高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第03练简单几何体的表面积与体积(原卷版+解析)

这是一份高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第03练简单几何体的表面积与体积(原卷版+解析)，共29页。试卷主要包含了棱长均为1的正四面体的表面积是等内容，欢迎下载使用。

一．选择题
1．已知一个直三棱柱的高为2，如图，其底面水平放置的直观图（斜二测画法）为，其中，则此三棱柱的表面积为
A．B．C．D．
2．已知球的半径为，，，三点在球的球面上，球心到平面的距离为，，，则球的表面积为
A．B．C．D．
3．高一学生小李在课间玩耍时不慎将一个篮球投掷到一个圆台状垃圾篓中，恰好被上底口（半径较大的圆）卡住，球心到垃圾篓底部的距离为，垃圾篓上底面直径为，下底面直径为，母线长为，则该篮球的表面积为
A．B．C．D．
4．已知三棱锥的三条侧棱长均为2，侧面有两个是等腰直角三角形，底面等腰三角形底上的高为，则这个三棱锥的表面积为
A．B．C．D．
5．在《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．已知四棱锥为阳马，底面是边长为2的正方形，有两条侧棱长为3，则该阳马的表面积为
A．B．C．D．
6．在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六、八是中国人的吉利数字，所以许多瓷器都做成六棱形和八棱形的，但是六棱柱形的瓷器只有六棱柱形笔筒，其余的六棱形都不是六棱柱形．如图为一个正六棱柱形状的瓷器笔筒，高为，底面边长为（数据为笔筒的外观数据），用一层绒布将其侧面包裹住，忽略绒布的厚度，则至少需要绒布的面积为
A．B．C．D．
7．已知圆锥的底面半径为1，若其底面上存在两点，，使得，则该圆锥侧面积的最大值为
A．B．C．D．
8．如图，，分别是圆柱上，下底面圆的直径，且，若圆柱的轴截面为正方形，且三棱锥的体积为，则该圆柱的侧面积为
A．B．C．D．
9．棱长均为1的正四面体的表面积是
A．B．C．D．
10．正四棱台的上、下底面边长分别是2和6，侧棱长是，则它侧面积为
A．32B．C．D．36
11．已知圆锥的底面半径为，高为，在它的所有内接圆柱中，表面积的最大值是
A．B．C．D．
12．若圆锥的轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积与表面积的比值为
A．B．C．D．2
13．已知圆台下底面的半径为2，高为2，母线长为，则这个圆台的体积为
A．B．C．D．
14．一个圆柱的侧面展开图是一个面积为的正方形，则这个圆柱的体积为
A．B．C．D．
15．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．若一个直角圆锥的侧面积为，则它的体积为
A．B．C．D．
16．三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，长分别为，，，则这个三棱锥的体积为
A．B．C．D．
17．已知高为4的圆锥外接球的体积为，则圆锥的体积为
A．B．C．D．
18．如图，圆锥的底面恰是圆柱的一个底面，圆柱的两个底面分别为同一个球的两个截面，且圆锥的顶点也在该球的球面上．若球的体积为，圆柱的高为2，则圆锥的体积为
A．B．C．D．
19．如图，在直三棱柱中，，是等边三角形，点为该三棱柱外接球的球心，则三棱柱外接球表面积与四棱锥体积之比为是
A．B．C．D．
20．已知，为球的球面上两点，过弦的平面截球所得截面面积的最小值为，且为等边三角形，则球的表面积为
A．B．C．D．
二．多选题
21．等腰直角三角形直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为
A．B．C．D．
22．如图，在直四棱柱中，底面是正方形，，，若，，，则
A．当时，
B．四棱锥体积的最大值为
C．当平面截直四棱柱所得截面面积为时，
D．四面体的体积为定值
三．填空题
23．已知正三棱锥的底面边长为4，高为2，则三棱锥的表面积是 ．
24．如图，一个正六棱柱的茶叶盒，底面边长为，高为，则这个茶叶盒的表面积约为 ．（精确到0.1，
25．若圆柱的高、底面半径均为1，则其表面积为 ．
26．已知直棱柱的底面周长为12，高为4，则这个棱柱的侧面积等于 ．
27．已知一个正四面体的顶点是一个正方体的顶点，那么正方体的表面积是正四面体的表面积的 倍．
28．已知一个直四棱柱的底面是菱形，一个底面的面积为4，两个对角面（过相对侧棱的截面）面积分别为5和6，那么它的表面积为 ．
29．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左、右两端均为半球形，若图中，，则该组合体的表面积为 ．
30．已知正三棱锥的底面是边长为的等边三角形，若一个半径为的球与此三棱锥所有面都相切，则该三棱锥的侧面积为 ．
31．已知在正四棱锥中，底面是边长为1的正方形，棱锥的高为，则该四棱锥的侧面积等于 ．
32．某圆柱的侧面展开图是面积为的正方形，则该圆柱一个底面的面积为 ．
33．一个正四棱柱底面边长为1，高为2，则它的表面积是 ．
34．一个圆柱的底面半径为，高为，则它的侧面积为 ．
35．如图，圆锥的母线长为4，点为母线的中点，从点处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到点，这条绳子的长度最短值为，则此圆锥的表面积为
36．已知正三棱锥的高为1，底面边长为，则该三棱锥的表面积为 ．
37．某公园供游人休息的石凳如图所示，它可以看作是一个正方体截去八个一样的四面体得到的，如果被截正方体的棱长为，则石凳所对应几何体的表面积为 ．
38．已知圆锥顶点为，底面的中心为，过直线的平面截该圆锥所得的截面是面积为的正三角形，则该圆锥的体积为 ．
39．如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这时水面恰好为中截面，则图1中容器内水面的高度是 ．
40．如图，某粮仓（粮仓的底部位于地面上）是由圆柱和圆锥构成的，若圆柱的高是圆锥高的2倍，且圆锥的母线长是4，侧面积是，则这样一个粮仓的容积为 ．
四．解答题
41．已知某圆柱底面半径和母线长都是3．
（1）求出该圆柱的表面积和体积；
（2）若圆锥与该圆柱底面半径、高都相等，求圆锥的侧面积．
42．圆锥的底边半径为3，母线长为5．
（1）求它的表面积；
（2）求它的体积．
43．要设计一种圆柱形、容积为的一体化易拉罐金属包装，如何设计才能使得总成本最低？
44．如图是棱长为1的正方体，、、分别是棱、、的中点，现在沿三角形所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉的这块的体积是原正方体的几分之几？
45．如图，把长为6，宽为3的矩形折成正三棱柱，三棱柱的高度为3，矩形的对角线和三棱柱的侧棱、的交点记为、．
（1）在三棱柱中，若过、、三点做一平面，求截得的几何体的表面积；
（2）求三棱锥的体积．
第3练 简单几何体的表面积与体积
eq \\ac(○,通) eq \\ac(○,关) eq \\ac(○,练)
一．选择题
1．已知一个直三棱柱的高为2，如图，其底面水平放置的直观图（斜二测画法）为，其中，则此三棱柱的表面积为
A．B．C．D．
【解析】斜二测法的“三变”“三不变”得到直三棱柱的底面平面图，如图，
其中，
，
此三棱柱的表面积为．
故选：．
2．已知球的半径为，，，三点在球的球面上，球心到平面的距离为，，，则球的表面积为
A．B．C．D．
【解析】由余弦定理，得：，
设三角形外接圆半径为，
由正弦定理：，得，
又，，
球的表面积为．
故选：．
3．高一学生小李在课间玩耍时不慎将一个篮球投掷到一个圆台状垃圾篓中，恰好被上底口（半径较大的圆）卡住，球心到垃圾篓底部的距离为，垃圾篓上底面直径为，下底面直径为，母线长为，则该篮球的表面积为
A．B．C．D．
【解析】球与垃圾篓组合体的轴截面图如图所示，
根据题意，得垃圾篓的高为．所以球心到上底面的距离为，
设篮球的半径为，则，
故篮球的表面积为，
故选：．
4．已知三棱锥的三条侧棱长均为2，侧面有两个是等腰直角三角形，底面等腰三角形底上的高为，则这个三棱锥的表面积为
A．B．C．D．
【解析】结合题目边长关系，三棱锥如图所示，
，
由题意，是等腰直角三角形，
则，
则表面积为．
故选：．
5．在《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．已知四棱锥为阳马，底面是边长为2的正方形，有两条侧棱长为3，则该阳马的表面积为
A．B．C．D．
【解析】如图，
由题意知，，，平面，
因为，
所以，
故选：．
6．在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六、八是中国人的吉利数字，所以许多瓷器都做成六棱形和八棱形的，但是六棱柱形的瓷器只有六棱柱形笔筒，其余的六棱形都不是六棱柱形．如图为一个正六棱柱形状的瓷器笔筒，高为，底面边长为（数据为笔筒的外观数据），用一层绒布将其侧面包裹住，忽略绒布的厚度，则至少需要绒布的面积为
A．B．C．D．
【解析】根据正六棱柱的底面边长为，得正六棱柱的侧面积为，
所以至少需要绒布的面积为，
故选：．
7．已知圆锥的底面半径为1，若其底面上存在两点，，使得，则该圆锥侧面积的最大值为
A．B．C．D．
【解析】因为圆锥的轴截面是等腰三角形，其底面上存在两点，，使得，
可知母线，所以圆锥的侧面积为：，当且仅当圆锥的轴截面是等腰直角三角形时，侧面积取得最大值．
故选：．
8．如图，，分别是圆柱上，下底面圆的直径，且，若圆柱的轴截面为正方形，且三棱锥的体积为，则该圆柱的侧面积为
A．B．C．D．
【解析】分别取上下底面的圆心为，，连接，，，则，
因为，，所以，，且，
所以平面，
设圆柱上底面圆的半径为，则，
三棱锥的体积为，
解得，该圆柱的侧面积为，
故选：．
9．棱长均为1的正四面体的表面积是
A．B．C．D．
【解析】正四面体的棱长均为1
正四面体每一个面均为边长等于1的等边三角形，
其面积
因此正四面体的表面积是
故选：．
10．正四棱台的上、下底面边长分别是2和6，侧棱长是，则它侧面积为
A．32B．C．D．36
【解析】画出一个侧面，如图所示，
则，，，
作于点，于点，
，
，
正四棱台的侧面积为，
故选：．
11．已知圆锥的底面半径为，高为，在它的所有内接圆柱中，表面积的最大值是
A．B．C．D．
【解析】设内接圆柱的底面半径为，高为，全面积为，
则，，
当时，取得最大值．
故选：．
12．若圆锥的轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积与表面积的比值为
A．B．C．D．2
【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，
因为圆锥的侧面积为，
所以，
所以，
因为圆锥的轴截面为等边三角形，
则，
所以，即该圆锥的侧面积与表面积的比值为．
故选：．
13．已知圆台下底面的半径为2，高为2，母线长为，则这个圆台的体积为
A．B．C．D．
【解析】如图所示，
，，，
过作，垂足为，则，
，
所以圆台的上底面半径为；
所以圆台的体积为．
故选：．
14．一个圆柱的侧面展开图是一个面积为的正方形，则这个圆柱的体积为
A．B．C．D．
【解析】设圆柱的底面半径为，高为，因为圆柱的侧面展开图是一个面积为的正方形，
所以，，所以，，
所以圆柱的体积为．
故选：．
15．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．若一个直角圆锥的侧面积为，则它的体积为
A．B．C．D．
【解析】设该直角圆锥的底面圆半径为，高为，母线长为，
因为直角圆锥的轴截面为等腰直角三角形，所以，．
因为直角圆锥的侧面积为，所以，解得，
所以该直角圆锥的体积为．
故选：．
16．三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，长分别为，，，则这个三棱锥的体积为
A．B．C．D．
【解析】三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，长分别为，，，
则这个三棱锥的体积为：
．
故选：．
17．已知高为4的圆锥外接球的体积为，则圆锥的体积为
A．B．C．D．
【解析】因为圆锥外接球的体积为，所以，解得，即外接球的半径为3，
因为圆锥的高为4，所以球心到圆锥底面圆圆心的距离为，
所以圆锥底面圆的半径，
所以圆锥的体积，
故选：．
18．如图，圆锥的底面恰是圆柱的一个底面，圆柱的两个底面分别为同一个球的两个截面，且圆锥的顶点也在该球的球面上．若球的体积为，圆柱的高为2，则圆锥的体积为
A．B．C．D．
【解析】设球的半径为，由，得．
圆柱的两个底面分别为同一个球的两个截面，
球心在圆柱高的中点上，可得圆锥的高，
设圆柱的底面半径为，则，
．
故选：．
19．如图，在直三棱柱中，，是等边三角形，点为该三棱柱外接球的球心，则三棱柱外接球表面积与四棱锥体积之比为是
A．B．C．D．
【解析】设△外接圆的圆心为，连接，，，
由题意知：，，则球的半径为，
从而球的表面积为，
连接，可得，
．
三棱柱外接球表面积与四棱锥体积之比为是．
故选：．
20．已知，为球的球面上两点，过弦的平面截球所得截面面积的最小值为，且为等边三角形，则球的表面积为
A．B．C．D．
【解析】过弦的平面截球所得截面面积的最小值为，
则以为直径的截面面积为最小值，则，
为等边三角形，
球的半径为，
则球的表面积为，
故选：．
二．多选题
21．等腰直角三角形直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为
A．B．C．D．
【解析】若绕一条直角边旋转一周时，则圆锥的底面半径为1，高为1，所以母线长，这时表面积为；
若绕斜边一周时旋转体为两个底对底的圆锥组合在一起，且由题意底面半径为，一个圆锥的母线长为1，所以表面积，
综上所述该几何体的表面积为，，
故选：．
22．如图，在直四棱柱中，底面是正方形，，，若，，，则
A．当时，
B．四棱锥体积的最大值为
C．当平面截直四棱柱所得截面面积为时，
D．四面体的体积为定值
【解析】在直四棱柱中，底面是正方形，，，
对于，当时，点为线段中点，连，，如图，
，而平面，平面，则，又，，平面，
则有平面，而平面，于是得，又对角面是矩形，
即，所以，正确；
依题意，平面，而点在上，则点到平面距离的最大值为，
而矩形面积为，所以四棱锥体积的最大值为，不正确；
对于，当时，点在上靠近点的四等分点，平面截直四棱柱所得截面为等腰梯形，如图，
显然，则，，
等腰梯形的高，
等腰梯形的面积，
由几何体的对称性知，当平面截直四棱柱所得截面面积为时，或，不正确；
因平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离，为定值，又△的面积为定值，
所以四面体的体积为定值，正确．
故选：．
三．填空题
23．已知正三棱锥的底面边长为4，高为2，则三棱锥的表面积是 ．
【解析】正三棱锥的底面边长为4，高为2，
如图，正三棱锥中，高，取中点，连接，，
则在线段上，且，
，，由勾股定理得，
，，
，
，
三棱锥的表面积为．
故答案为：．
24．如图，一个正六棱柱的茶叶盒，底面边长为，高为，则这个茶叶盒的表面积约为 ．（精确到0.1，
【解析】因为正六棱柱底面边长为，
所以正六棱柱的底面积为．
又因为高为，
所以这个正六棱柱的表面积为，
即这个茶叶盒的表面积约为．
故答案为：1719.6．
25．若圆柱的高、底面半径均为1，则其表面积为 ．
【解析】由题意得，表面积．
故答案为：．
26．已知直棱柱的底面周长为12，高为4，则这个棱柱的侧面积等于 ．
【解析】直棱柱的底面周长为12，高为4，
这个棱柱的侧面积为，
故答案为：48．
27．已知一个正四面体的顶点是一个正方体的顶点，那么正方体的表面积是正四面体的表面积的 倍．
【解析】如图所示，正四面体的顶点是正方体的顶点，
设正方体的棱长为，则正四面体的棱长为，
则，，
，
即正方体的表面积是正四面体的表面积的倍，
故答案为：．
28．已知一个直四棱柱的底面是菱形，一个底面的面积为4，两个对角面（过相对侧棱的截面）面积分别为5和6，那么它的表面积为 ．
【解析】设直四棱柱底面菱形的对角线的长分别为，，高为，
底面的面积为4，两个对角面（过相对侧棱的截面）面积分别为5和6，
，，，
，，，
直四棱柱底面菱形的边长为，
直四棱柱的表面积为，
故答案为：．
29．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左、右两端均为半球形，若图中，，则该组合体的表面积为 ．
【解析】该组合体的表面积，
故答案为：．
30．已知正三棱锥的底面是边长为的等边三角形，若一个半径为的球与此三棱锥所有面都相切，则该三棱锥的侧面积为 ．
【解析】如图，由正三棱锥的底面是边长为的等边三角形，得，
设正三棱锥的高为，则，
底面内切圆的半径为，三棱锥的斜高为，
正三棱锥的表面积为，
又正三棱锥内切球的半径为，
由等体积法可得：，解得．
该三棱锥的侧面积为．
故答案为：．
31．已知在正四棱锥中，底面是边长为1的正方形，棱锥的高为，则该四棱锥的侧面积等于 ．
【解析】如图，连接与交于点，连接，
由正四棱锥的性质可知，平面，
在中，，，
则，
该正四棱锥的侧面为边长为1的等边三角形，
该四棱锥的侧面积，
故答案为：．
32．某圆柱的侧面展开图是面积为的正方形，则该圆柱一个底面的面积为 ．
【解析】设圆柱的底面半径为，
因为圆柱的侧面展开图是一个面积为的正方形，
则圆柱的高与底面周长相等，均为，
则，
解得，
所以底面圆的面积为，
故答案为：．
33．一个正四棱柱底面边长为1，高为2，则它的表面积是 ．
【解析】因为正四棱柱底面边长为1，高为2，
所以它的表面积．
故答案为：10．
34．一个圆柱的底面半径为，高为，则它的侧面积为 ．
【解析】因为圆柱的底面半径为，高为，
所以它的侧面积为．
故答案为：．
35．如图，圆锥的母线长为4，点为母线的中点，从点处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到点，这条绳子的长度最短值为，则此圆锥的表面积为
【解析】设底面圆半径为，由母线长为4，
所以侧面展开扇形的圆心角为；
将圆锥侧面展开成一个扇形，从点拉一绳子围绕圆锥侧面转到点，
最短距离为，如图所示：
在中，由余弦定理得，的长度为：
，
解得，所以，
所以圆锥的表面积为．
故答案为：．
36．已知正三棱锥的高为1，底面边长为，则该三棱锥的表面积为 ．
【解析】设正三棱锥的底面中心为，
由题意知，边长，取中点，
连接、，
则，侧面的高，
．
故答案为：．
37．某公园供游人休息的石凳如图所示，它可以看作是一个正方体截去八个一样的四面体得到的，如果被截正方体的棱长为，则石凳所对应几何体的表面积为 ．
【解析】石凳所对应几何体的表面是由6个边长为的正方形以及8个边长为的正三角形围成，
所以石凳所对应几何体的表面积为．
故答案为：．
38．已知圆锥顶点为，底面的中心为，过直线的平面截该圆锥所得的截面是面积为的正三角形，则该圆锥的体积为 ．
【解析】由题意，过直线的平面截该圆锥所得的截面是面积为的正三角形，
设正三角形的边长为，可得，解得，
底面圆的半径为，圆锥的高为，
所以该圆锥的体积为．
故答案为：．
39．如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这时水面恰好为中截面，则图1中容器内水面的高度是 ．
【解析】在图2中，水中部分是四棱柱，
四棱柱底面积为，高为2，
四棱柱的体积为，
设图1中容器内水面高度为，
则，解得．
图1中容器内水面的高度是．
故答案为：．
40．如图，某粮仓（粮仓的底部位于地面上）是由圆柱和圆锥构成的，若圆柱的高是圆锥高的2倍，且圆锥的母线长是4，侧面积是，则这样一个粮仓的容积为 ．
【解析】设圆锥的母线为，底面半径为，高为，
所以，解得，；
所以圆柱的高为，
所以这样一个粮仓的容积为，
故答案为：．
四．解答题
41．已知某圆柱底面半径和母线长都是3．
（1）求出该圆柱的表面积和体积；
（2）若圆锥与该圆柱底面半径、高都相等，求圆锥的侧面积．
【解析】（1）根据题意，圆柱底面半径和母线长都是3，
则圆柱的底面面积，
侧面积，
则其表面积，
体积；
（2）根据题意，若圆锥的底面半径和高都是3，则其母线长，
其侧面积．
42．圆锥的底边半径为3，母线长为5．
（1）求它的表面积；
（2）求它的体积．
【解析】（1）圆锥的侧面积为：，
底面积为，
则其表面积为．
（2）圆锥的高，
则其体积．
43．要设计一种圆柱形、容积为的一体化易拉罐金属包装，如何设计才能使得总成本最低？
【解析】易拉罐看作为圆柱，设底面半径为，高为，
则，，
圆柱的全面积为：，
当且仅当时，取得最小值．此时成本最低．
44．如图是棱长为1的正方体，、、分别是棱、、的中点，现在沿三角形所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉的这块的体积是原正方体的几分之几？
【解析】设原正方体的棱长为，则正方体的体积为，
锯掉的这块的体积是：，
锯掉的这块的体积是原正方体的．
45．如图，把长为6，宽为3的矩形折成正三棱柱，三棱柱的高度为3，矩形的对角线和三棱柱的侧棱、的交点记为、．
（1）在三棱柱中，若过、、三点做一平面，求截得的几何体的表面积；
（2）求三棱锥的体积．
【解析】（1）由操作可知，该正三棱柱的底面是边长为2的正三角形，正三棱柱的高为3，所求几何体的表面积为各面的面积之和，
又，，，，
又在三角形中，，
，
故；
（2）点到面的距离就是正三角形的高：，，．