高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第04讲复数的乘、除运算(原卷版+解析)

这是一份高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第04讲复数的乘、除运算(原卷版+解析)，共42页。试卷主要包含了两个复数代数形式乘法的一般方法，常用公式等内容，欢迎下载使用。
知识点1 复数的乘法及其运算律
(1)复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积
(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
(2)复数乘法的运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
注：对复数乘法的三点说明
(1)类比多项式运算：复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行，但结果要将实部、虚部分开(i2换成－1)．
(2)运算律：多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用．
(3)常用结论
①(a±bi)2＝a2±2abi－b2 (a，b∈R)；
②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；
③(1±i)2＝±2i.
知识点2 共轭复数
1、定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数
2、表示：z的共轭复数用eq \x\t(z)表示，即若z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq \x\t(z)＝a－bi
知识点3 复数的除法
1、复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，
则eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝eq \f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq \f(bc－ad,c2＋d2)i.
注：对复数除法的两点说明
(1)实数化：分子、分母同乘以分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．
(2)代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开．
特别提醒：复数的除法类似于根式的分母有理化．
2、记住以下结果，可提高运算速度：①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i；②eq \f(1－i,1＋i)＝－i，eq \f(1＋i,1－i)＝i；③eq \f(1,i)＝－i.
考点一 复数代数表示式的乘法运算
解题方略：
1．两个复数代数形式乘法的一般方法
(1)首先按多项式的乘法展开；
(2)再将i2换成－1；
(3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．
2．常用公式
(1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R);
(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；
(3)(1±i)2＝±2i.
【例1】i(2＋3i)＝( )
A．3－2i B．3＋2i C．－3－2i D．－3＋2i

变式1：若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1z2等于( )
A．4＋2i B．2＋i
C．2＋2i D．3＋i

变式2：计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝( )
A．2－13i B．13＋2i
C．13－13i D．－13－2i

变式3：下列各式的运算结果为纯虚数的是( )
A．i(1＋i)2 B．i2(1－i)
C．(1＋i)2 D．i(1＋i)
变式4：设，则“”是“复数为纯虚数”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

【例2】(1＋i)20－(1－i)20的值是( )
A．－1 024 B．1 024 C．0 D．512

变式1：i是虚数单位，i＋2i2＋3i3＋…＋8i8＝________（用a＋bi的形式表示，a，b∈R）．

变式2：若是虚数单位，则__________.

变式3：已知，则复数的虚部为_________．

【例3】设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，则z的模为________．

变式1：【多选】已知复数满足，则可能为（ ）.
A．0B．C．D．

【例4】已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

变式1：若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)

考点二 共轭复数
【例5】设z＝i(2＋i)，则eq \x\t(z)＝( )
A．1＋2i B．－1＋2i C．1－2i D．－1－2i

变式1：设复数，且，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．

变式2：已知复数z满足，则z的虚部是（ ）
A．-1B．1C．D．

变式3：已知，则（ ）
A．B．
C．D．

变式4：若复数z满足（i为虚数单位），为z的共轭复数，则（ ）
A．B．1C．D．2

变式5：已知复数z满足：，则（ ）
A．B．C．D．

变式6：设复数（是虚数单位），则的值为（ ）
A．B．C．D．

变式7：已知复数的实部为，i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

变式8：若为复数z的共轭复数，则下列判断不正确的是（ ）．
A． B．若，则复数z为纯虚数或
C． D．复数z与其共轭复数在复平面内所对应的点关于实轴对称

考点三 复数代数表示式的除法运算
解题方略：
1．两个复数代数形式的除法运算步骤
(1)首先将除式写为分式；
(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；
(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．
2．常用公式
(1)eq \f(1,i)＝－i；(2)eq \f(1＋i,1－i)＝i；(3)eq \f(1－i,1＋i)＝－i.
【例6】若z(1＋i)＝2i，则z＝( )
A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i

变式1：计算：eq \f(1＋i4＋3i,2－i1－i)＝________.

变式2：若i是虚数单位，则eq \f(i,\r(3)＋3i)等于( )
A.eq \f(1,4)－eq \f(\r(3),12)i B.eq \f(1,4)＋eq \f(\r(3),12)i C.eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),6)i D.eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),6)i

变式3：复数eq \f(1＋2i2,3－4i)＝( )
A．－1 B．1 C．－i D．i

变式4：已知i为虚数单位，则（ ）
A．B．C．－2D．2

变式5：已知eq \f(2－3i,z)＝－i，则复数z＝________.

变式6：已知i是虚数单位，若复数z满足zi＝1＋i，则z2＝( )
A．－2i B．2i C．－2 D．2
【例7】已知复数(为虚数单位)，则z的虚部为___________.

变式1：已知复数z满足，(其中i为虚数单位)，则复数z的虚部为（ ）
A．1B．C．D．

变式2：复数的实部与虚部之和为（ ）
A．B．C．D．

【例8】设为虚数单位，，若复数是纯虚数，则实数（ ）
A．B．2C．D．1

变式1：已知a∈R，复数为纯虚数，则a＝（ ）
A．3B．﹣3C．2D．﹣2

变式2：已知复数，则“”是“z是纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件

变式3：若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且eq \f(z1,z2)为纯虚数，则实数a的值为________．

变式4：若复数为纯虚数，则（ ）
A．B．5C．D．2

【例9】设z＝eq \f(3－i,1＋2i)，则|z|＝( )
A．2 B.eq \r(3) C.eq \r(2) D．1

变式1：已知复数满足，其中为虚数单位，则（ ）
A．B．C．D．

变式2：若复数，则（ ）
A．B．C．D．

变式3：若复数，则复数的模是（ ）
A．1B．C．D．2

变式4：若a为正实数，i为虚数单位，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(a＋i,i)))＝2，则a＝( )
A．2 B.eq \r(3) C.eq \r(2) D．1

【例10】的共轭复数为（ ）
A．B．C．D．

变式1：已知是虚数单位，则复数的共轭复数的虚部是（ ）
A．B．C．D．1

变式2：设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数为eq \x\t(z)，则eq \f(2－\x\t(z),z)＝________.

变式3：【多选】若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是
A．的虚部为B．
C．为纯虚数D．的共轭复数为

变式4：【多选】设有下面四个命题，其中为真命题的是( )
A．若复数z满足eq \f(1,z)∈R，则z∈R
B．若复数z满足z2∈R，则z∈R
C．若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝eq \x\t(z)2
D．若复数z∈R，则eq \x\t(z)∈R

【例11】复数在复平面内对应点所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限

变式1：如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是eq \(OA,\s\up7(―→))，eq \(OB,\s\up7(―→))，则复数eq \f(z1,z2)对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

考点四 复数范围内方程根的问题
解题方略：
复数范围内实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式为
(1)当Δ≥0时，x＝eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a)；
(2)当Δ