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湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高一上学期入学检测数学试题（原卷及解析版）
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这是一份湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高一上学期入学检测数学试题（原卷及解析版），文件包含湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高一上学期入学检测数学试题原卷版docx、湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高一上学期入学检测数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共17页， 欢迎下载使用。
一､选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 据国家卫健委统计，截至6月2日，我国接种新冠疫苗已超过704000000剂次.把704000000这个数用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同
【详解】解：，
故选：C
2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称的定义，对选项逐一判断即可.
【详解】A选项中的图形不是中心对称图形.
B选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形.
C选项中的图形不是中心对称图形.
D选项中的图形是中心对称图形.
故选:D.
3. 已知点在第二象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由点所在象限求出的取值范围可得答案.
【详解】因为点在第二象限，所以，
解得，
则的取值范围在数轴上表示正确的为C选项.
故选：C.
4. 如果外切的两圆和的半径分别为2和4，则半径为6，且与和都相切的圆有（ ）
A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个
【答案】B
【解析】
【分析】所求圆与已知圆相切，分为内切和外切两种,根据本题情况，得到圆心的位置,求出所有可能的个数
【详解】解：设所求的圆的圆心为，
①当与和都外切时，则发现，所以，则能找两个的位置，此时有两个圆；
②当与内切, 与外切时，则发现，则能找到一个的位置，此时有一个圆；
③当与内切, 与外切时，则发现，则能找到一个位置，此时有一个圆，
④当与和 都内切时，则发现，则能找到一个的位置，此时有一个圆,
综上所述，共5个，
故选：B
5. 是2022个由1和组成的数，，则（ ）
A. 2021B. 4042C. 3640D. 4842
【答案】C
【解析】
【分析】由可知1的个数比的个数多202个，得到 的个数和1的个数代入可得答案.
【详解】因为是2022个由1和组成的数，，
所以1的个数比的个数多202个，即1的个数为个，
的个数为个，无论中哪个数是1，哪个是，
均有.
故选：C.
6. 某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）.“沙漏"是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成.某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是，高是；圆柱体底面半径是，液体高是.计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏"中液体的高度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆柱体积公式可得液体的体积为，圆锥的体积为，所以计时结束后，圆锥中没有液体的部分的体积为，根据圆锥体积公式计算可得.
【详解】如图，圆锥的底面半径是6cm，高是6cm，
所以、是等腰直角三角形，所以，
由已知可得：液体的体积为，
圆锥的体积为，
计时结束后，圆锥中没有液体的部分体积为，
设计时结束后，“沙漏”中液体的高度AD为xcm，
则，
，
，
所以，
所以计时结束后，“沙漏”中液体的高度为3cm.
故选：B.
7. 整数使得关于的二元一次方程组的解为正整数（均为正整数），且使得关于的不等式组无解，则所有满足条件的的和为（ ）
A. 9B. 16C. 17D. 30
【答案】C
【解析】
【分析】解出二元一次方程组的解，由a为整数且方程组的解为正整数确定出a的值，再由不等式组无解，确定出满足题意a的值，即可得到答案
【详解】解：当时，代入方程组得易得无实数解，与题意矛盾，舍去；
当时，由方程组解得，
∵a为整数，x，y为正整数，
∴a−3=1或2或5或10，
解得：a=4或5或8或13，
不等式组整理得：，
∵不等式组无解，
∴，解得，
∴满足题意a的值为4或5或8，则所有满足条件的的和为4＋5＋8＝17，
故选：C
8. 定义：平面直角坐标系中，点的横坐标的绝对值表示为，纵坐标的绝对值表示为，我们把点的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点的折线距离，记为（其中的“+”是四则运算中的加法）.若拋物线与直线只有一个交点，已知点在第一象限，且，令，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】因为拋物线与直线只有一个交点得， 可化为，求出，因为点在第一象限、，可得，，利用抛物线的性质可得答案.
【详解】因为拋物线与直线只有一个交点，
所以只有一个解，消去得，
所以，，因为，所以，
可化，即，
所以，，因为点在第一象限，所以，，
因为，所以，可得，
所以，
因为，抛物线开口向下，对称轴为，所以随的增大而增大，
故.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查点的坐标，解得本题的关键点是明确题意，理解定义，求出相应的点的坐标.，转化为二次函数的性质求解.
二､填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分.
9. 年4月16日上午，神舟十三号载人飞船搭载航天员翟志刚､王亚平､叶光富安全返回内蒙古东风着陆场，至此，中国空间站关键技术验证阶段收官之战取得圆满成功.为激励更多同学投身祖国的航天事业，长沙某初中开展了航天员模拟选拔活动，从心理素质､身体素质､科学头脑､应变能力四个方面进行考核，每项满分均为100分，最后将四项得分按照4：3：2：1的比例确定成绩，小军四项所得的分数依次是分，那么小军的最终得分是___________分.
【答案】
【解析】
【分析】由加权平均数的定义计算得解.
【详解】由加权平均数得：小军的最终得分是分，
故答案为：
10. 若关于的方程无解，则的值为___________.
【答案】或
【解析】
【分析】将方程等价变形，分，两种情况讨论得解.
【详解】方程两边同乘以，其中，得，所以；
当时，即时，原方程无解，符合题意；
当时，，
因为方程无解，所以，解得
综上：的值为或
故答案为：或.
11. 正比例函数与反比例函数图像相交于两点，已知点的横坐标为1，当时，的取值范围是___________.
【答案】或
【解析】
【分析】根据反比例函数图像的特点得出点横坐标,再利用函数图像可直接得出结论
【详解】因为正比例函数与反比例函数的图像均关于原点对称，点的横坐标为1，
所以点的横坐标为-1，
由函数图像可知，当或时，正比例函数的图像在反比例函数图像的上方，
所以当时, 的取值范围是或，
故答案为：或
12. 如图，中，，点在线段上，以为圆心，长为半径的圆与边相交于另一点，点在直线上，且是的切线，则的最小值为___________.
【答案】4.8
【解析】
【分析】连接PD，取PQ的中点E，连接CE，DE，判定时PQ有最小值即可
【详解】解：在中，，
∴，
∴，
连接PD，取PQ的中点E，连接CE，DE，
∵DQ是的切线，
∴，
∴，
当时，有最小值，即，
即，
故答案为：4.8
三､解答题：本题共4小题，共52分.应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
13. 如图，在同一坐标系中，直线交轴于点，直线过点.
（1）求的值；
（2）点分别在直线上，且关于原点对称，说明：点关于原点对称的点的坐标为，求点的坐标和的面积.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）由直线求出点的坐标，再将点的坐标代入方程中可求出的值；
（2）由题意设 ，则，再将点的坐标代入直线中可求出，从而可求得两点的坐标，进而可求出的面积.
【小问1详解】
对于直线，当时，，
所以
因为直线过点，
所以，得，
【小问2详解】
由得，
设 ，则.
又在上，
所以，解得，
则
所以.
14. “只要人人献出一点爱，世界将变成美好的人间”某大学“利用世界献血日"，开展自愿义务献血活动，经过检测，献血者血型有：“"四种类型.随机抽取部分献血结果进行统计，根据结果制作了如下两幅不完整统计图表.
血型统计表
（1）求的值；
（2）若这次活动中该校有1200人义务献血，估计大约有多少人型血？
（3）现有4个自愿献血者，2人为型，1人为型，1人为型，若在4人中随机挑选2人，利用树状图或列表法求两人血型均为型的概率.
【答案】（1），；
（2）288人； （3）
【解析】
【分析】（1）先计算出总人数，接着算出O型的人数，再计算出A型人数；
（2）用样本中A型的人数除以50得到血型是A型的概率，然后用1200乘以此概率可估计这1200人中是A型血的人数；
（3）画出树状图，根据概率公式即可得到结果
【小问1详解】
献血总人数：(人)
型血献血人数：(人),
型血献血人数：(人)
所以，；
【小问2详解】
献血者为型血的概率
(人)
答：这1200人中大约有288人型血；
【小问3详解】
画树状图如下
由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有12种，这些结果出现的可能性相同，其中两人都为O型的有2种，
∴P(两人均为O型)
15. （1）问题：如图①，在中，为边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接，试写出，之间满足的等量关系式；
（2）探索：如图②，在Rt与中，，将绕点旋转，使点落在边上，试探索线段之间满足的等量关系，并证明你的结论；
（3）应用：如图③，在四边形中，.若，求的长.
【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）.
【解析】
【分析】（1）证出可得答案；
（2）连接， 利用、可得答案；
（3）作，使，证出，求出，
可得答案.
【详解】（1），理由如下：
.
即
在和中，，
，
；
（2）理由如下：
连接，由（1）得：，
在Rt中，，又，
；
（3）作，使，连接，
即，
在和中，，
，
，
.
【点睛】
16. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别相交于两点（点在点的左侧），与轴相交于点，设抛物线的对称轴与轴相交于点，且.
（1）求的值；
（2）将抛物线向上平移3个单位，得到抛物线，设点是抛物线上在第一象限内不同的两点，射线分别交直线于点，设的横坐标分别为，且，求证：直线经过定点.
【答案】（1）；
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由顶点式求得对称轴，由处函数值求得点坐标，根据列方程求解即可；
（2）设点，结合原点可得直线的解析式，再由可得点横坐标，由可得；设直线的解析式为，与联立之后可得，，代入求得，继而求出答案
【小问1详解】
解：依题意得：，
抛物线的对称轴为直线，
，
在中，令，则，
，，
，，解得；
【小问2详解】
将代入抛物线得，
如图，将抛物线向上平移3个单位后得到拋物线，
点是拋物线上在第一象限内不同的两点，
设点，
由分别可求得：
点在直线上，
点，
，即，
整理得，
设直线的解析式为，与联立得：
，
整理得，
由根与系数的关系可得：，
，，
，
直线的解析式为，
当时，，
直线经过定点
血型
人数
10
5
一､选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 据国家卫健委统计，截至6月2日，我国接种新冠疫苗已超过704000000剂次.把704000000这个数用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同
【详解】解：，
故选：C
2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称的定义，对选项逐一判断即可.
【详解】A选项中的图形不是中心对称图形.
B选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形.
C选项中的图形不是中心对称图形.
D选项中的图形是中心对称图形.
故选:D.
3. 已知点在第二象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由点所在象限求出的取值范围可得答案.
【详解】因为点在第二象限，所以，
解得，
则的取值范围在数轴上表示正确的为C选项.
故选：C.
4. 如果外切的两圆和的半径分别为2和4，则半径为6，且与和都相切的圆有（ ）
A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个
【答案】B
【解析】
【分析】所求圆与已知圆相切，分为内切和外切两种,根据本题情况，得到圆心的位置,求出所有可能的个数
【详解】解：设所求的圆的圆心为，
①当与和都外切时，则发现，所以，则能找两个的位置，此时有两个圆；
②当与内切, 与外切时，则发现，则能找到一个的位置，此时有一个圆；
③当与内切, 与外切时，则发现，则能找到一个位置，此时有一个圆，
④当与和 都内切时，则发现，则能找到一个的位置，此时有一个圆,
综上所述，共5个，
故选：B
5. 是2022个由1和组成的数，，则（ ）
A. 2021B. 4042C. 3640D. 4842
【答案】C
【解析】
【分析】由可知1的个数比的个数多202个，得到 的个数和1的个数代入可得答案.
【详解】因为是2022个由1和组成的数，，
所以1的个数比的个数多202个，即1的个数为个，
的个数为个，无论中哪个数是1，哪个是，
均有.
故选：C.
6. 某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）.“沙漏"是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成.某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是，高是；圆柱体底面半径是，液体高是.计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏"中液体的高度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆柱体积公式可得液体的体积为，圆锥的体积为，所以计时结束后，圆锥中没有液体的部分的体积为，根据圆锥体积公式计算可得.
【详解】如图，圆锥的底面半径是6cm，高是6cm，
所以、是等腰直角三角形，所以，
由已知可得：液体的体积为，
圆锥的体积为，
计时结束后，圆锥中没有液体的部分体积为，
设计时结束后，“沙漏”中液体的高度AD为xcm，
则，
，
，
所以，
所以计时结束后，“沙漏”中液体的高度为3cm.
故选：B.
7. 整数使得关于的二元一次方程组的解为正整数（均为正整数），且使得关于的不等式组无解，则所有满足条件的的和为（ ）
A. 9B. 16C. 17D. 30
【答案】C
【解析】
【分析】解出二元一次方程组的解，由a为整数且方程组的解为正整数确定出a的值，再由不等式组无解，确定出满足题意a的值，即可得到答案
【详解】解：当时，代入方程组得易得无实数解，与题意矛盾，舍去；
当时，由方程组解得，
∵a为整数，x，y为正整数，
∴a−3=1或2或5或10，
解得：a=4或5或8或13，
不等式组整理得：，
∵不等式组无解，
∴，解得，
∴满足题意a的值为4或5或8，则所有满足条件的的和为4＋5＋8＝17，
故选：C
8. 定义：平面直角坐标系中，点的横坐标的绝对值表示为，纵坐标的绝对值表示为，我们把点的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点的折线距离，记为（其中的“+”是四则运算中的加法）.若拋物线与直线只有一个交点，已知点在第一象限，且，令，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】因为拋物线与直线只有一个交点得， 可化为，求出，因为点在第一象限、，可得，，利用抛物线的性质可得答案.
【详解】因为拋物线与直线只有一个交点，
所以只有一个解，消去得，
所以，，因为，所以，
可化，即，
所以，，因为点在第一象限，所以，，
因为，所以，可得，
所以，
因为，抛物线开口向下，对称轴为，所以随的增大而增大，
故.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查点的坐标，解得本题的关键点是明确题意，理解定义，求出相应的点的坐标.，转化为二次函数的性质求解.
二､填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分.
9. 年4月16日上午，神舟十三号载人飞船搭载航天员翟志刚､王亚平､叶光富安全返回内蒙古东风着陆场，至此，中国空间站关键技术验证阶段收官之战取得圆满成功.为激励更多同学投身祖国的航天事业，长沙某初中开展了航天员模拟选拔活动，从心理素质､身体素质､科学头脑､应变能力四个方面进行考核，每项满分均为100分，最后将四项得分按照4：3：2：1的比例确定成绩，小军四项所得的分数依次是分，那么小军的最终得分是___________分.
【答案】
【解析】
【分析】由加权平均数的定义计算得解.
【详解】由加权平均数得：小军的最终得分是分，
故答案为：
10. 若关于的方程无解，则的值为___________.
【答案】或
【解析】
【分析】将方程等价变形，分，两种情况讨论得解.
【详解】方程两边同乘以，其中，得，所以；
当时，即时，原方程无解，符合题意；
当时，，
因为方程无解，所以，解得
综上：的值为或
故答案为：或.
11. 正比例函数与反比例函数图像相交于两点，已知点的横坐标为1，当时，的取值范围是___________.
【答案】或
【解析】
【分析】根据反比例函数图像的特点得出点横坐标,再利用函数图像可直接得出结论
【详解】因为正比例函数与反比例函数的图像均关于原点对称，点的横坐标为1，
所以点的横坐标为-1，
由函数图像可知，当或时，正比例函数的图像在反比例函数图像的上方，
所以当时, 的取值范围是或，
故答案为：或
12. 如图，中，，点在线段上，以为圆心，长为半径的圆与边相交于另一点，点在直线上，且是的切线，则的最小值为___________.
【答案】4.8
【解析】
【分析】连接PD，取PQ的中点E，连接CE，DE，判定时PQ有最小值即可
【详解】解：在中，，
∴，
∴，
连接PD，取PQ的中点E，连接CE，DE，
∵DQ是的切线，
∴，
∴，
当时，有最小值，即，
即，
故答案为：4.8
三､解答题：本题共4小题，共52分.应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
13. 如图，在同一坐标系中，直线交轴于点，直线过点.
（1）求的值；
（2）点分别在直线上，且关于原点对称，说明：点关于原点对称的点的坐标为，求点的坐标和的面积.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）由直线求出点的坐标，再将点的坐标代入方程中可求出的值；
（2）由题意设 ，则，再将点的坐标代入直线中可求出，从而可求得两点的坐标，进而可求出的面积.
【小问1详解】
对于直线，当时，，
所以
因为直线过点，
所以，得，
【小问2详解】
由得，
设 ，则.
又在上，
所以，解得，
则
所以.
14. “只要人人献出一点爱，世界将变成美好的人间”某大学“利用世界献血日"，开展自愿义务献血活动，经过检测，献血者血型有：“"四种类型.随机抽取部分献血结果进行统计，根据结果制作了如下两幅不完整统计图表.
血型统计表
（1）求的值；
（2）若这次活动中该校有1200人义务献血，估计大约有多少人型血？
（3）现有4个自愿献血者，2人为型，1人为型，1人为型，若在4人中随机挑选2人，利用树状图或列表法求两人血型均为型的概率.
【答案】（1），；
（2）288人； （3）
【解析】
【分析】（1）先计算出总人数，接着算出O型的人数，再计算出A型人数；
（2）用样本中A型的人数除以50得到血型是A型的概率，然后用1200乘以此概率可估计这1200人中是A型血的人数；
（3）画出树状图，根据概率公式即可得到结果
【小问1详解】
献血总人数：(人)
型血献血人数：(人),
型血献血人数：(人)
所以，；
【小问2详解】
献血者为型血的概率
(人)
答：这1200人中大约有288人型血；
【小问3详解】
画树状图如下
由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有12种，这些结果出现的可能性相同，其中两人都为O型的有2种，
∴P(两人均为O型)
15. （1）问题：如图①，在中，为边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接，试写出，之间满足的等量关系式；
（2）探索：如图②，在Rt与中，，将绕点旋转，使点落在边上，试探索线段之间满足的等量关系，并证明你的结论；
（3）应用：如图③，在四边形中，.若，求的长.
【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）.
【解析】
【分析】（1）证出可得答案；
（2）连接， 利用、可得答案；
（3）作，使，证出，求出，
可得答案.
【详解】（1），理由如下：
.
即
在和中，，
，
；
（2）理由如下：
连接，由（1）得：，
在Rt中，，又，
；
（3）作，使，连接，
即，
在和中，，
，
，
.
【点睛】
16. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别相交于两点（点在点的左侧），与轴相交于点，设抛物线的对称轴与轴相交于点，且.
（1）求的值；
（2）将抛物线向上平移3个单位，得到抛物线，设点是抛物线上在第一象限内不同的两点，射线分别交直线于点，设的横坐标分别为，且，求证：直线经过定点.
【答案】（1）；
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由顶点式求得对称轴，由处函数值求得点坐标，根据列方程求解即可；
（2）设点，结合原点可得直线的解析式，再由可得点横坐标，由可得；设直线的解析式为，与联立之后可得，，代入求得，继而求出答案
【小问1详解】
解：依题意得：，
抛物线的对称轴为直线，
，
在中，令，则，
，，
，，解得；
【小问2详解】
将代入抛物线得，
如图，将抛物线向上平移3个单位后得到拋物线，
点是拋物线上在第一象限内不同的两点，
设点，
由分别可求得：
点在直线上，
点，
，即，
整理得，
设直线的解析式为，与联立得：
，
整理得，
由根与系数的关系可得：，
，，
，
直线的解析式为，
当时，，
直线经过定点
血型
人数
10
5
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