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高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)期末测试卷(一)(原卷版+解析)
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这是一份高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)期末测试卷(一)(原卷版+解析)，共17页。试卷主要包含了如图，在中，，，，，， 则等内容，欢迎下载使用。
说明：1．本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。
3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。
第I卷(选择题 共60分)
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1．设为复数的共轭复数，则复平面内与复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原的面积是（ ）
A．1B．C．D．
3．如图，梯形中，，且，对角线相交于点，，则（ ）
A． B． C． D．
4．一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，，7，8（其中），若该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的方差和第60百分位数是（ ）
A．，5B．5，5C．，6D．5，6
5．一个斜边长为2的等腰直角三角形绕直角边旋转一周形成的几何体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在中，，，，，， 则（ ）
A．B．C．D．
7．已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则等于（ ）
A．B．C．D．2
8．三棱锥中，平面，，的面积为3，则三棱锥的外接球体积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．近年来，报考教师资格证的人数越来越多，教师行业逐渐升温．下图给出了近四年四所师范院校的录取分数排名，则（ ）
A．近四年北京师范大学录取分数排名变化最不明显
B．近四年湖南师范大学录取分数排名的平均值最大
C．近四年华南师范大学录取分数排名的极差值最大
D．近四年华中师范大学的生源质量呈现下降的趋势
10．已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
11．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面ABCD中，，且，下列说法正确的有（ ）
A．B．该圆台轴截面ABCD面积为
C．该圆台的体积为D．沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5cm
12．已知圆锥的顶点为，母线长为2，底面半径为，A，为底面圆周上的两个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．圆锥的高为1 B．三角形为等腰三角形
C．面积的最大值为 D．直线与圆锥底面所成角的大小为
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知向量与的夹角为，，，则_______．
14．已知O为所在平面内一点，且满足，，则________．
15．已知外接圆半径为1，，若边上一点D满足，且，则的面积为________.
16．为了解某地居民的月收入情况，一个社会调查机构调查了20 000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示（最后一组包含两端值，其他组包含最小值，不包含最大值）.现按月收入分层，用分层随机抽样的方法在这20 000人中抽出200人进一步调查，则月收入在[3 000，4 000）（单位：元）内的应抽取________人.
四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知．
(1)求B的值；
(2)若，且，求的面积．
18．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，．
(1)求角B；
(2)若点D在边AB上，，，求△ABC面积的最大值．
19．在△ABC中，D为BC边上一点， ，设，.
（1）试、用表示；
（2）若，，且与的夹角为60°，求及的值.
20．某奶茶店为了促销，准备推出“掷骰子赢代金券”的活动，游戏规则如下:顾客每次消费后，可同时投掷两枚质地均匀的骰子一次，赢得一等奖、二等奖、三等奖和感谢奖四个等级的代金券．设事件A为“两个连号”；事件B为“两个同点”；事件C为“同奇偶但不同点”．
①将以上三种掷骰子的结果，按出现概率由低到高，对应定为一、二、三等奖要求的条件；
②本着人人有奖原则，其余不符合一、二、三等奖要求的条件均定为感谢奖．请替该店定出各个等级依次对应的事件，并求相应概率．
21．某学校组织120名学生参加知识竞赛，将120名学生的竞赛成绩整理后画出的频率直方图如图所示.
(1)求实数a的值
(2)试利用频率直方图的组中值估算这次知识竞赛的平均成绩；
(3)从这次知识竞赛成绩落在区间内的学生中，随机选取2名学生到某社区开展“学知识､健体魄”活动，已知这次知识竞赛成绩落在区间内的学生中恰有3名男生，求至少有1名男生被选中的概率.
22．如图1所示，在等腰梯形ABCD中，，，垂足为E，，将沿EC折起到的位置，如图2所示，使平面平面ABCE.
（1）连结BE，证明：平面；
（2）在棱上是否存在点G，使得平面，若存在，直接指出点G的位置不必说明理由，并求出此时三棱锥的体积；若不存在，请说明理由.
期末测试卷（一）
范围：必修二第六章—第十章
说明：1．本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。
3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。
第I卷(选择题 共60分)
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
一、单选题(共0分)
1．设为复数的共轭复数，则复平面内与复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解析】，
因此，复数对应的点在第四象限.
故选：D.
2．一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原的面积是（ ）
A．1B．C．D．
【解析】因为三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形，
所以的底．
腰，在中为直角三角形，高．
所以直角三角形的面积是．
故选:D．
3．如图，梯形中，，且，对角线相交于点，，则（ ）
A．B．
C．D．
【解析】由题设知：，得，即，又，
∴由，可得.
故选：B
4．一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，，7，8（其中），若该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的方差和第60百分位数是（ ）
A．，5B．5，5C．，6D．5，6
【解析】由题意知，，解得，
所以该组数据的平均数为，
所以该组数据的方差是．
因为，所以该组数据的第60百分位数是该组数据按从小到大的顺序排列后的第4位数，即是6.
故选：C.
5．一个斜边长为2的等腰直角三角形绕直角边旋转一周形成的几何体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意可得所形成的几何体为圆锥，圆锥的高和底面半径均为，母线长为2，
所以圆锥的表面积为，
故选：B
6．如图，在中，，，，，， 则（ ）
A．B．C．D．
【解析】，
所以
.
故选：A
7．已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则等于（ ）
A．B．C．D．2
【解析】由，则，
所以.
故选：D
8．三棱锥中，平面，，的面积为3，则三棱锥的外接球体积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】设 ，因为的面积为3，所以 ，，
利用正弦定理得 ，
所以三角形ABC外接圆半径为 ，平面，
所以球心O到平面ABC的距离为 ，
设球O的半径为R，则 ，
当且仅当 时，等号成立，
故三棱锥的外接球体积的最小值为 .
故选：C
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．近年来，报考教师资格证的人数越来越多，教师行业逐渐升温．下图给出了近四年四所师范院校的录取分数排名，则（ ）
A．近四年北京师范大学录取分数排名变化最不明显
B．近四年湖南师范大学录取分数排名的平均值最大
C．近四年华南师范大学录取分数排名的极差值最大
D．近四年华中师范大学的生源质量呈现下降的趋势
【解析】对于A选项，由图可知，近四年北京师范大学录取分数排名比较稳定，排名变化最不明显，A对；
对于B选项，近四年，湖南师范大学录取分数排名的平均值为，
华南师范大学录取分数排名的平均值为，
由图观察可知，华中师范大学和北京师范大学录取分数排名的平均值都比湖南师范大学录取分数排名的小，B对；
对于C选项，近四年，湖南师范大学录取分数排名的极差为，
华南师范大学录取分数排名的极差为，
由图可知，华中师范大学和北京师范大学录取分数排名变化不大，
这两所学校录取分数排名的极差比华南师范大学录取分数排名的极差小，
故近四年华南师范大学录取分数排名的极差值最大，C对.
对于D选项，近四年华中师范大学录取分数的排名越来越靠前，该校的生源质量越来越好，D错.
故选：ABC.
10．已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【解析】对于A：若，则或，故A错误；
对于B：若，则与可平行也可异面，故B错误；
对于C：若，则，故C正确；
对于D：若，则，又，则，故D正确.
故选：CD
11．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面ABCD中，，且，下列说法正确的有（ ）
A．B．该圆台轴截面ABCD面积为
C．该圆台的体积为D．沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5cm
【解析】A：由已知及题图知：且，故，错误；
B：由A易知：圆台高为，所以圆台轴截面ABCD面积，正确；
C：圆台的体积，正确；
D：将圆台一半侧面展开，如下图中且为中点，而圆台对应的圆锥体侧面展开为且，又，所以在△中，即C到AD中点的最短距离为5cm，正确.
故选：BCD
12．已知圆锥的顶点为，母线长为2，底面半径为，A，为底面圆周上的两个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．圆锥的高为1
B．三角形为等腰三角形
C．面积的最大值为
D．直线与圆锥底面所成角的大小为
【解析】如图所示．，故A中说法正确；
，故B中说法正确；
易知直线与圆锥底面所成的角为，故D中说法正确；
取的中点C，
设，则，
，
当时，取最大值2，故C中说法错误．
故选ABD.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知向量与的夹角为，，，则_______．
【解析】，.
故答案为：.
14．已知O为所在平面内一点，且满足，，则________．
【解析】因为O为所在平面内一点，且满足，
所以O为的外心，
作，垂足为，则，
又，
所以．
故答案为：.
15．已知外接圆半径为1，，若边上一点D满足，且，则的面积为________.
【解析】的外接圆半径为1，，
由正弦定理得：，可得：，
边上一点满足，
且，，，
在中，，①
在中，，②
由①②可得，
在中，，
，则的面积为．
故答案为：．
16．为了解某地居民的月收入情况，一个社会调查机构调查了20 000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示（最后一组包含两端值，其他组包含最小值，不包含最大值）.现按月收入分层，用分层随机抽样的方法在这20 000人中抽出200人进一步调查，则月收入在[3 000，4 000）（单位：元）内的应抽取________人.
【解析】月收入在[3 000，4 000）的频率为1－（0.000 1＋0.000 25×2＋0.000 15＋0.000 05）×1000＝0.2，
故应抽取200×0.2＝40（人）.
故答案为：40
四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知．
(1)求B的值；
(2)若，且，求的面积．
【解析】(1)，
,
，，又，
即，又.
(2)因为，且，所以，
则.
由正弦定理可得，即，化简得，
又，联立可解得
故△ABC的面积为.
18．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，．
(1)求角B；
(2)若点D在边AB上，，，求△ABC面积的最大值．
【解析】(1)因为，
所以，即，
由正弦定理可得，即，
即，因为，所以，
因为，所以；
(2)在中，由余弦定理可得，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，
所以面积的最大值为.
19．在△ABC中，D为BC边上一点， ，设，.
（1）试、用表示；
（2）若，，且与的夹角为60°，求及的值.
【解析】（1）因为，所以，
又，，
所以；
（2），，且与的夹角为60°，
所以，
则，
，
故.
20．某奶茶店为了促销，准备推出“掷骰子赢代金券”的活动，游戏规则如下:顾客每次消费后，可同时投掷两枚质地均匀的骰子一次，赢得一等奖、二等奖、三等奖和感谢奖四个等级的代金券．设事件A为“两个连号”；事件B为“两个同点”；事件C为“同奇偶但不同点”．
①将以上三种掷骰子的结果，按出现概率由低到高，对应定为一、二、三等奖要求的条件；
②本着人人有奖原则，其余不符合一、二、三等奖要求的条件均定为感谢奖．请替该店定出各个等级依次对应的事件，并求相应概率．
【解析】由题意知，基本事件总数为36，枚举如下：1-1，1-2，1-3，1-4，1-5，1-6，2-1，2-2，2-3，2-4，2-5，2-6，3-1，3-2，3-3，3-4，3-5，3-6，4-1，4-2，4-3，4-4，4-5，4-6，5-1，5-2，5-3，5-4，5-5，5-6，6-1，6-2，6-3，6-4，6-5，6-6．
事件共包含10个基本事件，枚举如下：1-2，2-1，2-3，3-2，3-4，4-3，4-5，5-4，5-6，6-5．
∴；
事件共包含6个基本事件，枚举如下：1-1，2-2，3-3，4-4，5-5，6-6，
∴；
事件共包含12个基本事件，枚举如下：1-3，1-5，2-4，2-6，3-1，3-3，3-5，4-2，4-6，5-1，5-3，6-2，6-4，
∴；
∴，
∴事件：“两个同点”对应一等奖，概率为；
事件：“两连号”对应二等奖，概率为；
事件：“同奇偶但不同点”对应三等奖，概率为；
其余事件对应感谢奖，概率为．
21．某学校组织120名学生参加知识竞赛，将120名学生的竞赛成绩整理后画出的频率直方图如图所示.
(1)求实数a的值
(2)试利用频率直方图的组中值估算这次知识竞赛的平均成绩；
(3)从这次知识竞赛成绩落在区间内的学生中，随机选取2名学生到某社区开展“学知识､健体魄”活动，已知这次知识竞赛成绩落在区间内的学生中恰有3名男生，求至少有1名男生被选中的概率.
【解析】(1)由，解得；
(2)，所以这次知识竞赛的平均成绩是71分.
(3)这次知识竞赛成绩落在区间内的员工有名.记“至少有一个男生被选中”为事件A，记这6人为1，2，3，4，5，6号，其中男生为1，2，3号，则样本空间
，
所以.
所以至少有1名男性员工被选中的概率为.
22．如图1所示，在等腰梯形ABCD中，，，垂足为E，，将沿EC折起到的位置，如图2所示，使平面平面ABCE.
（1）连结BE，证明：平面；
（2）在棱上是否存在点G，使得平面，若存在，直接指出点G的位置不必说明理由，并求出此时三棱锥的体积；若不存在，请说明理由.
【解析】1因为平面平面ABCE，平面平面，平面，所以 平面ABCE ，
又因为 平面ABCE，所以 ，又，满足，所以 ，
又 ，所以 平面.
2在棱上存在点G，使得平面，
此时点G为的中点.，
由1知，平面ABCE，所以 ，
又，所以 平面，
所以CE为三棱锥的高，且，
在中，，G为斜边的中点，
所以 ，
所以 .
故，在棱上存在点G，使得平面，
此时三棱锥的体积为.
说明：1．本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。
3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。
第I卷(选择题 共60分)
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1．设为复数的共轭复数，则复平面内与复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原的面积是（ ）
A．1B．C．D．
3．如图，梯形中，，且，对角线相交于点，，则（ ）
A． B． C． D．
4．一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，，7，8（其中），若该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的方差和第60百分位数是（ ）
A．，5B．5，5C．，6D．5，6
5．一个斜边长为2的等腰直角三角形绕直角边旋转一周形成的几何体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在中，，，，，， 则（ ）
A．B．C．D．
7．已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则等于（ ）
A．B．C．D．2
8．三棱锥中，平面，，的面积为3，则三棱锥的外接球体积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．近年来，报考教师资格证的人数越来越多，教师行业逐渐升温．下图给出了近四年四所师范院校的录取分数排名，则（ ）
A．近四年北京师范大学录取分数排名变化最不明显
B．近四年湖南师范大学录取分数排名的平均值最大
C．近四年华南师范大学录取分数排名的极差值最大
D．近四年华中师范大学的生源质量呈现下降的趋势
10．已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
11．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面ABCD中，，且，下列说法正确的有（ ）
A．B．该圆台轴截面ABCD面积为
C．该圆台的体积为D．沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5cm
12．已知圆锥的顶点为，母线长为2，底面半径为，A，为底面圆周上的两个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．圆锥的高为1 B．三角形为等腰三角形
C．面积的最大值为 D．直线与圆锥底面所成角的大小为
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知向量与的夹角为，，，则_______．
14．已知O为所在平面内一点，且满足，，则________．
15．已知外接圆半径为1，，若边上一点D满足，且，则的面积为________.
16．为了解某地居民的月收入情况，一个社会调查机构调查了20 000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示（最后一组包含两端值，其他组包含最小值，不包含最大值）.现按月收入分层，用分层随机抽样的方法在这20 000人中抽出200人进一步调查，则月收入在[3 000，4 000）（单位：元）内的应抽取________人.
四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知．
(1)求B的值；
(2)若，且，求的面积．
18．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，．
(1)求角B；
(2)若点D在边AB上，，，求△ABC面积的最大值．
19．在△ABC中，D为BC边上一点， ，设，.
（1）试、用表示；
（2）若，，且与的夹角为60°，求及的值.
20．某奶茶店为了促销，准备推出“掷骰子赢代金券”的活动，游戏规则如下:顾客每次消费后，可同时投掷两枚质地均匀的骰子一次，赢得一等奖、二等奖、三等奖和感谢奖四个等级的代金券．设事件A为“两个连号”；事件B为“两个同点”；事件C为“同奇偶但不同点”．
①将以上三种掷骰子的结果，按出现概率由低到高，对应定为一、二、三等奖要求的条件；
②本着人人有奖原则，其余不符合一、二、三等奖要求的条件均定为感谢奖．请替该店定出各个等级依次对应的事件，并求相应概率．
21．某学校组织120名学生参加知识竞赛，将120名学生的竞赛成绩整理后画出的频率直方图如图所示.
(1)求实数a的值
(2)试利用频率直方图的组中值估算这次知识竞赛的平均成绩；
(3)从这次知识竞赛成绩落在区间内的学生中，随机选取2名学生到某社区开展“学知识､健体魄”活动，已知这次知识竞赛成绩落在区间内的学生中恰有3名男生，求至少有1名男生被选中的概率.
22．如图1所示，在等腰梯形ABCD中，，，垂足为E，，将沿EC折起到的位置，如图2所示，使平面平面ABCE.
（1）连结BE，证明：平面；
（2）在棱上是否存在点G，使得平面，若存在，直接指出点G的位置不必说明理由，并求出此时三棱锥的体积；若不存在，请说明理由.
期末测试卷（一）
范围：必修二第六章—第十章
说明：1．本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。
3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。
第I卷(选择题 共60分)
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
一、单选题(共0分)
1．设为复数的共轭复数，则复平面内与复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解析】，
因此，复数对应的点在第四象限.
故选：D.
2．一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原的面积是（ ）
A．1B．C．D．
【解析】因为三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形，
所以的底．
腰，在中为直角三角形，高．
所以直角三角形的面积是．
故选:D．
3．如图，梯形中，，且，对角线相交于点，，则（ ）
A．B．
C．D．
【解析】由题设知：，得，即，又，
∴由，可得.
故选：B
4．一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，，7，8（其中），若该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的方差和第60百分位数是（ ）
A．，5B．5，5C．，6D．5，6
【解析】由题意知，，解得，
所以该组数据的平均数为，
所以该组数据的方差是．
因为，所以该组数据的第60百分位数是该组数据按从小到大的顺序排列后的第4位数，即是6.
故选：C.
5．一个斜边长为2的等腰直角三角形绕直角边旋转一周形成的几何体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意可得所形成的几何体为圆锥，圆锥的高和底面半径均为，母线长为2，
所以圆锥的表面积为，
故选：B
6．如图，在中，，，，，， 则（ ）
A．B．C．D．
【解析】，
所以
.
故选：A
7．已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则等于（ ）
A．B．C．D．2
【解析】由，则，
所以.
故选：D
8．三棱锥中，平面，，的面积为3，则三棱锥的外接球体积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】设 ，因为的面积为3，所以 ，，
利用正弦定理得 ，
所以三角形ABC外接圆半径为 ，平面，
所以球心O到平面ABC的距离为 ，
设球O的半径为R，则 ，
当且仅当 时，等号成立，
故三棱锥的外接球体积的最小值为 .
故选：C
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．近年来，报考教师资格证的人数越来越多，教师行业逐渐升温．下图给出了近四年四所师范院校的录取分数排名，则（ ）
A．近四年北京师范大学录取分数排名变化最不明显
B．近四年湖南师范大学录取分数排名的平均值最大
C．近四年华南师范大学录取分数排名的极差值最大
D．近四年华中师范大学的生源质量呈现下降的趋势
【解析】对于A选项，由图可知，近四年北京师范大学录取分数排名比较稳定，排名变化最不明显，A对；
对于B选项，近四年，湖南师范大学录取分数排名的平均值为，
华南师范大学录取分数排名的平均值为，
由图观察可知，华中师范大学和北京师范大学录取分数排名的平均值都比湖南师范大学录取分数排名的小，B对；
对于C选项，近四年，湖南师范大学录取分数排名的极差为，
华南师范大学录取分数排名的极差为，
由图可知，华中师范大学和北京师范大学录取分数排名变化不大，
这两所学校录取分数排名的极差比华南师范大学录取分数排名的极差小，
故近四年华南师范大学录取分数排名的极差值最大，C对.
对于D选项，近四年华中师范大学录取分数的排名越来越靠前，该校的生源质量越来越好，D错.
故选：ABC.
10．已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【解析】对于A：若，则或，故A错误；
对于B：若，则与可平行也可异面，故B错误；
对于C：若，则，故C正确；
对于D：若，则，又，则，故D正确.
故选：CD
11．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面ABCD中，，且，下列说法正确的有（ ）
A．B．该圆台轴截面ABCD面积为
C．该圆台的体积为D．沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5cm
【解析】A：由已知及题图知：且，故，错误；
B：由A易知：圆台高为，所以圆台轴截面ABCD面积，正确；
C：圆台的体积，正确；
D：将圆台一半侧面展开，如下图中且为中点，而圆台对应的圆锥体侧面展开为且，又，所以在△中，即C到AD中点的最短距离为5cm，正确.
故选：BCD
12．已知圆锥的顶点为，母线长为2，底面半径为，A，为底面圆周上的两个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．圆锥的高为1
B．三角形为等腰三角形
C．面积的最大值为
D．直线与圆锥底面所成角的大小为
【解析】如图所示．，故A中说法正确；
，故B中说法正确；
易知直线与圆锥底面所成的角为，故D中说法正确；
取的中点C，
设，则，
，
当时，取最大值2，故C中说法错误．
故选ABD.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知向量与的夹角为，，，则_______．
【解析】，.
故答案为：.
14．已知O为所在平面内一点，且满足，，则________．
【解析】因为O为所在平面内一点，且满足，
所以O为的外心，
作，垂足为，则，
又，
所以．
故答案为：.
15．已知外接圆半径为1，，若边上一点D满足，且，则的面积为________.
【解析】的外接圆半径为1，，
由正弦定理得：，可得：，
边上一点满足，
且，，，
在中，，①
在中，，②
由①②可得，
在中，，
，则的面积为．
故答案为：．
16．为了解某地居民的月收入情况，一个社会调查机构调查了20 000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示（最后一组包含两端值，其他组包含最小值，不包含最大值）.现按月收入分层，用分层随机抽样的方法在这20 000人中抽出200人进一步调查，则月收入在[3 000，4 000）（单位：元）内的应抽取________人.
【解析】月收入在[3 000，4 000）的频率为1－（0.000 1＋0.000 25×2＋0.000 15＋0.000 05）×1000＝0.2，
故应抽取200×0.2＝40（人）.
故答案为：40
四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知．
(1)求B的值；
(2)若，且，求的面积．
【解析】(1)，
,
，，又，
即，又.
(2)因为，且，所以，
则.
由正弦定理可得，即，化简得，
又，联立可解得
故△ABC的面积为.
18．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，．
(1)求角B；
(2)若点D在边AB上，，，求△ABC面积的最大值．
【解析】(1)因为，
所以，即，
由正弦定理可得，即，
即，因为，所以，
因为，所以；
(2)在中，由余弦定理可得，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，
所以面积的最大值为.
19．在△ABC中，D为BC边上一点， ，设，.
（1）试、用表示；
（2）若，，且与的夹角为60°，求及的值.
【解析】（1）因为，所以，
又，，
所以；
（2），，且与的夹角为60°，
所以，
则，
，
故.
20．某奶茶店为了促销，准备推出“掷骰子赢代金券”的活动，游戏规则如下:顾客每次消费后，可同时投掷两枚质地均匀的骰子一次，赢得一等奖、二等奖、三等奖和感谢奖四个等级的代金券．设事件A为“两个连号”；事件B为“两个同点”；事件C为“同奇偶但不同点”．
①将以上三种掷骰子的结果，按出现概率由低到高，对应定为一、二、三等奖要求的条件；
②本着人人有奖原则，其余不符合一、二、三等奖要求的条件均定为感谢奖．请替该店定出各个等级依次对应的事件，并求相应概率．
【解析】由题意知，基本事件总数为36，枚举如下：1-1，1-2，1-3，1-4，1-5，1-6，2-1，2-2，2-3，2-4，2-5，2-6，3-1，3-2，3-3，3-4，3-5，3-6，4-1，4-2，4-3，4-4，4-5，4-6，5-1，5-2，5-3，5-4，5-5，5-6，6-1，6-2，6-3，6-4，6-5，6-6．
事件共包含10个基本事件，枚举如下：1-2，2-1，2-3，3-2，3-4，4-3，4-5，5-4，5-6，6-5．
∴；
事件共包含6个基本事件，枚举如下：1-1，2-2，3-3，4-4，5-5，6-6，
∴；
事件共包含12个基本事件，枚举如下：1-3，1-5，2-4，2-6，3-1，3-3，3-5，4-2，4-6，5-1，5-3，6-2，6-4，
∴；
∴，
∴事件：“两个同点”对应一等奖，概率为；
事件：“两连号”对应二等奖，概率为；
事件：“同奇偶但不同点”对应三等奖，概率为；
其余事件对应感谢奖，概率为．
21．某学校组织120名学生参加知识竞赛，将120名学生的竞赛成绩整理后画出的频率直方图如图所示.
(1)求实数a的值
(2)试利用频率直方图的组中值估算这次知识竞赛的平均成绩；
(3)从这次知识竞赛成绩落在区间内的学生中，随机选取2名学生到某社区开展“学知识､健体魄”活动，已知这次知识竞赛成绩落在区间内的学生中恰有3名男生，求至少有1名男生被选中的概率.
【解析】(1)由，解得；
(2)，所以这次知识竞赛的平均成绩是71分.
(3)这次知识竞赛成绩落在区间内的员工有名.记“至少有一个男生被选中”为事件A，记这6人为1，2，3，4，5，6号，其中男生为1，2，3号，则样本空间
，
所以.
所以至少有1名男性员工被选中的概率为.
22．如图1所示，在等腰梯形ABCD中，，，垂足为E，，将沿EC折起到的位置，如图2所示，使平面平面ABCE.
（1）连结BE，证明：平面；
（2）在棱上是否存在点G，使得平面，若存在，直接指出点G的位置不必说明理由，并求出此时三棱锥的体积；若不存在，请说明理由.
【解析】1因为平面平面ABCE，平面平面，平面，所以 平面ABCE ，
又因为 平面ABCE，所以 ，又，满足，所以 ，
又 ，所以 平面.
2在棱上存在点G，使得平面，
此时点G为的中点.，
由1知，平面ABCE，所以 ，
又，所以 平面，
所以CE为三棱锥的高，且，
在中，，G为斜边的中点，
所以 ，
所以 .
故，在棱上存在点G，使得平面，
此时三棱锥的体积为.
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