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高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第03讲古典概型(原卷版+解析)
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这是一份高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第03讲古典概型(原卷版+解析)，共28页。试卷主要包含了古典概型定义，古典概型的特征，古典概型的概率公式等内容，欢迎下载使用。
知识点1 古典概型
1．古典概型定义
一般地，若实验E具有如下特征：
①有限性——样本空间的样本点只有有限个
②等可能性——每个样本点发生的可能性相等
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型
注：①由古典概型的定义可得，古典概型满足基本事件的有限性和等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不用通过大量的重复试验，只要对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可.
②在古典概型中，每个基本事件发生的可能性都相等，称这些基本事件为等可能基本事件.
2．古典概型的特征
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
注：判断一个概率模型是否为古典概型，依据在于——①样本空间的样本点，只有有限个②每个样本点发生的可能性相等，判断一个试验是否满足这两个特征，应根据具体的问题情境仔细分析，并不是所有的试验都是古典概型.以下试验不是古典概型：
①样本点的个数有限，但出现的可能性并不相等
②样本点的个数无限，但是出现的可能性相等
③样本点的个数无限，出现的可能性也不相等
例如在适宜的条件下,种下一粒种子，观察它是否发芽，这个试验的基本事件空间为｛发芽，不发芽｝，发芽与不发芽的这两种结果出现的机会一般是不均等的. 又比如从直径规格为300mm±0.6mm的一些钢管产品中，任意抽一根，测量其直径，测量值可能是从299.4mm~300.6mm之间的任何一个值，所有可能的结果有无限多个.
3．古典概型的概率公式
设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率为P(A)＝eq \f(k,n)＝eq \f(nA,nΩ).
[说明] (1)随机试验E中的样本点
①任何两个样本点都是互斥的；
②任何事件(除不可能事件)都可以表示成某些样本点的和．
(2)求解古典概型问题的一般思路
①明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的样本点(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有样本点)；
②根据实际问题情景判断样本点的等可能性；
③计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率．
考点一 古典概型的判断
解题方略：
1.古典概型的判断方法：
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征，即有限性和等可能性，因而并不是所有的试验都是古典概型.
2.下列三类试验都不是古典概型：
1样本点个数有限，但不等可能；
2样本点个数无限，但等可能；
3样本点个数无限，也不等可能.
【例1】判断下列概率模型中哪些是古典概型，为什么？
①从区间[1,10]内任意取出一个数，求取到1的概率；
②从含有1的10个整数中任意取出一个数，求取到1的概率；
③向一个正方形ABCD内投掷一点P，求P恰好与A点重合的概率；
④向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率．
变式1：某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环、……、命中5环和不中环．你认为这是古典概型吗？为什么？
考点二 样本点的计数问题
解题方略：
随机试验中样本点的探求方法
(1)列举法：把试验的全部结果一一列举出来．此方法适合于较为简单的试验问题．
(2)树状图法：树状图法是使用树状的图形把样本点列举出来的一种方法，树状图法便于分析样本点间的关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树状图法适用于较复杂的试验的题目．
【例2】4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有样本点个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
变式1：连续掷3枚质地均匀的硬币，观察这3枚硬币落在地面上时是正面朝上还是反面朝上．
①写出这个试验的所有样本点；
②求这个试验的样本点的总数；
③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含哪些样本点？
变式2：将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，则：
(1)一共有几个样本点？
(2)“出现的点数之和大于8”包含几个样本点？
考点三 简单的古典概型的概率计算
解题方略：
求解古典概型的概率“四步”法
【例3】袋中有6个大小质地完全相同的球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：
(1)A：取出的两球都是白球；
(2)B：取出的两球一个是白球，另一个是红球．
变式1：生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(3,5)
C.eq \f(2,5) D.eq \f(1,5)
变式2：从3男3女共6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)，这2名都是女同学的概率等于________．
变式3：从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a，从{2,3,4}中随机选取一个数b，则b>a的概率是( )
A.eq \f(4,5) B．eq \f(3,5)
C.eq \f(2,5) D.eq \f(1,5)
变式4：在5瓶饮料中，有2瓶已过了保质期，从中任取2瓶，取到的全是已过保质期的饮料的概率为________．
变式5：古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木、木克土、土克水、水克火、火克金．”从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为( )
A.eq \f(3,10) B．eq \f(2,5)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(3,5)
变式6：两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,4)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,6)
变式7：某部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册的概率为( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)
变式8：若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m，n，则点P(m，n)在一次函数y＝－x＋4图象上的概率是( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,4)
C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,12)
变式9：设a是从集合eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，2，3，4))中随机取出的一个数，b是从集合eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，2，3))中随机取出的一个数，构成一个样本点(a，b)．记“这些样本点中，满足lgba≥1”为事件E，则E发生的概率是( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(5,12)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,4)
变式10：某天上午要安排语文、数学、历史、体育四节课，则体育课不排在第一节的概率为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(3,4)
变式11：(2023·全国卷Ⅲ)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,4)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,2)
变式12：《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兑八卦)，每一卦由三根线组成(－表示一根阳线，－－表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为( )
A．eq \f(1,8) B．eq \f(1,4) C．eq \f(3,8) D．eq \f(1,2)
变式13：某学校有初级教师21人，中级教师14人，高级教师7人，现采用分层随机抽样的方法从这些教师中抽取6人对绩效工资情况进行调查．
(1)求应从初级教师、中级教师、高级教师中分别抽取的人数；
(2)若从分层随机抽样抽取的6名教师中随机抽取2名教师做进一步数据分析，求抽取的2名教师均为初级教师的概率．
考点四 含“有放回”抽取的古典概型问题
解题方略：
解决有序和无序问题应注意两点
(1)关于不放回抽样，计算样本点个数时，既可以看做是有顺序的，也可以看做是无顺序的，其最后结果是一致的．但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误．
(2)关于有放回抽样，应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同，所以(a1，b)，(b，a1)不是同一个样本点．解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”，每一件产品被取出的机会都是均等的．
【例4】小李在做一份调查问卷，共有5道题，其中有两种题型，一种是选择题，共3道，另一种是填空题，共2道．
(1)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，求所选的题不是同一种题型的概率；
(2)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，求所选的题不是同一种题型的概率．
变式1：从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中，每次任取一件．
(1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；
(2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．
练习一 古典概型的判断
1、判断下列试验是不是古典概型：
(1)口袋中有2个红球、2个白球，每次从中任取1球，观察颜色后放回，直到取出红球；
(2)从甲、乙、丙、丁、戊5名同学中任意抽取1名担任学生代表；
(3)射击运动员向一靶子射击5次，脱靶的次数．
2、下列试验中是古典概型的是( )
A．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽
B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球
C．向一个圆面内随机地投一个点，观察该点落在圆内的位置
D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环
练习二 样本点的计数问题
1、已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．
(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级” ，求事件M发生的概率．
练习三 简单的古典概型的概率计算
1、已知集合A＝{2,3,4,5,6,7}，B＝{2,3,6,9}，在集合A∪B中任取一个元素，则它是集合A∩B中的元素的概率是( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(3,5)
C.eq \f(3,7) D.eq \f(2,5)
2、从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________.
3、某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．
(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；
(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析：
①列出所有可能的抽取结果；
②求抽取的2所学校均为小学的概率．
4、抛掷两粒均匀的骰子，求：
(1)点数之和为5的概率；
(2)点数之和为7的概率；
(3)出现两个4点的概率．
5、在两个袋内，分别装着写有0,1,2,3,4,5六个数字的6张卡片，从每个袋中各任取一张卡片，则两张卡片上数字之和等于7的概率为________．
6、将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a和b，则方程ax2＋bx＋1＝0有实数解的概率是________．
7、2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．
(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访.
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设事件M＝“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．
8、海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
练习四 含“有放回”抽取的古典概型问题
1、甲、乙两个均匀的正方体玩具，各个面上分别刻有1,2,3,4,5,6六个数字，将这两个玩具同时掷一次．
(1)若甲上的数字为十位数，乙上的数字为个位数，问可以组成多少个不同的数，其中个位数字与十位数字均相同的数字的概率是多少？
(2)两个玩具的数字之和共有多少种不同结果？其中数字之和为12的有多少种情况？数字之和为6的共有多少种情况？分别计算这两种情况的概率．
2、甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
(1)设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出试验的样本空间；
(2)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜．你认为此游戏是否公平？说明你的理由．
员工
项目
A
B
C
D
E
F
子女教育
○
○
×
○
×
○
继续教育
×
×
○
×
○
○
大病医疗
×
×
×
○
×
×
住房贷款利息
○
○
×
×
○
○
住房租金
×
×
○
×
×
×
赡养老人
○
○
×
×
×
○
地区
A
B
C
数量
50
150
100
第3讲 古典概型
知识点1 古典概型
1．古典概型定义
一般地，若实验E具有如下特征：
①有限性——样本空间的样本点只有有限个
②等可能性——每个样本点发生的可能性相等
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型
注：①由古典概型的定义可得，古典概型满足基本事件的有限性和等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不用通过大量的重复试验，只要对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可.
②在古典概型中，每个基本事件发生的可能性都相等，称这些基本事件为等可能基本事件.
2．古典概型的特征
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
注：判断一个概率模型是否为古典概型，依据在于——①样本空间的样本点，只有有限个②每个样本点发生的可能性相等，判断一个试验是否满足这两个特征，应根据具体的问题情境仔细分析，并不是所有的试验都是古典概型.以下试验不是古典概型：
①样本点的个数有限，但出现的可能性并不相等
②样本点的个数无限，但是出现的可能性相等
③样本点的个数无限，出现的可能性也不相等
例如在适宜的条件下,种下一粒种子，观察它是否发芽，这个试验的基本事件空间为｛发芽，不发芽｝，发芽与不发芽的这两种结果出现的机会一般是不均等的. 又比如从直径规格为300mm±0.6mm的一些钢管产品中，任意抽一根，测量其直径，测量值可能是从299.4mm~300.6mm之间的任何一个值，所有可能的结果有无限多个.
3．古典概型的概率公式
设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率为P(A)＝eq \f(k,n)＝eq \f(nA,nΩ).
[说明] (1)随机试验E中的样本点
①任何两个样本点都是互斥的；
②任何事件(除不可能事件)都可以表示成某些样本点的和．
(2)求解古典概型问题的一般思路
①明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的样本点(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有样本点)；
②根据实际问题情景判断样本点的等可能性；
③计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率．
考点一 古典概型的判断
解题方略：
1.古典概型的判断方法：
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征，即有限性和等可能性，因而并不是所有的试验都是古典概型.
2.下列三类试验都不是古典概型：
1样本点个数有限，但不等可能；
2样本点个数无限，但等可能；
3样本点个数无限，也不等可能.
【例1】判断下列概率模型中哪些是古典概型，为什么？
①从区间[1,10]内任意取出一个数，求取到1的概率；
②从含有1的10个整数中任意取出一个数，求取到1的概率；
③向一个正方形ABCD内投掷一点P，求P恰好与A点重合的概率；
④向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率．
【解析】根据古典概型的特征进行考虑，①③中样本点有无限多个，因此不属于古典概型．④中硬币不均匀，则“正面朝上”“反面朝上”出现的可能性不相等，不是古典概型．②从含有1的10个整数中任取1个整数，其样本点总数为10，是有限的，且每个数取到的可能性相等，故②为古典概型概率问题．
变式1：某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环、……、命中5环和不中环．你认为这是古典概型吗？为什么？
【解析】不是古典概型，因为试验的所有可能结果只有7个，而命中10环、命中9环、……、命中5环和不中环的出现不是等可能的，即不满足古典概型的第二个条件.
考点二 样本点的计数问题
解题方略：
随机试验中样本点的探求方法
(1)列举法：把试验的全部结果一一列举出来．此方法适合于较为简单的试验问题．
(2)树状图法：树状图法是使用树状的图形把样本点列举出来的一种方法，树状图法便于分析样本点间的关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树状图法适用于较复杂的试验的题目．
【例2】4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有样本点个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
【解析】用列举法列举出“数字之和为奇数”的可能结果为：(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种可能．故选C
变式1：连续掷3枚质地均匀的硬币，观察这3枚硬币落在地面上时是正面朝上还是反面朝上．
①写出这个试验的所有样本点；
②求这个试验的样本点的总数；
③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含哪些样本点？
【解析】①这个试验包含的样本点有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．
②这个试验包含的样本点的总数是8.
③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含以下3个样本点：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．
变式2：将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，则：
(1)一共有几个样本点？
(2)“出现的点数之和大于8”包含几个样本点？
【解析】(树状图法)：
一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树状图表示．如图所示：
(1)由图知，共36个样本点．
(2)“点数之和大于8”包含10个样本点(已用“√”标出)．
考点三 简单的古典概型的概率计算
解题方略：
求解古典概型的概率“四步”法
【例3】袋中有6个大小质地完全相同的球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：
(1)A：取出的两球都是白球；
(2)B：取出的两球一个是白球，另一个是红球．
【解析】设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5,6.从袋中的6个球中任取2个球的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}，共有15个样本点．
(1)因为A＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，所以n(A)＝6，从而P(A)＝eq \f(nA,nΩ)＝eq \f(6,15)＝eq \f(2,5)；
(2)因为B＝{(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)}，所以n(B)＝8，从而P(B)＝eq \f(nB,nΩ)＝eq \f(8,15).
变式1：生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(3,5)
C.eq \f(2,5) D.eq \f(1,5)
【解析】设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1，a2，a3，未测量过这项指标的2只为b1，b2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6种可能．故恰有2只测量过该指标的概率为eq \f(6,10)＝eq \f(3,5).故选B.
变式2：从3男3女共6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)，这2名都是女同学的概率等于________．
【解析】设3名男同学分别为a1，a2，a3,3名女同学分别为b1，b2，b3，则试验的样本空间Ω＝{a1a2，a1a3，a2a3，a1b1，a1b2，a1b3，a2b1，a2b2，a2b3，a3b1，a3b2，a3b3，b1b2，b1b3，b2b3}，其中共有15个样本点．设事件A＝“都是女同学”，则A＝{b1b2，b1b3，b2b3}，所以n(A)＝3.故P(A)＝eq \f(nA,nΩ)＝eq \f(3,15)＝eq \f(1,5).
答案：eq \f(1,5)
变式3：从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a，从{2,3,4}中随机选取一个数b，则b>a的概率是( )
A.eq \f(4,5) B．eq \f(3,5)
C.eq \f(2,5) D.eq \f(1,5)
【解析】此试验的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，其中共有15个样本点．设事件A＝“b>a”，则A＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，所以n(A)＝6，故所求的概率为P(A)＝eq \f(nA,nΩ)＝eq \f(6,15)＝eq \f(2,5).故选C.
变式4：在5瓶饮料中，有2瓶已过了保质期，从中任取2瓶，取到的全是已过保质期的饮料的概率为________．
【解析】设过保质期的2瓶记为a，b，没过保质期的3瓶用1,2,3表示，试验的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1，a)，(1，b)，(2,3)，(2，a)，(2，b)，(3，a)，(3，b)，(a，b)}，共10个样本点，2瓶都过保质期的样本点只有1个，∴P＝eq \f(1,10).
答案：eq \f(1,10)
变式5：古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木、木克土、土克水、水克火、火克金．”从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为( )
A.eq \f(3,10) B．eq \f(2,5)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(3,5)
【解析】从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则样本空间Ω＝{(金，木)，(金，水)，(金，火)，(金，土)，(木，水)，(木，火)，(木，土)，(水，火)，(水，土)，(火，土)}，共10个样本点．其中金克木，木克土，土克水，水克火，火克金，即相克的有5种，则不相克的也是5种，所以抽取的两种物质不相克的概率为eq \f(1,2).故选C.
变式6：两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,4)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,6)
【解析】两名同学分3本不同的书，记这三本书分别为a，b，c，该试验样本空间Ω＝{(0,3)，(a,2)，(b,2)，(c,2)，(2，a)，(2，b)，(2，c)，(3,0)}共8个样本点．其中一人没有分到书，另一人分到3本书的样本点有2个，∴一人没有分到书，另一人分得3本书的概率P＝eq \f(2,8)＝eq \f(1,4).故选B.
变式7：某部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册的概率为( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)
【解析】所有样本点为：(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，共6种．其中从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册包含的样本点为(1,2,3)，(3,2，1)，共2种，∴P＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3).故选B.
变式8：若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m，n，则点P(m，n)在一次函数y＝－x＋4图象上的概率是( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,4)
C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,12)
【解析】由题意(m，n)的取值情况有(1,1)，(1,2)，…，(1,6)；(2,1)，(2,2)，…，(2,6)；…；(6,1)，(6,2)，…，(6,6)，共36种，而满足点P(m，n)在一次函数y＝－x＋4图象上的取值情况有(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3种．故所求概率为eq \f(3,36)＝eq \f(1,12).故选D.
变式9：设a是从集合eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，2，3，4))中随机取出的一个数，b是从集合eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，2，3))中随机取出的一个数，构成一个样本点(a，b)．记“这些样本点中，满足lgba≥1”为事件E，则E发生的概率是( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(5,12)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,4)
【解析】试验发生包含的样本点是分别从两个集合中取1个数字，共有12种结果，满足条件的事件是满足lgba≥1，可以列举出所有的样本点，当b＝2时，a＝2,3,4，当b＝3时，a＝3,4，共有5个，∴根据古典概型的概率公式得到概率是eq \f(5,12).故选B.
变式10：某天上午要安排语文、数学、历史、体育四节课，则体育课不排在第一节的概率为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(3,4)
【解析】我们不考虑语文、数学、历史排在第几节，只考虑体育的排法，体育等可能地排在第一节、第二节、第三节、第四节，共4个样本点，因此体育课不排在第一节的概率为eq \f(3,4).故选D.
变式11：(2023·全国卷Ⅲ)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,4)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,2)
【解析】设两位男同学分别为A，B，两位女同学分别为a，b，则用“树状图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示．
由图知，共有24种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果(画“√”的情况)共有12种，故所求概率为eq \f(12,24)＝eq \f(1,2).故选D.
变式12：《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兑八卦)，每一卦由三根线组成(－表示一根阳线，－－表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为( )
A．eq \f(1,8) B．eq \f(1,4) C．eq \f(3,8) D．eq \f(1,2)
【解析】从八卦中任取一卦，基本事件总数n＝8，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线包含的基本事件个数m＝3，
∴所求概率为P＝eq \f(3,8).，故选C．
变式13：某学校有初级教师21人，中级教师14人，高级教师7人，现采用分层随机抽样的方法从这些教师中抽取6人对绩效工资情况进行调查．
(1)求应从初级教师、中级教师、高级教师中分别抽取的人数；
(2)若从分层随机抽样抽取的6名教师中随机抽取2名教师做进一步数据分析，求抽取的2名教师均为初级教师的概率．
【解析】 (1)由分层随机抽样知识得应从初级教师、中级教师、高级教师中抽取的人数分别为3,2,1.
(2)在分层随机抽样抽取的6名教师中，3名初级教师分别记为A1，A2，A3,2名中级教师分别记为A4，A5，高级教师记为A6，则从中抽取2名教师的样本空间为Ω＝ {(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)}，即样本点的总数为15.抽取的2名教师均为初级教师(记为事件B)的样本点为(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3种．
所以P(B)＝eq \f(3,15)＝eq \f(1,5).
考点四 含“有放回”抽取的古典概型问题
解题方略：
解决有序和无序问题应注意两点
(1)关于不放回抽样，计算样本点个数时，既可以看做是有顺序的，也可以看做是无顺序的，其最后结果是一致的．但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误．
(2)关于有放回抽样，应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同，所以(a1，b)，(b，a1)不是同一个样本点．解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”，每一件产品被取出的机会都是均等的．
【例4】小李在做一份调查问卷，共有5道题，其中有两种题型，一种是选择题，共3道，另一种是填空题，共2道．
(1)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，求所选的题不是同一种题型的概率；
(2)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，求所选的题不是同一种题型的概率．
【解析】将3道选择题依次编号为1,2,3,2道填空题依次编号为4,5.
(1)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，则样本空间Ω1＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，共20个样本点，而且这些样本点发生的可能性是相等的．
设事件A＝“所选的题不是同一种题型”，则事件A＝{(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)}，共12个样本点，所以P(A)＝eq \f(12,20)＝0.6.
(2)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，则样本空间Ω2＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)}，共25个样本点，而且这些样本点发生的可能性是相等的．
设事件B＝“所选的题不是同一种题型”，由(1)知所选题不是同一种题型的样本点共12个，所以P(B)＝eq \f(12,25)＝0.48.
变式1：从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中，每次任取一件．
(1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；
(2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．
【解析】(1)每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的样本点有6个，即(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．总的事件个数为6，而且可以认为这些样本点是等可能的．
设事件A＝“取出的两件中恰有一件次品”，所以A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a1，b，a2，b，b，a1，b，a2))，所以n(A)＝4，
从而P(A)＝eq \f(nA,nΩ)＝eq \f(4,6)＝eq \f(2,3).
(2)有放回地连续取出两件，其所有可能的结果为(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)，共9个样本点组成．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些样本点的出现是等可能的．设事件B＝“恰有一件次品”，则B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a1，b，a2，b，b，a1，b，a2))，所以n(B)＝4，从而P(B)＝eq \f(nB,nΩ)＝eq \f(4,9).
练习一 古典概型的判断
1、判断下列试验是不是古典概型：
(1)口袋中有2个红球、2个白球，每次从中任取1球，观察颜色后放回，直到取出红球；
(2)从甲、乙、丙、丁、戊5名同学中任意抽取1名担任学生代表；
(3)射击运动员向一靶子射击5次，脱靶的次数．
【解析】(1)每次摸出1个球后，仍放回袋中，再摸1个球．显然，这是有放回抽样，依次摸出的球可以重复，且摸球可无限地进行下去，即所有可能结果有无限个，因此该试验不是古典概型．
(2)从5名同学中任意抽取1名，有5种等可能发生的结果：抽到学生甲，抽到学生乙，抽到学生丙，抽到学生丁，抽到学生戊．因此该试验是古典概型．
(3)射击的结果：脱靶0次，脱靶1次，脱靶2次，…，脱靶5次．这都是样本点，但不是等可能事件．因此该试验不是古典概型．
2、下列试验中是古典概型的是( )
A．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽
B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球
C．向一个圆面内随机地投一个点，观察该点落在圆内的位置
D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环
【解析】由古典概型的两个特征易知B正确．
练习二 样本点的计数问题
1、已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．
(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级” ，求事件M发生的概率．
【解析】(1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．
(2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为
{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．
②由(1)知，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．所以事件M发生的概率P(M)＝eq \f(5,21).
练习三 简单的古典概型的概率计算
1、已知集合A＝{2,3,4,5,6,7}，B＝{2,3,6,9}，在集合A∪B中任取一个元素，则它是集合A∩B中的元素的概率是( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(3,5)
C.eq \f(3,7) D.eq \f(2,5)
【解析】A∪B＝{2,3,4,5,6,7,9}，A∩B＝{2,3,6}，所以由古典概型的概率公式得，所求的概率是eq \f(3,7).故选C.
2、从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________.
【解析】此试验的样本空间Ω＝{(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，共有4个样本点，设事件A＝“可构成三角形”，则A＝{(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)}，共有3个样本点，故P(A)＝eq \f(nA,nΩ)＝eq \f(3,4).
答案：eq \f(3,4)
3、某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．
(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；
(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析：
①列出所有可能的抽取结果；
②求抽取的2所学校均为小学的概率．
【解析】(1)由分层抽样的定义知，
从小学抽取的学校数目为6×eq \f(21,21＋14＋7)＝3(所)，
从中学抽取的学校数目为6×eq \f(14,21＋14＋7)＝2(所)，
从大学抽取的学校数目为6×eq \f(7,21＋14＋7)＝1(所)．
(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5,1所大学记为A6，则抽取2所学校的样本空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)}，共15个样本点．
②“抽取的2所学校均为小学”记为事件B，则B＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)}，共3个样本点，所以P(B)＝eq \f(3,15)＝eq \f(1,5).
4、抛掷两粒均匀的骰子，求：
(1)点数之和为5的概率；
(2)点数之和为7的概率；
(3)出现两个4点的概率．
【解析】在抛掷两粒均匀的骰子的试验中，每粒骰子均可出现1点，2点，…，6点，共6种结果．两粒骰子出现的点数可以用有序实数对(x，y)来表示，它与直角坐标系内的一个点对应，则该试验的样本空间
Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，
(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，
(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，
(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，
(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，
(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}，共36个样本点．
(1)设事件A＝“点数之和为5”，从图中可以看到事件A＝{(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)}，所以P(A)＝eq \f(4,36)＝eq \f(1,9).
(2)设事件B＝“点数之和为7”，从图中可以看到事件B＝{(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6)}，所以P(B)＝eq \f(6,36)＝eq \f(1,6).
(3)设事件C＝“出现两个4点”，则从图中可以看到事件C＝{(4,4)}，所以P(C)＝eq \f(1,36).
5、在两个袋内，分别装着写有0,1,2,3,4,5六个数字的6张卡片，从每个袋中各任取一张卡片，则两张卡片上数字之和等于7的概率为________．
【解析】试验结果如表所示：
由表可知，此试验的样本空间共有36个样本点，其中和为7的有4个样本点，∴所求事件的概率为eq \f(4,36)＝eq \f(1,9).
答案：eq \f(1,9)
6、将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a和b，则方程ax2＋bx＋1＝0有实数解的概率是________．
【解析】由题意，a，b∈{1,2,3,4,5,6}，所以(a，b)的不同取值情况如下表所示，
共有6×6＝36(种)，即总的样本点总数n＝36.
记“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为事件A，下面求事件A所包含的样本点的个数n(A)．
由题意，事件eq \x\t(A)为“方程ax2＋bx＋1＝0无实数解”．
显然方程无解的条件是Δ＝b2－4a<0，可得a>eq \f(b2,4).
故b＝1时，a>eq \f(1,4)，故a＝1,2,3,4,5,6；b＝2时，a>1，故a＝2,3,4,5,6；
b＝3时，a>eq \f(9,4)，故a＝3,4,5,6；b＝4时，a>4，故a＝5,6；
b＝5时，a>eq \f(25,4)，故a无解；b＝6时，a>9，故a无解．
所以事件eq \x\t(A)包含的样本点共有6＋5＋4＋2＋0＋0＝17(个)．
故事件eq \x\t(A)的概率为P(eq \x\t(A))＝eq \f(17,36).
故P(A)＝1－P(eq \x\t(A))＝1－eq \f(17,36)＝eq \f(19,36).
答案：eq \f(19,36)
7、2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．
(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访.
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设事件M＝“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．
【解析】(1)由已知得老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人．
(2)①从已知的6人中随机抽取2人的样本空间Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)}，共有15个样本点．
②由表格知，M＝{(A，B)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，E)，(C，F)，(D，F)，(E，F)}，所以n(M)＝11.
从而，事件M发生的概率P(M)＝eq \f(nM,nΩ)＝eq \f(11,15).
8、海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
【解析】(1)因为样本量与总体中的个体数的比是eq \f(6,50＋150＋100)＝eq \f(1,50)，
所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：
50×eq \f(1,50)＝1(件)，150×eq \f(1,50)＝3(件)，100×eq \f(1,50)＝2(件)，
所以A，B，C三个地区的商品被抽取的件数分别为1,3,2.
(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为A1；B1，B2，B3；C1，C2，则此试验的样本空间
Ω＝{(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(C1，C2)}．
每个样品被抽到的机会均等，因此这些样本点出现的可能性相等．
设事件D＝“抽取的这2件商品来自相同地区”，则D＝{(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，(C1，C2)}，所以n(D)＝4，
从而P(D)＝eq \f(nD,nΩ)＝eq \f(4,15)，
即这2件商品来自相同地区的概率为eq \f(4,15).
练习四 含“有放回”抽取的古典概型问题
1、甲、乙两个均匀的正方体玩具，各个面上分别刻有1,2,3,4,5,6六个数字，将这两个玩具同时掷一次．
(1)若甲上的数字为十位数，乙上的数字为个位数，问可以组成多少个不同的数，其中个位数字与十位数字均相同的数字的概率是多少？
(2)两个玩具的数字之和共有多少种不同结果？其中数字之和为12的有多少种情况？数字之和为6的共有多少种情况？分别计算这两种情况的概率．
【解析】(1)甲有6种不同的结果，乙也有6种不同的结果，故样本点总数为6×6＝36(个)．其中十位数字共有6种不同的结果，若十位数字与个位数字相同，十位数字确定后，个位数字也即确定．故共有6×1＝6(种)不同的结果，即概率为eq \f(6,36)＝eq \f(1,6).
(2)两个玩具的数字之和共有2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12共11种不同结果．出现数字之和为12的只有一种情况，故其概率为eq \f(1,36).出现数字之和为6的共有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)五种情况，所以其概率为eq \f(5,36).
2、甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
(1)设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出试验的样本空间；
(2)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜．你认为此游戏是否公平？说明你的理由．
【解析】(1) 方片4用4′表示，试验的样本空间为Ω＝ {(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)}，则样本点的总数为12.
(2)不公平．甲抽到牌的牌面数字比乙大有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种，甲胜的概率为P1＝eq \f(5,12)，乙胜的概率为P2＝eq \f(7,12)，因为eq \f(5,12)0
1
2
3
4
5
0
0
1
2
3
4
5
1
1
2
3
4
5
6
2
2
3
4
5
6
7
3
3
4
5
6
7
8
4
4
5
6
7
8
9
5
5
6
7
8
9
10
b
a
1
2
3
4
5
6
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
6
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
员工
项目
A
B
C
D
E
F
子女教育
○
○
×
○
×
○
继续教育
×
×
○
×
○
○
大病医疗
×
×
×
○
×
×
住房贷款利息
○
○
×
×
○
○
住房租金
×
×
○
×
×
×
赡养老人
○
○
×
×
×
○
地区
A
B
C
数量
50
150
100
知识点1 古典概型
1．古典概型定义
一般地，若实验E具有如下特征：
①有限性——样本空间的样本点只有有限个
②等可能性——每个样本点发生的可能性相等
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型
注：①由古典概型的定义可得，古典概型满足基本事件的有限性和等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不用通过大量的重复试验，只要对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可.
②在古典概型中，每个基本事件发生的可能性都相等，称这些基本事件为等可能基本事件.
2．古典概型的特征
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
注：判断一个概率模型是否为古典概型，依据在于——①样本空间的样本点，只有有限个②每个样本点发生的可能性相等，判断一个试验是否满足这两个特征，应根据具体的问题情境仔细分析，并不是所有的试验都是古典概型.以下试验不是古典概型：
①样本点的个数有限，但出现的可能性并不相等
②样本点的个数无限，但是出现的可能性相等
③样本点的个数无限，出现的可能性也不相等
例如在适宜的条件下,种下一粒种子，观察它是否发芽，这个试验的基本事件空间为｛发芽，不发芽｝，发芽与不发芽的这两种结果出现的机会一般是不均等的. 又比如从直径规格为300mm±0.6mm的一些钢管产品中，任意抽一根，测量其直径，测量值可能是从299.4mm~300.6mm之间的任何一个值，所有可能的结果有无限多个.
3．古典概型的概率公式
设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率为P(A)＝eq \f(k,n)＝eq \f(nA,nΩ).
[说明] (1)随机试验E中的样本点
①任何两个样本点都是互斥的；
②任何事件(除不可能事件)都可以表示成某些样本点的和．
(2)求解古典概型问题的一般思路
①明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的样本点(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有样本点)；
②根据实际问题情景判断样本点的等可能性；
③计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率．
考点一 古典概型的判断
解题方略：
1.古典概型的判断方法：
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征，即有限性和等可能性，因而并不是所有的试验都是古典概型.
2.下列三类试验都不是古典概型：
1样本点个数有限，但不等可能；
2样本点个数无限，但等可能；
3样本点个数无限，也不等可能.
【例1】判断下列概率模型中哪些是古典概型，为什么？
①从区间[1,10]内任意取出一个数，求取到1的概率；
②从含有1的10个整数中任意取出一个数，求取到1的概率；
③向一个正方形ABCD内投掷一点P，求P恰好与A点重合的概率；
④向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率．
变式1：某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环、……、命中5环和不中环．你认为这是古典概型吗？为什么？
考点二 样本点的计数问题
解题方略：
随机试验中样本点的探求方法
(1)列举法：把试验的全部结果一一列举出来．此方法适合于较为简单的试验问题．
(2)树状图法：树状图法是使用树状的图形把样本点列举出来的一种方法，树状图法便于分析样本点间的关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树状图法适用于较复杂的试验的题目．
【例2】4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有样本点个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
变式1：连续掷3枚质地均匀的硬币，观察这3枚硬币落在地面上时是正面朝上还是反面朝上．
①写出这个试验的所有样本点；
②求这个试验的样本点的总数；
③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含哪些样本点？
变式2：将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，则：
(1)一共有几个样本点？
(2)“出现的点数之和大于8”包含几个样本点？
考点三 简单的古典概型的概率计算
解题方略：
求解古典概型的概率“四步”法
【例3】袋中有6个大小质地完全相同的球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：
(1)A：取出的两球都是白球；
(2)B：取出的两球一个是白球，另一个是红球．
变式1：生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(3,5)
C.eq \f(2,5) D.eq \f(1,5)
变式2：从3男3女共6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)，这2名都是女同学的概率等于________．
变式3：从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a，从{2,3,4}中随机选取一个数b，则b>a的概率是( )
A.eq \f(4,5) B．eq \f(3,5)
C.eq \f(2,5) D.eq \f(1,5)
变式4：在5瓶饮料中，有2瓶已过了保质期，从中任取2瓶，取到的全是已过保质期的饮料的概率为________．
变式5：古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木、木克土、土克水、水克火、火克金．”从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为( )
A.eq \f(3,10) B．eq \f(2,5)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(3,5)
变式6：两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,4)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,6)
变式7：某部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册的概率为( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)
变式8：若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m，n，则点P(m，n)在一次函数y＝－x＋4图象上的概率是( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,4)
C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,12)
变式9：设a是从集合eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，2，3，4))中随机取出的一个数，b是从集合eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，2，3))中随机取出的一个数，构成一个样本点(a，b)．记“这些样本点中，满足lgba≥1”为事件E，则E发生的概率是( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(5,12)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,4)
变式10：某天上午要安排语文、数学、历史、体育四节课，则体育课不排在第一节的概率为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(3,4)
变式11：(2023·全国卷Ⅲ)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,4)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,2)
变式12：《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兑八卦)，每一卦由三根线组成(－表示一根阳线，－－表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为( )
A．eq \f(1,8) B．eq \f(1,4) C．eq \f(3,8) D．eq \f(1,2)
变式13：某学校有初级教师21人，中级教师14人，高级教师7人，现采用分层随机抽样的方法从这些教师中抽取6人对绩效工资情况进行调查．
(1)求应从初级教师、中级教师、高级教师中分别抽取的人数；
(2)若从分层随机抽样抽取的6名教师中随机抽取2名教师做进一步数据分析，求抽取的2名教师均为初级教师的概率．
考点四 含“有放回”抽取的古典概型问题
解题方略：
解决有序和无序问题应注意两点
(1)关于不放回抽样，计算样本点个数时，既可以看做是有顺序的，也可以看做是无顺序的，其最后结果是一致的．但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误．
(2)关于有放回抽样，应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同，所以(a1，b)，(b，a1)不是同一个样本点．解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”，每一件产品被取出的机会都是均等的．
【例4】小李在做一份调查问卷，共有5道题，其中有两种题型，一种是选择题，共3道，另一种是填空题，共2道．
(1)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，求所选的题不是同一种题型的概率；
(2)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，求所选的题不是同一种题型的概率．
变式1：从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中，每次任取一件．
(1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；
(2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．
练习一 古典概型的判断
1、判断下列试验是不是古典概型：
(1)口袋中有2个红球、2个白球，每次从中任取1球，观察颜色后放回，直到取出红球；
(2)从甲、乙、丙、丁、戊5名同学中任意抽取1名担任学生代表；
(3)射击运动员向一靶子射击5次，脱靶的次数．
2、下列试验中是古典概型的是( )
A．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽
B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球
C．向一个圆面内随机地投一个点，观察该点落在圆内的位置
D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环
练习二 样本点的计数问题
1、已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．
(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级” ，求事件M发生的概率．
练习三 简单的古典概型的概率计算
1、已知集合A＝{2,3,4,5,6,7}，B＝{2,3,6,9}，在集合A∪B中任取一个元素，则它是集合A∩B中的元素的概率是( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(3,5)
C.eq \f(3,7) D.eq \f(2,5)
2、从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________.
3、某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．
(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；
(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析：
①列出所有可能的抽取结果；
②求抽取的2所学校均为小学的概率．
4、抛掷两粒均匀的骰子，求：
(1)点数之和为5的概率；
(2)点数之和为7的概率；
(3)出现两个4点的概率．
5、在两个袋内，分别装着写有0,1,2,3,4,5六个数字的6张卡片，从每个袋中各任取一张卡片，则两张卡片上数字之和等于7的概率为________．
6、将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a和b，则方程ax2＋bx＋1＝0有实数解的概率是________．
7、2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．
(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访.
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设事件M＝“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．
8、海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
练习四 含“有放回”抽取的古典概型问题
1、甲、乙两个均匀的正方体玩具，各个面上分别刻有1,2,3,4,5,6六个数字，将这两个玩具同时掷一次．
(1)若甲上的数字为十位数，乙上的数字为个位数，问可以组成多少个不同的数，其中个位数字与十位数字均相同的数字的概率是多少？
(2)两个玩具的数字之和共有多少种不同结果？其中数字之和为12的有多少种情况？数字之和为6的共有多少种情况？分别计算这两种情况的概率．
2、甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
(1)设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出试验的样本空间；
(2)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜．你认为此游戏是否公平？说明你的理由．
员工
项目
A
B
C
D
E
F
子女教育
○
○
×
○
×
○
继续教育
×
×
○
×
○
○
大病医疗
×
×
×
○
×
×
住房贷款利息
○
○
×
×
○
○
住房租金
×
×
○
×
×
×
赡养老人
○
○
×
×
×
○
地区
A
B
C
数量
50
150
100
第3讲 古典概型
知识点1 古典概型
1．古典概型定义
一般地，若实验E具有如下特征：
①有限性——样本空间的样本点只有有限个
②等可能性——每个样本点发生的可能性相等
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型
注：①由古典概型的定义可得，古典概型满足基本事件的有限性和等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不用通过大量的重复试验，只要对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可.
②在古典概型中，每个基本事件发生的可能性都相等，称这些基本事件为等可能基本事件.
2．古典概型的特征
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
注：判断一个概率模型是否为古典概型，依据在于——①样本空间的样本点，只有有限个②每个样本点发生的可能性相等，判断一个试验是否满足这两个特征，应根据具体的问题情境仔细分析，并不是所有的试验都是古典概型.以下试验不是古典概型：
①样本点的个数有限，但出现的可能性并不相等
②样本点的个数无限，但是出现的可能性相等
③样本点的个数无限，出现的可能性也不相等
例如在适宜的条件下,种下一粒种子，观察它是否发芽，这个试验的基本事件空间为｛发芽，不发芽｝，发芽与不发芽的这两种结果出现的机会一般是不均等的. 又比如从直径规格为300mm±0.6mm的一些钢管产品中，任意抽一根，测量其直径，测量值可能是从299.4mm~300.6mm之间的任何一个值，所有可能的结果有无限多个.
3．古典概型的概率公式
设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率为P(A)＝eq \f(k,n)＝eq \f(nA,nΩ).
[说明] (1)随机试验E中的样本点
①任何两个样本点都是互斥的；
②任何事件(除不可能事件)都可以表示成某些样本点的和．
(2)求解古典概型问题的一般思路
①明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的样本点(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有样本点)；
②根据实际问题情景判断样本点的等可能性；
③计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率．
考点一 古典概型的判断
解题方略：
1.古典概型的判断方法：
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征，即有限性和等可能性，因而并不是所有的试验都是古典概型.
2.下列三类试验都不是古典概型：
1样本点个数有限，但不等可能；
2样本点个数无限，但等可能；
3样本点个数无限，也不等可能.
【例1】判断下列概率模型中哪些是古典概型，为什么？
①从区间[1,10]内任意取出一个数，求取到1的概率；
②从含有1的10个整数中任意取出一个数，求取到1的概率；
③向一个正方形ABCD内投掷一点P，求P恰好与A点重合的概率；
④向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率．
【解析】根据古典概型的特征进行考虑，①③中样本点有无限多个，因此不属于古典概型．④中硬币不均匀，则“正面朝上”“反面朝上”出现的可能性不相等，不是古典概型．②从含有1的10个整数中任取1个整数，其样本点总数为10，是有限的，且每个数取到的可能性相等，故②为古典概型概率问题．
变式1：某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环、……、命中5环和不中环．你认为这是古典概型吗？为什么？
【解析】不是古典概型，因为试验的所有可能结果只有7个，而命中10环、命中9环、……、命中5环和不中环的出现不是等可能的，即不满足古典概型的第二个条件.
考点二 样本点的计数问题
解题方略：
随机试验中样本点的探求方法
(1)列举法：把试验的全部结果一一列举出来．此方法适合于较为简单的试验问题．
(2)树状图法：树状图法是使用树状的图形把样本点列举出来的一种方法，树状图法便于分析样本点间的关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树状图法适用于较复杂的试验的题目．
【例2】4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有样本点个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
【解析】用列举法列举出“数字之和为奇数”的可能结果为：(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种可能．故选C
变式1：连续掷3枚质地均匀的硬币，观察这3枚硬币落在地面上时是正面朝上还是反面朝上．
①写出这个试验的所有样本点；
②求这个试验的样本点的总数；
③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含哪些样本点？
【解析】①这个试验包含的样本点有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．
②这个试验包含的样本点的总数是8.
③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含以下3个样本点：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．
变式2：将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，则：
(1)一共有几个样本点？
(2)“出现的点数之和大于8”包含几个样本点？
【解析】(树状图法)：
一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树状图表示．如图所示：
(1)由图知，共36个样本点．
(2)“点数之和大于8”包含10个样本点(已用“√”标出)．
考点三 简单的古典概型的概率计算
解题方略：
求解古典概型的概率“四步”法
【例3】袋中有6个大小质地完全相同的球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：
(1)A：取出的两球都是白球；
(2)B：取出的两球一个是白球，另一个是红球．
【解析】设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5,6.从袋中的6个球中任取2个球的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}，共有15个样本点．
(1)因为A＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，所以n(A)＝6，从而P(A)＝eq \f(nA,nΩ)＝eq \f(6,15)＝eq \f(2,5)；
(2)因为B＝{(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)}，所以n(B)＝8，从而P(B)＝eq \f(nB,nΩ)＝eq \f(8,15).
变式1：生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(3,5)
C.eq \f(2,5) D.eq \f(1,5)
【解析】设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1，a2，a3，未测量过这项指标的2只为b1，b2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6种可能．故恰有2只测量过该指标的概率为eq \f(6,10)＝eq \f(3,5).故选B.
变式2：从3男3女共6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)，这2名都是女同学的概率等于________．
【解析】设3名男同学分别为a1，a2，a3,3名女同学分别为b1，b2，b3，则试验的样本空间Ω＝{a1a2，a1a3，a2a3，a1b1，a1b2，a1b3，a2b1，a2b2，a2b3，a3b1，a3b2，a3b3，b1b2，b1b3，b2b3}，其中共有15个样本点．设事件A＝“都是女同学”，则A＝{b1b2，b1b3，b2b3}，所以n(A)＝3.故P(A)＝eq \f(nA,nΩ)＝eq \f(3,15)＝eq \f(1,5).
答案：eq \f(1,5)
变式3：从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a，从{2,3,4}中随机选取一个数b，则b>a的概率是( )
A.eq \f(4,5) B．eq \f(3,5)
C.eq \f(2,5) D.eq \f(1,5)
【解析】此试验的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，其中共有15个样本点．设事件A＝“b>a”，则A＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，所以n(A)＝6，故所求的概率为P(A)＝eq \f(nA,nΩ)＝eq \f(6,15)＝eq \f(2,5).故选C.
变式4：在5瓶饮料中，有2瓶已过了保质期，从中任取2瓶，取到的全是已过保质期的饮料的概率为________．
【解析】设过保质期的2瓶记为a，b，没过保质期的3瓶用1,2,3表示，试验的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1，a)，(1，b)，(2,3)，(2，a)，(2，b)，(3，a)，(3，b)，(a，b)}，共10个样本点，2瓶都过保质期的样本点只有1个，∴P＝eq \f(1,10).
答案：eq \f(1,10)
变式5：古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木、木克土、土克水、水克火、火克金．”从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为( )
A.eq \f(3,10) B．eq \f(2,5)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(3,5)
【解析】从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则样本空间Ω＝{(金，木)，(金，水)，(金，火)，(金，土)，(木，水)，(木，火)，(木，土)，(水，火)，(水，土)，(火，土)}，共10个样本点．其中金克木，木克土，土克水，水克火，火克金，即相克的有5种，则不相克的也是5种，所以抽取的两种物质不相克的概率为eq \f(1,2).故选C.
变式6：两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,4)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,6)
【解析】两名同学分3本不同的书，记这三本书分别为a，b，c，该试验样本空间Ω＝{(0,3)，(a,2)，(b,2)，(c,2)，(2，a)，(2，b)，(2，c)，(3,0)}共8个样本点．其中一人没有分到书，另一人分到3本书的样本点有2个，∴一人没有分到书，另一人分得3本书的概率P＝eq \f(2,8)＝eq \f(1,4).故选B.
变式7：某部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册的概率为( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)
【解析】所有样本点为：(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，共6种．其中从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册包含的样本点为(1,2,3)，(3,2，1)，共2种，∴P＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3).故选B.
变式8：若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m，n，则点P(m，n)在一次函数y＝－x＋4图象上的概率是( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,4)
C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,12)
【解析】由题意(m，n)的取值情况有(1,1)，(1,2)，…，(1,6)；(2,1)，(2,2)，…，(2,6)；…；(6,1)，(6,2)，…，(6,6)，共36种，而满足点P(m，n)在一次函数y＝－x＋4图象上的取值情况有(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3种．故所求概率为eq \f(3,36)＝eq \f(1,12).故选D.
变式9：设a是从集合eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，2，3，4))中随机取出的一个数，b是从集合eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，2，3))中随机取出的一个数，构成一个样本点(a，b)．记“这些样本点中，满足lgba≥1”为事件E，则E发生的概率是( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(5,12)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,4)
【解析】试验发生包含的样本点是分别从两个集合中取1个数字，共有12种结果，满足条件的事件是满足lgba≥1，可以列举出所有的样本点，当b＝2时，a＝2,3,4，当b＝3时，a＝3,4，共有5个，∴根据古典概型的概率公式得到概率是eq \f(5,12).故选B.
变式10：某天上午要安排语文、数学、历史、体育四节课，则体育课不排在第一节的概率为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(3,4)
【解析】我们不考虑语文、数学、历史排在第几节，只考虑体育的排法，体育等可能地排在第一节、第二节、第三节、第四节，共4个样本点，因此体育课不排在第一节的概率为eq \f(3,4).故选D.
变式11：(2023·全国卷Ⅲ)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,4)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,2)
【解析】设两位男同学分别为A，B，两位女同学分别为a，b，则用“树状图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示．
由图知，共有24种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果(画“√”的情况)共有12种，故所求概率为eq \f(12,24)＝eq \f(1,2).故选D.
变式12：《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兑八卦)，每一卦由三根线组成(－表示一根阳线，－－表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为( )
A．eq \f(1,8) B．eq \f(1,4) C．eq \f(3,8) D．eq \f(1,2)
【解析】从八卦中任取一卦，基本事件总数n＝8，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线包含的基本事件个数m＝3，
∴所求概率为P＝eq \f(3,8).，故选C．
变式13：某学校有初级教师21人，中级教师14人，高级教师7人，现采用分层随机抽样的方法从这些教师中抽取6人对绩效工资情况进行调查．
(1)求应从初级教师、中级教师、高级教师中分别抽取的人数；
(2)若从分层随机抽样抽取的6名教师中随机抽取2名教师做进一步数据分析，求抽取的2名教师均为初级教师的概率．
【解析】 (1)由分层随机抽样知识得应从初级教师、中级教师、高级教师中抽取的人数分别为3,2,1.
(2)在分层随机抽样抽取的6名教师中，3名初级教师分别记为A1，A2，A3,2名中级教师分别记为A4，A5，高级教师记为A6，则从中抽取2名教师的样本空间为Ω＝ {(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)}，即样本点的总数为15.抽取的2名教师均为初级教师(记为事件B)的样本点为(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3种．
所以P(B)＝eq \f(3,15)＝eq \f(1,5).
考点四 含“有放回”抽取的古典概型问题
解题方略：
解决有序和无序问题应注意两点
(1)关于不放回抽样，计算样本点个数时，既可以看做是有顺序的，也可以看做是无顺序的，其最后结果是一致的．但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误．
(2)关于有放回抽样，应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同，所以(a1，b)，(b，a1)不是同一个样本点．解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”，每一件产品被取出的机会都是均等的．
【例4】小李在做一份调查问卷，共有5道题，其中有两种题型，一种是选择题，共3道，另一种是填空题，共2道．
(1)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，求所选的题不是同一种题型的概率；
(2)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，求所选的题不是同一种题型的概率．
【解析】将3道选择题依次编号为1,2,3,2道填空题依次编号为4,5.
(1)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，则样本空间Ω1＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，共20个样本点，而且这些样本点发生的可能性是相等的．
设事件A＝“所选的题不是同一种题型”，则事件A＝{(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)}，共12个样本点，所以P(A)＝eq \f(12,20)＝0.6.
(2)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，则样本空间Ω2＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)}，共25个样本点，而且这些样本点发生的可能性是相等的．
设事件B＝“所选的题不是同一种题型”，由(1)知所选题不是同一种题型的样本点共12个，所以P(B)＝eq \f(12,25)＝0.48.
变式1：从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中，每次任取一件．
(1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；
(2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．
【解析】(1)每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的样本点有6个，即(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．总的事件个数为6，而且可以认为这些样本点是等可能的．
设事件A＝“取出的两件中恰有一件次品”，所以A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a1，b，a2，b，b，a1，b，a2))，所以n(A)＝4，
从而P(A)＝eq \f(nA,nΩ)＝eq \f(4,6)＝eq \f(2,3).
(2)有放回地连续取出两件，其所有可能的结果为(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)，共9个样本点组成．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些样本点的出现是等可能的．设事件B＝“恰有一件次品”，则B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a1，b，a2，b，b，a1，b，a2))，所以n(B)＝4，从而P(B)＝eq \f(nB,nΩ)＝eq \f(4,9).
练习一 古典概型的判断
1、判断下列试验是不是古典概型：
(1)口袋中有2个红球、2个白球，每次从中任取1球，观察颜色后放回，直到取出红球；
(2)从甲、乙、丙、丁、戊5名同学中任意抽取1名担任学生代表；
(3)射击运动员向一靶子射击5次，脱靶的次数．
【解析】(1)每次摸出1个球后，仍放回袋中，再摸1个球．显然，这是有放回抽样，依次摸出的球可以重复，且摸球可无限地进行下去，即所有可能结果有无限个，因此该试验不是古典概型．
(2)从5名同学中任意抽取1名，有5种等可能发生的结果：抽到学生甲，抽到学生乙，抽到学生丙，抽到学生丁，抽到学生戊．因此该试验是古典概型．
(3)射击的结果：脱靶0次，脱靶1次，脱靶2次，…，脱靶5次．这都是样本点，但不是等可能事件．因此该试验不是古典概型．
2、下列试验中是古典概型的是( )
A．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽
B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球
C．向一个圆面内随机地投一个点，观察该点落在圆内的位置
D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环
【解析】由古典概型的两个特征易知B正确．
练习二 样本点的计数问题
1、已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．
(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级” ，求事件M发生的概率．
【解析】(1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．
(2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为
{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．
②由(1)知，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．所以事件M发生的概率P(M)＝eq \f(5,21).
练习三 简单的古典概型的概率计算
1、已知集合A＝{2,3,4,5,6,7}，B＝{2,3,6,9}，在集合A∪B中任取一个元素，则它是集合A∩B中的元素的概率是( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(3,5)
C.eq \f(3,7) D.eq \f(2,5)
【解析】A∪B＝{2,3,4,5,6,7,9}，A∩B＝{2,3,6}，所以由古典概型的概率公式得，所求的概率是eq \f(3,7).故选C.
2、从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________.
【解析】此试验的样本空间Ω＝{(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，共有4个样本点，设事件A＝“可构成三角形”，则A＝{(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)}，共有3个样本点，故P(A)＝eq \f(nA,nΩ)＝eq \f(3,4).
答案：eq \f(3,4)
3、某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．
(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；
(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析：
①列出所有可能的抽取结果；
②求抽取的2所学校均为小学的概率．
【解析】(1)由分层抽样的定义知，
从小学抽取的学校数目为6×eq \f(21,21＋14＋7)＝3(所)，
从中学抽取的学校数目为6×eq \f(14,21＋14＋7)＝2(所)，
从大学抽取的学校数目为6×eq \f(7,21＋14＋7)＝1(所)．
(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5,1所大学记为A6，则抽取2所学校的样本空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)}，共15个样本点．
②“抽取的2所学校均为小学”记为事件B，则B＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)}，共3个样本点，所以P(B)＝eq \f(3,15)＝eq \f(1,5).
4、抛掷两粒均匀的骰子，求：
(1)点数之和为5的概率；
(2)点数之和为7的概率；
(3)出现两个4点的概率．
【解析】在抛掷两粒均匀的骰子的试验中，每粒骰子均可出现1点，2点，…，6点，共6种结果．两粒骰子出现的点数可以用有序实数对(x，y)来表示，它与直角坐标系内的一个点对应，则该试验的样本空间
Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，
(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，
(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，
(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，
(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，
(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}，共36个样本点．
(1)设事件A＝“点数之和为5”，从图中可以看到事件A＝{(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)}，所以P(A)＝eq \f(4,36)＝eq \f(1,9).
(2)设事件B＝“点数之和为7”，从图中可以看到事件B＝{(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6)}，所以P(B)＝eq \f(6,36)＝eq \f(1,6).
(3)设事件C＝“出现两个4点”，则从图中可以看到事件C＝{(4,4)}，所以P(C)＝eq \f(1,36).
5、在两个袋内，分别装着写有0,1,2,3,4,5六个数字的6张卡片，从每个袋中各任取一张卡片，则两张卡片上数字之和等于7的概率为________．
【解析】试验结果如表所示：
由表可知，此试验的样本空间共有36个样本点，其中和为7的有4个样本点，∴所求事件的概率为eq \f(4,36)＝eq \f(1,9).
答案：eq \f(1,9)
6、将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a和b，则方程ax2＋bx＋1＝0有实数解的概率是________．
【解析】由题意，a，b∈{1,2,3,4,5,6}，所以(a，b)的不同取值情况如下表所示，
共有6×6＝36(种)，即总的样本点总数n＝36.
记“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为事件A，下面求事件A所包含的样本点的个数n(A)．
由题意，事件eq \x\t(A)为“方程ax2＋bx＋1＝0无实数解”．
显然方程无解的条件是Δ＝b2－4a<0，可得a>eq \f(b2,4).
故b＝1时，a>eq \f(1,4)，故a＝1,2,3,4,5,6；b＝2时，a>1，故a＝2,3,4,5,6；
b＝3时，a>eq \f(9,4)，故a＝3,4,5,6；b＝4时，a>4，故a＝5,6；
b＝5时，a>eq \f(25,4)，故a无解；b＝6时，a>9，故a无解．
所以事件eq \x\t(A)包含的样本点共有6＋5＋4＋2＋0＋0＝17(个)．
故事件eq \x\t(A)的概率为P(eq \x\t(A))＝eq \f(17,36).
故P(A)＝1－P(eq \x\t(A))＝1－eq \f(17,36)＝eq \f(19,36).
答案：eq \f(19,36)
7、2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．
(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访.
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设事件M＝“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．
【解析】(1)由已知得老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人．
(2)①从已知的6人中随机抽取2人的样本空间Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)}，共有15个样本点．
②由表格知，M＝{(A，B)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，E)，(C，F)，(D，F)，(E，F)}，所以n(M)＝11.
从而，事件M发生的概率P(M)＝eq \f(nM,nΩ)＝eq \f(11,15).
8、海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
【解析】(1)因为样本量与总体中的个体数的比是eq \f(6,50＋150＋100)＝eq \f(1,50)，
所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：
50×eq \f(1,50)＝1(件)，150×eq \f(1,50)＝3(件)，100×eq \f(1,50)＝2(件)，
所以A，B，C三个地区的商品被抽取的件数分别为1,3,2.
(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为A1；B1，B2，B3；C1，C2，则此试验的样本空间
Ω＝{(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(C1，C2)}．
每个样品被抽到的机会均等，因此这些样本点出现的可能性相等．
设事件D＝“抽取的这2件商品来自相同地区”，则D＝{(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，(C1，C2)}，所以n(D)＝4，
从而P(D)＝eq \f(nD,nΩ)＝eq \f(4,15)，
即这2件商品来自相同地区的概率为eq \f(4,15).
练习四 含“有放回”抽取的古典概型问题
1、甲、乙两个均匀的正方体玩具，各个面上分别刻有1,2,3,4,5,6六个数字，将这两个玩具同时掷一次．
(1)若甲上的数字为十位数，乙上的数字为个位数，问可以组成多少个不同的数，其中个位数字与十位数字均相同的数字的概率是多少？
(2)两个玩具的数字之和共有多少种不同结果？其中数字之和为12的有多少种情况？数字之和为6的共有多少种情况？分别计算这两种情况的概率．
【解析】(1)甲有6种不同的结果，乙也有6种不同的结果，故样本点总数为6×6＝36(个)．其中十位数字共有6种不同的结果，若十位数字与个位数字相同，十位数字确定后，个位数字也即确定．故共有6×1＝6(种)不同的结果，即概率为eq \f(6,36)＝eq \f(1,6).
(2)两个玩具的数字之和共有2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12共11种不同结果．出现数字之和为12的只有一种情况，故其概率为eq \f(1,36).出现数字之和为6的共有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)五种情况，所以其概率为eq \f(5,36).
2、甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
(1)设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出试验的样本空间；
(2)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜．你认为此游戏是否公平？说明你的理由．
【解析】(1) 方片4用4′表示，试验的样本空间为Ω＝ {(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)}，则样本点的总数为12.
(2)不公平．甲抽到牌的牌面数字比乙大有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种，甲胜的概率为P1＝eq \f(5,12)，乙胜的概率为P2＝eq \f(7,12)，因为eq \f(5,12)
1
2
3
4
5
0
0
1
2
3
4
5
1
1
2
3
4
5
6
2
2
3
4
5
6
7
3
3
4
5
6
7
8
4
4
5
6
7
8
9
5
5
6
7
8
9
10
b
a
1
2
3
4
5
6
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
6
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
员工
项目
A
B
C
D
E
F
子女教育
○
○
×
○
×
○
继续教育
×
×
○
×
○
○
大病医疗
×
×
×
○
×
×
住房贷款利息
○
○
×
×
○
○
住房租金
×
×
○
×
×
×
赡养老人
○
○
×
×
×
○
地区
A
B
C
数量
50
150
100
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