不同色时，共有种不同的染色方案，
所以共有72种不同的染色方案．
故选：D．
变式2-4．现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色（分割成六个不同区域），要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则不同涂色方法有（ ）
A．48种B．64种C．96种D．144种
【答案】C
【分析】先给中间涂色，再给外边每个涂色，利用分步乘法计算原理求解即可.
【详解】根据题意，假设正五角星的区域为，，，，，，如图所示，
先对区域涂色，有3种方法，再对，，，，这5个区域进行涂色，
因为，，，，这5个区域都与相邻，所以每个区域都有2种涂色方法，
所以共有种涂色方法．
故选：C.
题型战法三 位置（元素）有限的排列问题（优先法）
典例3．将五辆车停在5个车位上，其中A车不能停在1号车位上，则不同的停车方案有（ ）
A．24种B．78种C．96种D．120种
【答案】C
【分析】根据分步计数原理，先让车选车位，再让剩余车辆选车位，即可得出结论.
【详解】第一步：先让车选车位，有种；
第二步：让剩余四辆车选车位，有种，
所以共有：种.
故选：C.
变式3-1．4人随机排成一排，甲不在排头且乙不在排尾的排法有多少种（ ）
A．14种B．16种C．10种D．13种
【答案】A
【分析】分两类：甲在排尾，另一种甲不在排头也不在排尾，然后利用分类加法原理求解即可.
【详解】根据题意分两类：
第一类：甲在排尾，其它3人全排列，有，
第二类：甲不在排头也不在排尾，则甲排在中间两个位置中的一个，然后从剩余的除乙外的2人中选一人排在排尾，最后剩下的2人排在剩余的2个位置，则有种，
所以由分类加法原理可得共有种，
故选：A.
变式3-2．甲，乙，丙，丁，戊共5名同学进行劳动技能比赛，决出第1名到第5名的名次.已知甲和乙都不是第1名，且乙不是最后1名，则5人的名次排列的所有可能情况共有（ ）
A．30种B．54种C．84种D．120种
【答案】B
【分析】根据题意先排乙，再排甲，再排其他人即可
【详解】根据题意先排乙，再排甲，再排其他人，则所有排列的情况有
故选：B
变式3-3．甲、乙、丙、丁名同学站成一排参加文艺汇演，若甲、乙不能同时站在两端，则不同排列方式共有（ ）
A．种B．种C．种D．种
【答案】D
【分析】在四人全排的排法中，减去甲、乙同时站在两端的排法，即可得解.
【详解】利用间接法，将四人全排，共种不同的排法，
若甲、乙同时站在两端，此时有种不同的排法.
因此，若甲、乙不能同时站在两端，则不同排列方式共有种.
故选：D.
变式3-4．某中学举行的秋季运动会中，有甲､乙､丙､丁四位同学参加100米短跑决赛，现将四位同学安排在1，2，3，4这4个跑道上，每个跑道安排一名同学，则甲不在2跑道，乙不在4跑道的不同安排方法种数为（ ）
A．12B．14C．16D．18
【答案】B
【分析】根据题意，按甲是否在道上分2种情况讨论，求出每种情况的安排方法数目，由加法原理计算可得答案．
【详解】解：根据题意，分2种情况讨论：
①若甲在道上，剩下3人任意安排在其他3个跑道上，有种排法，
②若甲不在道上，甲的安排方法有2种，乙的安排方法也有2种，剩下2人任意安排在其他2个跑道上，有2种安排方法，
此时有种安排方法，
故共有种不同的安排方法，
故选：B．
题型战法四 相邻问题的排列问题（捆绑法）
典例4．为弘扬我国古代的“六艺”文化，某小学开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，课程“乐”“数”排在相邻两周，则不同的安排方案有（ ）
A．60种B．120种C．240种D．480种
【答案】C
【分析】利用捆绑法即得.
【详解】因为课程“乐”“数”排在相邻两周，可用捆绑法，把“乐”“数”捆绑看作一个元素与其他元素一起排列共种，再排其内部顺序种，
所以不同的安排方案有种.
故选：C.
变式4-1．“宫、商、角、徵、羽”起源于春秋时期，是中国古乐的五个基本音阶，亦称五音．如果把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，要求宫、商两音阶相邻且宫音阶不在正中间，则可排成不同的音序共有（ ）
A．48种B．36种C．32种D．24种
【答案】B
【分析】根据题意，先由捆绑法计算宫、商两音阶相邻的排法，排除其中宫音阶在正中间的排法求解.
【详解】解：将宫、商两音阶看成一个整体，再与其他3个音阶全排列，有种排法，
其宫音阶在正中间的排法有种，
所以宫、商两音阶相邻且宫音阶不在正中间，则可排成不同的音序共有种的排法，
故选：B．
变式4-2．把语文，数学，英语，物理等7本不同的书放入书架，若数学书和物理书相邻，语文书不放在最左边，英语书不放在最右边，则不同的放法共有（ ）
A．780B．960C．1440D．1008
【答案】D
【分析】把数学书和物理书捆绑，从语文书的位置进行分类，结合排列知识求解.
【详解】先把数学书和物理书捆绑看作一个元素，共有种方法；
当语文书放在最右边时，英语书和其它书排列，共有种方法；
当语文书放不在最右边时，最右边放置除语文和英语之外的书，有4种方法，最左边放置除语文之外的余下的书，有4种方法，其它位置没有要求，有种方法；
综上共有种方法；
故选：D
变式4-3．小明跟父母､爷爷和奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐一排.则小明的父母都与他相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用捆绑法求出排列数，进而可得概率.
【详解】将小明父母与小明三人进行捆绑，其中小明居于中间，形成一个元素，与其他两个元素进行排序，则，
故所求的概率为，
故选：.
变式4-4．“学习强国”学习平台设有“看党史”“听原著”等多个栏目．假设在这些栏目中，周一“看党史”栏目更新了3篇文章，“听原著”栏目更新了4个音频．一位学习者准备从更新的这7项内容中随机选取2篇文章和2个音频进行学习，则这2篇文章学习顺序相邻的学法有（ ）
A．216种B．108种C．72种D．54种
【答案】A
【分析】分三步完成，利用分步乘法计数原理求解.
【详解】第一步从3篇文章中选2篇全排列，共有种方法，第二步从4个音频中选2个，共有种方法，第三步将2篇文章捆绑，再与已选取的2个音频进行全排列，共种方法，故所求的总方法数为（种）.
故选：A．
题型战法五 不相邻的排列问题（插空法）
典例5．“杭帮菜”山肤水豢，回味无穷.今有人欲以“糟烩鞭笋”、“冰糖甲鱼”、“荷叶粉蒸肉”、“宋嫂鱼羹”、“龙井虾仁”、“叫化童鸡”共六道杭帮菜宴请远方来客.这六道菜要求依次而上，其中“冰糖甲鱼”和“叫化章鸡”不能接连相邻上菜，请问不同的上菜顺序种数为（ ）
A．480B．240C．384D．1440
【答案】A
【分析】利用插空法求解，先排列“糟烩鞭笋”、“荷叶粉蒸肉”、“宋嫂鱼羹”、“龙井虾仁”这4道菜，然后用“冰糖甲鱼”和“叫化章鸡”去插空即可.
【详解】根据题意，先排列“糟烩鞭笋”、“荷叶粉蒸肉”、“宋嫂鱼羹”、“龙井虾仁”这4道菜，共有种方法，
4道菜排列后，有5个空，然后用“冰糖甲鱼”和“叫化章鸡”去插空，有种方法，
所以由分步计数原理可知共有种不同的上菜顺序，
故选：A
变式5-1．2022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，惊艳了全球观众．衡阳市某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”、“惊蛰”、“雨水”、“春分”、“清明”、“谷雨”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式有多少种？（ ）
A．24B．48C．144D．244
【答案】C
【分析】将“立春”和“春分”两块展板捆绑在一起，与“雨水”、 “谷雨”排列，然后“清明”与“惊蛰”去插空即可
【详解】根据题意先将“立春”和“春分”两块展板捆绑在一起，与“雨水”、 “谷雨”排列，有4个空，然后“清明”与“惊蛰”去插空，
所以不同的放置方式有种.
故选：C
变式5-2．在2016年“两会”记者招待会上，主持人要从5名国内记者与4名国外记者中选出3名进行提问，要求3人中既有国内记者又有国外记者，且国内记者不能连续提问，则不同的提问方式有（ ）
A．420种B．260种C．180种D．80种
【答案】B
【分析】应用分类加法计数，结合排列、组合数求不同分类下的提问方式，最后加总即可.
【详解】若人中有名中国记者和名国外记者，则不同的提问方式的种数是，
若人中有名中国记者和名国外记者，则不同的提问方式的种数是，
故所有的不同的提问方式的种数是.
故选：B
变式5-3．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱．某商店有4个不同造型的吉祥物“冰墩墩”和3个不同造型的吉祥物“雪容融”展示在柜台上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，则不同排法的种数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分两步，第一步将4个“冰墩墩”全排列，第二步将将3个“雪容融”插进3个空中，按照分步乘法计数原理计算可得；
【详解】解：依题意首先将4个“冰墩墩”全排列，有种排法；
再将3个“雪容融”插进3个空中，有种排法；
综上可得一共有种排法；
故选：C
变式5-4．某电视台曾在某时间段连续播放5个不同的商业广告，现在要在该时间段新增播一个商业广告与两个不同的公益宣传广告，且要求两个公益宣传广告既不能连续播放也不能在首尾播放，则在不改变原有5个不同的商业广告的相对播放顺序的前提下，不同的播放顺序共有（ ）
A．60种B．120种C．144种D．300种
【答案】B
【分析】先插入一个商业广告，再在中间插入两个公益广告，由分步乘法原理可得．
【详解】安排方法是先插入一个商业广告有种方法，再在6个商业广告中间插入两个公益广告，方法数，所以不同的播放顺序数为．
故选：B．
题型战法六 部分定序问题的排列问题（缩倍法）
典例6．5本书编号为a，b，c，d，e，其中a必须排放在b的左边，则一共有多少种排放方法（ ）
A．42B．60C．30D．36
【答案】B
【分析】先求得5个编号任意排列的排法，分析可得a在b的左边和a在b的右边是等可能的，计算即可得答案.
【详解】由题意得5个编号任意排列，有种排法，
其中a在b的左边和a在b的右边是等可能的，其排法数目时一样的，
所以a排放在b的左边一共有种排法
故选：B
变式6-1．用组成没有重复数字的七位数，若的顺序一定，则符合条件的七位数有（ ）个
A．840B．210C．640D．410
【答案】A
【分析】根据倍缩法求解定序问题.
【详解】组成没有重复数字的七位数，共有个，的顺序有个，
所以所求的个数有，
故选：.
变式6-2．某公司为庆祝年利润实现目标，计划举行答谢联欢会，原定表演6个节目，已排成节目单，开演前又临时增加了2个互动节目.如果保持原节目的顺序不变，那么不同排法的种数为（ ）.
A．42B．56C．30D．72
【答案】B
【分析】利用倍缩法，先将8个节目排好，由于原来6个节目顺序不变，则要除以原有的6个节目对应的不同排法，即可得解.
【详解】解：增加2个互动节目后，一共有8个节目，这8个节目的不同排法有种，
而原有的6个节目对应的不同排法共有种，
所以不同的排法有（种）.
故选：B.
变式6-3．习近平总书记在全国教育大会上发表重要讲话，称教育是国之大计，党之大计．哈九中落实讲话内容，组织研究性学习．在研究性学习成果报告会上，有A、B、C、D、E、F共6项成果要汇报，如果B成果不能最先汇报，而A、C、D按先后顺序汇报（不一定相邻），那么不同的汇报安排种数为（ ）
A．100B．120C．300D．600
【答案】A
【分析】优先排B元素，然后根据A、C、D顺序确定用除法可得.
【详解】先排B元素，有5种排法，然后排剩余5个元素共，由于A、C、D顺序确定，所以不同的排法共有.
故选：A
变式6-4．某学校文艺汇演准备从舞蹈、小品、相声、音乐、魔术、朗诵6个节目中选取5个进行演出．要求舞蹈和小品必须同时参加，且他们的演出顺序必须满足舞蹈在前、小品在后．那么不同的演出顺序种数有（ ）
A．240种B．480种C．540种D．720种
【答案】A
【分析】先从4个节目中选3个，再按照定序排列即可求解.
【详解】先从相声、音乐、魔术、朗诵4个节目中选3个，有种，再把5个节目排列且满足舞蹈在前、小品在后，
有，总共有种.
故选：A.
题型战法七 分组分配问题
典例7．佳木斯市第一中学校为了做好疫情防控工作，组织了6名教师组成志愿服务小组，分配到东门、西门、中门3个楼门进行志愿服务.由于中门学生出入量较大，要求中门志愿者人数不少于另两个门志愿者人数，若每个楼门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个楼门进行服务，则不同的分配方法种数为（ ）
A．240B．180C．690D．150
【答案】A
【分析】根据中门志愿者的人数，分情况讨论，再按照分组分配问题，即可求解.
【详解】第一种情况，当中门的志愿者有3人时，其他两个门有1个门1人，1个门2人，有种，
第二种情况，当中门有2人时，其他两个门也分别是2人，种，
第三种情况，当中门有4人时，其他两个们分别1人，有种，
所以不同的分配方法种数是.
故选：A
变式7-1．6名志愿者要到，，三个社区进行志愿服务，每个志愿者只去一个社区，每个社区至少安排1名志愿者，若要2名志愿者去社区，则不同的安排方法共有（ ）
A．105种B．144种C．150种D．210种
【答案】D
【分析】先安排2名志愿者到A社区，再考虑剩余的4名志愿者，分为两组，可以平均分，可以一组1人，一组3人，再对两组进行分配，从而求出最终答案.
【详解】先选出2名志愿者安排到A社区，有种方法，
再把剩下的4名志愿者分成两组，有两种分法，一种是平均分为两组，有种分法，
另一种是1组1人，另一组3人，有种分法，再分配到其他两个社区，
则不同的安排方法共有种.
故选：D
变式7-2．2022年3月中旬，新冠肺炎疫情突袭南昌，南昌市统一指挥，多方携手、众志成城，构筑起抗击疫情的坚固堡垒．某小区有小王、小张等5位中学生积极参加社区志愿者，他们被分派到测温和扫码两个小组，若小王和小张不同组，且他们所在的两个组都至少需要2名中学生志愿者，则不同的分配方案种数有（ ）
A．8B．10C．12D．14
【答案】C
【分析】先分配其他3名中学生，再分配小王和小张即得.
【详解】先分配其他3名中学生有种方法，再分配小王和小张有种方法，
由分步计数原理可得，不同的分配方案种数有.
故选：C.
变式7-3．甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者去三个不同的小区参加新冠疫情防控志愿服务，每个小区至少去1人，每人只去1个小区，且甲、乙去同一个小区，则不同的安排方法有（ ）
A．28 种B．32 种C．36 种D．42 种
【答案】C
【分析】先将甲、乙看成一个元素，然后先分组后排列可得.
【详解】将甲、乙看成一个元素A，然后将A、丙、丁、戊四个元素分为3组，共有种，再将3组分到3个不同小区有种，所以满足条件的安排方法共有种.
故选：C
变式7-4．某校从8名青年教师中选派4名分别作为四个学生社团的指导教师，每个社团各派去1名教师，其中教师甲和乙不能同时参加，甲和丙只能都参加或都不参加，则不同的选派方案有（ ）
A．360种B．480种C．600种D．720种
【答案】C
【分析】根据题意分三种情况：甲参加，乙不参加，或甲不参加，乙不参加，或甲不参加，乙参加，求出分配的方法数，然后利用分类加法原理可求得结果
【详解】若甲参加，乙不参加，则丙参加，只需从剩余5人中选出2人，再分配即可，此时有：种情况；
若甲不参加，乙不参加，则丙不参加，只需从剩余5人中选出4人，再分配即可，此时有：种情况；
若甲不参加，乙参加，则丙不参加，只需从剩余5人中选出3人，再分配即可，此时有：种情况；
故共有：种情况.
故选：C.
题型战法八 x+y+z=n整数解的个数问题（隔板法）
典例8．学校有个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少个名额，则有（ ）种分配方案.
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】问题等价于将个完全相同的小球，放入个不同的盒子，每个盒子至少个球，结合隔板法可得结果.
【详解】问题等价于将个完全相同的小球，放入个不同的盒子，每个盒子至少个球，
由隔板法可知，不同的分配方案种数为.
故选：C.
变式8-1．袋中有十个完全相同的乒乓球，四个小朋友去取球，每个小朋友至少取一个球，所有的球都被取完，最后四个小朋友手中乒乓球个数的情况一共有（ ）
A．84种B．504种C．729种D．39种
【答案】A
【分析】相同元素分组可以采用“隔板法”求解.
【详解】四个小朋友去取球，每个小朋友至少取一个球，所有的球都被取完，
即将个球分成了份：
个球有个空隙，选个空隙插上“隔板”即可分成4份，
即：种.
故选：A.
变式8-2．将9个志愿者名额全部分配给3个学校，则每校至少一个名额且各校名额互不相同的分配方法总数是（ ）
A．16B．18C．27D．28
【答案】B
【分析】根据根据加法和乘法原理，结合组合的定义进行求解即可.
【详解】“每校至少一个名额的分法”的方法数是至少有两个学校的名额数相同”的分配方法数可以从反面入手去求，即先求出“出现相同名额”的分配方法数，第一种情形是两个学校名额数相同：有三种情形，共有9种分法；第二种情形是三个学校名额数均相同，有1种分法，所以至少有两个学校的名额数相同”的分配为种.所以，满足条件的分配方法共有种.
故选：B
变式8-3．7个相同的小球放入，，三个盒子，每个盒子至少放一球，共有（ ）种不同的放法．
A．60种B．36种C．30种D．15种
【答案】D
【分析】7个小球有6个空，采用插空法可求.
【详解】将7个小球分成三组即可，可采用插空法，7个小球有6个空，则有种不同的方法.
故选：D.
变式8-4．将10本完全相同的科普知识书，全部分给甲､乙､丙3人，每人至少得2本，则不同的分法数为（ ）
A．720种B．420种C．120种D．15种
【答案】D
【分析】先每人分一本书，再将剩下的7本书分给3人，每人至少一本，由“隔板法”可得答案.
【详解】先从10本书中拿出3本，分给每人一本书，
再将余下7本书采用“隔板法”分给3个人，分法种数为15，
故选: D
题型战法九 正难则反的排列组合问题（间接法）
典例9．甲、乙、丙、丁名同学站成一排参加文艺汇演，若甲、乙不能同时站在两端，则不同排列方式共有（ ）
A．种B．种C．种D．种
【答案】D
【分析】在四人全排的排法中，减去甲、乙同时站在两端的排法，即可得解.
【详解】利用间接法，将四人全排，共种不同的排法，
若甲、乙同时站在两端，此时有种不同的排法.
因此，若甲、乙不能同时站在两端，则不同排列方式共有种.
故选：D.
变式9-1．某班周一上午共有四节课，计划安排语文、数学、美术、体育各一节，要求体育不排在第一节，则该班周一上午不同的排课方案共有（ ）
A．24种B．18种C．12种D．6种
【答案】B
【分析】从4门学科的全排列数中去掉体育排第一节的排列数即可作答.
【详解】语文、数学、美术、体育4门学科的全排列数为种，其中体育排在第一节的有种，
所以该班周一上午不同的排课方案共有（种）.
故选：B
变式9-2．某社区拟从6名男生､3名女生这9名志愿者中选出3人到某小区协助新冠肺炎防控工作，要求选出的3人中既有男生又有女生，则不同的选法共有（ ）
A．48种B．53种C．56种D．63种
【答案】D
【分析】首先求出所有可能结果，再减去全是男生、全是女生的情况，即可得解；
【详解】解：依题意从名志愿者选出人有种，
若全是男生则有种，全是女生则有种，
故选出的人中既有男生又有女生，则不同的选法共有种选法.
故选：D
变式9-3．某学校开展劳动教育，决定在3月12日植树节当天把包含甲、乙两班在内的6个班级平均分到附近的3个植树点植树，则甲、乙两班不在同一植树点的分配方案数为（ ）
A．72B．90C．84D．18
【答案】A
【分析】本题考查学生运用间接法以及对特殊对象的优先处理原则．
【详解】将6个班级平均分到附近的3个植树点植树共有：种分配方案，甲、乙两班在同一植树点共有：种分配方案，
∴甲、乙两班不在同一植树点的分配方案数共有：90-18=72种分配方案．
故选：A．
变式9-4．某大学开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中选3门课．若要求两类选修课至少各选一门，则不同的选法有（ ）
A．30种B．60种C．12种D．7种
【答案】A
【分析】先求出从这7门课程中选3门课程的选法数，减去所选3门课程全是A类选修课或全是B类选修课的选法数可得答案.
【详解】从这7门课程中选3门课程有种不同取法
所选3门课程全是A类选修课或全是B类选修课有
所以两类选修课至少各选一门不同的选法有
故选：A