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高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第01练有限样本空间与随机事件(原卷版+解析)
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这是一份高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第01练有限样本空间与随机事件(原卷版+解析)，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．一个不透明的袋子中装有8个红球，2个白球，除颜色外，球的大小、质地完全相同，采用不放回的方式从中摸出3个球.下列事件为不可能事件的是（ ）
A．3个都是白球B．3个都是红球C．至少1个红球D．至多2个白球
2．从6个同类产品（其中有4个正品，2个次品）中，任意抽取3个的不可能事件是（ ）
A．3个都是正品B．至少有1个次品C．3个都是次品D．至少有1个正品
3．集合A＝{2，3}，B＝{1，2，4}，从A，B中各任意取一个数，构成一个两位数，则所有样本点的个数为（ ）
A．8B．9C．12D．11
4．已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是（ ）
A．事件“都是红色卡片”是随机事件
B．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件
C．事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件
D．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件
5．下面的事件：
①袋中有2个红球，4个白球，从中任取3个球，至少取到1个白球；
②某人买彩票中奖；
③非零实系数一次方程必有一实根；
④明天会下雨．
其中是必然事件的有（ ）
A．①B．④C．① ③D．① ④
6．下列事件中，随机事件的个数为（ ）
①物体在只受重力的作用下会自由下落；②方程x2＋2x＋8＝0有两个实根；③某信息台每天的某段时间收到信息咨询的请求次数超过10次；④下周六会下雨.
A．1B．2
C．3D．4
7．下列事件中，属于必然事件的是（ ）．
A．任意买一张电影票，座位号是2的倍数B．13个人中至少有两个人生肖相同
C．车辆随机到达一个路口，遇到红灯D．明天一定是晴天
8．从1，2、3、…、10这10个数中任取3个不同数，那么事件“这三个数的和大于10”是（ ）.
A．必然事件；B．不可能事件；
C．随机事件；D．以上选项均不正确．
9．从6个篮球、2个排球中任选3个球，则下列现象中，确定性现象的是（ ）
A．3个都是篮球B．至少有1个是排球
C．3个都是排球D．至少有1个是篮球
10．下列事件是必然事件的是（ ）
A．从分别标有数字1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到标有数字4的标签
B．函数y＝lgax(a>0且a≠1)为增函数
C．平行于同一条直线的两条直线平行
D．随机选取一个实数x，得2x<0
11．下列事件中，随机事件的个数为（ ）
①三角形内角和为；②三角形中大边对大角，大角对大边；③三角形中两个内角和小于90°；④三角形中任意两边的和大于第三边
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．下列事件：①抛掷一枚硬币，落下后正面朝上；②从某三角形的三个顶点各画一条高线，这三条高线交于一点；③实数a，b都不为0，但；④某地区明年7月的降雨量高于今年7月的降雨量.其中为随机事件的是（ ）
A．①④B．①②③C．②③④D．②④
13．在10件同类产品中有2件次品，若从中任取3件产品，则下列事件中是不可能事件的为（ ）.
A．3件都是正品；B．3件都是次品；
C．至少有1件次品；D．至少有1件正品．
二、多选题
14．在10件同类商品中，有8件红色的，2件白色的，从中任意抽取3件，下列事件是随机事件的是
A．3件都是红色B．3件都是白色
C．至少有1件红色D．有1件白色
15．（多选题）下列事件是随机事件的为（ ）
A．如果，那么
B．任取一实数（且），函数是增函数
C．某人射击一次，命中靶心
D．从盛有一红、二白共三个球的袋子中，摸出一球观察结果是黄球
16．从10个同类产品中（其中8个正品，2个次品）任意抽取3个．下列事件是必然事件的是（ ）
A．至少有一个是正品B．至多有两个次品
C．恰有一个是正品D．至多有三个正品
17．已知非空集合，且集合是集合的真子集，则下列命题为真命题的是（ ）
A．“若，则”是必然事件B．“若，则”是不可能事件
C．“若，则”是随机事件D．“若，则”是必然事件
18．（多选）袋中装有标号分别为1，3，5，7的四个相同的小球，从中取出两个，下列事件是样本点的是（ ）
A．取出的两球标号为3和7
B．取出的两球标号的和为4
C．取出的两球标号都大于3
D．取出的两球标号的和为8
三、填空题
19．连续抛掷一枚硬币3次，观察正面、反面朝上的情况.事件A“正面朝上的次数不超过反面朝上的次数”中含有___________个样本点.
20．在10个学生中，男生有x人.现从10个学生中任选6人去参加某项活动，有下列事件：
①至少有1个女生；②5个男生，1个女生；③3个男生，3个女生.
若要使①为必然事件，②为不可能事件，③为随机事件，则x为________.
21．从0，1，2这三个数字中，不放回地取两次，每次取一个，将这两个数构成有序数对（x，y），其中x为第一次取到的数字，y为第二次取到的数字，则该试验的样本空间为 ___.
22．一个盒子中装有6个完全相同的球，分别标上号码1， 2， 3， …， 6，从中任取一个球，则样本空间Ω＝ ____________．
23．从正方形ABCD的四个顶点及其中心O这5个点中，任取两点观察取点的情况，设事件P：这两点的距离不大于该正方形的边长，则事件P包含的样本点的个数为______．
24．在100件产品中，有93件一级品，7件二级品，则下列事件：
①在这100件产品中任意选出8件，全部是一级品．
②在这100件产品中任意选出8件，全部是二级品．
③在这100件产品中任意选出8件，不全是二级品．
④在这100件产品中任意选出8件，其中不是一级品的件数小于8．
其中______是必然事件，______是不可能事件，______是随机事件．（填序号）
25．同时投掷两颗大小完全相同的骰子，用表示结果，记A为“所得点数之和小于6”，则事件A包含的基本事件的个数为______．
26．给出下列事件：①三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球；②当时，；③同种电荷，相互排斥，其中，必然事件的个数为______.
27．从3双鞋子中，任取4只，其中至少有两只鞋是一双，这个现象是______．（选填“确定性”或“随机性”）
28．在下列现象中，随机现象是______．（选填序号）
①汽车排放尾气会污染环境；
②实数a、b都不为0，则；
③任取一个正方体的4个顶点，这4个顶点不共面；
④将一枚硬币连掷三次，结果出现三次正面；
⑤函数（）在定义域内为严格增函数；
⑥三个小球全部放入两个盒子中，其中一个盒子里有三个球．
29．将一枚骰子掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，则方程x2+bx+c=0有实数根的样本点个数为______.
30．从含有件次品的件产品中任取件，观察其中次品数，其样本空间为______．
31．从长度为2，4，5，7，9的五条线段中任取三条（抽取不分先后），设事件A=“取出的三条线段能构成一个三角形”，则事件A包含的样本点个数为_______________个.
32．用3种不同颜色给甲、乙两个小球随机涂色，每个小球只涂一种颜色．记事件A表示“甲、乙两个小球所涂颜色不同”，则事件A的基本事件的个数为______．
四、解答题
33．树形图（TreeDiagram）是一种有层次地枚举各种可能情况的可视化方法.树形图有助于我们直观地探求某些样本空间.例如，考察有两个孩子的家庭，记“从中任意抽取一个家庭，两个孩子是一男一女”为事件A.我们画出如图所示的树形图，可知样本空间{（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）}，事件{（男，女），（女，男）}.
试用树形图的方法分析下列习题
一只不透明的口袋内装有大小相同的3个球，且分别标有1，2，3三个号码.记“从袋中不放回地抽取2个球，第一个球的号码是1”为事件A，“从袋中不放回地抽取2个球，第二个球的号码是2”为事件B.试分别写出，A，B及AB所包含的样本点.
34．班里有18个男生，15个女生，其中一名女生叫小丽，从中任意抽取a人打扫卫生．
(1)女生被抽到是必然事件，求a的取值范围；
(2)女生小丽被抽到是随机事件，求a的取值范围．
35．从2名男生和3名女生中随机选出2人．
(1)写出样本空间；
(2)写出事件：“两人恰好是1名男生和1名女生”对应的集合．
36．已知f(x)＝x2＋2x，x∈[－2，1]，给出事件A：f(x)≥a.
（1）当A为必然事件时，求a的取值范围；
（2）当A为不可能事件时，求a的取值范围.
37．一只口袋内装有5个大小相同的球，白球3个，黑球2个，从中一次摸出2个球．
(1)共有多少个样本点？
(2)“2个都是白球”包含几个样本点？
38．“五行”指金、木、水、火、土，其中金克木，木克土、土克水、水克火、火克金．现从“五行”中随机抽取“两行”．
(1)写出该试验的样本空间；
(2)写出事件“从五行中抽取两行，抽取的两行不相克”对应的子集．
第1练 有限样本空间与随机事件
eq \\ac(○,通) eq \\ac(○,关) eq \\ac(○,练)
一、单选题
1．一个不透明的袋子中装有8个红球，2个白球，除颜色外，球的大小、质地完全相同，采用不放回的方式从中摸出3个球.下列事件为不可能事件的是（ ）
A．3个都是白球B．3个都是红球C．至少1个红球D．至多2个白球
【解析】对于A：袋子中装有8个红球，2个白球，摸出的3个球都是白球是不可能发生的，故3个都是白球为不可能事件，故选项A正确；
对于B：摸出的3个都是红球为随机事件，故选项B不正确；
对于C：袋子中只有2个白球，摸出3个球至少1个红球为必然事件，故选项C不正确；
对于D：摸出的球至多2个白球是必然事件，故选项D不正确；
故选：A.
2．从6个同类产品（其中有4个正品，2个次品）中，任意抽取3个的不可能事件是（ ）
A．3个都是正品B．至少有1个次品C．3个都是次品D．至少有1个正品
【解析】抽取的3个产品有可能是3个正品；1个正品，2个次品；2个正品，1个次品的情况.所以A、B项都属于随机事件，C项属不可能事件，D项是必然事件.
故选：C.
3．集合A＝{2，3}，B＝{1，2，4}，从A，B中各任意取一个数，构成一个两位数，则所有样本点的个数为（ ）
A．8B．9C．12D．11
【解析】根据题意，所有样本点为：21，22，24，31，32，34，12，13，23，42，43，共11个，
故选：D
4．已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是（ ）
A．事件“都是红色卡片”是随机事件
B．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件
C．事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件
D．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件
【解析】袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，
在A中，事件“都是红色卡片”是随机事件，故A正确；
在B中，事件“都是蓝色卡片”是不可能事件，故B正确；
在C中，事件“至少有一张蓝色卡片”是随机事件，故C错误；
在D中，事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件，故D正确．
故选：C．
5．下面的事件：
①袋中有2个红球，4个白球，从中任取3个球，至少取到1个白球；
②某人买彩票中奖；
③非零实系数一次方程必有一实根；
④明天会下雨．
其中是必然事件的有（ ）
A．①B．④C．① ③D．① ④
【解析】①，因为红球只有个，所以从中任取3个球，至少取到1个白球，是必然事件.
②，中奖不是必然事件.
③，非零实系数一次方程必有一实根，是必然事件.
④，明天会下雨，不是必然事件.
所以必然事件的是① ③.
故选：C
6．下列事件中，随机事件的个数为（ ）
①物体在只受重力的作用下会自由下落；②方程x2＋2x＋8＝0有两个实根；③某信息台每天的某段时间收到信息咨询的请求次数超过10次；④下周六会下雨.
A．1B．2
C．3D．4
【解析】①为必然事件，②为不可能事件，③④为随机事件.
故选：B
7．下列事件中，属于必然事件的是（ ）．
A．任意买一张电影票，座位号是2的倍数B．13个人中至少有两个人生肖相同
C．车辆随机到达一个路口，遇到红灯D．明天一定是晴天
【解析】任意买一张电影票，座位号可能是奇数，也可能是偶数，故A是随机事件，A错误；
1年12个月，故13个人中至少有两个人生肖相同，故B为必然事件，B正确；
车辆随机到达一个路口，遇到红灯，为随机事件，C错误；
明天可能阴天，也可能是晴天，D错误.
故选：B
8．从1，2、3、…、10这10个数中任取3个不同数，那么事件“这三个数的和大于10”是（ ）.
A．必然事件；B．不可能事件；
C．随机事件；D．以上选项均不正确．
【解析】因为从1，2、3、…、10这10个数中任取3个不同数，这3个数的和可能小于10，可能等于10，也有可能大于10，
所以事件“这三个数的和大于10”是随机事件，
故选：C
9．从6个篮球、2个排球中任选3个球，则下列现象中，确定性现象的是（ ）
A．3个都是篮球B．至少有1个是排球
C．3个都是排球D．至少有1个是篮球
【解析】依题意，选出的3个球：“3个都是篮球”与“至少有1个是排球”可能发生，也可不发生，它们是随机事件，A，B都不是；
因只有2个排球，所以选出3个球不可能都是排球，“3个都是排球”是不可能事件，C不是；
因只有2个排球，所以选出的3个球至少有1个是篮球，“至少有1个是篮球”是必然事件，D是.
故选：D
10．下列事件是必然事件的是（ ）
A．从分别标有数字1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到标有数字4的标签
B．函数y＝lgax(a>0且a≠1)为增函数
C．平行于同一条直线的两条直线平行
D．随机选取一个实数x，得2x<0
【解析】A是随机事件，5张标签都可能被取到.
B是随机事件，当a>1时,函数y＝lgax为增函数，当0C是必然事件，实质是平行公理.
D为不可能事件，根据指数函数的图像可得，对任意实数x,都有.
选故：C
11．下列事件中，随机事件的个数为（ ）
①三角形内角和为；②三角形中大边对大角，大角对大边；③三角形中两个内角和小于90°；④三角形中任意两边的和大于第三边
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解析】①三角形内角和为是必然事件，
②三角形中大边对大角，大角对大边是必然事件，
③三角形中两个内角和可能小于，可能等于，可能大于，是随机事件，
④三角形中任意两边的和大于第三边是必然事件，
所以随机事件的个数为，
故选：A.
12．下列事件：①抛掷一枚硬币，落下后正面朝上；②从某三角形的三个顶点各画一条高线，这三条高线交于一点；③实数a，b都不为0，但；④某地区明年7月的降雨量高于今年7月的降雨量.其中为随机事件的是（ ）
A．①④B．①②③C．②③④D．②④
【解析】抛掷一枚硬币，是正面朝上，还是反面朝上，落下前不可确定，即①是随机事件；
因三角形三条高线一定交于一点，则②是必然事件；
因实数a，b都不为0，则，于是得③是不可能事件；
某地区明年7月的降雨量是一种预测，不能确定它比今年7月的降雨量高还是低，④是随机事件，
所以在给定的4个事件中，①④是随机事件.
故选：A
13．在10件同类产品中有2件次品，若从中任取3件产品，则下列事件中是不可能事件的为（ ）.
A．3件都是正品；B．3件都是次品；
C．至少有1件次品；D．至少有1件正品．
【解析】在10件同类产品中有2件次品，若从中任取3件产品，可能3件都是正品；至少有1件次品；至少有1件正品．
10件产品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品.
故选：B.
二、多选题
14．在10件同类商品中，有8件红色的，2件白色的，从中任意抽取3件，下列事件是随机事件的是
A．3件都是红色B．3件都是白色
C．至少有1件红色D．有1件白色
【解析】在10件同类商品中，有8件红色的，2件白色的，从中任意抽取3件，
对于A，抽取3件有可能都是红色，也有可能出现白色，所以A是随机事件；
对于B，因为只有2件是白色，所以不可能出现3件是白色，即B为不可能事件，所以B不是随机事件，
对于C，因为只有2件是白色，所以取出的3件中至少有1件是红色，所以C为必然事件，所以C不是随机事件，
对于D，抽出3件中白色可能有0，1，2三种可能，所以有1件白色是随机事件，即D为随机事件，
综上可知，随机事件为AD，
故选：AD.
15．（多选题）下列事件是随机事件的为（ ）
A．如果，那么
B．任取一实数（且），函数是增函数
C．某人射击一次，命中靶心
D．从盛有一红、二白共三个球的袋子中，摸出一球观察结果是黄球
【解析】A是必然事件；
B中，当时，是增函数，当时，是减函数，故B选项中的事件是随机事件；
C是随机事件；
D是不可能事件.
故选：BC.
16．从10个同类产品中（其中8个正品，2个次品）任意抽取3个．下列事件是必然事件的是（ ）
A．至少有一个是正品B．至多有两个次品
C．恰有一个是正品D．至多有三个正品
【解析】从10个同类产品中任取3个共有3种情况，分别为3个正品、2个正品1个次品、1个正品2个次品，所以从10个同类产品中任意抽取3个，那么至少有一个正品.
故选：AD.
17．已知非空集合，且集合是集合的真子集，则下列命题为真命题的是（ ）
A．“若，则”是必然事件B．“若，则”是不可能事件
C．“若，则”是随机事件D．“若，则”是必然事件
【解析】对A，符合真子集的定义，故A正确；
对B， “若，则”也可能成立，故B错误；
对C，“若，则成立，也可能，故C正确；
对D， “若，则”，由文氏图可以理解，故D正确；
故选：ACD.
18．（多选）袋中装有标号分别为1，3，5，7的四个相同的小球，从中取出两个，下列事件是样本点的是（ ）
A．取出的两球标号为3和7
B．取出的两球标号的和为4
C．取出的两球标号都大于3
D．取出的两球标号的和为8
【解析】对于A：取出的两球标号为3和7是样本点，故选项A正确；
对于B：取出的两球标号的和为4，指取出的两球标号为1和3，是样本点，故选项B正确；
对于C：取出的两球标号都大于3，指取出的两球标号为5和7，是样本点，故选项C正确；
对于D：取出的两球标号的和为8包括取出的两球标号为1和7、3和5，是两个样本点，故选项D不正确；
故选：ABC.
三、填空题
19．连续抛掷一枚硬币3次，观察正面、反面朝上的情况.事件A“正面朝上的次数不超过反面朝上的次数”中含有___________个样本点.
【解析】用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则.
故答案为：4
20．在10个学生中，男生有x人.现从10个学生中任选6人去参加某项活动，有下列事件：
①至少有1个女生；②5个男生，1个女生；③3个男生，3个女生.
若要使①为必然事件，②为不可能事件，③为随机事件，则x为________.
【解析】由题意知，10个学生中，男生人数少于5，但不少于3，所以或.
故答案为：3或4．
21．从0，1，2这三个数字中，不放回地取两次，每次取一个，将这两个数构成有序数对（x，y），其中x为第一次取到的数字，y为第二次取到的数字，则该试验的样本空间为 ___.
【解析】根据题意可得样本空间为：.
故答案为：
22．一个盒子中装有6个完全相同的球，分别标上号码1， 2， 3， …， 6，从中任取一个球，则样本空间Ω＝ ____________．
【解析】因为盒子中装有6个完全相同的球，分别标上号码1， 2， 3， …， 6，
所以从中任取一个球，得到样本空间是Ω＝{1，2，3，4，5，6}．
故答案为：Ω＝{1，2，3，4，5，6}．
23．从正方形ABCD的四个顶点及其中心O这5个点中，任取两点观察取点的情况，设事件P：这两点的距离不大于该正方形的边长，则事件P包含的样本点的个数为______．
【解析】两点距离不大于正方形的边长的线段有：OC，OA，OB，OD，AB，BC，CD，DA，样本点个数为8.
故答案为：8
24．在100件产品中，有93件一级品，7件二级品，则下列事件：
①在这100件产品中任意选出8件，全部是一级品．
②在这100件产品中任意选出8件，全部是二级品．
③在这100件产品中任意选出8件，不全是二级品．
④在这100件产品中任意选出8件，其中不是一级品的件数小于8．
其中______是必然事件，______是不可能事件，______是随机事件．（填序号）
【解析】100件产品中，7件是二级品，现从中任意选出8件，当然不可能全是二级品，故②是不可能事件；
一级品至少有1件，最多就是8件，不是一级品的件数最多为7，小于8，故①是随机事件，
③④是必然事件；
故答案为：③④；②；①
25．同时投掷两颗大小完全相同的骰子，用表示结果，记A为“所得点数之和小于6”，则事件A包含的基本事件的个数为______．
【解析】由题设，事件A包含的基本事件为、、、、、、、、、共10种.
故答案为：10
26．给出下列事件：①三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球；②当时，；③同种电荷，相互排斥，其中，必然事件的个数为______.
【解析】对于事件①，三个球全部放入两个盒子，
假设两个盒子都没球，与题设不符，故其中必有一个盒子有一个以上的球，
故事件①为必然事件；
对于事件②，当时，，事件②为必然事件；
对于事件③，同种电荷，相互排斥，事件③为必然事件.
故答案为：.
27．从3双鞋子中，任取4只，其中至少有两只鞋是一双，这个现象是______．（选填“确定性”或“随机性”）
【解析】由题意可知，从3双鞋子中，任取4只，其中至少有两只鞋是一双，
该事件是必然事件，所以这个现象是确定性，
故答案为：确定性.
28．在下列现象中，随机现象是______．（选填序号）
①汽车排放尾气会污染环境；
②实数a、b都不为0，则；
③任取一个正方体的4个顶点，这4个顶点不共面；
④将一枚硬币连掷三次，结果出现三次正面；
⑤函数（）在定义域内为严格增函数；
⑥三个小球全部放入两个盒子中，其中一个盒子里有三个球．
【解析】对于①，汽车排放的尾气一定会污染环境，①是必然事件；
对于②，因实数a、b都不为0，则，，②是不可能事件；
对于③，正方体的4个顶点可能在一个平面内，也可能不在同一平面内，③是随机事件；
对于④，一枚硬币连掷三次，出现的结果有3次反面、2次反面1次正面、1次反面2次正面，3次正面，④是随机事件；
对于⑤，函数（）在定义域内为严格减函数，⑤是不可能事件；
对于⑥，三个小球全部放入两个盒子中，某个盒子中可能有0个球、1个球、2个球、3个球，⑥是随机事件.
所以随机现象是③④⑥.
故答案为：③④⑥
29．将一枚骰子掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，则方程x2+bx+c=0有实数根的样本点个数为______.
【解析】一枚骰子掷两次，先后出现的点数构成的样本点共36个，
其中方程有实根的充要条件为b2≥4ac，得的结果有：（2，1）（3，1）（4，1）
（5，1）（6，1）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）（4，3）（5，3）（6，3）（4，4）（5，4）
（6，4）（5，5）（6，5）（5，6）（6，6）共19结果．
故答案为：19
30．从含有件次品的件产品中任取件，观察其中次品数，其样本空间为______．
【解析】由分析可知取出的件产品的次品个数为，，，，，
所以样本空间为，
故答案为：.
31．从长度为2，4，5，7，9的五条线段中任取三条（抽取不分先后），设事件A=“取出的三条线段能构成一个三角形”，则事件A包含的样本点个数为_______________个.
【解析】长度为2，4，5，7，9的五条线段中任取三条，
则取出的三条线段可以构成一个三角形的基本事件空间是：
（2，4，5），（4，5，7），（4，7，9），（5，7，9），
所以事件A包含的样本点个数为4个.
故答案为：4
32．用3种不同颜色给甲、乙两个小球随机涂色，每个小球只涂一种颜色．记事件A表示“甲、乙两个小球所涂颜色不同”，则事件A的基本事件的个数为______．
【解析】3种不同颜色分别用表示，甲、乙两个小球所涂颜色不同包含的基本事件有：，共6种.
故答案为：6．
四、解答题
33．树形图（TreeDiagram）是一种有层次地枚举各种可能情况的可视化方法.树形图有助于我们直观地探求某些样本空间.例如，考察有两个孩子的家庭，记“从中任意抽取一个家庭，两个孩子是一男一女”为事件A.我们画出如图所示的树形图，可知样本空间{（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）}，事件{（男，女），（女，男）}.
试用树形图的方法分析下列习题
一只不透明的口袋内装有大小相同的3个球，且分别标有1，2，3三个号码.记“从袋中不放回地抽取2个球，第一个球的号码是1”为事件A，“从袋中不放回地抽取2个球，第二个球的号码是2”为事件B.试分别写出，A，B及AB所包含的样本点.
【解析】样本空间=，事件，事件，事件
34．班里有18个男生，15个女生，其中一名女生叫小丽，从中任意抽取a人打扫卫生．
(1)女生被抽到是必然事件，求a的取值范围；
(2)女生小丽被抽到是随机事件，求a的取值范围．
【解析】(1)班里有18个男生，15个女生，从中任意抽取a人打扫卫生，女生被抽到是必然事件，
所以.
(2)班里有18个男生，15个女生，从中任意抽取a人打扫卫生，女生小丽被抽到是随机事件，
所以，.
35．从2名男生和3名女生中随机选出2人．
(1)写出样本空间；
(2)写出事件：“两人恰好是1名男生和1名女生”对应的集合．
【解析】(1)男生用甲、乙代替，女生用A，B，C代替．
则样本空间为{甲A，甲B，甲C，乙A，乙B，乙C，甲乙，AB，BC，AC}．
(2){甲A，甲B，甲C，乙A，乙B，乙C}．
36．已知f(x)＝x2＋2x，x∈[－2，1]，给出事件A：f(x)≥a.
（1）当A为必然事件时，求a的取值范围；
（2）当A为不可能事件时，求a的取值范围.
【解析】∵ f (x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，x∈[－2，1]
∴ f (x)min＝－1，此时x＝－1.
又f (－2)＝0＜f (1)＝3
∴ f (x)max＝3.
∴ f (x)∈[－1，3]
（1）当A为必然事件时，即f(x)≥a恒成立，故有a≤f(x)min＝－1，即a的取值范围是(－∞，－1].
（2）当A为不可能事件时，即f(x)≥a一定不成立，故有a＞f(x)max＝3，则a的取值范围为(3，＋∞).
37．一只口袋内装有5个大小相同的球，白球3个，黑球2个，从中一次摸出2个球．
(1)共有多少个样本点？
(2)“2个都是白球”包含几个样本点？
【解析】(1)用1，2，3表示3个白球，用a，b表示2个黑球，则从袋中一次摸出2个球的不同结果：
(1，2)，(1，3)，(1，a)，(1，b)，(2，3)，(2，a)，(2，b)，(3，a)，(3，b)，(a，b)，
所以共10个样本点.
(2)由(1)知，“2个都是白球”含有的结果是：(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3个样本点.
38．“五行”指金、木、水、火、土，其中金克木，木克土、土克水、水克火、火克金．现从“五行”中随机抽取“两行”．
(1)写出该试验的样本空间；
(2)写出事件“从五行中抽取两行，抽取的两行不相克”对应的子集．
【解析】(1)样本空间(金，木)，(金，水)，(金，火)，(金，土)，(木，水)，(木，火)，(木，土)，(水，火)，(水，土)，(火，土) ．
(2)记“从五行中抽取两行，抽取的两行不相克”的事件为A，则事件A包含的基本事件，
就是在样本空间中的10个基本事件中去掉“金克木”“木克土”“土克水”“水克火”“火克金”这5组．“相克”构成的基本事件，则A对应的子集为 (金，水)，(金，土)，(木，水)，(木，火)，(火，土) ．
一、单选题
1．一个不透明的袋子中装有8个红球，2个白球，除颜色外，球的大小、质地完全相同，采用不放回的方式从中摸出3个球.下列事件为不可能事件的是（ ）
A．3个都是白球B．3个都是红球C．至少1个红球D．至多2个白球
2．从6个同类产品（其中有4个正品，2个次品）中，任意抽取3个的不可能事件是（ ）
A．3个都是正品B．至少有1个次品C．3个都是次品D．至少有1个正品
3．集合A＝{2，3}，B＝{1，2，4}，从A，B中各任意取一个数，构成一个两位数，则所有样本点的个数为（ ）
A．8B．9C．12D．11
4．已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是（ ）
A．事件“都是红色卡片”是随机事件
B．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件
C．事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件
D．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件
5．下面的事件：
①袋中有2个红球，4个白球，从中任取3个球，至少取到1个白球；
②某人买彩票中奖；
③非零实系数一次方程必有一实根；
④明天会下雨．
其中是必然事件的有（ ）
A．①B．④C．① ③D．① ④
6．下列事件中，随机事件的个数为（ ）
①物体在只受重力的作用下会自由下落；②方程x2＋2x＋8＝0有两个实根；③某信息台每天的某段时间收到信息咨询的请求次数超过10次；④下周六会下雨.
A．1B．2
C．3D．4
7．下列事件中，属于必然事件的是（ ）．
A．任意买一张电影票，座位号是2的倍数B．13个人中至少有两个人生肖相同
C．车辆随机到达一个路口，遇到红灯D．明天一定是晴天
8．从1，2、3、…、10这10个数中任取3个不同数，那么事件“这三个数的和大于10”是（ ）.
A．必然事件；B．不可能事件；
C．随机事件；D．以上选项均不正确．
9．从6个篮球、2个排球中任选3个球，则下列现象中，确定性现象的是（ ）
A．3个都是篮球B．至少有1个是排球
C．3个都是排球D．至少有1个是篮球
10．下列事件是必然事件的是（ ）
A．从分别标有数字1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到标有数字4的标签
B．函数y＝lgax(a>0且a≠1)为增函数
C．平行于同一条直线的两条直线平行
D．随机选取一个实数x，得2x<0
11．下列事件中，随机事件的个数为（ ）
①三角形内角和为；②三角形中大边对大角，大角对大边；③三角形中两个内角和小于90°；④三角形中任意两边的和大于第三边
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．下列事件：①抛掷一枚硬币，落下后正面朝上；②从某三角形的三个顶点各画一条高线，这三条高线交于一点；③实数a，b都不为0，但；④某地区明年7月的降雨量高于今年7月的降雨量.其中为随机事件的是（ ）
A．①④B．①②③C．②③④D．②④
13．在10件同类产品中有2件次品，若从中任取3件产品，则下列事件中是不可能事件的为（ ）.
A．3件都是正品；B．3件都是次品；
C．至少有1件次品；D．至少有1件正品．
二、多选题
14．在10件同类商品中，有8件红色的，2件白色的，从中任意抽取3件，下列事件是随机事件的是
A．3件都是红色B．3件都是白色
C．至少有1件红色D．有1件白色
15．（多选题）下列事件是随机事件的为（ ）
A．如果，那么
B．任取一实数（且），函数是增函数
C．某人射击一次，命中靶心
D．从盛有一红、二白共三个球的袋子中，摸出一球观察结果是黄球
16．从10个同类产品中（其中8个正品，2个次品）任意抽取3个．下列事件是必然事件的是（ ）
A．至少有一个是正品B．至多有两个次品
C．恰有一个是正品D．至多有三个正品
17．已知非空集合，且集合是集合的真子集，则下列命题为真命题的是（ ）
A．“若，则”是必然事件B．“若，则”是不可能事件
C．“若，则”是随机事件D．“若，则”是必然事件
18．（多选）袋中装有标号分别为1，3，5，7的四个相同的小球，从中取出两个，下列事件是样本点的是（ ）
A．取出的两球标号为3和7
B．取出的两球标号的和为4
C．取出的两球标号都大于3
D．取出的两球标号的和为8
三、填空题
19．连续抛掷一枚硬币3次，观察正面、反面朝上的情况.事件A“正面朝上的次数不超过反面朝上的次数”中含有___________个样本点.
20．在10个学生中，男生有x人.现从10个学生中任选6人去参加某项活动，有下列事件：
①至少有1个女生；②5个男生，1个女生；③3个男生，3个女生.
若要使①为必然事件，②为不可能事件，③为随机事件，则x为________.
21．从0，1，2这三个数字中，不放回地取两次，每次取一个，将这两个数构成有序数对（x，y），其中x为第一次取到的数字，y为第二次取到的数字，则该试验的样本空间为 ___.
22．一个盒子中装有6个完全相同的球，分别标上号码1， 2， 3， …， 6，从中任取一个球，则样本空间Ω＝ ____________．
23．从正方形ABCD的四个顶点及其中心O这5个点中，任取两点观察取点的情况，设事件P：这两点的距离不大于该正方形的边长，则事件P包含的样本点的个数为______．
24．在100件产品中，有93件一级品，7件二级品，则下列事件：
①在这100件产品中任意选出8件，全部是一级品．
②在这100件产品中任意选出8件，全部是二级品．
③在这100件产品中任意选出8件，不全是二级品．
④在这100件产品中任意选出8件，其中不是一级品的件数小于8．
其中______是必然事件，______是不可能事件，______是随机事件．（填序号）
25．同时投掷两颗大小完全相同的骰子，用表示结果，记A为“所得点数之和小于6”，则事件A包含的基本事件的个数为______．
26．给出下列事件：①三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球；②当时，；③同种电荷，相互排斥，其中，必然事件的个数为______.
27．从3双鞋子中，任取4只，其中至少有两只鞋是一双，这个现象是______．（选填“确定性”或“随机性”）
28．在下列现象中，随机现象是______．（选填序号）
①汽车排放尾气会污染环境；
②实数a、b都不为0，则；
③任取一个正方体的4个顶点，这4个顶点不共面；
④将一枚硬币连掷三次，结果出现三次正面；
⑤函数（）在定义域内为严格增函数；
⑥三个小球全部放入两个盒子中，其中一个盒子里有三个球．
29．将一枚骰子掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，则方程x2+bx+c=0有实数根的样本点个数为______.
30．从含有件次品的件产品中任取件，观察其中次品数，其样本空间为______．
31．从长度为2，4，5，7，9的五条线段中任取三条（抽取不分先后），设事件A=“取出的三条线段能构成一个三角形”，则事件A包含的样本点个数为_______________个.
32．用3种不同颜色给甲、乙两个小球随机涂色，每个小球只涂一种颜色．记事件A表示“甲、乙两个小球所涂颜色不同”，则事件A的基本事件的个数为______．
四、解答题
33．树形图（TreeDiagram）是一种有层次地枚举各种可能情况的可视化方法.树形图有助于我们直观地探求某些样本空间.例如，考察有两个孩子的家庭，记“从中任意抽取一个家庭，两个孩子是一男一女”为事件A.我们画出如图所示的树形图，可知样本空间{（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）}，事件{（男，女），（女，男）}.
试用树形图的方法分析下列习题
一只不透明的口袋内装有大小相同的3个球，且分别标有1，2，3三个号码.记“从袋中不放回地抽取2个球，第一个球的号码是1”为事件A，“从袋中不放回地抽取2个球，第二个球的号码是2”为事件B.试分别写出，A，B及AB所包含的样本点.
34．班里有18个男生，15个女生，其中一名女生叫小丽，从中任意抽取a人打扫卫生．
(1)女生被抽到是必然事件，求a的取值范围；
(2)女生小丽被抽到是随机事件，求a的取值范围．
35．从2名男生和3名女生中随机选出2人．
(1)写出样本空间；
(2)写出事件：“两人恰好是1名男生和1名女生”对应的集合．
36．已知f(x)＝x2＋2x，x∈[－2，1]，给出事件A：f(x)≥a.
（1）当A为必然事件时，求a的取值范围；
（2）当A为不可能事件时，求a的取值范围.
37．一只口袋内装有5个大小相同的球，白球3个，黑球2个，从中一次摸出2个球．
(1)共有多少个样本点？
(2)“2个都是白球”包含几个样本点？
38．“五行”指金、木、水、火、土，其中金克木，木克土、土克水、水克火、火克金．现从“五行”中随机抽取“两行”．
(1)写出该试验的样本空间；
(2)写出事件“从五行中抽取两行，抽取的两行不相克”对应的子集．
第1练 有限样本空间与随机事件
eq \\ac(○,通) eq \\ac(○,关) eq \\ac(○,练)
一、单选题
1．一个不透明的袋子中装有8个红球，2个白球，除颜色外，球的大小、质地完全相同，采用不放回的方式从中摸出3个球.下列事件为不可能事件的是（ ）
A．3个都是白球B．3个都是红球C．至少1个红球D．至多2个白球
【解析】对于A：袋子中装有8个红球，2个白球，摸出的3个球都是白球是不可能发生的，故3个都是白球为不可能事件，故选项A正确；
对于B：摸出的3个都是红球为随机事件，故选项B不正确；
对于C：袋子中只有2个白球，摸出3个球至少1个红球为必然事件，故选项C不正确；
对于D：摸出的球至多2个白球是必然事件，故选项D不正确；
故选：A.
2．从6个同类产品（其中有4个正品，2个次品）中，任意抽取3个的不可能事件是（ ）
A．3个都是正品B．至少有1个次品C．3个都是次品D．至少有1个正品
【解析】抽取的3个产品有可能是3个正品；1个正品，2个次品；2个正品，1个次品的情况.所以A、B项都属于随机事件，C项属不可能事件，D项是必然事件.
故选：C.
3．集合A＝{2，3}，B＝{1，2，4}，从A，B中各任意取一个数，构成一个两位数，则所有样本点的个数为（ ）
A．8B．9C．12D．11
【解析】根据题意，所有样本点为：21，22，24，31，32，34，12，13，23，42，43，共11个，
故选：D
4．已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是（ ）
A．事件“都是红色卡片”是随机事件
B．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件
C．事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件
D．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件
【解析】袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，
在A中，事件“都是红色卡片”是随机事件，故A正确；
在B中，事件“都是蓝色卡片”是不可能事件，故B正确；
在C中，事件“至少有一张蓝色卡片”是随机事件，故C错误；
在D中，事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件，故D正确．
故选：C．
5．下面的事件：
①袋中有2个红球，4个白球，从中任取3个球，至少取到1个白球；
②某人买彩票中奖；
③非零实系数一次方程必有一实根；
④明天会下雨．
其中是必然事件的有（ ）
A．①B．④C．① ③D．① ④
【解析】①，因为红球只有个，所以从中任取3个球，至少取到1个白球，是必然事件.
②，中奖不是必然事件.
③，非零实系数一次方程必有一实根，是必然事件.
④，明天会下雨，不是必然事件.
所以必然事件的是① ③.
故选：C
6．下列事件中，随机事件的个数为（ ）
①物体在只受重力的作用下会自由下落；②方程x2＋2x＋8＝0有两个实根；③某信息台每天的某段时间收到信息咨询的请求次数超过10次；④下周六会下雨.
A．1B．2
C．3D．4
【解析】①为必然事件，②为不可能事件，③④为随机事件.
故选：B
7．下列事件中，属于必然事件的是（ ）．
A．任意买一张电影票，座位号是2的倍数B．13个人中至少有两个人生肖相同
C．车辆随机到达一个路口，遇到红灯D．明天一定是晴天
【解析】任意买一张电影票，座位号可能是奇数，也可能是偶数，故A是随机事件，A错误；
1年12个月，故13个人中至少有两个人生肖相同，故B为必然事件，B正确；
车辆随机到达一个路口，遇到红灯，为随机事件，C错误；
明天可能阴天，也可能是晴天，D错误.
故选：B
8．从1，2、3、…、10这10个数中任取3个不同数，那么事件“这三个数的和大于10”是（ ）.
A．必然事件；B．不可能事件；
C．随机事件；D．以上选项均不正确．
【解析】因为从1，2、3、…、10这10个数中任取3个不同数，这3个数的和可能小于10，可能等于10，也有可能大于10，
所以事件“这三个数的和大于10”是随机事件，
故选：C
9．从6个篮球、2个排球中任选3个球，则下列现象中，确定性现象的是（ ）
A．3个都是篮球B．至少有1个是排球
C．3个都是排球D．至少有1个是篮球
【解析】依题意，选出的3个球：“3个都是篮球”与“至少有1个是排球”可能发生，也可不发生，它们是随机事件，A，B都不是；
因只有2个排球，所以选出3个球不可能都是排球，“3个都是排球”是不可能事件，C不是；
因只有2个排球，所以选出的3个球至少有1个是篮球，“至少有1个是篮球”是必然事件，D是.
故选：D
10．下列事件是必然事件的是（ ）
A．从分别标有数字1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到标有数字4的标签
B．函数y＝lgax(a>0且a≠1)为增函数
C．平行于同一条直线的两条直线平行
D．随机选取一个实数x，得2x<0
【解析】A是随机事件，5张标签都可能被取到.
B是随机事件，当a>1时,函数y＝lgax为增函数，当0
D为不可能事件，根据指数函数的图像可得，对任意实数x,都有.
选故：C
11．下列事件中，随机事件的个数为（ ）
①三角形内角和为；②三角形中大边对大角，大角对大边；③三角形中两个内角和小于90°；④三角形中任意两边的和大于第三边
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解析】①三角形内角和为是必然事件，
②三角形中大边对大角，大角对大边是必然事件，
③三角形中两个内角和可能小于，可能等于，可能大于，是随机事件，
④三角形中任意两边的和大于第三边是必然事件，
所以随机事件的个数为，
故选：A.
12．下列事件：①抛掷一枚硬币，落下后正面朝上；②从某三角形的三个顶点各画一条高线，这三条高线交于一点；③实数a，b都不为0，但；④某地区明年7月的降雨量高于今年7月的降雨量.其中为随机事件的是（ ）
A．①④B．①②③C．②③④D．②④
【解析】抛掷一枚硬币，是正面朝上，还是反面朝上，落下前不可确定，即①是随机事件；
因三角形三条高线一定交于一点，则②是必然事件；
因实数a，b都不为0，则，于是得③是不可能事件；
某地区明年7月的降雨量是一种预测，不能确定它比今年7月的降雨量高还是低，④是随机事件，
所以在给定的4个事件中，①④是随机事件.
故选：A
13．在10件同类产品中有2件次品，若从中任取3件产品，则下列事件中是不可能事件的为（ ）.
A．3件都是正品；B．3件都是次品；
C．至少有1件次品；D．至少有1件正品．
【解析】在10件同类产品中有2件次品，若从中任取3件产品，可能3件都是正品；至少有1件次品；至少有1件正品．
10件产品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品.
故选：B.
二、多选题
14．在10件同类商品中，有8件红色的，2件白色的，从中任意抽取3件，下列事件是随机事件的是
A．3件都是红色B．3件都是白色
C．至少有1件红色D．有1件白色
【解析】在10件同类商品中，有8件红色的，2件白色的，从中任意抽取3件，
对于A，抽取3件有可能都是红色，也有可能出现白色，所以A是随机事件；
对于B，因为只有2件是白色，所以不可能出现3件是白色，即B为不可能事件，所以B不是随机事件，
对于C，因为只有2件是白色，所以取出的3件中至少有1件是红色，所以C为必然事件，所以C不是随机事件，
对于D，抽出3件中白色可能有0，1，2三种可能，所以有1件白色是随机事件，即D为随机事件，
综上可知，随机事件为AD，
故选：AD.
15．（多选题）下列事件是随机事件的为（ ）
A．如果，那么
B．任取一实数（且），函数是增函数
C．某人射击一次，命中靶心
D．从盛有一红、二白共三个球的袋子中，摸出一球观察结果是黄球
【解析】A是必然事件；
B中，当时，是增函数，当时，是减函数，故B选项中的事件是随机事件；
C是随机事件；
D是不可能事件.
故选：BC.
16．从10个同类产品中（其中8个正品，2个次品）任意抽取3个．下列事件是必然事件的是（ ）
A．至少有一个是正品B．至多有两个次品
C．恰有一个是正品D．至多有三个正品
【解析】从10个同类产品中任取3个共有3种情况，分别为3个正品、2个正品1个次品、1个正品2个次品，所以从10个同类产品中任意抽取3个，那么至少有一个正品.
故选：AD.
17．已知非空集合，且集合是集合的真子集，则下列命题为真命题的是（ ）
A．“若，则”是必然事件B．“若，则”是不可能事件
C．“若，则”是随机事件D．“若，则”是必然事件
【解析】对A，符合真子集的定义，故A正确；
对B， “若，则”也可能成立，故B错误；
对C，“若，则成立，也可能，故C正确；
对D， “若，则”，由文氏图可以理解，故D正确；
故选：ACD.
18．（多选）袋中装有标号分别为1，3，5，7的四个相同的小球，从中取出两个，下列事件是样本点的是（ ）
A．取出的两球标号为3和7
B．取出的两球标号的和为4
C．取出的两球标号都大于3
D．取出的两球标号的和为8
【解析】对于A：取出的两球标号为3和7是样本点，故选项A正确；
对于B：取出的两球标号的和为4，指取出的两球标号为1和3，是样本点，故选项B正确；
对于C：取出的两球标号都大于3，指取出的两球标号为5和7，是样本点，故选项C正确；
对于D：取出的两球标号的和为8包括取出的两球标号为1和7、3和5，是两个样本点，故选项D不正确；
故选：ABC.
三、填空题
19．连续抛掷一枚硬币3次，观察正面、反面朝上的情况.事件A“正面朝上的次数不超过反面朝上的次数”中含有___________个样本点.
【解析】用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则.
故答案为：4
20．在10个学生中，男生有x人.现从10个学生中任选6人去参加某项活动，有下列事件：
①至少有1个女生；②5个男生，1个女生；③3个男生，3个女生.
若要使①为必然事件，②为不可能事件，③为随机事件，则x为________.
【解析】由题意知，10个学生中，男生人数少于5，但不少于3，所以或.
故答案为：3或4．
21．从0，1，2这三个数字中，不放回地取两次，每次取一个，将这两个数构成有序数对（x，y），其中x为第一次取到的数字，y为第二次取到的数字，则该试验的样本空间为 ___.
【解析】根据题意可得样本空间为：.
故答案为：
22．一个盒子中装有6个完全相同的球，分别标上号码1， 2， 3， …， 6，从中任取一个球，则样本空间Ω＝ ____________．
【解析】因为盒子中装有6个完全相同的球，分别标上号码1， 2， 3， …， 6，
所以从中任取一个球，得到样本空间是Ω＝{1，2，3，4，5，6}．
故答案为：Ω＝{1，2，3，4，5，6}．
23．从正方形ABCD的四个顶点及其中心O这5个点中，任取两点观察取点的情况，设事件P：这两点的距离不大于该正方形的边长，则事件P包含的样本点的个数为______．
【解析】两点距离不大于正方形的边长的线段有：OC，OA，OB，OD，AB，BC，CD，DA，样本点个数为8.
故答案为：8
24．在100件产品中，有93件一级品，7件二级品，则下列事件：
①在这100件产品中任意选出8件，全部是一级品．
②在这100件产品中任意选出8件，全部是二级品．
③在这100件产品中任意选出8件，不全是二级品．
④在这100件产品中任意选出8件，其中不是一级品的件数小于8．
其中______是必然事件，______是不可能事件，______是随机事件．（填序号）
【解析】100件产品中，7件是二级品，现从中任意选出8件，当然不可能全是二级品，故②是不可能事件；
一级品至少有1件，最多就是8件，不是一级品的件数最多为7，小于8，故①是随机事件，
③④是必然事件；
故答案为：③④；②；①
25．同时投掷两颗大小完全相同的骰子，用表示结果，记A为“所得点数之和小于6”，则事件A包含的基本事件的个数为______．
【解析】由题设，事件A包含的基本事件为、、、、、、、、、共10种.
故答案为：10
26．给出下列事件：①三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球；②当时，；③同种电荷，相互排斥，其中，必然事件的个数为______.
【解析】对于事件①，三个球全部放入两个盒子，
假设两个盒子都没球，与题设不符，故其中必有一个盒子有一个以上的球，
故事件①为必然事件；
对于事件②，当时，，事件②为必然事件；
对于事件③，同种电荷，相互排斥，事件③为必然事件.
故答案为：.
27．从3双鞋子中，任取4只，其中至少有两只鞋是一双，这个现象是______．（选填“确定性”或“随机性”）
【解析】由题意可知，从3双鞋子中，任取4只，其中至少有两只鞋是一双，
该事件是必然事件，所以这个现象是确定性，
故答案为：确定性.
28．在下列现象中，随机现象是______．（选填序号）
①汽车排放尾气会污染环境；
②实数a、b都不为0，则；
③任取一个正方体的4个顶点，这4个顶点不共面；
④将一枚硬币连掷三次，结果出现三次正面；
⑤函数（）在定义域内为严格增函数；
⑥三个小球全部放入两个盒子中，其中一个盒子里有三个球．
【解析】对于①，汽车排放的尾气一定会污染环境，①是必然事件；
对于②，因实数a、b都不为0，则，，②是不可能事件；
对于③，正方体的4个顶点可能在一个平面内，也可能不在同一平面内，③是随机事件；
对于④，一枚硬币连掷三次，出现的结果有3次反面、2次反面1次正面、1次反面2次正面，3次正面，④是随机事件；
对于⑤，函数（）在定义域内为严格减函数，⑤是不可能事件；
对于⑥，三个小球全部放入两个盒子中，某个盒子中可能有0个球、1个球、2个球、3个球，⑥是随机事件.
所以随机现象是③④⑥.
故答案为：③④⑥
29．将一枚骰子掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，则方程x2+bx+c=0有实数根的样本点个数为______.
【解析】一枚骰子掷两次，先后出现的点数构成的样本点共36个，
其中方程有实根的充要条件为b2≥4ac，得的结果有：（2，1）（3，1）（4，1）
（5，1）（6，1）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）（4，3）（5，3）（6，3）（4，4）（5，4）
（6，4）（5，5）（6，5）（5，6）（6，6）共19结果．
故答案为：19
30．从含有件次品的件产品中任取件，观察其中次品数，其样本空间为______．
【解析】由分析可知取出的件产品的次品个数为，，，，，
所以样本空间为，
故答案为：.
31．从长度为2，4，5，7，9的五条线段中任取三条（抽取不分先后），设事件A=“取出的三条线段能构成一个三角形”，则事件A包含的样本点个数为_______________个.
【解析】长度为2，4，5，7，9的五条线段中任取三条，
则取出的三条线段可以构成一个三角形的基本事件空间是：
（2，4，5），（4，5，7），（4，7，9），（5，7，9），
所以事件A包含的样本点个数为4个.
故答案为：4
32．用3种不同颜色给甲、乙两个小球随机涂色，每个小球只涂一种颜色．记事件A表示“甲、乙两个小球所涂颜色不同”，则事件A的基本事件的个数为______．
【解析】3种不同颜色分别用表示，甲、乙两个小球所涂颜色不同包含的基本事件有：，共6种.
故答案为：6．
四、解答题
33．树形图（TreeDiagram）是一种有层次地枚举各种可能情况的可视化方法.树形图有助于我们直观地探求某些样本空间.例如，考察有两个孩子的家庭，记“从中任意抽取一个家庭，两个孩子是一男一女”为事件A.我们画出如图所示的树形图，可知样本空间{（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）}，事件{（男，女），（女，男）}.
试用树形图的方法分析下列习题
一只不透明的口袋内装有大小相同的3个球，且分别标有1，2，3三个号码.记“从袋中不放回地抽取2个球，第一个球的号码是1”为事件A，“从袋中不放回地抽取2个球，第二个球的号码是2”为事件B.试分别写出，A，B及AB所包含的样本点.
【解析】样本空间=，事件，事件，事件
34．班里有18个男生，15个女生，其中一名女生叫小丽，从中任意抽取a人打扫卫生．
(1)女生被抽到是必然事件，求a的取值范围；
(2)女生小丽被抽到是随机事件，求a的取值范围．
【解析】(1)班里有18个男生，15个女生，从中任意抽取a人打扫卫生，女生被抽到是必然事件，
所以.
(2)班里有18个男生，15个女生，从中任意抽取a人打扫卫生，女生小丽被抽到是随机事件，
所以，.
35．从2名男生和3名女生中随机选出2人．
(1)写出样本空间；
(2)写出事件：“两人恰好是1名男生和1名女生”对应的集合．
【解析】(1)男生用甲、乙代替，女生用A，B，C代替．
则样本空间为{甲A，甲B，甲C，乙A，乙B，乙C，甲乙，AB，BC，AC}．
(2){甲A，甲B，甲C，乙A，乙B，乙C}．
36．已知f(x)＝x2＋2x，x∈[－2，1]，给出事件A：f(x)≥a.
（1）当A为必然事件时，求a的取值范围；
（2）当A为不可能事件时，求a的取值范围.
【解析】∵ f (x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，x∈[－2，1]
∴ f (x)min＝－1，此时x＝－1.
又f (－2)＝0＜f (1)＝3
∴ f (x)max＝3.
∴ f (x)∈[－1，3]
（1）当A为必然事件时，即f(x)≥a恒成立，故有a≤f(x)min＝－1，即a的取值范围是(－∞，－1].
（2）当A为不可能事件时，即f(x)≥a一定不成立，故有a＞f(x)max＝3，则a的取值范围为(3，＋∞).
37．一只口袋内装有5个大小相同的球，白球3个，黑球2个，从中一次摸出2个球．
(1)共有多少个样本点？
(2)“2个都是白球”包含几个样本点？
【解析】(1)用1，2，3表示3个白球，用a，b表示2个黑球，则从袋中一次摸出2个球的不同结果：
(1，2)，(1，3)，(1，a)，(1，b)，(2，3)，(2，a)，(2，b)，(3，a)，(3，b)，(a，b)，
所以共10个样本点.
(2)由(1)知，“2个都是白球”含有的结果是：(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3个样本点.
38．“五行”指金、木、水、火、土，其中金克木，木克土、土克水、水克火、火克金．现从“五行”中随机抽取“两行”．
(1)写出该试验的样本空间；
(2)写出事件“从五行中抽取两行，抽取的两行不相克”对应的子集．
【解析】(1)样本空间(金，木)，(金，水)，(金，火)，(金，土)，(木，水)，(木，火)，(木，土)，(水，火)，(水，土)，(火，土) ．
(2)记“从五行中抽取两行，抽取的两行不相克”的事件为A，则事件A包含的基本事件，
就是在样本空间中的10个基本事件中去掉“金克木”“木克土”“土克水”“水克火”“火克金”这5组．“相克”构成的基本事件，则A对应的子集为 (金，水)，(金，土)，(木，水)，(木，火)，(火，土) ．
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