高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第03讲复数的加、减运算及其几何意义(原卷版+解析)

这是一份高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第03讲复数的加、减运算及其几何意义(原卷版+解析)，共28页。试卷主要包含了复数代数表示式的加、减法运算，复数加、减运算的几何意义，复数模的最值问题等内容，欢迎下载使用。

知识点1 复数代数形式的加减法
(1)运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.
(2)加法运算律
对任意，有，．
注：对复数的加法、减法运算应注意以下几点
(1)一种规定：复数代数形式的加法法则是一种规定，减法是加法的逆运算；
特殊情形：当复数的虚部为零时，与实数的加法、减法法则一致．
(2)运算律：实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立．实数的移项法则在复数中仍然成立．
(3)运算结果：两个复数的和(差)是唯一确定的复数．
知识点2 复数加减法的几何意义
考点一 复数代数表示式的加、减法运算
解题方略：
复数加、减运算的法则
(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部．
(2)复数的运算可以类比多项式的运算(类似于合并同类项)：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算．
【例1】（ ）
A．B．C．D．
变式1：计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________.
变式2：－i－(－1＋5i)＋(－2－3i)－(i－1)＝________.
变式3：如果，那么复数为（ ）
A．B．C．D．
【例2】已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a＝________.
变式1：复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a，b的值为( )
A．a＝－3，b＝－4 B．a＝－3，b＝4
C．a＝3，b＝－4 D．a＝3，b＝4
【例3】设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2.
变式1：已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)．若z＝z1－z2，且z＝13－2i，则z1＝________，z2＝________.
变式4：若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且在复平面内z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为( )
A．3 B．2 C．1 D．－1
【例4】计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝________.
变式1：已知复数z满足z＋2i－5＝7－i，则|z|＝( )
A．12 B．3 C．3eq \r(17) D．9
变式2：复数在复平面内对应点的坐标为，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
变式3：已知zi＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y为实数，若z1－z2＝5－3i，则|z1＋z2|＝________.
变式4：若|z|＋z＝3＋i，则z等于( )
A．1－eq \f(4,3)i B．1＋eq \f(4,3)i C.eq \f(4,3)＋i D．－eq \f(4,3)＋i
【例5】求复平面内下列两个复数对应的两点之间的距离：
（1）；
（2）.
考点二 复数加、减运算的几何意义
解题方略：
运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题
向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据．利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数．注意向量eq \(AB,\s\up7(―→))对应的复数是zB－zA(终点对应的复数减去起点对应的复数)．
【例6】在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为（ ）
A．B．5C．2D．10
变式1：已知复数与分别表示向量和，则表示向量的复数为______.
变式2：设复数，，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
变式3：已知复数z对应的向量如图所示，则复数z＋1所对应的向量正确的是( )
变式4：如图，在复平面内，若复数，对应的向量分别是，，则复数 所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
变式5：在复平面内，复数1＋i与1＋3i分别对应向量eq \(OA,\s\up7(―→))和eq \(OB,\s\up7(―→))，其中O为坐标原点，则|eq \(AB,\s\up7(―→))|＝________.
变式6：设向量eq \(OP,\s\up7(―→))，eq \(PQ,\s\up7(―→))，eq \(OQ,\s\up7(―→))对应的复数分别为z1，z2，z3，那么( )
A．z1＋z2＋z3＝0 B．z1－z2－z3＝0
C．z1－z2＋z3＝0 D．z1＋z2－z3＝0
变式7：在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为zO＝0，zA＝2＋eq \f(a,2)i，zB＝－2a＋3i，zC＝－b＋ai，a，b∈R，则a－b＝________.
变式8：已知z1，z2∈C，|z1＋z2|＝2eq \r(2)，|z1|＝2，|z2|＝2，则|z1－z2|等于( )
A．1 B. eq \f(1,2)
C．2 D．2eq \r(2)
变式9：△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的( )
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
变式10：复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面内的对应点是一个正方形的三个顶点，如图所示，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．
变式11：已知四边形ABCD是复平面上的平行四边形，顶点A，B，C分别对应于复数－5－2i，－4＋5i,2，求点D对应的复数及对角线AC，BD的长．
变式12：已知平行四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up7(―→))与eq \(AC,\s\up7(―→))对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于O点．
(1)求eq \(AD,\s\up7(―→))对应的复数；
(2)求eq \(DB,\s\up7(―→))对应的复数．
考点三 复数模的最值问题（拓展）
解题方略：
两个复数差的模的几何意义
(1)|z－z0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式．
(2)|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆．
(3)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．
【例7】如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是( )
A．1 B.eq \f(1,2) C．2 D.eq \r(5)
变式1：若复数z满足|z＋eq \r(3)＋i|≤1，求|z|的最大值和最小值．
变式2：已知|z|＝1且z∈C，求|z－2－2i|(i为虚数单位)的最小值．
练习一 复数代数表示式的加、减法运算
1、 （ ）
A．B．C．D．
2、等于（ ）．
A．B．C．D．
3、计算：(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)；
(2)(i2＋i)＋|i|＋(1＋i)．
4、若复数满足，则的虚部是（ ）
A．B．C．D．4
5、若复数z满足，则z的虚部是（ ）
A．B．C．1D．6
6、已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________.
7、设若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数（ ）
A．B．C．D．
8、若复数，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
练习二 复数加、减运算的几何意义
1、在复平面内，复数与对应向量与，则向量对应的复数是（ ）
A．B．C．D．
2、在复平面上，如果，对应的复数分别是，，那么对应的复数为________.
3、如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为（ ）．
A．B．C．D．
4、复平面上，，对应的点分别为，，已知，且，是坐标原点，则在复平面内是________（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）.
5、如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应复数0，3＋2i，－2＋4i．求：
（1）向量对应的复数；
（2）向量对应的复数；
（3）向量对应的复数．
6、已知，求.
7、已知，，，，求.
8、根据复数加法的几何意义，证明：．
9、已知复平面内的平行四边形ABCD中，A点对应的复数为2＋i，向量eq \(BA,\s\up7(―→))对应的复数为1＋2i，向量eq \(BC,\s\up7(―→))对应的复数为3－i，求：
(1)点C，D对应的复数；
(2)平行四边形ABCD的面积．
练习三 复数模的最值问题
1、已知复数z满足，复数z的共轭复数为，则的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2、【多选】已知复数（为虚数单位）在复平面内的对应的点为，复数满足在复平面内对应的点为，则下列结论正确的有（ ）
A．复数的虚部为
B．
C．的最大值
D．的最小值为
3、若，则取值范围是______
4、已知复数z满足，则的最大值为___________．
复数加法的几何意义
向量加法的平行四边形法则
复数z1＋z2是以eq \(OZ1,\s\up6(→))，eq \(OZ2,\s\up6(→))为邻边的平行四边形的对角线eq \(OZ,\s\up6(→))所对应的复数
复数减法的几何意义
向量减法的三角形法则
复数z1－z2是从向量eq \(OZ2,\s\up6(→))的终点指向向量eq \(OZ1,\s\up6(→))的终点的向量eq \(Z2Z1,\s\up6(-----→))所对应的复数
第3讲 复数的加、减运算及其几何意义
知识点1 复数代数形式的加减法
(1)运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.
(2)加法运算律
对任意，有，．
注：对复数的加法、减法运算应注意以下几点
(1)一种规定：复数代数形式的加法法则是一种规定，减法是加法的逆运算；
特殊情形：当复数的虚部为零时，与实数的加法、减法法则一致．
(2)运算律：实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立．实数的移项法则在复数中仍然成立．
(3)运算结果：两个复数的和(差)是唯一确定的复数．
知识点2 复数加减法的几何意义
考点一 复数代数表示式的加、减法运算
解题方略：
复数加、减运算的法则
(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部．
(2)复数的运算可以类比多项式的运算(类似于合并同类项)：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算．
【例1】（ ）
A．B．C．D．
【解析】，故选：D
变式1：计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________.
【解析】(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i＝－2－i.
变式2：－i－(－1＋5i)＋(－2－3i)－(i－1)＝________.
【解析】－i－(－1＋5i)＋(－2－3i)－(i－1)＝－i＋1－5i－2－3i－i＋1＝－10i.
变式3：如果，那么复数为（ ）
A．B．C．D．
【解析】，故.故选：A.
【例2】已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a＝________.
【解析】由条件知z1＋z2＝a2－2a－3＋(a2－1)i，
又z1＋z2是纯虚数，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－2a－3＝0，,a2－1≠0，))
解得a＝3.
变式1：复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a，b的值为( )
A．a＝－3，b＝－4 B．a＝－3，b＝4
C．a＝3，b＝－4 D．a＝3，b＝4
【解析】由题意可知z1＋z2＝(a－3)＋(b＋4)i是实数，z1－z2＝(a＋3)＋(4－b)i是纯虚数，故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＋4＝0，,a＋3＝0，,4－b≠0，))解得a＝－3，b＝－4.故选A.
【例3】设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2.
【解析】∵z1＝x＋2i，z2＝3－yi，
∴z1＋z2＝x＋3＋(2－y)i＝5－6i，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3＝5，,2－y＝－6，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝8.))
∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i，
∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.
变式1：已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)．若z＝z1－z2，且z＝13－2i，则z1＝________，z2＝________.
【解析】z＝z1－z2＝[(3x＋y)＋(y－4x)i]－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]＝(5x－3y)＋(x＋4y)i，
又z＝13－2i，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5x－3y＝13，,x＋4y＝－2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－1.))
所以z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i，
z2＝(－4－2×2)－(5×2－3×1)i＝－8－7i.
答案：5－9i －8－7i
变式4：若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且在复平面内z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为( )
A．3 B．2 C．1 D．－1
【解析】z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i.∵在复平面内z1＋z2所对应的点在实轴上，
∴1＋a＝0，∴a＝－1.故选D.
【例4】计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝________.
【解析】|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝|(2＋i)－(－1－3i)|＝|3＋4i|＝ eq \r(32＋42)＝5.
答案：5
变式1：已知复数z满足z＋2i－5＝7－i，则|z|＝( )
A．12 B．3 C．3eq \r(17) D．9
【解析】由题意知z＝7－i－(2i－5)＝12－3i，∴|z|＝ eq \r(122＋－32)＝3eq \r(17).故选C.
变式2：复数在复平面内对应点的坐标为，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解析】因复数在复平面内对应点的坐标为，则，
所以，
所以.
故选：C.
变式3：已知zi＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y为实数，若z1－z2＝5－3i，则|z1＋z2|＝________.
【解析】z1－z2＝[(3x－4y)＋(y－2x)i]－[(－2x＋y)＋(x－3y)i]＝[(3x－4y)－(－2x＋y)]＋[(y－2x)－(x－3y)]i＝(5x－5y)＋(－3x＋4y)i＝5－3i，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5x－5y＝5，,－3x＋4y＝－3，))解得x＝1，y＝0，
所以z1＝3－2i，z2＝－2＋i，则z1＋z2＝1－i，
所以|z1＋z2|＝eq \r(2).
变式4：若|z|＋z＝3＋i，则z等于( )
A．1－eq \f(4,3)i B．1＋eq \f(4,3)i C.eq \f(4,3)＋i D．－eq \f(4,3)＋i
【解析】设z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z|＋z＝3＋i得eq \r(x2＋y2)＋x＋yi＝3＋i，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(x2＋y2)＋x＝3，,y＝1，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(4,3)，,y＝1.))所以z＝eq \f(4,3)＋i.故选C.
【例5】求复平面内下列两个复数对应的两点之间的距离：
（1）；
（2）.
【解析】（1）；
（2）.
考点二 复数加、减运算的几何意义
解题方略：
运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题
向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据．利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数．注意向量eq \(AB,\s\up7(―→))对应的复数是zB－zA(终点对应的复数减去起点对应的复数)．
【例6】在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为（ ）
A．B．5C．2D．10
【解析】依题意，对应的复数为(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i，因此AC的长度为|－3－4i|＝5.
故选：B．
变式1：已知复数与分别表示向量和，则表示向量的复数为______.
【解析】，，
，
即向量表示的复数为.
故答案为：.
变式2：设复数，，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解析】因为，，所以，所以在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，
故选：D
变式3：已知复数z对应的向量如图所示，则复数z＋1所对应的向量正确的是( )
【解析】由图可知z＝－2＋i，所以z＋1＝－1＋i，则复数z＋1所对应的向量的坐标为(－1,1)．故选A.
变式4：如图，在复平面内，若复数，对应的向量分别是，，则复数 所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【解析】由图知，，
所以，
所以所对应的点在第二象限.
故选：B
变式5：在复平面内，复数1＋i与1＋3i分别对应向量eq \(OA,\s\up7(―→))和eq \(OB,\s\up7(―→))，其中O为坐标原点，则|eq \(AB,\s\up7(―→))|＝________.
【解析】由题意eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \(OB,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→))，∴eq \(AB,\s\up7(―→))对应的复数为(1＋3i)－(1＋i)＝2i，∴|eq \(AB,\s\up7(―→))|＝2.
变式6：设向量eq \(OP,\s\up7(―→))，eq \(PQ,\s\up7(―→))，eq \(OQ,\s\up7(―→))对应的复数分别为z1，z2，z3，那么( )
A．z1＋z2＋z3＝0 B．z1－z2－z3＝0
C．z1－z2＋z3＝0 D．z1＋z2－z3＝0
【解析】 ∵eq \(OP,\s\up7(―→))＋eq \(PQ,\s\up7(―→))＝eq \(OQ,\s\up7(―→))，∴z1＋z2＝z3，即z1＋z2－z3＝0.故选D.
变式7：在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为zO＝0，zA＝2＋eq \f(a,2)i，zB＝－2a＋3i，zC＝－b＋ai，a，b∈R，则a－b＝________.
【解析】因为eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OC,\s\up7(―→))＝eq \(OB,\s\up7(―→))，所以2＋eq \f(a,2)i＋(－b＋ai)＝－2a＋3i，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－b＝－2a，,\f(a,2)＋a＝3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝6.))
故a－b＝－4.
答案：－4
变式8：已知z1，z2∈C，|z1＋z2|＝2eq \r(2)，|z1|＝2，|z2|＝2，则|z1－z2|等于( )
A．1 B. eq \f(1,2)
C．2 D．2eq \r(2)
【解析】由复数加法、减法的几何意义知，在复平面内，以z1，z2所对应的向量为邻边的平行四边形为正方形，所以|z1－z2|＝2eq \r(2).故选D.
变式9：△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的( )
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【解析】由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z的对应点P到△ABC的顶点A，B，C距离相等，∴P为△ABC的外心．故选A.
变式10：复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面内的对应点是一个正方形的三个顶点，如图所示，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．
【解析】复数z1，z2，z3所对应的点分别为A，B，C，设正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)．
因为eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \(OD,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→))，
所以eq \(AD,\s\up7(―→))对应的复数为(x＋yi)－(1＋2i)＝(x－1)＋(y－2)i，
因为eq \(BC,\s\up7(―→))＝eq \(OC,\s\up7(―→))－eq \(OB,\s\up7(―→))，
所以eq \(BC,\s\up7(―→))对应的复数为(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i.
因为eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \(BC,\s\up7(―→))，所以它们对应的复数相等，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1＝1，,y－2＝－3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－1.))
故点D对应的复数为2－i.
变式11：已知四边形ABCD是复平面上的平行四边形，顶点A，B，C分别对应于复数－5－2i，－4＋5i,2，求点D对应的复数及对角线AC，BD的长．
【解析】如图，因为AC与BD的交点M是各自的中点，
所以有zM＝eq \f(zA＋zC,2)＝eq \f(zB＋zD,2)，
所以zD＝zA＋zC－zB＝1－7i，
因为eq \(AC,\s\up7(―→))：zC－zA＝2－(－5－2i)＝7＋2i，
所以|eq \(AC,\s\up7(―→))|＝|7＋2i|＝ eq \r(72＋22)＝eq \r(53)，
因为eq \(BD,\s\up7(―→))：zD－zB＝(1－7i)－(－4＋5i)＝5－12i，
所以|eq \(BD,\s\up7(―→))|＝|5－12i|＝ eq \r(52＋122)＝13.
故点D对应的复数是1－7i，AC与BD的长分别是eq \r(53)和13.
变式12：已知平行四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up7(―→))与eq \(AC,\s\up7(―→))对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于O点．
(1)求eq \(AD,\s\up7(―→))对应的复数；
(2)求eq \(DB,\s\up7(―→))对应的复数．
【解析】(1)由于四边形ABCD是平行四边形，所以eq \(AC,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→))，于是eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \(AC,\s\up7(―→))－eq \(AB,\s\up7(―→))，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i，即eq \(AD,\s\up7(―→))对应的复数是－2＋2i.
(2)由于eq \(DB,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(AD,\s\up7(―→))，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5，所以eq \(DB,\s\up7(―→))对应的复数是5.
考点三 复数模的最值问题（拓展）
解题方略：
两个复数差的模的几何意义
(1)|z－z0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式．
(2)|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆．
(3)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．
【例7】如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是( )
A．1 B.eq \f(1,2) C．2 D.eq \r(5)
【解析】设复数－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，
因为|z＋i|＋|z－i|＝2，
|Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2.
问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，因为|Z1Z3|＝1.
所以|z＋i＋1|min＝1.故选A
变式1：若复数z满足|z＋eq \r(3)＋i|≤1，求|z|的最大值和最小值．
【解析】如图所示，|eq \(OM,\s\up7(―→))|＝ eq \r(－\r(3)2＋－12)＝2.
所以|z|max＝2＋1＝3，|z|min＝2－1＝1.
变式2：已知|z|＝1且z∈C，求|z－2－2i|(i为虚数单位)的最小值．
【解析】因为|z|＝1且z∈C，作图如图：
所以|z－2－2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2,2)的距离，所以|z－2－2i|的最小值为|OP|－1＝2eq \r(2)－1.
练习一 复数代数表示式的加、减法运算
1、 （ ）
A．B．C．D．
【解析】.故选：A.
2、等于（ ）．
A．B．C．D．
【解析】.故选：B
3、计算：(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)；
(2)(i2＋i)＋|i|＋(1＋i)．
【解析】(1)原式＝(－1＋3i)＋(－2－i)＋(1－2i)＝(－3＋2i)＋(1－2i)＝－2.
(2)原式＝(－1＋i)＋eq \r(0＋12)＋(1＋i)＝－1＋i＋1＋1＋i＝1＋2i.
4、若复数满足，则的虚部是（ ）
A．B．C．D．4
【解析】因为，故，故的虚部4，故选：D.
5、若复数z满足，则z的虚部是（ ）
A．B．C．1D．6
【解析】，则z的虚部是，故选：D
6、已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________.
【解析】z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－a－2＝0，,a2＋a－6≠0，))解得a＝－1.
7、设若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意，为实数，则，
为纯虚数，则，
∴.
故选：A
8、若复数，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解析】由可得，
所以，
故选：C.
练习二 复数加、减运算的几何意义
1、在复平面内，复数与对应向量与，则向量对应的复数是（ ）
A．B．C．D．
【解析】设向量与对应的复数分别为和，则，，
所以对应的复数为，
所以向量对应的的复数是，
故选：C.
2、在复平面上，如果，对应的复数分别是，，那么对应的复数为________.
【解析】对应的复数分别是，
对应的复数为.
故答案为：.
3、如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为（ ）．
A．B．C．D．
【解析】∵ ，
∴ 对应的复数为：，
∴点对应的复数为．
故选D．
4、复平面上，，对应的点分别为，，已知，且，是坐标原点，则在复平面内是________（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）.
【解析】设复数对应的点为，则四边形为平行四边形，
又，即四边形为矩形，
，则在复平面内是直角三角形.
故答案为：直角三角形.
5、如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应复数0，3＋2i，－2＋4i．求：
（1）向量对应的复数；
（2）向量对应的复数；
（3）向量对应的复数．
【解析】（1）因为，所以向量对应的复数为－3－2i；
（2）因为＝－，所以向量对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i；
（3）因为＝＋，所以向量对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i．
6、已知，求.
【解析】向量表示的复数为，
∴，则△AOB为等边三角形，
∴∠AOC=30°，则，
∴，表示的复数为，
∴.
7、已知，，，，求.
【解析】如图，设对应的复数为，对应的复数为，由知，以，为邻边的平行四边形是菱形，向量表示的复数为,,则为等边三角形,,则,,表示的复数为,.
8、根据复数加法的几何意义，证明：．
【解析】设复数所对应的向量是,复数所对应的向量是,
若复数，有一个为0，或者均为0，不等式显然成立；
若向量，不是零向量且共线时，显然成立，
不等式左侧在两向量共线反向时等号成立，不等式右侧在两向量共线同向时等号成立；
若向量，不是零向量且不共线时，如图：
由三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得成立.
综上：.
9、已知复平面内的平行四边形ABCD中，A点对应的复数为2＋i，向量eq \(BA,\s\up7(―→))对应的复数为1＋2i，向量eq \(BC,\s\up7(―→))对应的复数为3－i，求：
(1)点C，D对应的复数；
(2)平行四边形ABCD的面积．
【解析】(1)∵向量eq \(BA,\s\up7(―→))对应的复数为1＋2i，向量eq \(BC,\s\up7(―→))对应的复数为3－i，
∴向量eq \(AC,\s\up7(―→))对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.
又∵eq \(OC,\s\up7(―→))＝eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→))，
∴点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.
∵eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \(BC,\s\up7(―→))，
∴向量eq \(AD,\s\up7(―→))对应的复数为3－i，
即eq \(AD,\s\up7(―→))＝(3，－1)．设D(x，y)，
则eq \(AD,\s\up7(―→))＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2＝3，,y－1＝－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝5，,y＝0.))
∴点D对应的复数为5.
(2)∵eq \(BA,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))＝|eq \(BA,\s\up7(―→))||eq \(BC,\s\up7(―→))|cs B，
∴cs B＝eq \f(\(BA,\s\up7(―→))·\(BC,\s\up7(―→)),|\(BA,\s\up7(―→))||\(BC,\s\up7(―→))|)＝eq \f(3－2,\r(5)×\r(10))＝eq \f(\r(2),10).
∵0∴S四边形ABCD＝|eq \(BA,\s\up7(―→))||eq \(BC,\s\up7(―→))|sin B＝eq \r(5)×eq \r(10)×eq \f(7\r(2),10)＝7，
∴平行四边形ABCD的面积为7.
练习三 复数模的最值问题
1、已知复数z满足，复数z的共轭复数为，则的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解析】令，，则表示与距离为1的点集，即，
此时，表示圆上点到原点距离，
所以的最大值，即为圆上点到原点的最大距离，而圆心到原点距离为1，且半径为1，
所以圆上点到原点的最大为2.
故选：B.
2、【多选】已知复数（为虚数单位）在复平面内的对应的点为，复数满足在复平面内对应的点为，则下列结论正确的有（ ）
A．复数的虚部为
B．
C．的最大值
D．的最小值为
【解析】对于A，由得，虚部为1，故A错误，
对于B，因为，，在复平面内对应的点为，则，
所以，故B正确，
对于C，由题意知，点B在以为圆心，半径为2的圆周上，
根据复数的几何意义，，
所以，，故C正确，
对于D，表示点B与定点的距离，易知点在圆内，所以，故D错误.
故选：BC.
3、若，则取值范围是______
【解析】根据复数的几何意义可得表示对应的点在以为圆心，2为半径的圆上，
则表示对应的点到的距离，设为，
则到距离为，
所以，，
所以取值范围是.
故答案为：.
4、已知复数z满足，则的最大值为___________．
【解析】不妨设，
由可得，，故点在上运动，
又因为，
所以，即点与点之间的距离，
从而的最大值为点到上一点的最大距离，
又因为是以圆心，半径为1的圆，
故圆心与点之间的距离，
从而的最大值为.
故答案为：3.
复数加法的几何意义
向量加法的平行四边形法则
复数z1＋z2是以eq \(OZ1,\s\up6(→))，eq \(OZ2,\s\up6(→))为邻边的平行四边形的对角线eq \(OZ,\s\up6(→))所对应的复数
复数减法的几何意义
向量减法的三角形法则
复数z1－z2是从向量eq \(OZ2,\s\up6(→))的终点指向向量eq \(OZ1,\s\up6(→))的终点的向量eq \(Z2Z1,\s\up6(-----→))所对应的复数