高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第01讲随机抽样(原卷版+解析)

这是一份高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第01讲随机抽样(原卷版+解析)，共40页。试卷主要包含了简单随机抽样的四个特点等内容，欢迎下载使用。
知识点1 统计的相关概念
普查：像人口普查这样，对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又叫普查.
抽样调查：根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计
和推断的调查方法，称为抽样调查.
样本与样本量的区别：
样本与样本量是两个不同的概念.样本是从总体中抽取的个体组成的集合，是对象；样本量是样本中个体的数目，是一个数.
收集数据时，必须清楚的知道以下两点：要收集的数集是什么；要如何才能收集到高质量的样本数据.
统计的基本思想方法就是用样本估计总体，即通常不直接去研究总体，而是通过从总体中抽取一个样本，根据样本的情况去估计总体的情况.
知识点2 简单随机抽样
1、一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．
2、简单随机抽样的四个特点
(1)它要求被抽取样本的总体的个数有限，这样便于通过随机抽取的样本对总体进行分析．
(2)它是从总体中逐个抽取，这样便于在抽样实践中进行操作．
(3)它是一种不放回抽样，由于抽样实践中多采用不放回抽样，使其具有较广泛的实用性，而且由于所抽取的样本中没有被重复抽取的个体，便于进行有关的分析和计算．
(4)它是一种等机会抽样，不仅每次从总体中抽取一个个体时，各个个体被抽到的机会相等，而且在整个抽样的过程中，各个个体被抽取的机会也相等，从而保证了这种抽样方法的公平性．
对简单随机抽样“等可能性”的理解
简单随机抽样是一种等可能抽样.假设总体中共有N个个体，从中逐个不放回地抽取n(n＜N)个个体作为样本，则某个个体 a 在整个抽样过程中可能第一次被抽到，也可能第二次被抽到,…,还可能第n次被抽到.
其中第一次被抽到的可能性为，第二次被抽到的可能性为 ,…,第n次被抽到的可能性为.由于以上情况不可能同时发生，所以在整个抽样过程中个体 a 被抽到的可能性为 ++…+=
知识点3 抽签法和随机数法
1．抽签法：把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本．
2．随机数法：随机抽样中，另一个经常被采用的方法是随机数法，即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样．
3．利用随机数法抽取个体时的注意事项
(1)定起点：事先应确定以表中的哪个数(哪行哪列)作为起点．
(2)定方向：读数的方向(向左、向右、向上或向下都可以)．
(3)读数规则：读数时结合编号的特点进行读取，编号为两位数则两位两位地读取，编号为三位数则三位三位地读取，如果出现重复则跳过，直到取满所需的样本个体数．
4．抽签法与随机数法的异同点
知识点4 总体平均数和加权平均数
1．一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，
则称为总体均值，又称总体平均数．
2．一般地，对于f1个x1，f2个x2，…，fn个xn，共f1＋f2＋…＋fn个数组成的一组数据的平均数为eq \f(x1f1＋x2f2＋…＋xnfn,f1＋f2＋…＋fn).这个平均数叫做加权平均数，其中f1, f2，…， fn叫做权，这个“权”，含有权衡所占份量的轻重之意，即fi(i＝1,2，…，k)越大，表明xi的个数越多，“权”就越大．
3．样本平均数和总体平均数的区别与联系
平均数的意义：平均数反映一组数据的平均水平．我们把样本中所有个体的平均数称为样本平均数；把总体中所有个体的平均数称为总体平均数．随机样本的容量越大，样本平均数就越接近总体平均数．必要时，可以用样本平均数来估计总体平均数．
区别：总体平均数即为研究对象的全部的平均数(总体均值)，是一个常量，而样本平均数是指从总体中抽出的一部分个体的平均数，不同样本的平均数往往是不同的，由于样本的选取是随机的，因此样本平均数(样本均值)也具有随机性．
联系：(1)大部分样本平均数离总体平均数不远，在总体平均数附近波动，可以用样本平均数来估计总体平均数.
(2)随机样本的容量越大，样本平均数就越接近总体平均数.
知识点5 分层随机抽样的概念
（1）定义
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层．
（2）适用范围
当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往采用分层随机抽样．
（3）比例分配
在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配．
（4）分层随机抽样的实施步骤
第一步，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体；
第二步，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样；
第三步，把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本.
（5）分层随机抽样适用于总体中个体之间差异较大的情形
（6）在比例分配的分层抽样中需注意两点
抽样比＝eq \f(样本量,总样本量)；可以直接用样本平均数估计总体平均数．
考点一 简单随机抽样的概念
解题方略：
简单随机抽样的判断方法
判断所给的抽样是否为简单随机抽样的依据是简单随机抽样的四个特征：
上述四点特征，如果有一点不满足，就不是简单随机抽样．
【例1】下列调查：①每隔5年进行人口普查；②报社等进行舆论调查；③灯泡使用寿命的调查；④对入学报名者的学历检查；⑤从20台电视机中抽出3台进行质量检查，其中属于抽样调查的是( )
A．①②③ B．②③⑤
C．②③④ D．①③⑤
【例2】在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5 000名居民的阅读时间的全体是( )
A．总体 B．个体 C．样本量 D．从总体中抽取的一个样本
变式1：从一批零件中抽取10个零件，测得它们的长度(单位：cm)如下：
22．36 22.35 22.33 22.35 22.37 22.34 22.38
22．36 22.32 22.35
由此估计这批零件的平均长度．
在此统计活动中：
(1)总体为：________________________；
(2)个体为：________________________；
(3)样本为：________________________；
(4)样本量为：________________.
【例3】下列抽取样本的方法是简单随机抽样吗？为什么？
(1)从无限多个个体中抽取50个个体作为样本；
(2)箱子里共有100个零件，今从中选取10个零件进行检验，在抽样操作时，从中任意地拿出一个零件进行质量检验后再把它放回箱子里；
(3)从50个个体中一次性抽取5个个体作为样本；
(4)一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的箱子中无放回的抽取6个号签．
变式1：下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？
(1)从无数张高考试卷中抽取50张试卷作为样本；
(2)质量监督部门从180种儿童玩具中选出18种玩具进行质量检验，在抽样操作过程中，从中任取一种玩具检验后再放回；
(3)国家跳水队挑出最优秀的10名跳水队员，备战奥运会；
(4)用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验．
【例4】在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性( )
A．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性最大
B．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性最小
C．与第几次抽样无关，每一次抽到的可能性相等
D．与第几次抽样无关，与样本量也无关
变式1：用简单随机抽样方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性，“第二次被抽到”的可能性分别是( )
A.eq \f(1,10)，eq \f(1,10) B．eq \f(3,10)，eq \f(1,5)
C.eq \f(1,5)，eq \f(3,10) D.eq \f(3,10)，eq \f(3,10)
变式2：用简单随机抽样的方法从含有6个个体的总体中，抽取一个样本量为2的样本，某一个个体a“第一次被抽到的概率”、“第二次被抽到的概率”、“在整个抽样过程中被抽到的概率”分别是________、________、________.
变式3：一个布袋中有10个同样质地的小球，从中不放回地依次抽取3个小球，则某一特定小球被抽到的可能性是________，第三次抽取时，剩余每个小球被抽到的可能性是________．
考点二 抽签法和随机数法
解题方略：
1．一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是个体之间差异不明显．抽签法一般适用于总体中个体数不多的情形．
2．随机数法生成随机数的方法：
(1)用随机试验生成随机数；
(2)用信息技术生成随机数：
①用计算器生成随机数；
②用电子表格软件生成随机数；
③用R统计软件生成随机数．
（一）抽签法
【例5】用抽签法进行抽样有以下几个步骤：①制签；②抽签；③将签摇匀；④编号；⑤将抽取的号码对应的个体取出，组成样本．这些步骤的正确顺序为________(填序号)．
变式1：抽签法中确保样本代表性的关键是( )
A．制签 B．搅拌均匀
C．逐一抽取 D．抽取不放回
变式2：下列抽样试验中，适合用抽签法的有( )
A．从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验
B．从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
D．从某厂生产的3 000件产品中抽取10件进行质量检验
变式3：上海某中学从40名学生中选1人作为上海男篮啦啦队的成员，采用下面两种选法，则抽签法的序号是________．
①将这40名学生从1～40进行编号，相应地制作1～40的40个号签，把这40个号签放在一个暗箱中搅匀，最后随机地从中抽取1个号签，与这个号签编号一致的学生幸运入选；
②将39个白球与1个红球(球除颜色外，其他完全相同)混合放在一个暗箱中搅匀，让40名学生逐一从中摸取一球，摸到红球的学生成为啦啦队成员．
变式4：某家具厂要为育才小学一年级新生制作新课桌椅，他们要事先了解全体一年级学生的平均身高，以便设定可调节课桌椅的标准高度. 已知育才小学一年级有165名学生，如果通过简单随机抽样的方法调查一年级学生的平均身高，需抽取16人，需怎样抽取？
变式5：某校高一年级有43名足球运动员，要从中抽出5人调查学习负担情况，用抽签法设计一个抽样方案．
随机数法
【例6】已知总样本量为108，若用随机数法抽取一个容量为10的简单随机样本，下列对总体的编号正确的是( )
A．1,2，…，108 B．01,02，…，108
C．00,01，…，107 D．001,002，…，108
变式1：总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )
A．08 B．07
C．02 D．01
变式2：某中学高一年级有400人，高二年级有320人，高三年级有280人，若每人被抽到的可能性都为0.2，用随机数法在该中学抽取容量为n的样本，则n等于( )
A．80 B．160
C．200 D．280
考点三 用样本平均数估计总体平均数
解题方略：
用样本平均数估计总体平均数的步骤
(1)求样本平均数eq \x\t(y)；
如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，y3，…，yn，
则称eq \x\t(y)＝eq \f(y1＋y2＋…＋yn,n)＝eq \f(1,n)
(2)用样本平均数eq \x\t(y)去估计总体平均数eq \(Y,\s\up6(－))，即eq \(Y,\s\up6(－))≈eq \x\t(y).
【例7】一组观察值4,3,5,6出现的次数分别为3,2,4,2，则样本平均数为________．
变式1：某校为调查全校学生的睡眠时间，从全体学生中用随机数法抽取了一个容量为100的简单随机样本，他们的睡眠时间如下表(单位：h)：
试计算这100名学生的平均睡眠时间并由此估计该校学生的日平均睡眠时间．
变式2：某校为了了解学生课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用如图所示的条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间，由此估计该校学生的日平均阅读时间约为( )
A．0.6小时 B．0.9小时
C．1.0小时 D．1.5小时
变式3：某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班．其中甲班有40人，乙班有50人．现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是________分.
变式4：某鱼塘去年向鱼塘投入了一批5 000条鱼苗，为了了解这批鱼苗的生长情况，从鱼塘中捕捞了20条，称得它们的质量如下(单位：kg)：
1．1 1.0 1.1 1.0 1.1 1.3 1.2 1.1 1.1 1.2
1．1 1.1 1.0 1.2 1.2 1.2 1.1 1.2 1.1 1.1
已知这批鱼苗的成活率是80%，现在的市场价是每千克5.5元，请你帮忙计算一下，现在全部出售的毛收入会是多少？(对数据分析、整理，利用频数进行计算样本平均数，注意计算技巧)
变式5：对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如下：
分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数据的平均数并判断选谁参加比赛比较合适？
考点四 分层随机抽样的概念
解题方略：
分层随机抽样的特点
(1)适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；
(2)更充分地反映了总体的情况；
(3)等概率抽样，每个个体被抽到的概率都相等．
【例8】分层抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层抽样为保证每个个体等概率抽样，必须进行( )
A．每层等概率抽样
B．每层可以不等概率抽样
C．所有层按同一抽样比等概率抽样
D．所有层抽个体数量相同
变式1：下列问题中，最适合用分层随机抽样抽取样本的是( )
A．从10名同学中抽取3人参加座谈会
B．红星中学共有学生1 600名，其中男生840名，防疫站对此校学生进行身体健康调查，抽取一个容量为200的样本
C．从1 000名工人中，抽取100人调查上班途中所用时间
D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量
变式2：某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，用下列哪种方法最合适( )
A．抽签法 B．简单随机抽样法
C．分层随机抽样法 D．随机数法
变式3：对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样和分层随机抽样两种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，则( )
A．p1